A continuación se presenta un problema que involucra el concepto de Sistemas de Ecuaciones

Lineales

Además se muestran los distintos métodos de resolución (gráfico y analítico) de sistemas de

ecuaciones lineales.

EL TRUEQUE INDIOEL TRUEQUE INDIO

En una tribu de indios utilizan ostras como monedas. Sabemos que 4

espejos y 2 arcos han costado 26 ostras y que 3 espejos y 1 arco han costado 16 ostras. ¿Cómo averiguar cuantas ostras hay que dar por cada

espejo y por cada arco?

Para expresar algebraicamente este enunciado necesitamos dos incógnitas

X : para el precio, en ostras, de cada espejo

Y : para el precio, en ostras, de cada arco

De esta forma pondremos:

PRIMER TRUEQUE4X + 2Y = 26

SEGUNDO TRUEQUE3X + Y = 16

Luego nuestro problema se reduce a encontrar valores de X e Y que hagan válidos ambos trueques.

Es decir hemos de resolver el siguiente S IS TE MA D E E C U AC IO NE S LINE ALE S

DEFINICION DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES: Llamaremos Sistema de dos ecuaciones lineales al conjunto de dos ecuaciones de primer grado con dos valores numéricos

desconocidos

“Resolver un sistema de ecuaciones es encontrar un par de valores que verifiquen simultáneamente las dos ecuaciones”

Pero ¿Cómo resolver un Sistema de ecuaciones lineales?Para responder a esta pregunta, primero veamos la representación gráfica de las

ecuaciones del sistema anterior.

Nuestro sistema es:

Despejamos Y de cada ecuación y obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones, equivalente al anterior

DEFINICION DE SISTEMA DE ECUACIONES EQUIVALENTES:

Dos sistemas de ecuaciones se dicen equivalentes si ambos admiten el mismo

conjunto solución.

Las representaciones gráficas de las ecuaciones anteriores son rectas, esto es:

TODOS LOS PUNTOS DE LA RECTA ROJA, verifican la ecuación correspondiente al PRIMER TRUEQUE, por ejemplo:

El punto (5; 3) verifica la ECUACION UNO, es decir: 4x5 + 2x3 = 26

TODOS LOS PUNTOS DE LA RECTA AZUL, verifican la ecuación correspondiente al SEGUNDO TRUEQUE por ejemplo:

El punto (4; 4) verifica la ECUACION DOS, es decir:3x4 + 4 = 16

Pero como vemos en el gráfico hay un punto S = (3; 7) que pertenece a ambas rectas, es decir, este punto S = (3; 7)

verifica ambos trueques y luego podemos decir que X = 3, Y=7 es la solución del

nuestro sistema.

LUEGO HAY QUE PAGAR 3 OSTRAS POR CADA ESPEJO Y 7 OSTRAS POR

CADA ARCO

Como notamos hemos resuelto este problema a partir del gráfico de ambas ecuaciones y de allí que este procedimiento se conoce como METODO GRAFICO.

Veamos ahora algunos métodos analíticos como lo son:

METODO DE SUSTITUCION METODO DE IGUALACION METODO DE REDUCCION

METODO DE SUSTITUCION El método de sustitución consiste en

despejar una incógnita de alguna de las ecuaciones y se sustituye en la otra

Resolvamos por este método el problema del trueque indio:

1) Despejamos Y en la segunda ecuación y obtenemos:

Y = -3X + 16

2) Sustituimos en la primera ecuación y obtenemos:

4X + 2(-3X + 16) = 26

3) Resolvemos ahora esta ecuación con una incógnita:

4X – 6X + 32 = 26

4X – 6X = 26 – 32

-2X = --6

X = -6/-2

X = 3

4) El valor de X se sustituye en la expresión en la que aparecía despejada la Y:

Y = -3X + 16

Y = -3.3 + 16

Y = -9 + 16

Y = 7

LUEGO HAY QUE PAGAR 3 OSTRAS POR CADA

ESPEJO Y 7 OSTRAS POR CADA ARCO

METODO DE IGUALACION El método de igualación consiste en

despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones y se igualan las expresiones resultantes.

Resolvamos por este método el problema del trueque indio:

1) Despejamos Y de ambas ecuaciones y obtenemos

De la primer ecuación: Y = -2X + 13

De la segunda ecuación: Y = -3X + 16

2) Igualamos y resolvemos:

-2X + 13 = -3X + 16

-2X + 3X = 16 -13

X = 3

3) El valor de X se sustituye en cualquiera de las expresiones en la que aparecía despejada la Y:

Y = -3X + 16Y = -3.3 + 16Y = -9 + 16

Y = 7

LUEGO HAY QUE PAGAR 3 OSTRAS POR CADA ESPEJO Y 7 OSTRAS POR CADA ARCO

METODO DE REDUCCION Resolvamos por este método el problema

del trueque indio:

Multiplicamos cada ecuación por el coeficiente de X en la otra

Aplicando propiedad uniforme y propiedad cancelativa se tiene que:

2Y = 14Y = 7

Sustituimos este valor en una de las ecuaciones originales y se despeja la X

4X + 2.7 = 264X + 14 = 264X = 26 – 14

4X = 12X = 12/4

X = 3

LUEGO HAY QUE PAGAR 3 OSTRAS POR CADA ESPEJO Y 7 OSTRAS POR CADA ARCO

Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones consisten en obtener la solución de forma rápida y sencilla sin recurrir al tanteo.

Los sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, x e y, suelen tener una única solución. Sin embargo hay excepciones.

EJEMPLO DE SISTEMA DE ECUACIONES CON INFINITAS EJEMPLO DE SISTEMA DE ECUACIONES CON INFINITAS SOLUCIONESSOLUCIONES

EJEMPLO DE SISTEMA SIN SOLUCIÓNEJEMPLO DE SISTEMA SIN SOLUCIÓN

En general se pueden dar, gráficamente, los siguientes En general se pueden dar, gráficamente, los siguientes casos:casos:

En el primer caso, el sistema tiene una única solución (pues las restas tienen un solo punto en común) y por ello se dice que es un:

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

En el segundo caso, el sistema tiene infinitas soluciones (pues todos los puntos son comunes a ambas rectas) y por

ello se dice que es un:SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO

En el tercer caso, el sistema no tiene solución (pues no tienen ningún punto en común) y por ello se dice que es

un:SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

A continuación se presentan algunos ejercicios paraqué A continuación se presentan algunos ejercicios paraqué practiquespractiques

UN POCO DE HISTORIA

Los sistemas de ecuaciones y la informática permitieron que el matemático inglés Godfrey Hounsfield compartiera el premio

Nobel de Medicina en 1979 por inventar el tomógrafo computado.

El tomógrafo es un aparato que emite miles de rayos X en ángulos diferentes. Cada rayo X se representa con una ecuación. Las miles

de ecuaciones forman un sistema que se resuelve utilizando computadoras. El conjunto solución está formado por números que

deben verificar todas las ecuaciones a la vez. Ellos indican los tonos de gris, negro y blanco que va a tener cada punto de la

imagen tridimensional.

A diferencia de las radiografías, en las que pueden quedar ocultos algunos órganos, las tomografías permiten que los médicos

observen con mayor detalle la zona del cuerpo que están estudiando.

La tomografía computada es un gran aporte de la matemática a la medicina moderna.

Tomógrafo y tomografía computada

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