4.2.4 Método de cuadratura Gaussiana

Como se puede ver en la figura 14.4a, la base de la regla trapezoidal

es tomar el área bajo la línea recta que une los valores de la función

evaluada en los extremos del intervalo. La fórmula usada para

calcular esta área es

[14.10]

Figura 14.4

a) Esquema gráfico de la reglatrapezoidal dada por el área bajo lalínea recta que une los puntosextremos, b) Se obtiene unaaproximación mejorada a la integraltomando el área bajo la línea rectaque pasa a través de dos puntosintermedios.Colocando adecuadamente estospuntos, los errores, positivo ynegativo se equilibran y resulta unaaproximación a la integralmejorada.

en donde a y b son los límites de integración y b — a es el ancho del

intervalo de integración. Debido a que la regla trapezoidal debe

pasar a través de los puntos límites, existen casos como el de la

figura 14.4a en donde la fórmula genera un error muy grande.

Ahora, supóngase que la restricción de fijar los puntos base se

elimina y se va a evaluar libremente el área bajo la línea recta que

une dos puntos cualesquiera de la curva. Colocando estos puntos de

manera inteligente, se puede definir una línea recta que balancee los

errores negativos y positivos. De ahí que, como en la figura 14.4b,

se llegara a un valor más exacto de la integral.

La cuadratura gaussiana es el nombre de uno de estos métodos que

implementa esta estrategia. Las fórmulas particulares de cuadratura

gaussiana descritas en esta sección se llaman fórmulas de Gauss-

Legendre. Antes de describir el método, se demuestra cómo las

fórmulas de integración numérica tales como la regla trapezoidal se

derivan usando el método de coeficientes indeterminados. Este

método se emplea en el desarrollo de las fórmulas de Gauss-

Legendre.

Método de coeficientes indeterminados

En el capítulo 13 se deriva la regla trapezoidal integrando un

polinomio lineal mediante un razonamiento geométrico. El método de

coeficientes indeterminados ofrece una tercera alternativa que tiene

también utilidad en la derivación de otros métodos tales como la

cuadratura gaussiana. Para ilustrar el método, la ecuación (14.10) se

expresa como

[14.11]

en donde las c son constantes. Ahora, considerando que la regla

trapezoidal debe llevar a resultados exactos cuando la función a

integrarse sea una constante o una línea recta. Dos ecuaciones

simples que representan este caso son y = 1 y y = x. Ambas se

ilustran en la figura 14.5. Por lo tanto, se deben cumplir las

siguientes igualdades:

Figura 14.5

Dos integrales que la regla

trapezoidal evaluará exactamente:

o) una constante y b) una línea

recta.

Estas son dos ecuaciones con dos incógnitas que pueden resolverse

por

las cuales, cuando se sustituyen de nuevo en la ecuación (14.11)

dan

la cual es equivalente a la regla trapezoidal.

Derivación de la fórmula de Gauss-Legendre basada en dos puntos

Como en el caso de la derivación anterior de la regla trapezoidal, la

cuadratura gaussiana determina los coeficientes de una ecuación de

la forma

[14.12]

en donde las c son los coeficientes incógnitas. Sin embargo, en

contraste a la regla trapezoidal que usa puntos extremos a y b, los

argumentos de la función x1 y x2 ahora no están fijos a los puntos

extremos, sino que son incógnitas (Fig. 14.6). Por lo tanto, ahora se

tiene un total de cuatro incógnitas que se deben evaluar, y por

consiguiente, se requieren de cuatro condiciones para determinarlos

exactamente.

Al igual que con la regla trapezoidal, se pueden obtener dos de estas

condiciones suponiendo que la ecuación (14.12) ajusta exactamente

la integral de una constante y de una función lineal.

Entonces, para llegar a las otras dos condiciones, se extiende este

razonamiento al suponer que también se ajusta la integral a una

función parabólica (y = x2) y a una función cúbica (y = x3). Haciendo

esto, se determinan las cuatro incógnitas conviniendo en derivar una

fórmula desintegración de doble punto que sea exacta para cúbicas.

Las cuatro ecuaciones por resolver son:

Las ecuaciones (14.13) hasta la (14.16) se resuelvensimultáneamente,

FIGURA 14.6 Esquema gráfico de las variables incógnitas — y x2—para integración usando cuadratura gaussiana.

las cuatro se pueden sustituir en la ecuación (14.12) y obtener la

fórmula de Gauss-Legendre de dos puntos

[14.17]

Por lo tanto, se llega al resultado interesante de que la suma simple

de los valores de la función en x = l/√3 y — 1/ √ 3 lleva a una

estimación de la integral con una exactitud de tercer orden.

Nótese que los límites de integración de las ecuaciones (14.13) a la

(14.16) van desde — 1 a 1. Esto se hizo para simplificar la aritmética

y hacer la formulación tan general como sea posible. Un simple

cambio de la variable se puede usar para trasladar otros límites de

integración en esta forma.

Esto se lleva a cabo suponiendo que la nueva variable xd está dada

en función de la variable original x en una forma lineal como en

[14.18]

Si el límite inferior, x = a, corresponde a xd = — 1, estos valores se

sustituyen en la ecuación (14.18) y se obtiene:

[14.19]

De manera similar el límite superior, x = b, corresponde a xd = 1, y

obtener

[14.20]

Las ecuaciones (14.19) y la (14.20) se resuelven simultáneamente,

generando:

[14.21]

[14.22]

que se sustituye en la ecuación (14.18) para obtener:

[14.23]

Esta ecuación se diferencia dando

[14.24]

Las ecuaciones (14.23) y (14.24) se pueden sustituir para x y dx,

respectivamente, en la ecuación por integrar. Estas sustituciones

transforman efectivamente el intervalo de integración sin cambiar los

valores de la integral. El ejemplo siguiente ilustra cómo se hace esto

en la práctica.

EJEMPLO

Fórmulas de Gauss-Legendre de dos puntos

Enunciado del problema: utilícese la ecuación (14.14) para evaluar la

integral

entre los límites x = O y x = 0.8. Recuérdese que éste fue el mismo

problema resuelto en el capítulo 13 usando una variedad de

formulaciones de Newton-Cotes. El valor exacto de la integral es

1.640 533 34.

Solución: antes de integrar la función, se debe realizar un cambio de

variable de tal forma que los límites sean desde — 1 hasta 1. Para

hacerlo, se sustituye a = 0 y b = 0.8 en la ecuación (14.23) y se

obtiene:

al calcular su derivada se tiene [Ec. (14.24)]

Estos dos valores se sustituyen en la ecuación original para obtener

Por lo tanto, el lado derecho está en la forma que es adaptable para

la evaluación mediante la cuadratura gaussiana. La función

transformada se puede evaluar en — l/√3 siendo igual a 0.516 740

55 y en l/ √ 3 siendo igual a 1.305 837 23. Por lo tanto, de acuerdo a

la ecuación (14.17). la integral es

/ = 0.516 740 55 + 1.305 837 23 = 1.822 577 78

que representa un error relativo porcentual del — 11.1%. Este

resultado es comparable en magnitud a la aplicación de la regla

trapezoidal de cuatro segmentos (cuadro 13.1) o a una aplicación de

la regla de Simpson de 1/3 y la de 3/8 (ejemplos 13.4 y 13.6). Este

último resultado ya se esperaba porque las reglas de Simpson tienen

también exactitud de tercer orden. Sin embargo, debido a la forma

hábil de escoger los puntos, la cuadratura gaussiana obtiene esta

exactitud en base a sólo dos evaluaciones de la función.

Fórmulas de más de dos puntos

Además de la fórmula de dos puntos, analizada en la sección previa,

se pueden desarrollar también versiones de más de dos puntos, las

cuales se presentan en la forma general:

[14.25]

En el cuadro 14.1 se resumen los valores de las c y de las x de las

fórmulas de hasta seis puntos, incluyendo a éstas.

EJEMPLO

Fórmula de Gauss-Legendre de tres puntos

Enunciado del problema: utilícese la fórmula de tres puntos del

cuadro 14.1 para calcular la integral de la misma función del ejemplo

14.3.

Puntos Factores de peso Argumentos de la funciónError de trunca-miento

2 _ 1.000 000 000 X.1 _ -0.577 350 269

= f (%)

c2 = 1.000 000 000 *2

-

0.577 350 269

3 Cl=

1.555 555 556 *1 -0.774 596 669 = f(6)(í)

c2 = 0.888 888 889 x2 = 0.0

C3 = 0.555 555 556 *3 = 0.774 596 669

4 Cl = 0.347 854 845 *1 = -0.861 136 312

= 0.652 145 155 x2 = -0.339 981 044

c3 = 0.652 145 155 *3 = 0.339 981 044

c4 = 0.347 854 845 X4 = 0.861 136 312

5 Cl 0.236 926 885 *i_

-0.906 179 846 = f(10>(£)

C2 = 0.478 628 670 X2 = -0.538 469 310

C3 = 0.568 888 889 *3 = 0.0

c4 = 0.478 628 670 X4 = 0.538 469 310

c5 = 0.236 926 885 x5 = 0.906 179 846

6 Cl - 0.171 324 492 xl=

-0.932 469 514 = f(12,(?)

C2 = 0.360 761 573 x2 = -0.661 209 386

C3 = 0.467 913 935 *3 = -0.238 619 186

<=4 = 0.467 913 935 X4 = 0.238 619 186

c5 == 0.360 761 573 *5 = 0.661 209 386

c6 = 0.171 324 492 *6 = 0.932 469 514

Factores de peso c y

argumentos x de la

función usados en las

fórmulas de Gauss-

Legendre

Solución: de acuerdo al cuadro 14.1, la fórmula de tres puntos es

/ = 0.555 555 556 /(-0.774 596 669) + 0.888 888 889 /(0) + 0.555

555 556 /(0.774 596 669)

que es igual a

/ = 0.281 301 290 + 0.873 244444 + 0.485 987 599 = 1.640 533 34

la cual es exacta.

Debido a que la cuadratura gaussiana requiere de evaluaciones de

la función en puntos que no están uniformemente espaciados

dentro del intervalo de integración, no es aplicable a los casos en

que la función se desconoce. Por lo tanto, no se adapta a muchos

problemas de la inge-