REGLA DEL TRAPECIOLa regla del trapecio o regla trapezoidal es la primera de las fórmulas ce rradas de Newton-Cotes. Corresponde al caso en donde el polinomio de la ecuación (13.1) es de primer orden.

Recuérdese del capítulo 11 que una línea recta se puede representar como [Ec. (11.2)]

[13.2]

4.2.1 MÉTODO DEL TRAPECIO

4.2.1 Método de trapecio

El área bajo la línea recta es una aproximación de la integral de / (x) entre los límites a y b:

El resultado de la integración (véase el recuadro 13.1 para mayores detalles) es

al que se le llama regla trapezoidal.

Geométricamente, la regla trapezoidal es equivalente a aproximar el área del trapecio bajo la línea recta que une a / (a) y / (b) en la figura 13.4. Recuérdese de la geometría de la fórmula para calcular el área

[13.3]

RECUADRO 13.1 Derivación de la regla trapezoidal

de un trapecio es la altura por el promedio de las bases (Fig. 13.5a). En este caso, el concepto es el mismo pero el trapecio se encuentra sobre uno de sus lados (Fig. 13.5b). Por lo tanto, la aproximación a la integral se puede representar comoI = ancho x altura promedio

[13.4]

FIGURA 13.4 Esquema gráfico de la regla trapezoidal.

FIGURA 13.5 a) Fórmula para calcular el área de un trapecio: altura por el promedio de las bases, b) En la regla trapezoidal, el concepto es el mismo sólo que el trapecio está sobre uno de sus lados.

I = (b — a) x altura promedio [13.5]

en donde, para la regla trapezoidal, la altura media es el promedio de los valores de la función en los puntos de los extremos, es decir [f (a) + f (b)]/2.Todas las fórmulas cerradas de Newton-Cotes se pueden expresar en el formato general de la ecuación (13.5). De hecho, solo difieren con respecto a la formulación de la altura media.

Error en la regla trapezoidal Cuando se emplea la integral bajo un segmento de línea recta para apro ximar la integral bajo una curva, obviamente que se incurre en un error que puede ser sustancial (Fig. 13.6) Una estimación del error de trunca miento de una sola aplicación de la regla trapezoidal es (recuadro 13.2)

[13.6]

en donde | es un punto cualquiera dentro del intervalo dea ab. La ecua ción (13.6) indica que si la función que se está integrando es lineal, la

FIGURA 13.6 Esquema gráfico al usar sólo una aplicación de la regla trapezoidal pa ra aproximar la integral de f(x) = 0.2 + 25 x — 200 x2 + 675 x3 — 900 x4 + 400 x5 desde x = 0 hasta 08

regla trapezoidal será exacta. De otra manera, ocurrirá un error para funciones con derivadas de segundo y tercer orden (esto es, con curvatura).

RECUADRO 13.2 Obtención y estimación de error de la regla trapezoidal basada en la integración del polinomio de interpolación hacia adelante de Newton-Gregory.

EJEMPLO  Aplicación de la regla trapezoidal simple

Enunciado del problema: utilícese la ecuación (13.3) para integrar numé ricamente/(x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5

desde a = 0 hasta b = 0.8. Recuérdese de la sección V.2 que el valor exacto de la integral se puede determinar analíticamente como 1.640 533 34.

Solución: los valores de la función

se pueden sustituir en la ecuación (13.3) y obtener

que representa un error de

que corresponde a un error relativo porcentual de e„ = 89.5 %. La ra zón para este error tan grande es evidente en la gráfica de la figura 13.6. Nótese que el área bajo la línea recta descuida una porción significativa de la integral sobre la línea.En la situación actual, no se tendría conocimiento previo del valor ver dadero. Por lo tanto, se requiere una aproximación al error. Para obtener esta aproximación, se calcula la segunda derivada de la función sobre el inter valo derivando la función original dos veces para dar

el valor promedio de la segunda derivada puede ser calculada usando la ecuación V.3

que se puede sustituir en la ecuación (13.6) y obtener

que es del mismo orden de magnitud y signo que tiene el error verdadero. Existe una discrepancia debido a que en un intervalo de este tamaño, el pro medio de la segunda derivada no es necesariamente una aproximación exacta de /"(£). P°r '° tanto, se denota que el error es aproximado usando la notación Ea, en vez de usar Eu.