Números Aleatorios y Pseudo Aleatorios

¿Qué son? Números aleatorios Son obtenidos al azar es decir, son resultado de un proceso en el cual su resultado no es predecible ya que todo número tiene la misma probabilidad de ser elegido y la elección de uno no depende de la elección del otro. Aleatoriedad → carencia de propósito, causa, u orden. Números pseudo aleatorios Sus características son: -Pseudo →falso -Se forman a partir de algoritmos determinísticos -Deben pertenecer a una distribución ~U(0, 1)

¿Para qué sirven? La función de los números pseudo aleatorios es que a partir de ellos podemos generar:

Comportamiento de materiales, sucesos, personas

Distribuciones de probabilidad

Variables aleatorias

¿Para qué y cómo se usan? Se usan como una fuente confiable de variabilidad dentro de los modelos de simulación fundamentalmente porque las sucesiones de números pseudoaleatorios son más rápidas de generar que las de números aleatorios. Para simular el comportamiento de una o más variables aleatorias es necesario contar con un conjunto suficientemente grande de números aleatorios, pero generarlos resulta complicado, es aquí donde entran los números pseudo aleatorios ya que se pueden generar rápidamente aplicando alguno de los algoritmos.

¿Para qué y cómo se usan? En forma resumida podemos decir que los números pseudo aleatorios se usan de la siguiente manera:

1.- Primero, se generan mediante algún algoritmo determinístico.

2.-Se aplican las pruebas necesarias para comprobar que son aptos (es decir, pueden mostrar aleatoriedad) para usarse en la simulación.

3.- Con ellos se generan variables aleatorias para distribuciones continuas o discretas (cada una conlleva una serie de pasos a seguir). Con métodos como el de la transformada inversa.

4.- Las cuales se usan para describir el comportamiento de materiales, sucesos, personas.

¿Cómo se generan los números pseudo aleatorios entre 0 y 1?

Los números pseudo aleatorios se generan mediante:

Los algoritmos determinísticos se dividen en: Congruenciales No Congruenciales

Algoritmos Determinísticos

que requieren Parámetros de

arranque como Semilla

¿Cómo se generan los números pseudo aleatorios entre 0 y 1?

No Congruencial

Algoritmo de cuadrados medios

Algoritmo de multiplicador

constante

Congruencial

Algoritmo lineal

Algoritmo multiplicativo

Algoritmo aditivo

Algoritmo de cuadrados medios

Algoritmo de productos medios

Algoritmo cuadrático

Algoritmo de Blum, Blum y

Shub

No Lineales Lineales

Propiedades que deben cumplir los números pseudo aleatorios

Propiedades

Distribución Uniforme U (0, 1)

Media

Varianza

Indepen

dencia 𝜇= 1

2

𝜎2= 1

12

Generación de números pseudo aleatorios

Mediante el algoritmo congruencial lineal. Xi+1 = (a Xi + c) mod m i = 1, 2, 3…n

X0= semilla debe ser entero y X0 >0. a = constante multiplicativa, a >0 y debe ser entero. c = constante aditiva, c >0 y debe ser entero. mod m = modulo, significa dividir lo anterior entre m y obtener solo el residuo. Condiciones para poder establecer un periodo de vida máximo N=m= 2g : k =entero X0 = a=1+4k g = entero m= 2g = 25 c = primo a m

X1 = (17*23+31) mod (32) = 6 r1 = 6/31 = 0.1935

31

32

5

17

4 23

Prueba de medias 𝐻0: 𝜇𝑟𝑖 = 0.5 𝐻1: 𝜇𝑟𝑖 ≠ 0.5

𝑟 =1

𝑛 𝑟𝑖𝑛𝑖=1

𝑟 =1

32 (0.1935 + 0.1612

32

𝑖=1

+ 0.6451 +⋯+ 𝑟𝑛) = 0.500

Límites de aceptación

𝐿𝐼𝑟 =1

2− 𝑧𝛼/2

1

12𝑛=1

2− 1.96

1

12 32 = 0.3999

𝐿𝑆𝑟 =1

2+ 𝑧𝛼/2

1

12𝑛=1

2+ 1.96

1

12(32)= 0.6000

Se acepta la 𝐻0.

Prueba de varianza 𝐻0: 𝜎𝑟𝑖

2 = 1/12

𝐻1: 𝜎𝑟𝑖 2 ≠ 1/12

𝑉 𝑟 = (𝑟𝑖 − 𝑟 )

2𝑛1=𝑖

𝑛 − 1=2.8263

31= 0.0911

Límites de aceptación

𝐿𝐼𝑉 𝑟 =𝑋2α/2,𝑛−1

12(𝑛 − 1)=48.232

372= 0.1296

𝐿𝑆𝑉 𝑟 =𝑋21−𝛼2,𝑛−1

12(𝑛 − 1)=17.539

372= 0.0471

Se acepta la 𝐻0.

Prueba de Uniformidad *Chi-cuadrada *Kolmogorov-Smirnov

H0: ri ~U (0,1)

H1: ri no son uniformes si X2

0 < 𝑥𝛼/𝑛−12 se acepta la H0

Intervalo Oi Ei =

𝑛

𝑚 (𝐸𝑖 − 𝑂𝑖)2

𝐸𝑖

(0.00 – 0.166) 6 5.6569 0.0209222

(0.166 – 0.33) 5 5.6569 0.0760848

(0.33 – 0.5) 5 5.6569 0.0760848

(0.5 – 0.666) 5 5.6569 0.0760848

(0.666 – 0.833) 5 5.6569 0.0760848

(0.833 – 1) 6 5.6569 0.0209222

0.3461838

Prueba de uniformidad

X20 =

𝐸𝑖−𝑂𝑖

𝐸𝑖

𝑚

𝑖=1

2 = 0.3461838

𝑥𝛼,𝑛−12 = 𝑥0.05,5

2 = 11.07

Por lo tanto, se puede aceptar que los números pseudo aleatorios generados siguen una distribución uniforme entre 0 y 1.

Prueba de independencia *Prueba de corrida arriba y abajo *Prueba de corrida arriba y debajo de la media *Prueba póker *Pruebas de series *Prueba de huecos

H0: los números de los conjuntos ri son independientes H1: los números de los conjuntos ri no son independientes

si Z0< Zα/2 se acepta la H0.

µCo = 2𝑛−1

3 𝜎𝐶𝑜

2 = 16𝑛−29

90

Z0 = 𝐶𝑜− µ𝐶𝑜

𝜎𝐶𝑜2

Prueba de independencia

S = {0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0}

Co = 19

µ𝐶𝑜 = 2 32 −1

3 = 21

𝜎𝐶𝑜2 = 16(32)−29

90 = 5.3666

Z0 = 19 − 21

5.3666 = - 0.8634 𝑧𝛼/2 = 𝑧0.025 = 1.96

-0.8634 < 1.96, se acepta la H0.

0.1935 0.1612 0.6451 0.6129 0.0645 0.0322 0.5161 0.4838

0.9677 0.9354 0.3870 0.3548 0.8387 0.8064 0.2850 0.2258

0.7096 0.6778 0.1290 0.0967 0.5806 0.5483 0 1

0.4516 0.4193 0.9032 0.8709 0.3225 0.2903 0.7741 0.7419

Variables Aleatorias

¿A qué se le llama variable aleatoria? Son mediciones cuyos valores se obtienen de algún tipo de experimento aleatorio. Los experimentos aleatorios presentan un tratamiento matemático, en el cual se deben cuantificar los resultados de modo que se asigne un número real a cada uno de los resultados posibles del experimento.

Las variables aleatorias son

aquellas que tienen un comportamiento

probabilístico de la realidad.

Tipos de variables aleatorias

Discretas Continuas

Números enteros

Números enteros y

fraccionarios

Número de hijos

Peso, estatura

Determinación del tipo de distribución al que pertenece el siguiente conjunto de datos con la herramienta Stat: :Fit.

Objetivo: Utilizar la herramienta Stat::Fit con la finalidad de determinar la distribución de probabilidad a partir de un conjunto de datos.

Generación de variables aleatorias

Principales métodos:

*Método de la transformada inversa *Método de convolución *Método de composición *Método de la transformada directa *Método de aceptación y rechazo

Generación de variables aleatorias continuas

*Método de la transformada inversa Distribución Exponencial 1) Definir la función de densidad F(x) = λe-λx para x≥ 0 2) Función acumulada F(x) = 𝜆𝑒

−𝜆𝑥𝑥

0 dx = 1-e-λx para x≥ 0

3) Despeje de la variable aleatoria Xi = -1

𝜆 ln (1-ri)

4) Función acumulada inversa Xi= -λln (1-ri)

Generación de variables aleatorias continuas Ejemplo: El tiempo, en minutos, que un alumno usa una terminal de cómputo en una importante universidad sigue una distribución exponencial de probabilidad, con promedio de 36 minutos.

Xi= -36Ln (1-ri)

Alumno ri Tiempo Alumno ri Tiempo

1 0.4849 23.882192 11 0.2917 12.4159517

2 0.5128 25.8869003 12 0.5088 25.5925405

3 0.2963 12.6505134 13 0.8877 78.716931

4 0.7793 54.3942348 14 0.8011 58.1383114

5 0.7306 47.2160885 15 0.1761 6.97342016

6 0.4068 18.8000521 16 0.1011 3.83700547

7 0.5486 28.6344509 17 0.0221 0.80452309

8 0.0961 3.63731559 18 0.4884 24.1276395

9 0.2352 9.65307302 19 0.8534 69.1217096

10 0.5319 27.3266399 20 0.1323 5.10873286

Generación de variables aleatorias discretas *Método de la transformada inversa Distribución de Bernoulli 1) Calcular todos los valores de la distribución de probabilidad p(x) de la variable a modelar:

p(x)= px (1-p) 1-x para x=0, 1 2) Se calculan las probabilidades para x=0 y x=1 : 3) Calcular todos los valores de la distribución acumulada P(x). 4) Comparar con el valor de P(x) y determinar qué valor de x corresponde a P(x).

Si ri ∈ (0, 1 –p) x = 0 Si ri ∈ (1 –p, 1) x = 1

x 0 1

p(x) 1-p p

x 0 1

P(x) 1-p 1

Generación de variables aleatorias discretas Ejemplo: La probabilidad de que un prospecto elegido al azar realice una compra a un agente de ventas es 0.20 (x=1) y de 0.8 de que no compre (x=0) en un dia determinado.

p(x)= (0.2)x (0.8) 1-x para x=0, 1

Cálculo de probabilidades puntuales y acumuladas para x=0 y x=1

Si ri ∈ (0 – 0.8) x=0 Si ri ∈ (0.8 - 1) x=1

X 0 1

p(x) 0.8 0.2

P(x) 0.8 1

Generación de variables aleatorias discretas Persona ri Xi Evento: Compra

1 0.1935 0 No

2 0.1612 0 No

3 0.6451 0 No

4 0.6129 0 No

5 0.0645 0 No

6 0.0322 0 No

7 0.5161 0 No

8 0.4838 0 No

9 0.9677 1 Si

10 0.9354 1 Si

11 0.387 0 No

12 0.3548 0 No

13 0.8387 1 Si

14 0.8064 1 Si

15 0.285 0 No

16 0.2258 0 No

17 0.7096 0 No

18 0.6774 0 No

19 0.129 0 No

20 0.0967 0 No

21 0.5806 0 No

22 0.5483 0 No

23 0 0 No

24 1 1 Si

25 0.4516 0 No

26 0.4193 0 No

27 0.9032 1 Si

28 0.8709 1 Si

29 0.3225 0 No

30 0.2903 0 No

31 0.7741 0 No

32 0.7419 0 No