Algoritmos para o PRTU

Algoritmos para o Problema de Roteamento deTransporte UrbanoExato e Metaheurıstico

Bruno Coswig Fiss

Instituto de InformaticaUniversidade Federal do Rio Grande do Sul

Defesa de Trabalho de Conclusao

Bruno Coswig Fiss (INF UFRGS) Algoritmos para o PRTU 3 de julho de 2012 1 / 53

Agenda

1 IntroducaoMotivacao para o PRTUTrabalhos RelacionadosDefinicao do Problema

2 Algoritmos DesenvolvidosUtilizando Programacao InteiraAlgoritmo Genetico

3 Resultados

4 Conclusoes e Trabalhos Futuros


Introducao Motivacao para o PRTU

Agenda



3 Resultados




Transporte Publico

Onibus em Porto Alegre.

Superlotacao, atrasos.Falta de recursos? Eles estao sendo bem empregados?



Transporte Publico

Rede de rotas em Porto Alegre com aproximadamente 230 rotas.



PDRTU: PRTU e PETU.

Problema conhecido como o Problema de Design de Redes deTransporte Urbano (PDRTU).Dividido em: Problema de Roteamento de Transporte Urbano(PRTU) e Problema de Escalonamento de Transporte Urbano(PETU).Foco aqui: PRTU.


Introducao Trabalhos Relacionados

Agenda



3 Resultados




Metodologias Existentes

Solucoes iterativas de multiplos passos.Solucoes baseadas em programacao linear ou inteira.Metaheurısticas.Solucoes Ad-hoc.



Exemplo de Ferramenta

Exemplo de ferramenta usando algoritmo genetico (Alvarez et al.)



Definicoes Compatıveis

Mandl (rede original).Baaj e Mahmassani, Shih e Mahmassani, Kidwai, Chakroborty,Zhao e Ubaka, e Fan.Caracterısticas: utilizam metaheurısticas, mas com objetivo unico(com excecao de Fan).



Definicoes Compatıveis

n 0

n 1

n 2

n 3

n 4

n 5

n 1 1

n 7

n 1 4

n 1 0

n 9

n 6

n 8

n 1 2

n 1 3

Rede de estradas Suıcas de Mandl.



Objetivo

A qualidade das solucoes depende fundamentalmente dosalgoritmos escolhidos.Comparacao e necessaria.Objetivo: estudar, desenvolver e testar algoritmos e metodos parao PRTU.Definicao utilizada precisa ser compatıvel com casos de testeconhecidos.


Introducao Definicao do Problema

Agenda



3 Resultados




Entrada e Conjuntos de Rotas

Duas entradas: rede de transporte G(V ,E) e matriz de demanda.Rota ra e um caminho no grafo.Ea e o conjunto de arestas da rota ra.O grafo de transito e H(V ′,E ′), onde V ′ ⊆ R × V .Um nodo wia ∈ V ′ no grafo de transito e um par que combina arota ra e o nodo vi ∈ V (da rede de transporte).



Redes de transporte, rotas e transito, respectivamente (Lang Fan 2009).



Funcoes Objetivo e Restricoes

Custo do operador: Soma de todas as arestas utilizadas.Custo do passageiro: Tempo total de viagem (para satisfazer ademanda).Multiobjetivo.Condicoes a considerar:

Numero de rotas.Comprimento das rotas.Ciclos.Penalidade por fazer transferencias.



Exemplo de Saıda

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5

Tota

l rou

te s

et le

ngth

in m

inut

es

Average travel time in minutes

Approximation for Pareto-optimal curves

GA Solutions with up to 8 routesGA Solutions with up to 6 routesGA Solutions with up to 4 routes

Fitting curve (58.22/(x-9.86) + 44.36)

Aproximacao do conjunto Pareto-otimo.Bruno Coswig Fiss (INF UFRGS) Algoritmos para o PRTU 3 de julho de 2012 17 / 53


Limites para Funcoes Objetivo

Melhor solucao para passageiro: melhores rotas na rede detransporte.Melhor solucao para operador: arvore geradora mınima (excecaocaso nao exista demanda em algum nodo).Heurıstica para cobrir demanda sem transferencias com menornumero de rotas.


Algoritmos Desenvolvidos Utilizando Programacao Inteira

Agenda



3 Resultados




Formulacao Inteira

Variaveis principais sao as xre, onde r e uma rota e e uma aresta.srv e frv indicam se o vertice v e o inıcio, ou fim, respectivamente,da rota r .

Para toda rota r : ∑v∈V

srv = 1∑v∈V

frv = 1∑e=(v ,w)∈E

xre + frv =∑

e=(w ,v)∈E

xr e + srv ∀v ∈ V

∑e=(v ,w)∈E

xre + frv ≤ 1 ∀v ∈ V



Formulacao Linear

Remocao de ciclos.Descoberta de todos os caminhos mınimos.Ordenacao de rotas.Remocao de transferencias duplas em um mesmo nodo.



Funcoes Objetivo

O custo para operar sobre a aresta e e c(e).O tempo para atravessar a aresta e e te.A demanda entre os nodos i e j e dij .A penalidade por transferencia e tpen.

minimize∑r∈R,e∈E

c(e)xre

minimize∑r∈R,

v ,w∈V ,e=(n,m)∈E

tedvwx∗vwe′rnrm+

∑r ,s∈R,

v ,w ,n∈V

tpendvwx∗vwe′rnsn



Remodelando Redes Existentes

Custo de adicao da aresta e a rota r e Are.Custo de remocao da aresta e da rota r e Dre.O conjunto P ⊆ R × E contem o par (r ,e) se a aresta e e usadana rota r .

minimize∑

(r ,e)∈P

Dre(1− xre) +∑

(r ,e)/∈P

Arexre



Sumario

”The problem of designing a good or efficient route set (or routenetwork) for a transit system is a difficult optimization problemwhich does not lend itself readily to mathematical programmingformulations and solutions using traditional techniques– Dr. Partha Chakroborty, Engenheiro de Transporte.Ao contrario do esperado, solucao encontrada e viavel para casosde teste pequenos.Obteve solucoes otimas globais para a rede de Mandl com 2 e 3rotas (o que nao havia sido feito antes).Nao escalavel, porem possui aplicacoes: relaxacao linear emetodo divisao e conquista.


Algoritmos Desenvolvidos Algoritmo Genetico

Agenda



3 Resultados




Conjuntos de Solucoes

Tres conjuntos de possıveis solucoes sao mantidos: B, U e P.B contem solucoes iniciais.U contem todas as solucaos nao-dominadas.P e a populacao atual.



Estrutura do Algoritmo

Gerar solucoes iniciais, ou carregar solucoes de execucaoanterior.Todas as iteracoes: evoluir populacao, aplicando pequenaalteracao.Apos certo numero de geracoes: renovar populacao aplicandooutros operadores.



Geracao de Candidatos a Solucao Iniciais

Baseados nas melhores solucoes para operador, passageiro, emaximizando demanda (em duas versoes).Tambem baseados em solucoes para relaxacao linear.Rotas validas sao extraıdas dos conjuntos de rotas em B.



Solucoes de Relaxacao Linear

n 0

n 10.25 / 0 .25

n 2

0.5 / 0

n 3

0.25 / 0 .25

n 4

0 / 0 .5

n 5

0.5 / 0

0 / 0 .5

0.5 / 0

n 1 1

0.25 / 0 .25

n 7

0.5 / 0

n 1 4

0.5 / 00 .25 / 0 .25

n 9

0.5 / 0

n 60 / 0 .5

0.5 / 0

n 1 0

0.5 / 0

n 1 2

0 / 0

n 1 3

0.5 / 0

n 8

0.25 / 0 .25

0.25 / 0 .25

0.5 / 0

0 / 0 .5

Rede de sugestao de rotas para certa rota.



Solucoes de Relaxacao Linear

n 0

n 11

n 2

1

n 3

0 .5

n 4

0

n 5

1

1

1

n 1 1

0

n 71

n 1 4

1n 1 0

0

n 9

1

n 6

n 8

1

1

1

n 1 2

0

n 1 3

0 .5

1

1

0 .5

0 .5

Rede de sugestao de rotas com importancias globais.



Operador de Troca

n0

n1

n2

n3

n4

n5

n11

n7

n14

n10

n9

n6

n8

n12

n13

n0

n1

n2

n3

n4

n5

n11

n7

n14

n10

n9

n6

n8

n12

n13

Um par de conjuntos de rotas antes de uma Troca.



Operador de Troca

n0

n1

n2

n3

n4

n5

n11

n7

n14

n10

n9

n6

n8

n12

n13

n0

n1

n2

n3

n4

n5

n11

n7

n14

n10

n9

n6

n8

n12

n13

Um par de conjuntos de rotas depois de uma Troca.



Crossover

n0

n1

n2

n3

n5

n7

n14

n10

n9

n6

n13

n0

n1

n2

n3

n5

n7

n14

n10

n9

n6

n13

Rotas antes e depois de um crossover.



Simplificacao

n0

n1

n2

n3

n4

n5

n11

n7

n14

n10

n9

n6

n8

n12

n13

n0

n1

n2

n3

n4

n5

n11

n7

n14

n10

n9

n6

n8

n12

n13

Conjunto de rotas antes e depois de uma simplificacao.



Pontos principais

Selecionar cuidadosamente as solucoes iniciais de varias fontesdiferentes, incluindo arvore geradora mınima, relaxacao linear daformulacao inteira, caminhos mınimos e algoritmos gulosos.Aplicar simplificacao para evitar rotas desnecessarias.Utilizar operadores de Troca e Crossover, que trocamcaracterısticas entre rotas e conjuntos de rotas.Nao permitir que solucoes nao-dominadas sejam perdidas.Permitir diferentes numeros de rotas numa mesma populacao.



Complexidade

Grafo de transito tem O(|R||V |) nodos e O(|R|2|V |) arestas.O(|V |) execucoes do algoritmo de Dijkstra.Avaliar uma solucao em O(|R|2|V |2 log(|R||V |)).Complexidade do algoritmo: O(|P|T |R|2|V |2 log(|R||V |)).



Desempenho

RouteSet::simplify

99.86%

(0.00%)

2641×

RouteSet::update_min_dist

99.77%

(6.69%)

9528×

69.33%

6621×

RouteSet::total_user_cost

30.46%

(0.02%)

2907×

30.46%

2907×

RouteSet::Dijkstra

93.06%

(52.79%)

301227×

93.06%

301227×

30.44%

2907×

RouteSet::mix_up

35.24%

(33.98%)

3486554969×

35.24%

3486554879×

Heap::heapify_down

2.67%

(2.67%)

225134768×

2.67%

225134768×

std::_Rb_tree::_M_insert_unique_

1.27%

(0.70%)

223927220×

1.27%

223927220×

std::_Rb_tree::_M_erase

0.72%

(0.72%)

3722418×

0.71%

301227×

TransitGeneticAlgorithm::evolve

94.62%

(0.00%)

94.53%

2500×

std::_Rb_tree::_M_insert_unique_

1.21%

(0.71%)

225971185×

1.21%

225971185×

std::_Rb_tree::_M_insert_

0.52%

(0.52%)

223927220×

0.52%

223626098×

3414155×

TransitGeneticAlgorithm::new_population

3.43%

(0.00%)

3.40%

90×

TransitGeneticAlgorithm::read_u

1.94%

(0.00%)

1.93%

51×

Resultados de profiling.Bruno Coswig Fiss (INF UFRGS) Algoritmos para o PRTU 3 de julho de 2012 37 / 53

Resultados

Redes utilizadas

Rede de MandlRede baseada em cidade britanica, com 110 nodos e 275 arestas(criada por Lang Fan).

n 0

n 2 1

n 7 0

n 1 0 2

n 5 7

n 1 0 4

n 2 6

n 3 5

n 1

n 2n 8

n 1 1

n 6 2

n 8 4

n 2 3

n 4 5

n 4 8

n 9 2

n 1 0 8

n 1 0 6

n 9 1

n 5 2

n 8 3

n 2 8

n 9 0

n 4 0

n 3

n 2 0

n 3 9

n 4 1

n 5 1

n 7 2

n 7 5

n 8 6

n 8 8

n 3 6

n 6 3

n 5 5

n 2 2

n 1 0 7

n 4

n 2 9

n 4 4

n 6 5

n 8 9

n 9 5

n 1 0 9

n 3 3n 5 0

n 5 6

n 1 3

n 7 6

n 1 9

n 3 4

n 1 0 5

n 9 6

n 5

n 1 4

n 1 5

n 2 7

n 3 1

n 8 2

n 9 7n 3 7

n 2 4

n 8 1

n 6

n 3 0

n 4 2

n 7 4

n 8 5

n 9 3

n 9 4

n 7 7

n 9 8

n 6 4

n 6 8

n 7

n 9

n 1 2

n 1 7

n 4 9

n 6 7

n 1 0 0

n 1 6

n 4 3

n 1 0n 2 5

n 5 9

n 1 0 3

n 7 8

n 4 7

n 3 8

n 6 9

n 4 6

n 5 3

n 5 4

n 1 8

n 3 2

n 7 3

n 7 9

n 1 0 1

n 8 7

n 6 0

n 6 1

n 6 6

n 8 0

n 9 9

n 7 1

n 5 8

British city based network.


Resultados

Fatores para Avaliacao da Qualidade de Solucoes

di e a porcentagem da demanda satisfeita com i transferencias.ATT e o tempo medio de viagem (em minutos por passageiro),incluindo penalidades por transferencias.CO e o custo do operador, i.e., o comprimento total das rotas (emminutos, considerando velocidade constante dos veıculos).ATTwop = ATT −

∑i≤TMAX

tpendi i .


Resultados

Solucoes Exatas para a Rede de Mandl

Melhores conjuntos de rotas possıveis

Numero de rotas 2 3d0 84.90 % 93.67 %d1 14.00 % 5.43 %d2 1.10 % 0.90 %

ATT 11.33 min. 10.50 min.CO 98 min. 150 min.

Tempo de processamento 1065 s. 78992 s.


Resultados


n 0

n 1

n 2

n 3

n 4

n 5

n 1 1

n 7

n 1 4

n 1 0

n 9

n 6

n 8

n 1 2

n 1 3

Melhor conjunto de rotas para duas rotas.


Resultados


n 0

n 1

n 2

n 3

n 4

n 5

n 1 1

n 7

n 1 4

n 1 0

n 9

n 6

n 8

n 1 2

n 1 3

Melhor conjunto de rotas para tres rotas.


Resultados

Algoritmo Genetico sobre a Rede de Mandl

Comparacao entre melhores solucoes para a rede de Mandl

Cenario Qp Melhor valor conhecido Nossos resultados(Lang Fan)

Melhor para passageiro d0 94.54 % 98.84 %d1 5.46 % 1.16 %d2 0.00 % 0.00 %


Solucao balanceada d0 93.19 % 93.61 %(CO ≤ 148) d1 6.23 % 6.20 %

d2 0.58 % 0.19 %ATT 10.46 min. 10.43 min.CO 148 min. 147 min.

Solucao balanceada d0 90.88 % 91.23 %(CO ≤ 126) d1 8.35 % 7.84 %

d2 0.77 % 0.93 %ATT 10.65 min. 10.59 min.CO 126 min. 126 min.

Melhor para operador d0 66.09 % 77.78 %d1 30.38 % 21.32 %d2 3.53 % 0.90 %



Resultados


n 0

n 1

n 2

n 3

n 4

n 5

n 1 1

n 7

n 1 4

n 1 0

n 9

n 6

n 8

n 1 2

n 1 3

n 0

n 1

n 2

n 3

n 4

n 5

n 1 1

n 7

n 1 4

n 1 0

n 9

n 6

n 8

n 1 2

n 1 3

Conjuntos de rotas correspondendo as solucoes para a rede de Mandl.


Resultados


n 0

n 1

n 2

n 3

n 4

n 5

n 1 1

n 7

n 1 4

n 1 0

n 9

n 6

n 8

n 1 2

n 1 3

n 0

n 1

n 2

n 3

n 4

n 5

n 1 1

n 7

n 1 4

n 1 0

n 9

n 6

n 8

n 1 2

n 1 3

Conjuntos de rotas correspondendo as solucoes para a rede de Mandl.


Resultados

Algoritmo Genetico sobre Cidade Inglesa Artificial

Comparacao entre melhores solucoes para cidade inglesa artificial


I-Passageiro d0 72.91 % 61.95 %d1 20.56 % 37.75 %d2 6.54 % 0.30 %

ATT 36.28 min. 36.01 min.ATTwop 34.60 min. 34.09 min.

CO 2986 min. 8405 min.II-Passageiro d0 71.21 % 53.22 %

d1 20.71 % 44.92 %d2 8.08 % 1.85 %d3 0.00 % 0.01 %


CO 2378 min. 6173 min.


Resultados

Algoritmo Genetico sobre Cidade Inglesa Artificial

Comparacao entre melhores solucoes para cidade inglesa artificial


I-Operador d0 48.62 % 9.31 %d1 32.45 % 24.77 %d2 18.93 % 31.22 %d3 0.00 % 24.39 %d4 0.00 % 8.66 %d5 0.00 % 1.58 %d6 0.00 % 0.07 %


CO 1077 min. 319 min.II-Operador d0 46.97 % 8.47 %

d1 31.84 % 24.03 %d2 21.19 % 32.84 %d3 0.00 % 20.66 %d4 0.00 % 10.43 %d5 0.00 % 3.03 %d6 0.00 % 0.54 %


CO 1265 min. 319 min.


Resultados

Conjunto de Rotas Orientado para o Operador

n0

n21

n70

n102

n57

n104

n26

n35

n1

n2n8

n11

n62

n84

n23

n45

n48

n92

n108

n106

n91

n52

n83

n28

n90

n40

n3

n20

n39

n41

n51

n72

n75

n86

n88

n36

n63

n55

n22

n107

n4

n29

n44

n65

n89

n95

n109

n33n50

n56

n13

n76

n19

n34

n105

n96

n5

n14

n15

n27

n31

n82

n97n37

n24

n81

n6

n30

n42

n74

n85

n93

n94

n77

n98

n64

n68

n7

n9

n12

n17

n49

n67

n100

n16

n43

n10n25

n59

n103

n78

n47

n38

n69

n46

n53

n54

n18

n32

n73

n79

n101

n87

n60

n61

n66

n80

n99

n71

n58


Resultados

Conjunto de Rotas Orientado para o Passageiro

n 0

n 2 1

n 7 0

n 1 0 2

n 5 7

n 1 0 4

n 2 6

n 3 5

n 1

n 2n 8

n 1 1

n 6 2

n 8 4

n 2 3

n 4 5

n 4 8

n 9 2

n 1 0 8

n 1 0 6

n 9 1

n 5 2

n 8 3

n 2 8

n 9 0

n 4 0

n 3

n 2 0

n 3 9

n 4 1

n 5 1

n 7 2

n 7 5

n 8 6

n 8 8

n 3 6

n 6 3

n 5 5

n 2 2

n 1 0 7

n 4

n 2 9

n 4 4

n 6 5

n 8 9

n 9 5

n 1 0 9

n 3 3n 5 0

n 5 6

n 1 3

n 7 6

n 1 9

n 3 4

n 1 0 5

n 9 6

n 5

n 1 4

n 1 5

n 2 7

n 3 1

n 8 2

n 9 7n 3 7

n 2 4

n 8 1

n 6

n 3 0

n 4 2

n 7 4

n 8 5

n 9 3

n 9 4

n 7 7

n 9 8

n 6 4

n 6 8

n 7

n 9

n 1 2

n 1 7

n 4 9

n 6 7

n 1 0 0

n 1 6

n 4 3

n 1 0n 2 5

n 5 9

n 1 0 3

n 7 8

n 4 7

n 3 8

n 6 9

n 4 6

n 5 3

n 5 4

n 1 8

n 3 2

n 7 3

n 7 9

n 1 0 1

n 8 7

n 6 0

n 6 1

n 6 6

n 8 0

n 9 9

n 7 1

n 5 8


Resultados

Conjunto de Rotas Balanceado

n0

n21

n70

n102

n57

n104

n26

n35

n1

n2n8

n11

n62

n84

n23

n45

n48

n92

n108

n106

n91

n52

n83

n28

n90

n40

n3

n20

n39

n41

n51

n72

n75

n86

n88

n36

n63

n55

n22

n107

n4

n29

n44

n65

n89

n95

n109

n33n50

n56

n13

n76

n19

n34

n105

n96

n5

n14

n15

n27

n31

n82

n97n37

n24

n81

n6

n30

n42

n74

n85

n93

n94

n77

n98

n64

n68

n7

n9

n12

n17

n49

n67

n100

n16

n43

n10n25

n59

n103

n78

n47

n38

n69

n46

n53

n54

n18

n32

n73

n79

n101

n87

n60

n61

n66

n80

n99

n71

n58


Conclusoes e Trabalhos Futuros

Trabalhos em Andamento e Futuros

Paralelizar a avaliacao de solucoes.Usar casos de teste reais: Porto Alegre e Berlim.Simulador MATSim como funcao objetivo.


Conclusoes e Trabalhos Futuros

Conclusoes

Solucao exata correta e com aplicacoes praticas.Solucao metaheurıstica com varias tecnicas diferenciadas eresultados positivos.Trabalhos interessantes em andamento.Novos metodos e algoritmos para o PRTU podem melhorar otransporte publico!


Obrigado!

Obrigado!

Obrigado!


Technology

Algoritmos para o PRTU