DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE

DERIVADA DIRECCIONAL DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Sea f (x, y) una funcion de dos variables y u = (cos θ, sen θ), 0 ≤ θ < 2π, un vector unitario. Se llama derIvada direccional de f en (a, b) en la direccion de u al siguiente lımite (si existe): Cuando la funcion es diferenciable en el punto, la derivada direccional se puede expresar en funcion de las derivadas parciales:

Duf (a, b) = Dθ f (a, b) = fx(a, b) cos θ + fy (a, b) sen θ

GRADIENTE DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Se llama gradien te de la funcion diferenciable f al vector cuyas componentes son las derivadas parciales:

�f (x, y) = (fx(x, y), fy (x, y))

Usando el gradiente, la derivada direccional se puede expresar mediante el producto escalar:

Duf (a, b) = �f (a, b) · u

PROPIEDADES DEL GRADIENTE DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES

• Si �f (a, b) = 0, entonces Duf (a, b) = 0 para todo u.

• La derivada direccional en (a, b) es maxima en la direccion del vector gradiente �f (a, b) (direccion de

maximo incremento de f ), siendo k�f (a, b)k su valor maximo.

• La derivada direccional en (a, b) es mınima en la direccion del vector −�f (a, b) (direccion de mınimo incremento de f ), siendo − k�f (a, b)k su valor mınimo.

• La derivada direccional en (a, b) es nula en cualquier direccion perpendicular al vector gradiente.

DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE DE UNA FUNCION DE TRES VARIABLES La derivada direccional de f (x, y, z) en (a, b, c) en la direccion del vector unitario u = (u1, u2, u3) es

Duf (a, b, c) = fx(a, b, c)u1 + fy (a, b, c)u2 + fz (a, b, c)u3 = �f (a, b, c) · u

donde

�f (a, b, c) = (fx(a, b, c), fy (a, b, c), fz (a, b, c))

es el vector gradien te, que tiene las mismas propiedades que en el caso de dos variables.

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EJERCICIOS

1. Halla las derivadas direccionales de las siguientes funciones en los puntos y direcciones que se indican: (a) f (x, y) = 5 + x2 − 3y2, en el punto (1, 2) y el la direccion θ = π . (b) f (x, y) = y2 sen(3xy), en el punto (π, 1) y el la direccion v = 3i − 4j.

2. Usa el gradiente para hallar la derivada direccional de f (x, y) = 3x2 − 2y2 en P (−3/4, 0) en la direccion que va de P a Q(0, 1).

3. La temperatura en grados centıgrados en la superficie de una placa metalica es T (x, y) = 20 − 4x2 − y2, donde x e y se expresan en centımetros. A partir del punto (2, −3), ¿en que direccion aumenta mas rapidamente la temperatura de la placa? ¿Cual es el ritmo de crecimiento?

4. Halla el vector gradiente de la funcion f (x, y, z) = x2 + y2 − 4z, ası como las direcciones de maximo y mınimo incremento de f en el punto (2, −1, 1). ¿Existe alguna direccion en la que la derivada direccional sea nula?