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omar-sanchez
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Cinemática de los manipuladores
Introducción
• Cinemática: Estudio del movimiento sin considerar las fuerzas que lo producenPropiedades geométricas y temporales Posición, velocidad, aceleración
• Cinemática de los manipuladores: Propiedades geométricas y temporales del movimiento de brazos articulados
Aspecto a resolver
• Problema: A partir de los parámetros geométricos del manipuladorEspecificar: Posición y orientacióndel manipulador
• Solución: Definir sistemas de referenciaen el manipulador y objetos del entorno siguiendo lanotación de Denavit-Hartenberg (1955)
Los términos enlace/articulación
• Articulación: Conexión de dos
cuerpos rígidos caracterizados
por el movimiento de un sólido
sobre otroGrado de libertad: Circular o prismático
• Enlace o eslabón: Cuerpo rígido que une dos ejes articulares adyacentes del manipulador Posee muchos atributos: Peso, material, inercia, etc.
Parámetros de un enlace
• Eje articular: Línea en el espacio alrededor de la cual el enlace i rota referido al enlace i-1
• Longitud del enlace (ai-1): Distancia entre los ejes articulares i e i-1Número de líneas que definen la longitud:Ejes paralelos: Ejes no paralelos: 1Signo: positivo
• Ángulo del enlace ( i-1): Ángulo medido entre los ejes articulares i e i-1. Proyección sobre planoSigno: Regla de la mano derecha
perpendicular común
Ejemplo de parámetros
1.- Se colocan los ejes articulares
2.- Longitud del enlace: 7”
3.- Ángulo del enlace: 450
Plano
Longitud del enlace
Variables articulares• Desplazamiento del enlace (di):
Distancia medida a lo largo del ejede la articulación i desde el punto donde ai-1 intersecta el eje hasta elpunto donde ai intersecta el eje di es variable si la articulación es
prismática di posee signo
• Ángulo de la articulación (i): Ángulo entre las perpendiculares comunes ai-1 y ai medido sobre el eje del enlace i i es variable si la articulación es
de rotación i posee signo definido por la regla de la mano
derecha
Definición de Sistemas de Referencia: Enlaces primero y último
• Sistema de referencia {0}: Sistema que se adjunta a la base del robot. No se mueve
• El Sistema de referencia {1} coincide con la base cuando la variable articular es cero
Enlace(i) a0 y an 0 y n di i
1 y n 0 0
Prismática (di) 0
Rotacional (0) n
• Origen del sistema de referencia { i }: Se ubica en el punto creado por la perpendicular de ai y el eje articular i
• Eje Z: El eje del sistema de referencia { i } se hará coincidir con el eje articular i
• Eje X: El eje se hace coincidir con la distancia ai desde la articulación i hacia i+1
• Eje Y: Se define a partir del eje , aplicando como referencia la regla de la mano derecha
Definición de Sistemas de Referencia: Enlaces intermedios
iZ
iX
iX
iX
iZ
1iY
1. Identificar los ejes articulares: De los pasos 2 a 5 utilice dos ejes consecutivos i e i+1
2. Identifique la perpendicular común: Identifique la línea que intersecta, perpendicularmente, al eje articular i e i+1. Defina el sistema de referencia sobre el punto de intersección en i
3. Asigne el eje al eje articular i
4. Asigne el eje a la perpendicular común que definió el origen del sistema de referencia i
5. Termine de asignar el sistema de referencia, definiendo el eje según la ley de la mano derecha
6. Haga coincidir los sistemas de referencia {0} y {1} cuando la primera variable articular sea cero
Procedimiento general para la definición de sistemas de referencia
iZ
iX
iY
Significado de los parámetros de Denavit-Hartenberg
Los parámetros de DH tienen el siguiente significado:
El parámetro es la distancia entre y medida a lo largo de
El parámetro es el ángulo entre y referido a
El parámetro es la distancia de a medida a lo
largo de El parámetro es el ángulo entre y referido a
Nota: es la única magnitud positiva, las demás tienen signo
ia iZ
1iZ
iX
i iZ
1iZ
iX
id ix
1iX
iZ
i 1iX
iX
iZ
ia
Transformación homogénea de un enlace
Es el resultado de
Al definir tres sistemas de referencia Intermedios {R}, {Q} y {P}, se tiene:
{R} difiere de i-1 en la rotación
{Q} difiere de {R} por la traslación
{P} difiere de {Q} por la rotación
{i} difiere de {P} por la traslación
1i
1ia
i
id
Transformación homogénea de un enlace (II)
Un punto definido en el sistema de referencia {i} proyectado en elsistema de referencia {i-1}responde a
La transformación del sistema de referencia {i} en {i-1} responde a
Transformación homogénea de un enlace (III)
Matriz DH
• Definir el sistema de referencia de los enlaces• Definir los parámetros DH de cada enlace• Calcular la matriz de transformación de cada enlace• Relacionar el sistema {N} sobre el sistema {0}
• Después de determinar las transformaciones de los enlaces, se determina la posición del efector final referido a la base
Concatenar transformaciones homogéneas de enlaces
Transformación resultante de todos los enlaces
Ejemplo RRR (3R)
• Identificar el eje de las articulaciones
Ejemplo RRR (II)
• Identificar la perpendicular común entre los ejes de las articulaciones
• Asignar el eje
en los ejes articulares
iZ
10 ZZ
2Z
3Z
Ejemplo RRR (III)
• Asignar el eje
en la perpendicular común
iX
• Utilizando la regla de la mano derecha, asignar el eje iY
Ejemplo RRR (IV)
i i-1 ai-1 di i
1 0 0 0 1
2 0 L1 0 2
3 0 L2 0 3
Ejemplo RRR (V)
i i-1 ai-1 di i
1 0 0 0 1
2 0 L1 0 2
3 0 L2 0 3
Ejemplo RRR (Final)
PTP 303
0
Ejemplo RPR
1.- Identificar el eje de las articulaciones
2.- Identificar la perpendicular común al eje de las articulaciones: Ninguna
Ejemplo RPR (II)
• Asignar el eje
en los ejes articularesiZ
• Si los ejes se intersectan,
ubicar de forma que sea normal al plano que contenga los dos ejes, considere además que la variable articular {i} proyectada en {i-1} sea cero en el origen
iZ
iX
Ejemplo RPR (III)
iY• Completar el sistema de
referencia colocando aplicando la regla de la mano derecha
Ejemplo RPR (IV)
i i-1 ai-1 di i
1 0 0 0 1
2 900 0 d2 0
3 0 0 L2 3
Parámetros DH
Ejemplo RPR (Final)
i i-1 ai-1 di i
1 0 0 0 1
2 900 0 d2 0
3 0 0 L2 3
PTP 303
0
Puma 560-6R
Asignación del sistema de referencia 1
• Posición del robot cuando todas las variables articulares son cero. Hacer coincidir los sistemas de referencia {0} y {1}.
• Asignar el eje en el primer eje articular
• Asignar el eje a la perpendicular común al eje . Si los ejes se intersectan, asignar a la normal del plano conteniendo los dos ejes
• Completar el sistema de coordenadas asignando por la regla de la mano derecha
1Z
1X
1Z
1X
1Y
Asignación del sistemade referencia 2
• Asignar el eje en el segundo eje articular
• Asignar el eje a la perpendicular común a los ejes articulares 2 y 3
• Completar el sistema de coordenadas asignando por la regla de la mano derecha
2
3
2Z
2X
2Y
Asignación del sistemade referencia 3
• Asignar el eje en el tercer eje articular
• Asignar el eje a la perpendicular común a los ejes articulares 3 y 4 o normal al plano
• Completar el sistema asignando por la regla de la mano derecha
3
4
3Z
3X
3Y
• Asignar el eje en el cuarto eje articular
• Asignar el eje a la perpendicular común a los ejes articulares 4 y 5 o normal al plano
• Completar el sistema
asignando por la
regla de la mano derecha
4Z
4X
4Y
Asignación del sistemade referencia 4
Asignación del sistemade referencia 5
• Asignar el eje en el quinto eje articular
• Asignar el eje a la perpendicular común a los ejes articulares 4 y 5 o normal al plano
• Completar el sistema
asignando por la
regla de la mano derecha
5Y
5X
5Z
Asignación del sistemade referencia 6 {N}
• Asignar el eje en el sexto eje articular
• Seleccione libremente el eje
considerando que sean cero la mayor cantidad de parámetros DH
• Completar el sistema
asignando por la
regla de la mano derecha
6Z
6X
6Y
Parámetros DH
Transformaciones de los enlaces
Simulador PUMA 560
>> puma560>> plot(560,qz)>> drivebot(p560)
Toolbox RobóticaPeter I. Corke
Cinemática directa
• Cinemática directa: Se conocen las variables articulares de una cadena de
enlaces de un brazo articulado Cálculo sencillo (multiplicación matricial) Una única solución: PTP N
N00
Cinemática inversa
• Cinemática inversa:Problema: Obtener los valores de las variables
articulares para que el órgano terminal tenga una determinada posición y orientación
Se deben resolver un conjunto de ecuaciones algebraicas no lineales simultáneas
Problemas fundamentales: Ecuaciones no lineales (sen, cos en matrices de rotación) Existen múltiples soluciones Es posible que no exista una solución Singularidades
Espacio alcanzable
Cartesiano Cilíndrico Esférico
Scara Antropomórfico
Espacio alcanzable: Volumen del espacio que el robot puede alcanzar con al menos unaorientación
Existencia de múltiple soluciones
Deben atenderse las múltiples soluciones:
Elección que minimice los movimientos desde la posiciónactualConcepto de solución másCercana Mover los eslabones de menor pesoConsiderar obstáculos (evitar colisiones)
Obstáculo
Método de resolución
• Manipulador resoluble: Existe un algoritmo que permite determinar todas las soluciones del modelo inverso (variables articulares) asociadas a una determinada posición y orientación
• Teóricamente es resoluble: todo sistema R y P con 6 grados de libertad
• Métodos numéricos iterativos: lentitud• Se prefieren expresiones analíticas (soluciones
cerradas):Métodos algebraicosMétodos geométricos
¿Porqué la cinemática inversa?
• Métodos de programación:Programación por guiado: Desplazamiento
del efector final para que se alcancen las configuraciones deseadas, registrándose los valores (digitalización de posiciones)
Programación textual: Programa de ordenador donde existen órdenes para especificar los movimientos del robot, acceder a información de sensores, etc.
• Cinemática directa Conocidos: Ángulos articulares y
geometría de los eslabones Determinar: Posición y orientación
del elemento terminal referido a la base
• Cinemática inversa Conocidos: Posición y orientación
del elemento terminal referido a la base Determinar: Ángulos articulares y
geometría de los eslabones para alcanzarla orientación y posición de la herramienta
Cinemática directa vs inversa
TTf NBH
0)(
)()( 011 TfTf NB
H
{Herramienta}
{Base}
• Se desea: Posicionar el elemento
terminal en un punto del plano
• Número de GDL del manipulador
= Número de GDL que requiere la tarea Dos soluciones
• Número de GDL del manipulador
> Número de GDL que requiere la tarea Infinitas soluciones
Número de soluciones
• Solución: Conjunto de variables articulares que permiten posicionar el elemento terminal en una determinada posición y orientación
• No existen algoritmos generales de solución al problema de cinemática inversa
• Tipos de solución: Soluciones cerradas:
Solución algebraica: Ecuaciones no lineales trigonométricas Solución geométrica: Conjunto de subproblemas geométricos en el
plano
Soluciones numéricas (iterativas): No aplicables en tiempo real
Tipos de solución
• Se conoce:Geometría del manipuladorPunto objetivo: Posición (x e y) y orientación del
elemento terminal en el espacio
• Problema: Determinar las variables
articulares ( )
Ejemplo de solución geométrica (I)
1 2 3
x
y
Algunas identidades trigonométricas
• Ley de los cosenos para un triángulo general
• Suma de ángulos:
• Identidades: )cos()cos(
)cos()cos( pipi
• La orientación del último eslabón es la suma de las variables articulares
Ejemplo de solución geométrica (II)
x
y
321
• Cálculo de :
• Aplicando la ley de los cosenos:
• Debido a que
• Resulta:
Ejemplo de solución geométrica (III)
2
• Se debe verificar la solución del algoritmo, el cual debe cumplir:
• Espacio alcanzable
• Intervalo de la solución
Ejemplo de solución geométrica (IV)
Espacio alcanzable
2
• Si se definen dos ángulos se cumple
El ángulo se calcula:
Y aplicando ley de los cosenos
Ejemplo de solución geométrica (V)
1
22)(
yx
ysen
• Finalmente
Ejemplo de solución geométrica (VI)
x
y
213