Teoría de Códigos: polinomios

Javier Artiga Garijo Sonia Escorza Santos

Dariel Figueredo Piñero Arturo Hermosa Moreno

Andrés Tomás Campo

Códigos correctores de errores

• Palabras, códigos y errores – Distancia d(a,b): Desigualdad Triangular, Teorema del

vecino más próximo, Corrección de errores

• Códigos Lineales – Magnitudes: longitud, dimensión, distancia

mínima, generador – Dimensión – Peso ω(z) o Código Lineal: Puntos Cardinales

• Códigos Cíclicos – Ideal – Utilidad de los códigos cíclicos o Código Cíclico: Samoano

Palabras, códigos y errores

Vn = conjunto de palabras binarias de longitud n

Ej.: V = 2 Hay 2n palabras binarias de longitud n

Distancia d(a,b)

i. d(x,y) = 0 ↔ x = y

ii. d(x,y) = δ(x,y)

iii. d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)► Desigualdad Triangular

→ distancia mínima δ = min{d(x,y) | a, b c, a ≠ b}

z

x y

Palabras, códigos y errores

Teorema17.1 del Principio del vecino más próximo d ≥ 2e + 1

Dem:

en C

c = palabra −con e errores→ recibe palabra z por (iii) de δ

d(c,z) = e c' = otra palabra

por (iii) de d = des. triangular

por definición de δ

por hipótesis

d(c,z) + d(z,c') ≥ d(c,c')

≥ δ

≥ 2e + 1; e + d(z,c') ≥ 2e + 1 → d(z,c') ≥ e + 1 →

→ c es la única palabra C que está a distancia e de z

Palabras, códigos y errores

• Corrección de errores Representación Gráfica

Palabras, códigos y errores

Códigos Lineales

• Magnitudes

Significado

Longitud n Las palabras son de n bits

Dimensión k Hay 2k palabras disponibles

Distancia mínima δ

Pueden corregirse hasta e

errores, siempre que δ ≥ 2e + 1.

Generador < g(x) >

Polinomio g(x) de un código

cíclico C tal que C = < g(x) >

Teresacto: representación de la cuarta dimensión en un cubo

• Dimensión Relación: representación física

Códigos Lineales

• Peso ω(z) = d(z,0)

d(x,y) = d(x-y, y-y) = d(x-y, 0) = ω(x-y)

Teorema17.2: δ ≥ ωmin

Dem: c* c tal que ω(c*)= ωmin

δ ≤ d(c*,0) = ω(c*) = ωmin

c1,c2 están a distancia mínima c1-c2 c, porque es lineal

δ = d(c1-c2) = ω(c1-c2) ≥ ωmin

Códigos Lineales

Código Lineal: Puntos Cardinales N 1111 NE 1100 NNE 1110 NNW 0111

E 1001 SE 1000 NEE 1101 NWW 0111

W 0110 NW 0101 SSE 1000 SSW 0001

S 0000 SW 0011 SEE 1000 SWW 0010

Los generadores son

cualquier conjunto de

4 palabras, porque

C4 = V4

En el código C4 observamos que la detección de errores es imposible, al pertenecer todas las palabras disponibles a nuestro código.

δmin = ωmin = 1 C4 = V4

Si duplicásemos K tendríamos C8 perteneciente a V8. (código no lineal), y la detección de errores sería muy sencilla, aunque no tanto su

corrección. Las detecciones de un error siempre serían posibles, e incluso la mayoría de las de dos errores, siempre que no sean en

dígitos contiguos y equivalentes a lo que en V4 era un sólo dígito; es decir, siempre que no se dé que, por ejemplo:

a4 = (1101) = a8 = (11 11 00 11), a4 pertenece a V a4 pertenece a C4

a8 pertenece a V a8 pertenece a C8

↓ error ↓

a'4 = (1100) = a'8 = (11 11 00 00), a'4 pertenece a V a'4 pertenece a C4

a'8 pertenece a V a'8 pertenece a C8

En los demás casos (por ejemplo, si b8 = (11.00.11.00) y en la transmisión errónea obtenemos b'8 = (11.00.11.01), resulta que

podemos detectar el error, pero no dispondríamos de información suficiente para su corrección con esta longitud de palabras,

ya que no sabríamos si en el par de dígitos erróneo ha sido confundido el 0 o el 1).

Código Lineal: Puntos Cardinales

N 1111

NNW NNE

0111 1110

NW NE

0101 1100

NWW NEE

0100 1101

W 1001 E 0110

SWW SEE

0010 1000

SW SE

0011 1000

SSW SSE

0001 1000

S 0000

Un código C de Vn es cíclico si es lineal y si corresponde a un ideal de Vn[x].

• Ideal Sea R un anillo con un producto conmutativo. Se dice que un subconjunto S de R es un ideal si

i. a,b s → a+b S (lineal)

ii. r R y a S → ra S

Códigos Cíclicos

C es ideal si a,b C→ a+b C (lineal)

p(x) y a(x) C → p(x)·a(x) C si a(x) C → xa(x) C

En otras palabras, S es cerrado respecto de la suma y respecto del producto por

cualquier elemento de

La construcción de un CC de longitud n es equivalente a la construcción de ideales en Vn[x].

El ideal se denota por <f(x)> y nos referimos a él como el ideal generado por f(x).s

Un código cíclico puede tener más de un generador, pero sólo uno tendrá grado mínimo, que será el

generador canónico de C.

Códigos Cíclicos

• Utilidad de los códigos cíclicos

– Pueden tratarse mediante mecanismos sencillos: registros de desplazamientos*.

– Pueden construirse e investigarse mediante la teoría algebraica de los anillos de polinomios.

Vn Vn[x]

110101 1+x+x3+x5

010110 x+x3+x4

*desplazamientos cíclicos: ejemplo en V6

Código Cíclico: Samoano El idioma samoano (gagana Samoa) es una lengua austronesia del grupo malayo-polinesio oriental, originaria de Samoa y

hablada principalmente en ese país, en la vecina colonia estadounidense de Samoa Americana y en Nueva Zelanda.

Las vocales pueden ser

breves o largas; en el

segundo caso se marcan con

un macrón: (ˉ).

Los fonemas samoanos son 16: 5 vocales y 10 consonantes. Se escribe con un alfabeto latino

de 16 letras, una para representar cada fonema: a, f, g, i, l, m, n, o, p, s, t, u y v.

Adicionalmente, existen las letras h, k y r para escribir préstamos de otros idiomas.

Conocemos las traducciones al castellano de algunas palabras, como

agua = vai, amor = alofa, elefante = elefane, estrella = fetū

montaña = mauga nube = ao, paz = filamu, pilemu, África = Aferika

Traducido a binario

En Z2 y en V8 podemos diseñar un código C perteneciente a V8 con K=4 y 2k=16 palabras o,

en este caso, letras.

Los generadores son las cuatro primeras letras, sin contar la a (porque a = 00000000):

f = 00000101 i = 01010101

g = 00001010 m = 10101010, a partir de las cuales generamos:

A 00000000 S 01011111

F 00000101 T 11111111

G 00001010 U 10100000

I 01010101 V 01011010

M 10101010 L 10100101

N 01010000 H 11111010

O 00001111 K 11110101

P 10101111 R 11110000