UNIVERSIDAD FERMIN TORO

VICERECTORADO ACADEMICO

DECANATO DE INGENIERIA

FERNANDO RAMIREZ

1.) Determine si la función es solución de la ecuación diferencial.

045;)

;10cos2

1

2

1.)

54;23.)

,,42

4

2

321

,

,,

yyyeCeCeCeCyc

senxyyexsenxyb

eyyexsenya

xxxx

x

xx

2.) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al método

correspondiente.

xxyx

yd

dyysenxdxxyc

dyxdxxyxyb

dyyexxdxsenea yy

cos2

)

054cos)

0.)

0cos2.)

2,

2

222

2

3.) Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N según el método correspondiente.

0321636165.)

3cos10323.)

,,,,,,46

,,,

yyyyyyb

xeyyya x

Solución: para poder solucionar las partes a, b y c debemos derivar la función

y, luego sustituir en la ED y si la igualdad coincide entonces si es solución:

Veamos:

xx eyyexsenya 54;23.) ,, .

Para este primer problema debemos derivar 2 veces la función y luego

sustituirla en la ecuación diferencial y realizamos los cálculos

correspondientes.

y = xexxsen 23 y = xexx 2cos6

xexseny 212

Entonces:

y” + 4y = xx exsenexsen 234212

= xx exsenexsen 4212212

y”+ 4y = xe5

xe5 = xe5

La función es solución de la ecuación diferencial

senxyyexsenxyb x ,;10cos2

1

2

1.)

Para esta ecuación se deriva la función y solo una vez y luego se sustituye en

la ecuación diferencial.

y = xx esenxxyexsenx 102

1cos

2

110cos

2

1

2

1 '

Entonces:

y’ +y = xx exsenxesenxx 10cos

2

1

2

110

2

1cos

2

1

y’ +y = senx

La función es solución de la ecuación diferencial

045;) ,,42

4

2

321 yyyeCeCeCeCyc xxxx

Para este problema debemos derivar la función cuatro veces y luego se

sustituye en la ED, de esta manera:

y’ = xxxx ecececec 2

4

2

321 22

y” = xxxx ecececec 2

4

2

321 44

y’’’

= xxxx ecececec 2

4

2

321 88

y(4)

= xxxx ecececec 2

4

2

321 1616

Entonces:

y(4)

- 5 y” +

4y = xxxx ecececec 2

4

2

321 1616

xxxx ecececec 2

4

2

321 1616 xxxx ecececec 2

4

2

321 45 +

xxxx ecececec 2

4

2

3214 = 01616 2

4

2

321 xxxx ecececec

xxxx ecececec 2

4

2

321 1616 xxxx ecececec 2

4

2

321 202055

xxxx ecececec 2

4

2

321 4444 = 0

00

La función es solución de la ecuación diferencial.

2.) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de

acuerdo al método correspondiente.

0cos2.) 2 dyyexxdxsenea yy

La ecuación diferencial mostrada se resuelve por el método de variable separables,

ya que como se puede notar las variables x y Y se pueden separar de igualdad a

igualdad, una vez que se separen las variables se integra para poder eliminar los

diferenciales y nos quede la ecuación general de dicha función.

0cos.2. 2 dyyexdxxsene yy

dyyexdxxsene yy 2cos.2. Usando variables separables

dye

edx

x

xseny

y

2

cos

2

dxx

xsenx

cos

cos2dy

c

y

e

eyy

y

2

dyyeesenxdx yy 2

Integrando tenemos que:

cyeex yy 1cos2 Solución general

0.) 222 dyxdxxyxyb

La siguiente ecuación diferencial posee la forma de una ED homogénea ahora

bien veremos si se cumple con la condición de las ED homogéneas:

dyxdxxyxy 222

2

22

x

xyxy

dx

dy

Con lo cual:

xt

xtytxyttyxf

x

xyxyyxf

2

22222

2

22

,,

22

222

,xt

xyxyttytxf

2

22

,x

xyxytytxf

yxftytxf ,,

Como yxftytxf ,, la ecuación diferencial es homogénea, con lo vual

podemos hacer el cambio de variable vxy Así:

vxdx

dv

dx

dyvxy .

Sustituyendo y separando variables tenemos:

2

222

.x

xxvxvxvx

dx

dv

2

22 1.

x

vvxx

dx

dv

xdx

dv. 12 vv

12

vv

dv

x

dx

Integrando:

Ln x =

3

12

3

2 1 ytg +c

Devolviendo el cambio de variable:

Ln x =

3

/2

3

2 1 xxytg +c

Ln x =

x

xytg

3

2

3

2 1 +c solución general

054cos) 2 dyysenxdxxyc

Para poder resolver esta ecuación diferencial, en primer lugar notamos que

posee la forma de un ED exacta, primero lo comprobamos:

0)54(cos2 dyysenxxdxy

Verifiquemos si es exacta:

xyyxM cos),( 2 xyy

Mcos2

ysenxyxN 54),( xyx

Ncos5

Como x

N

y

M

no es exacta, sin embargo podemos buscar el factor

integrante (FI) y luego multiplicar la ED por ese factor integrante y asi poder

resolver la misma.

y

M

x

N

ey)(

dy

xy

xyxy

e cos

cos2cos52

=e 333 3

ye Lnlyy

dy

Entonces

3)( yy es el factor inteligente, multipliquemos ± por (y) = y3

Y5 cosxdx + (4 y

3 + 5 y

4 senx) dy = 0

La cual debe ser ahora exacta

M = y5 cosx

ay

aM= 5 y

4 cosx

N = 4 y3 + 5 y

4 senx

ax

aN = 5 y

4 cosx

Como ay

aM =

ax

aN es exacta y resolvemos usando

y

b

x

axyNdxxbM 0)()(

y

b

x

adysenxyayxdxb 0)5(cos 445

b5senx

y

b

x

asenxyy 0)( 54

b5senx - b

5sena + y

4 + y

5 senx – b

4 b

5senx = 0

y4 + y

5 senx +c = 0 c = -b

5sena – b

4

xxyx

yd cos2

) 2,

La Ed posee la Forma de la ecuación de Ricatti, por lo que la resolvemos por

ese método así:

y´ - x

2y = x

2 cosx

La ecuación tiene la estructura de una ecuación lineal de 1er orden con lo cual

Q(x) = x2 cosx

P(x) = - x

2 x

x

dxdxxP ln22)(

Así la solución es de la forma

Buscamos el factor integrante;

Y = e

cdxexQdxxPdxxP )()(

)(

Sustituyendo dxxP )( , tenemos

y = e

cdxxexxLnxLn 222

cos

y = e

cdxxexxnxLn 22 122

cos

y = x2 cdxxxx 22 .cos

y = x2 cxdxcos

csenxxy 2

3.) Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N según el método

correspondiente.

xeyyya x 3cos10323.) ,,,

Para esta Ed utilizamos el método del anulador ya que la ecuación es no lineal

y no Homogenea.

y” – 3y3 + 2y = 3e

-x – 10cos3x

Usaremos el método del anulador, entonces

R(x) = 3e-x

-10cos3x

L(D) = D2 – 3D + 2 = (D - 1) (D - 2)

A (D) = (D + 1) (D2 + 9) anulador de R(x)

Entonces la ecuación anterior se puede escribir como

(D2 – 3 D + 2) y = 3 e

-x – 10cos 3x

Multiplicando ambos lados de la igualdad por A(D)

(D-1)(D+2)(D+1)(D2+9) y = (D+1)(D

2+9)(3e

-x-10cos3x)

(D-1)(D-2)(D+1)(D2+9) = 0, polinômios característicos

D -1 = 0, D - 2 = 0, D + 1 = 0 y D2 + 9 = 0

D = 1, D = 2, D = -1 y D = ± 3

La solución tiene forma

Y = c, ex + c2 e

2x + c3 e

-x + c4 sen3x + c5cos3x

Sustituyendo nos queda:

(D2-3D+2)(c, e

x+c2 e

2x + c3e

-x + c4sen3x + c5cos3x) = 3e

-x-10cos3x

Desarrollando tenemos que

2c, ex + 2 c2 e

2x + 2 c3 e

-x + 2 c4 sem 3x + 2 c5 cos 3x

-3(c, e2 + 2 c2 e

-2x – c3 e

-x + 3 c4 cos 3x – 3 c5 sem 3x)

+ c, ex + 4 c2 e

-2x + c, e

-x – 9 c4 sen3x – 9 c5 cos 3x = 3 e

-x – 10 cos 3x

3c1 e2 + 6 c2 e

-2x + 3 c3 e

-x – 7 c4 sem 3x – 7 c5 cos 3x – 3 c, e

x

- 6 c2 e-2x

+ 3c3 e-x

– 9 c4 cos3x + 9 c5 sem 3x = 3 e-x

– 10 cos 3x

6 c3 e-x

+ (-7 c4 + 9 c5) sem 3x – (9 c4 + 7 c5) cos 3x = 3 e-x

– 10 cos 3x

Igualando coeficientes

6 c3 = 3 c3 = ½

-7 c4 9 c5 = 0 c4 = 9/7 c5

9 c4 + 7 c5 = 10 9 7

9c5

+ 7 c5 = 10 130 c5 = 70

c5 = 7/13 c4 = 9/13

Por lo tanto la solución es

y = c, ex + c2 e

2x

2

1e

-x +

13

7sen 3x +

13

9cos 3x

0321636165.) ,,,,,,46 yyyyyyb

Esta Ed la resolvemos

y(6)

– 5 y(4)

+ 15 y”´

35 y” 16 y

´ - 32 y = 0

el polinomio característico nos queda:

Buscamos las raíces nos dan:

( )( )( )( )

La solución es

y = c, ex + c2 e-x + c3 e

-2x + c4 x e-2x + c5 e2x sem x + c5 e

2x cos 2x