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272
C( )
Problemas e exercícioscomplementares
OrientaçõesResolver problemas e fazer exercícios são atividades essenciais para aprender matemática. Nisso
estamos de acordo, certo? No entanto, algumas pessoas perguntam: quantos problemas e exercícios preci-sam ser feitos? Não há resposta para essa questão. Em princípio, quem se dedica mais à resolução deproblemas diferentes e criativos adquire mais conhecimentos de matemática.
Os problemas, os exercícios e as demais atividades propostos neste livro são suficientes para umbom aprendizado básico de matemática. Ainda assim, considerando que nem todas as escolas brasileirasdestinam o mesmo número de aulas a essa disciplina (e nada há de errado nisso) e que nem todos osestudantes possuem o mesmo interesse por matemática (também nada há de errado nisso), oferecemos,nesta seção, alguns problemas e exercícios de caráter complementar. Só se deve dar atenção a eles apósgarantir o fundamental e se restar tempo na programação. Esta seção é, portanto, optativa.
Figuras semelhantes
1. Responda sim ou não:
a) Dois retângulos são sempre semelhantes?
b) Dois hexágonos regulares são sempre seme-lhantes?
c) Duas esferas são sempre semelhantes?
d) Dois pentágonos são sempre semelhantes?
e) Dois pentágonos regulares são sempre seme-lhantes?
2. Usando régua e transferidor, construa:a) um quadrilátero ABCD com estes ângulos:
A = 100° , B = 70° , C = 80° e D = 110° .b) outro quadrilátero, não-semelhante ao ante-
rior, mas com esses mesmos ângulos.
3. Usando régua e compasso, desenhe:
a) um quadrilátero ABCD, com AB = 25 mm,BC = 30 mm, CD = 43 mm e DA = 35 mm;
b) um quadrilátero A’B’C’D’, não-semelhante aABCD, com A’B’ = 50 mm, B’C’ = 60 mm, C’D’ =
86 mm e D’A’ = 70 mm. Note que os lados deA’B’C’D’ duplicaram em relação aos lados deABCD.
4. Estes quadriláteros são semelhantes:
a) Meça os lados correspondentes e diga qual éa razão de semelhança. Responda assim: é 1para 1,5 ou 1 para 3, etc.
No problema 2, usandotransferidor e fazendotentativas, não é difícilconstruir o quadrilátero.
No problema 3, há al-gumas dificuldades naconstrução dos quadri-láteros. É preciso fazertentativas.
capítulo
1 SEMELHANÇA
R’
R A
TI
A’
T’I ’
(272a276)MIL8PComp 11/25/03, 1:11 AM272
Prob
lem
as e
exe
rcíc
ios
com
plem
enta
res
273( p r o b l e m a s e e x e r c í c i o s c o m p l e m e n t a r e s )
b) As diagonais RT e R’T’ estão nessa mesma ra-zão?
c) E os segmentos IA e I’A’?
d) Calcule o perímetro de cada quadrilátero. Osperímetros estão na mesma razão que os la-dos?
e) Meça os ângulos ITAˆ e I T A' ˆ ' '. Que relaçãoexiste entre eles?
f) Usando a fórmula A =
h B b⋅ +( )2
, calcule as
áreas dos quadriláteros. A área do quadrilátero
maior é quantas vezes a do menor?
5. Classifique cada afirmação como verdadeira (V)ou falsa (F):
a) Para dois polígonos serem semelhantes bastaque os ângulos que se correspondem sejamiguais.
b) Para dois polígonos serem semelhantes é ne-cessário que os ângulos que se correspondemsejam iguais.
c) Para dois polígonos serem semelhantes é pre-ciso que eles tenham lados correspondentesproporcionais.
d) Para dois polígonos serem semelhantes é su-ficiente que eles tenham lados corresponden-tes proporcionais.
Triângulos semelhantes
6. Observe a figura:
BC = 8 cm AB = 7 cm AD = yAC = 4 cm DC = x
a) Mostre que dois dos triângulos são semelhan-tes.
b) Separe os triângulos semelhantes desenhan-do-os, à mão livre, em posições semelhantes.
c) Copie e complete em seu caderno:
AB
BC
CA
= = .
d) Nessa igualdade que você escreveu, substituaAB, BC, etc. pelas medidas correspondentes ecalcule x e y.
7. A 40 m da base da estátua, Márcia pode vê-la sobum ângulo de 40°. Faça um desenho em escala edetermine a altura real da estátua.
8. Com relação ao exercício anterior, Márcia querfotografar a estátua. Entretanto, a estátua sóaparecerá inteira na foto se for avistada sob umângulo de 30° . Aproveite seu desenho em escalae determine a que distância da estátua Márciadeve se posicionar.
9. Considere a figura seguinte:
a) Prove que os triângulosABO e DEO são semelhan-tes.
b) Calcule a medida x.
10. Em qual das situações pode-se ter certeza de queAB = 3 ⋅ EF?
B
a
a
A
DC
//// //// ////
40°
40 m
B
25
16
10OE
D
x
A
a)
b)
EF // AB
6
2D
100°
100°
80°
80°
130°
130°
F
E
G
A
C
B
P
A
E
H
G
F
B
C
12
(272a276)MIL8PComp 11/25/03, 1:11 AM273
274
11. Na figura seguinte, suponha que MA = 60 mm,AU = 75 mm e LA = x.
a) Copie e complete em seu caderno:
75
60
= .
b) Determine x.
Semelhança no triângulo retângulo
12. Observe o triângulo da figura seguinte:
a) Prove que p2 = a ⋅ x.
b) O que diz essa fórmula? Responda textual-mente.
13. Use a régua e responda em seu caderno:
a) Quanto mede a hipotenusa do triângulo LUZ?
b) E os catetos, quanto medem?
c) Quanto mede o cateto maior do triângulo ZAL?
d) Quanto mede a altura perpendicular à hipo-tenusa do triângulo LUA?
14. Classifique cada afirmação como verdadeira (V)ou falsa (F):
a) Em todo triângulo acutângulo, a altura rela-tiva a qualquer lado divide o triângulo emdois triângulos retângulos.
b) Em todo triângulo acutângulo, a altura relati-va a qualquer lado divide o triângulo em doistriângulos retângulos semelhantes entre si.
c) Em todo triângulo retângulo, a altura relati-va à hipotenusa divide-o em dois triângulosretângulos semelhantes entre si e semelhan-tes ao triângulo original.
15. Há três triângulos retângulos na figura e cada umdeles é semelhante aos outros dois:
Tomando como base essas semelhanças, copie ecomplete em seu caderno:
a) as igualdades:
hm x
= = p
h m
l a = = .
b) as fórmulas:
p2 = h ⋅ //// p ⋅ //// = l ⋅ ////
O teorema de Pitágoras
16. As diagonais de um losango medem 11 cm e 6 cm.Qual é a medida aproximada do lado?
17. No triângulo ABC, A = 90º. Copie e complete atabela em seu caderno:
18. No triângulo retângulo SIM, SI = 30 cm e SM = 34 cm:
a) Calcule MI.
b) Calcule EI, usando uma das fórmulas deduzidasno item anterior.
c) Calcule SE e ME.
d) Calcule a área do triângulo.
////
////
////
////
Às vezes, como no pro-blema 16, é preciso re-lembrar que as diagonaisdo losango, sendo eixosde simetria, são per-pendiculares entre si ecortam-se ao meio.
AB (cm) AC (cm) BC (cm)15 20 /////////
//////// 5 13
15 ///////// 17
//// ////
M
48°
48°
A
U
L
d
xa
pq
t
Z AU
L
hx
mlp
a
E
M
IS
(272a276)MIL8PComp 11/25/03, 1:11 AM274
Prob
lem
as e
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ios
com
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enta
res
275( p r o b l e m a s e e x e r c í c i o s c o m p l e m e n t a r e s )
10–n
10a � 10b = 10a + b
10a � 10b = 10a – b
110n=
19. A escada tem 5,2 m de comprimento. Qual é aaltura aproximada do muro?
20. Flávia e Rita partem de O, no mesmo instante,cada uma em seu automóvel. Flávia segue pelaestrada x à velocidade de 60 km/h. Rita vai pelaestrada y a 80 km/h.
a) Depois de uma hora, qual é a distância emlinha reta entre elas?
b) E depois de duas horas contadas a partir doinício da viagem?
c) Invente outra pergunta com os dados desteproblema. Se desejar, você pode incluir ou-tros dados.
capítulo
2 A QUINTA E A SEXTA OPERAÇÕES
Potências e notação científica
1. Copie e complete em seu caderno:
a)
1104 = 10 d) 104 ⋅ 103 = 10
b) 1 : 103 = 10 e) 104 ⋅ 10–6 = 10
c)
110 5− = 10 f) 104 : 107 = 10
2. Em seu caderno, passe para a notação científica:
a) 6 500 000 c) 0,000 01 e) 0,000 038
b) 12 ⋅ 108 d) 0,000 03 f) 13 ⋅ 10–7
3. Em seu caderno, efetue e dê o resultado em nota-ção científica:
a) (3,4 × 103) : (1,7 × 106)
b) 2,8 × 104 ⋅ 5 × 103
4. As fórmulas do quadro referem-se às potências de10. Para outras bases, valem fórmulas análogas.Calcule em seu caderno, dando as respostas naforma de fração:
a) 2–4 c) 240 : 242
b) 25 ⋅ 23 : 29 d) 22
10
13
5. Para medir comprimentos muito pequenos, comoo de uma bactéria, foi criada uma unidade demedida chamada micrômetro (ou mícron):
1 micrômetro = 10–6 m
Usando notação científica, escreva em seu cader-no a quantos metros correspondem:
a) 5 micrômetros c) 0,2 micrômetros
b) 30 micrômetros d) 0,02 micrômetros
Cálculos com radicais
6. O jardim retangular da figura vai ser cercado comduas voltas de arame.
a) Obtenha o perímetro aproximado do jardim,em metros e centímetros.
b) Para cercar esse jardim com arame, quantosrolos de 10 m serão necessários?
1,5 m
O x
y
10 m5 m
(272a276)MIL8PComp 11/25/03, 1:11 AM275
276
7. Sabendo que os resultados são números inteirospositivos, efetue em seu caderno:
a)
1622
d) 27 1253 ⋅
b)
542
3
3 e) 7 3 12 7⋅ ⋅ ⋅
c) 256 25⋅ f) 5 2 8 5⋅ ⋅ ⋅
8. Calcule em seu caderno a área do triângulo
eqüilátero cujo lado mede 2 7
3 centímetros.
9. Obtenha a área de um hexágono regular cujo lado
mede
72
cm. Dica: há um exercício similar nos
Problemas e exercícios para casa deste item.
Mais cálculos com radicais
10. Em seu caderno, simplifique os radicais:
a) 112 c) 343
b) 150 d)
725
11. Efetue os cálculos em seu caderno:
a)
1254
6 45+
b)
1122
3437
28− +
c) 8 18 2 3 75 3+( ) ⋅ − ⋅ −( )
12. Descubra o valor de x, que é um número positivo,sabendo que:
a) x = 7 c) x3 32 2=
b) x = 5 2 d) x3 32 5=
13. Descubra o valor de x. Racionalize o denomina-dor da fração.
a) 2 ⋅ x = 1 b) 2 5⋅ =x
No exercício 9, os cál-culos são difíceis. Suge-rimos que eles sejamrefeitos no quadro-de-giz, durante uma aulade correção de exercí-cios.
Equação de 1o grau
1. Resolva as equações em seu caderno:
a) x x x5 2
13− = −
b) x x x+ = − − −2
32 5
21
6
2. Resolva as equações em seu caderno:
a) (x + 3) (x + 1) = x2 + 23
b) 3(x2 + 1) = x(3x + 1) + 1
3. Resolva em seu caderno:
( )( )2 1 5 2
25 112x x x+ + = −
4. O que significa isolar a incógnita na resolução deuma equação?
Vários tipos de equações
5. Resolva as equações em seu caderno:
a) x + =12 5 b) 3 10 5x − =
capítulo
3 EQUAÇÕES E FATORAÇÃO 6. Resolva as equações em seu caderno:
a) 3z4 – 250 = –7 b) x3 2
25+ =
7. Resolva as equações em seu caderno:
a) (y + 1) (y + 5) = 6y + 41
b) (2m + 1) (m + 1) = 3 (m – 5)
c) (2u + 1) (u + 1) = 3 (u + 65)
d) (y + 3)(y + 2) = 5 (y + 2)
8. As equações literais aparecem nas deduções defórmulas. Por exemplo, nos triângulos retânguloscomo o da figura, vale a fórmula a2 = b2 + c2.
Resolva a equação a2 = b2 + c2 na incógnita b(isto é, isole b). Você terá uma fórmula que dá amedida do cateto b em função das medidas dosoutros lados.
c
ba
(272a276)MIL8PComp 11/25/03, 1:11 AM276
Prob
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as e
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277( p r o b l e m a s e e x e r c í c i o s c o m p l e m e n t a r e s )
Equações resolvidas por fatoração
9. Descubra qual é o número representado por :
a) ( – 7)2 = 0 c) 3 ⋅ ( – 2) = 0
b) (y2 + 1) ( – 5) = 0 d)
5 23
0⋅
=( – )
10. Usando fatoração, simplifique as expressões emseu caderno:
a)
a a aa a
4 3 2
3 25 7+ +
–
b)
4 104 20 2
3 2
2 5a a
a a+
+ +
11. Resolva as equações em seu caderno:
a) 3t2 + t = 0 c) (x + 3) (x – 5) = 0
b) x3 + 2x2 = 0 d) (r – 5)2 = 0
12. Resolva as equações em seu caderno:
a) (2s + 5) (3s – 1) = 13s + 31
b) (x + 3) (x + 7) = 21
13. Procuramos um número cujo quadrado seja iguala seu quíntuplo.
a) Escreva a equação correspondente a essa sen-tença.
b) Resolva a equação e determine o(s) número(s).
Fatorando o trinômio quadrado perfeito
14. Recordando: para calcular (2x + 3)2 você podeefetuar o produto de (2x + 3) por (2x + 3). Mastambém pode obter o resultado diretamente:
Siga esse modelo e calcule em seu caderno:
a) (x + 7)2 d) (3a – 2b)2
b) (x – 7)2 e) (y2 + 5x)2
c) (2a + 1)2
f)
53
2
ab a–⎛⎝
⎞⎠
15. Em seu caderno, copie e complete as expressõespara que sejam trinômios quadrados perfeitos:
a) y2 – 14y + d) 36y2 + + 1
b) 9x2 + 6x + e) x2 + + 81
c) + 6y + 1 f) a2x2 + abx + ///
16. Resolva as equações em seu caderno:
a) x2 – 14x + 49 = 0 c) r2 – 18r + 81 = 0
b) 9x2 + 6x + 1 = 0 d) 16y2 – 8y + 1 = 0
17. Resolva as equações em seu caderno:
a) (p + 3) (p + 7) = 21
b)
x xx
4 62 1− = +
c) (h + 3,5) ⋅ (h – 1,2)2 = 0
d)
( – )( )( – )x x x3 2 52
0+
=
18. Descubra o valor de x, sabendo que a área doquadrado ABCD é 169.
19. Em seu caderno, resolva as equações na incógni-ta x:
a) x2 – 2ax + a2 = 0.
b)
23
356
7 0ax
axa
a+ +− = . Supor a ≠ 0.
c) 4x2 + 4ax + a2 = 0
d) 3bx2 – 5bx = bx2 – 2bx. Supor b ≠ 0.
capítulo
4 MEDIDASSistemas decimais e não-decimais
1. Quantos hectares há em 1 km2?
2. Calcule: 35°47’18” + 72°2’45”.
3. Calcule: 135°45’12” – 70°48’5”.
4. Na figura, â = 14°32’15”. Calcule a medida de b .
BA 2x
2x
CD 3
3
aa a a a
b
aa
aa
= 4x2 + 12x + 9
quadrado de 2x quadrado de 3
2 vezes 2x vezes 3
(2x + 3)2 =
(277a281)MIL8PComp 11/25/03, 1:13 AM277
278
5. Copie e complete em seu caderno:
a) 3,78 m = cm e) 148 mm2 = cm2
b) 72 mm = cm f) 12,83 L = mL
c) 3,5 kg = g g) 35 t = kg
d) 13,8 m2 = cm2 h) 5 mL = L
6. Imagine um cubo de aresta igual a 1 km. Calculeo volume desse cubo em quilômetros cúbicos eem metros cúbicos. Depois, copie e complete emseu caderno: 1 km3 = 10 m3.
7. Calcule AODˆ , sabendo que AOBˆ = 38°15’40”, BOCˆ =16°48’52” e CODˆ = 23°50’12”.
Calculando áreas e volumes
8. Qual é a área de um quadrado circunscrito a umcírculo de raio 7,5 cm? Veja o que é polígonocircunscrito no dicionário.
9. Veja esta decomposição seguida de uma recom-posição:
Copie e complete em seu caderno:
a) No paralelogramo, a altura mede h, a base
mede e o outro lado mede .
b) Fazendo a translação do triângulo T, como
mostra a figura, obtemos um cujos lados
medem e .
c) A área desse retângulo é .
d) Como o retângulo e o têm áreas , con-
cluímos que a área do paralelogramo é .
10. As diagonais de um losango medem 10 cm e 12 cm.Calcule seu perímetro aproximado.
11. Você já deduziu a fórmula da área dos trapézios.Vai agora deduzi-la de uma outra maneira. Veja:• Imagine o trapézio decomposto assim:
O pé da altura do triângulo de base n éexterno à base.
• Obtenha a área de cada triângulo e some-as.• “Arrume” a expressão obtida para chegar à
fórmula que você já conhece.
12. Uma aluna deduziu a fórmula da área desta figura:
a) Qual foi o raciocínio feito pela aluna? Res-ponda com uma figura.
b) Deduza outra fórmula para a área da figura.
13. Na figura, a medida do lado do quadrado menor é �.O lado do quadrado externo é 30 % maior. Qual éo aumento porcentual da área do quadrado menorem relação à do maior?
A = a ⋅ b + d ⋅ e
O
AB C
D
x
h y
y
x
y
x
hh
h
T
n
m
pp
a
f
bc
d
e
(277a281)MIL8PComp 11/25/03, 1:13 AM278
Prob
lem
as e
exe
rcíc
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plem
enta
res
279( p r o b l e m a s e e x e r c í c i o s c o m p l e m e n t a r e s )
Contando possibilidades
1. Responda em seu caderno:
a) Carla tem cinco blusas e três saias. De quantasmaneiras diferentes ela pode combinar essaspeças?
b) Além de cinco blusas e três saias, Maria temainda dois pares de sapato. Considerando sai-as, blusas e pares de sapato, quantas são aspossibilidades?
2. Com os algarismos 1, 2, 3 e 4 quantos númerosnaturais diferentes, de quatro algarismos, exis-tem, podendo repetir os algarismos?
3. Serão sorteadas quatro bo-las, uma de cada vez, paraformar um número de qua-tro algarismos. As bolassorteadas não serão repos-tas na urna.
a) Quais destes números poderiam ser obtidosno sorteio: 4 231, 4 332, 1 243, 1 321.
b) Se o primeiro algarismo sorteado é 2, quantaspossibilidades há para o segundo número sor-teado?
c) Escreva todos os números começados com oalgarismo 2 que podem ser formados no sor-teio.
d) Nesse sorteio, quantos números diferentespodem ser formados?
4. Com tecidos de cor branca, preta, amarela e azul,quantas bandeiras de três faixas de cores diferen-tes podem ser criadas?
Chance e estatística
5. Foram lançados dois dados e os pontos sorteadosforam multiplicados:
a) Em seu caderno, copie e complete a tabela.Ela contém os 36 casos possíveis no lança-mento de dois dados.
b) Quantas vezes o número 12 aparece na tabela?
c) Qual é a chance de se obter o produto 12?
d) Quais são os produtos com maiores chancesde serem obtidos?
e) Qual é a chance de o produto ser um númeroímpar?
f) Qual é a chance de ele ser par?
g) Qual é a chance de o produto ser um númeromaior que 18?
6. Vou jogar um dado três vezes e multiplicar ospontos obtidos. Se o resultado for par, eu ganho.
a) Em seu caderno, copie e complete a árvoreque dá todos os resultados possíveis:
b) Qual é a chance de eu ganhar esse jogo depar ou ímpar?
7. Roberto comprou três bilhetes de uma rifa, quesó correrá depois que todos os 100 bilhetes fo-rem vendidos.
a) Qual é a chance de Roberto ser o primeirosorteado?
b) Esta é mais difícil: qual é a chance de Robertoser o primeiro sorteado e também o segundosorteado?
8. Maria Rita tira da estante uma coleção de cinco livrosnumerados (volume 1, volume 2, etc.) e, depois deconsultá-los, guarda-os na estante ao acaso. Qual éa probabilidade de que ela tenha colocado os livrosna ordem certa (primeiro o 1, depois o 2, etc.)?Dica: calcule de quantas maneiras os livros podemser ordenados; para a 1a posição, há 5 possibilidades;para a 2a posição, há só 4, porque um deles já foicolocado; e assim por diante.
Amostras
9. Neste exercício, você vai realizar um experimentopara estudar o conceito de amostra. Separe 200grãos de feijão preto e 100 grãos de feijão roxinho.Não tendo feijões, use papeizinhos: 100 com marcae 200 sem marca.
capítulo
5 ESTATÍSTICA
12 4 3
1
dado 2
dado 1
1
2
3
4
5
6
2 3 4
1 2 3 4
2 4 6
5 6
(277a281)MIL8PComp 11/25/03, 1:13 AM279
280
a) Retire uma amostra de 15 feijões, escolhidosao acaso. Em seu caderno, copie e preenchauma tabela como esta:
Número de grãos de feijão preto //// Número de grãos de roxinho ////
Total 15
b) Recoloque a amostra no saquinho, misture osfeijões e retire uma amostra de 36 feijões.Em seu caderno, copie e preencha uma tabelacomo a anterior.
c) De acordo com a amostra de 15 feijões, quan-tos feijões de cada tipo deveria haver na po-pulação de 300 feijões?
d) Responda a mesma pergunta para a amostrade 36 feijões.
e) Qual das duas amostras reflete melhor a reali-dade da população?
f) Neste caso, a amostragem funcionou?
10. Na situação do exercício anterior, seria possívelhaver 15 feijões roxinhos na primeira amostra? Achance de que isso ocorra é grande ou pequena?
11. Aproximadamente, quantos pontinhos há nesteretângulo?
a) Obtenha o total de pontinhos estatisticamente:
• conte o número de pontinhos da amostra, que é o quadradinho de 1 cm2;
• meça os lados e calcule a área do retângulo;
• o restante é com você.
b) Multiplique o número de pontos de uma linhapelo número de linhas para obter o total depontinhos. O resultado obtido na amostra é pró-ximo do resultado obtido pela multiplicação?
12. Um biólogo capturou 50 gaivotas de uma ilha,marcou-as e soltou-as. Tempos depois, o biólogocapturou 80 gaivotas, das quais 23 estavammarcadas. Estime a população de gaivotas da ilha.
A fórmula de Bhaskara
1. Resolva as equações em seu caderno, sem usar afórmula de Bhaskara:
a) 2x2 – 14 = 0 c) 9x2 – 24x + 16 = 0
b) 3x2 + 8x = 0 d) 9x2 – 24x + 16 = 4
2. Usando a fórmula de Bhaskara, resolva as equa-ções em seu caderno:
a) 2x2 + 11x + 5 = 0 c) 2x2 + x – 3 = 0
b) 2x2 + 9x –5 = 0 d) 5x2 + 4x – 1 = 0
3. Faça os cálculos necessários para poder aplicar afórmula de Bhaskara e resolva as equações:
a)
x x2 84
2 52
+ +– –=
b) x x
2 134
1 5– – –=
4. Encontre as medidas dos ladosdo triângulo:
capítulo
6 EQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE 2o GRAU
Sistemas de equações
5. Faça o que se pede:
a) Considere estes pares de números: (1; 2),
(2; 1), (2; 4), (4; 2), (3; 6), (6; 3),
13
23
;⎛⎝
⎞⎠
e
23
13
;⎛⎝
⎞⎠ . Supondo que o primeiro número
do par é um valor de x e que o segundo númeroé um valor de y, quais pares são solução daequação x = 2y? Dica: uma solução é o par (2; 1).
b) Considere agora os pares de números: (2; 4),(4; 2), (3; 6), (6; 3), (1; 5) e (5; 1). Quaisdeles são solução da equação x2 + y2 = 45?
c) Escreva um par ordenado que é solução do
sistema de equações
x yx y
==
⎧⎨⎩
2452 2+
.
6. Resolva em seu caderno o sistema de equações
x y x y
x y
+12
53 4
3 22 2
=
=
⎧⎨⎪
⎩⎪
– –
–.
7. Resolva em seu caderno os sistemas de equações:
a)
x yx y
– ==
⎧⎨⎩
3172 2+
b)
2 54 12x yxy
+ ==
⎧⎨⎩
x + 2x – 2
x
(277a281)MIL8PComp 11/25/03, 1:13 AM280
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8. Existe um retângulo cujo perímetro é 40 m e cujaárea é 44 m2? Justifique sua resposta.
Problemas
9. Qual é o número cujo quadrado somado com 4resulta no seu quádruplo?
10. Observe o circuito: 12 – 4 = 8 e, depois, 8 : 2 = 4e, por fim, 4 . 3 = 12.
11. Se Luís der R$ 10,00 a João, ambos ficarão com amesma quantia de dinheiro. Entretanto, se Joãoder R$ 10,00 a Luís, Luís ficará com o dobro deJoão. Quanto tem cada um?
12. Num terreiro criam-se apenas porcos e galinhas.No total, há 40 animais e 100 patas. Quantosporcos são criados?
13. Com os números x e y, inteiros, fiz estas contas:
x y x2 7 y
170
Que números são esses?
Matemática, detetives e dedução
1. Quatro pessoas vão a uma reunião. A secretária anota a hora de chegada de cada uma delas, mas não seusnomes. Depois, descobre-se que a segunda pessoa a chegar (quem será?) cometeu um crime.As quatro pessoas são interrogadas. Apenas a primeira pessoa a chegar diz a verdade. A segunda a chegarmente para atrapalhar as investigações. A terceira e a quarta também mentem por medo de serem acusadas.Não se sabe quem diz a verdade e quem mente.
capítulo
7 GEOMETRIA DEDUTIVA
No item b, pode-se representar por x o número de qualquer uma das trêsbolas.
A partir das declarações das pessoas, deduza quem cometeu o crime.
Nos próximos circuitos, vale a mesma regra. Odesafio é descobrir os números dentro das bolas.No último, há duas soluções.
4
12
8
�3 –4
:2
38
215: 1
2–
25( )–.
+4 –2
:2
:2 . x
–3
a) b)
c)
+
Começando pelo12 e efetuando as
operações indicadas,você volta ao 12.
(277a281)MIL8PComp 11/25/03, 1:13 AM281
282
2. Uma bancária, uma comerciária, uma dentista euma professora torcem para o Palmeiras. Sobreessas amigas, sabe-se que:• Ana e Bela são vizinhas e revezam-se na caro-
na de automóvel.• O salário de Bela é maior do que o de Clara.• Freqüentemente, Ana vence Dália no xadrez.• A bancária vai sempre a pé para o trabalho.• A professora não mora perto da comerciária.• A única vez em que a dentista encontrou-se com
a professora foi no consultório, para o trata-mento de uma cárie.
• O salário da professora é maior do que o dacomerciária ou da dentista.Descubra as profissões das torcedoras do Pal-meiras.
3. Na figura, AÔB é um ângulo raso:
Prove que as bissetrizes dos ângulos AÔC e CÔBsão perpendiculares.
4. Demonstre o seguinte fato:Dados dois números naturais consecutivos, a diferen-ça entre o quadrado do maior e o quadrado do menoré sempre uma unidade a mais que o dobro domenor. Por exemplo, dados 5 e 6, 62 – 52 = 2 × 5 + 1.Sugestão: use álgebra para demonstrar esse fato.
5. Considere três números naturais consecutivos.Prove que a soma deles é sempre um númeromúltiplo de 3.
Ângulos nos polígonos
6. A medida do ângulo interno de um polígono regu-lar é igual a cinco vezes a medida de seu ânguloexterno. Qual é o número de lados desse polígono?
7. Um polígono regular ABCDE... tem n lados. Osprolongamentos dos lados AB e CD encontram-seno ponto O. Sabendo que o ângulo BÔC mede 132° ,descubra o valor de n.
8. Considere um hexágono regular ABCDEF. Asbissetrizes dos ângulos internos de vértices A e Ccortam-se no ponto M. Descubra a medida doângulo AMCˆ .
9. Na figura, CP é bissetriz do ângulo ACBˆ . Descu-bra a medida x.
Ângulos na circunferência
10. Na figura, AB é diâmetro do círculo:
a) Qual é a medida do ângulo AÔB?
b) Qual é a medida do ângulo P do triânguloAPB? Explique sua resposta.
11. O círculo da figura tem centro em P. Se LKMˆ =35° , qual é a medida de LMKˆ ?
12. Na figura, se a = 31° , quanto medem b e c?
13. O círculo da figura tem centro em O.
a) Qual é o valor de a?
b) Determine b.
c) Calcule c.
AO
B
C
A
B
Q
C
70°
30°
x
P
A BO
P
L
M
K
P
a
b
c
130°
b O
a
c
(282a286)MIL8PComp 11/25/03, 1:14 AM282
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Paralelismo
14. Você sabe que duas retas paralelas cortadas poruma transversal formam ângulos corresponden-tes iguais.
Com base nesse fato, explique por que, na figura,valem as seguintes igualdades:a) x = y b) a + b = 180°
15. Na figura, M é ponto médio do lado AB e r // BC.
Que relação existe entre as medidas de:
a) AN e NC? b) MN e BC?
16. Na figura, r // s // t. Use o teorema de Tales ecalcule x.
17. Copie a figura em seu caderno. Depois, transcre-va apenas as igualdades que são verdadeiras:
a)
mn
xy
= d)
xm
yn
= g)
yn
zp
=
b)
mp
yz
= e)
nm
xy
=
c)
pn
zy
= f)
zp
mx
=
capítulo
8 MATEMÁTICA, COMÉRCIO E INDÚSTRIA
Produção e proporcionalidade
1. Um mestre-de-obras foi até uma loja de ferragenscomprar 2 000 parafusos iguais. Em vez de contarum a um, o balconista colocou 10 parafusos emuma balança e verificou que pesavam 120 g. Fezos cálculos necessários e entregou ao mestre-de-obras 12 pacotes de mesmo peso. Quanto pesavacada pacote?
2. Oito costureiras produzem 320 agasalhos em seisdias de trabalho. Quantas costureiras seriam ne-cessárias para produzir 480 agasalhos em apenasquatro dias?
3. 1 m3 de certa madeira custa R$ 2 000,00. Umaprancha dessa madeira, com dimensões a, b e c,custa P. Em seu caderno, copie e complete a tabela:
a // b // c
a (m) b (m) c (m) P (R$)1 2 0,5 2 0002 2 0,5 ////////2 2 2 ////////
//////// 2 4 16 0001 //////// 1 16 000
4. Em determinada situação-problema, há três variá-veis: x, y e z. Sabe-se que x é diretamente propor-cional a y quando z é constante. Sabe-se, também,que y é inversa-mente proporcionala z, quando x é cons-tante. Em seu ca-derno, copie e com-plete a tabela, calcu-lando mentalmente:
s
ya
b
xr // s
A
N r
M
B
C
x
r
s
t
5 6
x + 2
p
m
n y
x
z
a
b
c
x y z 10 20 100 20 //////// 100//////// 30 100
15 15 ////////
15 //////// 5030 //////// 50
(282a286)MIL8PComp 11/25/03, 1:14 AM283
284
Juros
5. Qual é a taxa de juros simples mensal que faz umcapital de R$ 30 000,00 render R$ 3 600,00 emum ano?
6. Um eletrodoméstico custa R$ 84,90 à vista. Aloja oferece outra opção de pagamento: pagarem 30 dias com um cheque pré-datado no valorde R$ 90,00. Nesse caso, que juro a loja estarácobrando?
7. Qual é o capital que produz o montante deR$ 22 320,00 a uma taxa de 4 % a.m. duranteseis meses?
8. Dorinha quer comprar um aparelho de som que custaR$ 322,00 à vista ou R$ 330,00 em duas parcelasiguais de R$ 165,00, a primeira a ser paga no atoda compra e a segunda a ser paga 30 dias depois.Embora tenha R$ 450,00 depositados na poupança,ela optou pelo parcelamento, porque a remuneraçãoda poupança seria de 0,98 % naqueles 30 dias.Feita essa opção, Dorinha ganhou ou perdeu di-nheiro? Quanto?
Problemas variados
9. Comprei uma mercadoria no valor de R$ 558,00,que deverei pagar em três prestações iguais, sen-do a primeira delas no ato da compra. O frete deR$ 40,00 é cobrado à parte e deve ser pago àvista no ato da compra. Qual é o valor de cadaum dos três pagamentos que devo fazer?
10. Copie e complete em seu caderno, calculando men-talmente:
a) 10 % de 480 dá .
5 % de 480 dá .
15 % de 480 dá .
b) 25 % de 800 dá .
75 % de 800 dá .
c) 22 em 50 é o mesmo que em 100.
22 correspondem a % de 50.
d) 1 em 5 é o mesmo que em 100.
1 corresponde a % de 5.
11. Escreva na forma de porcentagem:
a)
35100
e) 0,10
b)
3551 000
f) 0,01
c) 17 5100
, g) 1
d) 0,1 h) 1,15
12. Em meu colégio há 160 alunos de 8a série. Todosresponderam a uma pesquisa em que deveriamcitar dois astros da música. Veja o resultado: Jor-ge Benjor foi citado por 40 % dos alunos, Madonnapor 35 %, Caetano Veloso por 25 %, MichaelJackson por 20 %, etc.
a) Quantos alunos citaram Jorge Benjor?
b)
Você viu o que disse seu colega? Há algo er-rado na pesquisa?
c) O compositor Beethoven (1770-1827) foi ci-tado por 2,5 % dos alunos. Quantos são essesalunos?
13. Ao cobrar a energia elétrica fornecida aos consu-midores, as companhias de eletricidade acrescen-tam o imposto sobre a circulação de mercadorias.Em certos locais do país, o imposto correspondea 25 % do total a pagar, o que não é 25 % dovalor da energia fornecida, como seria de se es-perar. Veja por quê:
valor da energia + imposto = total a pagar x
Como o imposto incide sobre o total a pagar, temos:
valor da energia + 25 % de x = x
Nessas condições:
a) O valor da energia corresponde a que porcen-tagem do total a pagar?
b) O imposto corresponde a que porcentagem dovalor da energia?
Dica: considere x = 100.
(282a286)MIL8PComp 11/25/03, 1:14 AM284
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285( p r o b l e m a s e e x e r c í c i o s c o m p l e m e n t a r e s )
Medindo o que não se alcança
1. Qual é a altura aproximada da torre?
2. No triângulo retângulo ALI, a hipotenusa AL mede10 cm e o cateto LI mede 5 cm.
a) Calcule a medida do outro cateto, usando oteorema de Pitágoras.
b) Calcule tgÂ.
c) Qual é a medida de Â?
3. Qual é a altura aproximada do mastro da bandeira?
4. Num certo instante, um muro de 1,82 m de alturaprojeta uma sombra de 6,80 m de largura.
Qual é, nesse instante, a medida aproximada doângulo ê de elevação do Sol?
5. No triângulo retângulo REI, E = 90° , RE = 10 cme EI = 21,4 cm.
a) Calcule tg R .
b) Qual é a medida aproximada do ângulo R?
c) Qual é a medida aproximada de I?
6. Responda em seu caderno:
a) Num triângulo retângulo em que um ângulomede 5° , o cateto oposto a ele corresponde aqual porcentagem do cateto adjacente a esseângulo?
b) Qual é essa porcentagem quando o ângulomede 45°?
c) E quando o ângulo mede 65° , qual é essa por-centagem?
Razões trigonométricas
7. Consulte as tabelas e encontre o valor aproxima-do da medida x.
a)
8. Na figura, vale a fórmula a ⋅ h = b ⋅ c, que você jáconhece. Vamos deduzi-la novamente usando ago-ra a trigonometria.
Em seu caderno, faça o seguinte:
• dê o valor de sen B no triângulo ABC;
• dê o valor de sen B no triângulo ABH;
• a partir do que você obteve, tire a conclusãopedida.
capítulo
9 TRIGONOMETRIA
Se quiser explorar mais oraciocínio dedutivo, pro-ponha que se demonstreque h2 = mn ou, ainda,
que tgB
sen B
cos Bˆ
ˆ
ˆ= .
18,3 m
1,7 m
35°
6,80ê
1,82 m
25°
10 cm5,7 cm
x
x
7 cm
b)
n m
bhc
B CHa
A35,5 m
1,6 m
25°
b = c
ab = c
=
=ccb
cb
ca
a
a
� a � a
� c � c
(282a286)MIL8PComp 11/25/03, 1:14 AM285
286
9. Nesta figura, são conhecidos dois lados do triân-gulo e o ângulo formado por eles.
a) Copie a figura em seu caderno e desenhe aaltura perpendicular ao lado BC.
b) Use razões trigonométricas e calcule a medi-da dessa altura.
c) Calcule a área do triângulo.
10. Para vencer o desnível de 3,15 m, vai ser construí-da uma rampa com inclinação de 15° . Com quecomprimento a rampa ficará?
11. Num triângulo ABC, Â = 30° , B= 90° e AB = 6 cm.Calcule BC e AC. Para responder, use os valoresexatos das razões trigonométricas. Dê as respostasapós racionalizar os denominadores.
Polígonos inscritos e circunscritos
12. Em seu caderno, trace uma circunferência comraio de 5 cm. Divida-a em 10 partes iguais.
a) Desenhe o polígono regular inscrito de 10 la-dos.
b) Desenhe o polígono regular circunscrito de 5lados.
13. Um hexágono regular está inscrito numa circun-ferência com diâmetro de 18 cm.
a) Quanto mede o lado do hexágono?
b) Quanto mede cada uma das diagonais maio-res desse hexágono?
14. Em seu caderno, desenhe o triângulo eqüiláteroXIS, inscrito numa circunferência de centro O.Calcule diretamente a medida do lado do triân-gulo, supondo que o raio da circunferência é de5 cm. Escrevemos “diretamente” para que vocênão use resultados de problemas anteriores.
15. Um quadrado está inscrito num círculo de raio r.Calcule a área do quadrado em função de r.
16. Um hexágono regular está circunscrito a um cír-culo de raio r. Calcule, em função de r:
a) o lado do triângulo eqüilátero OAB;
b) a área do triângulo OAB;
c) a área do hexágono.
17. Invente um problema sobre polígonos inscritosem um círculo ou circunscritos a ele. Depois, re-solva-o.
No problema 14, o ob-jetivo é, mais uma vez,desenvolver métodos.Por isso, nesse caso, oaluno não deve apenasaplicar as fórmulas jáconhecidas.
capítulo
10 FUNÇÕESFunções, suas tabelas e suas fórmulas
1. Um taxímetro foi aferido de acordo com esta fór-mula:
a) O preço da corrida é função de que grandeza?
b) De acordo com a fórmula, uma corrida de 0 kmnão é gratuita. Por que não?
c) Se uma corrida custar R$ 22,50, quantos qui-lômetros o táxi rodará?
2. A primeira fila de um auditório tem 10 poltronas.Cada fila subseqüente tem duas poltronas a mais.
a) Quantas poltronas tem a décima fileira?
b) Se f representa o número da fileira e p é onúmero de poltronas na fileira, p é função def. Qual é a fórmula dessa função?
A
CB30°
12 cm
9 cm
15°
3,15 m
r
O
A B
c) Se a última fileira tem 100 poltronas, quantasfileiras tem o auditório?
y = 1,10 · x + 2,15
preço emreais
número dequilômetrosrodados
valor fixo dabandeirada
(282a286)MIL8PComp 9/1/06, 11:17 AM286
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287( p r o b l e m a s e e x e r c í c i o s c o m p l e m e n t a r e s )
3. Este é um desafio! Observe a seqüência de figuras:
a) A figura 2 é formada por 10 palitos de fósfo-ro. Quantos palitos há na figura 5?
b) Quantos palitos há na figura 10?
c) Encontre a fórmula que dá o número P de pali-tos de cada figura em função de seu número n.
4. Somente uma das fórmulas corresponde aos valo-res da tabela. Descubra qual delas.
Funções e seus gráficos
5. Esboce em seu caderno o gráfico da função dada pelafórmula y = 3x + 1, sendo x um número qualquer.
6. Esboce em seu caderno o gráfico da função dadapor y = x2 – 4x + 3, sendo x um número qualquer.
7. Quais são as coordenadas do ponto mais “baixo”atingido pela parábola que representa a funçãoda questão anterior?
8. O gráfico da função dada pela fórmula y = x2 – 8xé uma parábola. Determine as coordenadas dospontos em que essa parábola corta o eixo hori-zontal.
Usando funções
9. Determine o valor máximo de y na função dadapor y = –x2 + 6x.
10. Um reservatório cilíndrico de al-tura a (em cm), com capacidademáxima de 100 L, vai ser usadopela primeira vez. Para enchê-lo,abriu-se uma torneira que despe-ja 10 L de água por minuto.
Qual dos gráficos seguintes expressa corretamen-te a variação da altura x da coluna de água emfunção do tempo t?
11. Um reservatório cônico de alturaa (em cm), com capacidade má-xima de 100 L, vai ser usado pelaprimeira vez. Para enchê-lo, abriu-se uma torneira que despeja 10 Lde água por minuto.
Qual dos gráficos seguintes expressa corretamentea variação da altura x da coluna de água em fun-ção do tempo t?
a) y = x3 – 3x
b) y = x2 – 3x
c) y = –2x
d) y = x3 – 3x2
x y0 01 –2
–1 22 2
–2 –2
figura 4
2818
figura 3
figura 2
104
figura 1 a
x
a
10O
x (cm) (I)
t (min)
a
10O
x (cm) (II)
t (min)
a
10O
x (cm) (III)
t (min)
a
10O
x (cm) (I)
t (min)
a
10O
x (cm) (II)
t (min)
a
10O
x (cm) (III)
t (min)
ax
(287a293)MIL8PComp 11/26/03, 7:01 AM287
288
12. Os recipientes cilíndricos A, B e C, que têm altura a e raios da base respectivamente iguais a r, 2r e 3r, estãovazios. As torneiras que os abastecem estão igualmente reguladas para despejar o mesmo número de litros deágua por minuto.
Os gráficos mostram a variação da altura x da coluna de água em função do tempo t. Associe cada recipiente aográfico correspondente a ele:
Simetrias
1. Observe a figura e sua ficha:
Faça a ficha destas figuras em seu caderno:
2. Faça em seu caderno um desenho à mão livre e,depois, a ficha da figura, como no exercício ante-rior:a) retângulo c) losangob) quadrado d) pentágono regular
capítulo
11 CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS
Tem simetria axial (três eixos).Não tem simetria central.Tem simetria 120° rotacional.
3. Veja como se constrói a imagem do triângulo ABCpor uma simetria central de centro O. Repare quenão é preciso traçar ângulos de 180o.
Com base no exemplo, construa a imagem do qua-drilátero ABCD pela simetria de centro O. As me-didas ficam por sua conta.
a
A B C
a
e1 e2
e3
a)
b)
c)
d)
A'
C
A
C'
B'
B
O
A
C
O
D
B
a
bO
x (I)
t
a
9bO
x (II)
t
a
4bO
x (III)
t
(287a293)MIL8PComp 11/26/03, 7:01 AM288
Prob
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rcíc
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enta
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289( p r o b l e m a s e e x e r c í c i o s c o m p l e m e n t a r e s )
4. Tendo metade da figura e seu eixo de simetria,obtém-se a outra metade traçando perpendicula-res e medindo distâncias iguais.
Use esse processo para criar uma figura com umsó eixo de simetria.
5. Tendo metade da figura e um centro de simetria,faz-se a outra metade marcando distâncias iguais.O símbolo seguinte, que identifica uma certaempresa, foi criado segundo esses métodos:
Crie um símbolo com simetria central para umaempresa de transportes aéreos.
6. Este trabalho de arte óptica é 72° rotacional, ouseja, tem simetria de rotação de 72° . Faça emseu caderno um desenho desse tipo que seja 60°rotacional.
7. Observe a barra decorativa:
Nesta barra há:
a) Crie uma barra decorativa com translação esimetria axial.
b) Crie outra com translação e simetria central.
c) Agora um desafio: crie uma barra com trans-lação, simetria axial e simetria central.
Dá para construir?
8. Em seu caderno, desenhe:
a) um quadrilátero ABCD, com AB = 35 mm,BC = 40 mm, CD = 32 mm e DA = 31 mm.
b) outro quadrilátero, diferente do anterior, comas mesmas medidas para os lados.
9. Um triângulo está determinado quando os dadosconhecidos permitem construir um único triân-gulo. Aqui, não estamos levando em considera-ção a posição do triângulo. Quais destes triângu-los estão determinados?
a) AB = 7 cm, BC = 5 cm e CA = 6 cm.
b) AB = 50 mm e BC = 65 mm.
c) AB = 50 mm, B = 55° e BC = 65 mm.
d) AB = 6,5 cm, BC = 3,8 cm e CA = 1,4 cm.
e) B = 35° , BC = 6 cm e CA = 4 cm.
e
e
simetria axial translação
(287a293)MIL8PComp 11/26/03, 7:01 AM289
290
10. Em cada caso, responda sim se os elementos for-necidos determinam a figura (sem levar em con-sideração sua posição). Em caso contrário, res-ponda não e apresente um argumento para justi-ficar sua resposta.
a) Quadrado cujos lados medem 40 mm.
b) Losango cujos lados medem 30 mm.
c) Pentágono regular de lados iguais a 6 cm.
d) Pentágono eqüilátero de lados iguais a 34 mm.
e) Triângulo eqüilátero cujos lados medem 25 cm.
f) Triângulo isósceles cuja base mede 5 cm.
11. Observe esta logomarca, construída a partir deum quadrado:
Quais medidas devem ser definidas para que essafigura fique determinada?
Desenhando em 3D
12. Desenhe em seu caderno a perspectiva de um blocoretangular, usando apenas um ponto de fuga.Imagine o bloco acima dos olhos e à esquerda doobservador.
13. Nessa perspectiva, a peça está à esquerda e abaixodos olhos do observador. Faça outra perspectiva
em que a peça esteja à direita e acima dos olhosdo observador. Desenhe também as arestas “es-condidas”.
14. Imagine uma pilha com nove caixas iguais, com aforma do bloco retangular. Desenhe em seu caderno:a) uma perspectiva da pilha usando dois pontos
de fuga;b) as três vistas simplificadas da pilha.
15. Observe a peça formada pela justaposição de umcubo com a metade de outro cubo:
Classifique cada afirmação como verdadeira oufalsa:
a) O plano da face ABCD é perpendicular ao pla-no da face ADHE.
b) A reta BC é paralela à reta EH.
c) O plano DCGH é perpendicular ao plano EFGH.
d) A reta AE é perpendicular à reta EF.
e) A reta AE é perpendicular à reta AD.
capítulo
12 CÍRCULO E CILINDRO
Perímetro e área do círculo
1. O raio de um círculo mede 5 cm. Calcule o valoraproximado:
a) de seu perímetro;
b) de sua área.
2. O diâmetro da Lua é de 3 476 km. Calcule o com-primento aproximado do equador lunar.
3. Faça o que se pede:
a) Usando os instrumentos de desenho, cons-trua uma figura como esta, formada por umquadrado e quatro semicírculos. Não vale usarpapel quadriculado.
b) Calcule a área aproximada da figura. Conside-re π ≈ 3,14.
c) Construa uma figura criada por você, mas quenão tenha apenas linhas retas.
H
E
G
CB
A
DF
(287a293)MIL8PComp 11/26/03, 7:01 AM290
Prob
lem
as e
exe
rcíc
ios
com
plem
enta
res
291( p r o b l e m a s e e x e r c í c i o s c o m p l e m e n t a r e s )
d) Calcule a área da figura que você inventou.
4. Considere duas circunferências concêntricas, cujosraios são medidos em metros. Suponha que a di-ferença entre seus perímetros seja de 1 m.
a) Calcule a diferença x entre seus raios.
b) Se r = 10 m, qual é o valor aproximado de x,em centímetros?
c) Se r = 10 000 m, qual é o valor aproximado dex, em centímetros?
d) Variando r, a medida x varia também?
Volume do cilindro
5. Estes desenhos representam a planificação da su-perfície total de um cilindro. Entretanto, apenasum deles tem dimensões coerentes. Use a régua edescubra qual é. Justifique a resposta.
6. Dois reservatórios cilíndricos têm a mesma alturae o raio da base do reservatório maior é o dobrodo raio da base do menor. Sejam C a capacidadedo maior; c a capacidade do menor; A a área dasuperfície total do maior; a a área da superfícietotal do menor. Classifique cada igualdade comoverdadeira ou falsa:
a) C = 2c c) A = 2a
b) C = 4c d) A = 4a
7. Quer-se construir um reservatório cilíndrico comdiâmetro da base igual a 2 m e cuja capacidademáxima seja de 50 000 L. Qual deve ser a alturado cilindro?
8. Com uma chapa metálica retangular de 1 m por 2 m,pode-se construir uma superfície cilíndrica de altura1 m ou uma superfície cilíndrica de altura 2 m. Calculeos volumes aproximados de cada um dos cilindroscorrespondentes.
capítulo
13 CLASSIFICAÇÃO DOS NÚMEROSConjuntos
1. Observe o diagrama:
E: conjunto dos triângulos eqüiláterosI: conjunto dos triângulos isóscelesR: conjunto dos triângulos retângulos
De acordo com o diagrama, classifique cada afir-mação como verdadeira (V) ou falsa (F):
a) Todo triângulo retângulo é isósceles.
b) Alguns triângulos retângulos são isósceles.
c) Todo triângulo isósceles é eqüilátero.
d) Todo triângulo eqüilátero é isósceles.
e) Nenhum triângulo eqüilátero é triângulo re-tângulo.
f) Nenhum triângulo isósceles é triângulo retân-gulo.
g) Alguns triângulos retângulos são eqüiláteros.
10 cm
O
r
R
x
(II)
(I)
E
RI
(287a293)MIL8PComp 11/26/03, 7:01 AM291
292
2. A notação M (n) indica o conjunto dos múltiplosdo número natural n. Exemplos:
M (4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, ...} M (0) = {0}
Em cada sentença, diga qual é o número natural x:
a) M (8) ∩ M (12) = M (x)
b) M (12) ∩ M (6) = M (x)
c) M (12) ∪ M (6) = M (x)
d) M (0) ∩ M (6) = M (x)
e) M (0) ∪ M (6) = M (x)
f) M (5) ∩ M (6) = M (x)
3. O conjunto {1, 2, 3} tem vários subconjuntos.Um deles é ele mesmo, pois {1, 2, 3} ⊂ {1, 2, 3}.Outro é o conjunto vazio, pois ∅ ⊂ {1, 2, 3}. Nototal, o conjunto {1, 2, 3} tem oito subconjuntos.Escreva todos eles em seu caderno.
4. Escreva em seu caderno os cinco menores ele-mentos de cada conjunto:
a) M (5) ∩ M (6)
b) M (5) ∪ M (10)
c) M (10) ∩ M (6)
d) M (10) ∪ M (6)
5. No diagrama seguinte, cada ponto representa umelemento dos conjuntos A, B, C:
Assim, A tem 5 elementos. Diga quantos são oselementos do conjunto:
a) A ∪ B b) A ∩ B c) B ∪ C d) B ∩ C
6. Considere os conjuntos I, dos inventores e D, dosdistraídos.
a) Supondo que todo inventor é distraído, re-presente I e D num diagrama.
b) Nas condições do item a, quem não é distra-ído pode ser inventor?
c) Ainda nas condições do item a, quem não éinventor pode ser distraído?
7. O conjunto A tem 37 elementos. Sabendo que oconjunto A ∪ B tem 55 elementos e que o con-junto A ∩ B tem seis elementos, quantos ele-mentos tem o conjunto B?
Conjuntos numéricos
8. Copie o diagrama em seu caderno e indique neleos conjuntos R, I, Q, Z e N:
9. Diga a que conjunto(s) numérico(s) N, Z, Q, I ouR pertence(m):
a) o número zero;
b) os números usados em contagens;
c) os números que aparecem no visor de umabalança quando pesamos uma mercadoria;
d) o número que é a razão entre os comprimen-tos de uma circunferência e de seu diâmetro.
10. Em seu caderno, escreva na forma de fração estesnúmeros racionais:
a) 3,111... c) 0,606060...
b) –0,125 d) –4,137
11. Faça o que se pede:
a) Resolva estas equações em seu caderno:
(I) x2 – 5 = 0
(II) x2 – 7x + 20 = 0
(III) x2 – 7x + 11 = 0
(IV) x2 + 16 = 0
b) Em quais delas as soluções são números irra-cionais?
c) Quais das equações não têm soluções em R?
12. Faça os cálculos em seu caderno e responda simou não:
a) Se x = 2, o valor da expressão
13x –
é um
número inteiro?
b) Se x = 2, o valor da expressão x – 5 é um
número real?
c) Se x = 4, o valor da expressão
14x –
é um
número real?
d) Se x = 4, o valor da expressão
1
1x + é
um número irracional?
A B C
A B
Untitled-2 9/9/05, 4:06 AM292
Prob
lem
as e
exe
rcíc
ios
com
plem
enta
res
293( p r o b l e m a s e e x e r c í c i o s c o m p l e m e n t a r e s )
Reta numérica
13. Veja:
Diga qual é o ponto correspondente a:
a) − 1
3c)
16
e) −2 1
5
b) 13
d) − 11
5f)
− 5
3
14. O número 1 1
5 é igual a
65
, porque 1 1
565
+ = .
capítulo
14 TÉCNICA ALGÉBRICA
Produtos notáveis e fatoração
1. Copie e complete em seu caderno, usando os pro-dutos notáveis que você conhece:
a) 37 ⋅ 43 = (40 – 3) ⋅ (40 + 3) = – = ///
b) 422 = (40 + 2)2 = /+ /⋅ ⋅ +
=
c) 502 ⋅ 498 = ( + ) ⋅ ( – ) =
= – /= //
d) 9982 = (1000 – 2)2 == – ⋅ ⋅ + =
2. Efetue as multiplicações em seu caderno:
a) (x + 4)2 d) (mx + nd)2
b) (5x – 2)2 e) (a2 + b) (a2 – b)
c) (a + 5x) (a – 5x) f) (5ax + 1) (5ax – 1)
3. Em seu caderno, efetue as multiplicações e redu-za os termos semelhantes:
a) (x + 5) ⋅ (x + 5)2
b) (x + 5)3
c) (2x + 1)(2x – 1) – (2x – 1)2
d) (x + y) (x – y) – (x – y)2
4. Racionalize os denominadores das frações em seucaderno:
a)
3
3 1+b)
2
6 2+
Dê a fração correspondente a:
a) −3 1
4c)
18 1
5
b) 2 1
7d)
−3 14
100
15. Represente na reta numérica os conjuntosA = [–5; –3], B = ]2,5; 3[ e C = [0; 2[.
16. Quantos números inteiros existem em cada con-junto do exercício anterior?
17. Diga se é verdade (V) ou falso (F):
a) –5 ∈ [–5; –3] d) 2 ∈ ]2,5; 3[
b) –4 ∈ [–5; –3] e) 2,5 ∈ ]2,5; 3[
c) –1 ∈ [–5; –3] f) 2,625 ∈ ]2,5; 3[
5. Em seu caderno, fatore completamente:
a) x4 – 16 c) 12x2 – 3
b) 12x3 – 6x2 + 9x d) 8a2 + 24ab + 18b2
Equações fracionárias
6. Resolva as equações em seu caderno:
a)
xx x+ –
–21 1
=
b)
112
215
1= –x
c)
32 1
1x
x–
–=
d)
31
4 21x x+
–+
=
e) xx x
xx
–+
+– –
12
22
442
=
7. Resolva o sistema de equações em seu caderno:
x y
x y
+
–
=
=
84 6 1
8. Um grupo de produtores rurais decidiu comprar umequipamento agrícola no valor de R$ 60 000,00.Depois de fechado o negócio, três deles nãopuderam honrar o compromisso e cada um dosrestantes foi obrigado a desembolsar R$ 1 000,00além do previsto. O grupo inicial era formado porquantos produtores?
9. A soma de dois números é 2 e a soma de seusinversos é 2,25. Quais são os dois números?
0–1 1–2–3
C D EBA
Untitled-2 9/9/05, 4:06 AM293