PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL ECUADOR

SEDE IBARRA “PUCE-SI”.

Datos Informativos:

Carrera: Arquitectura.

Nivel: Primero

Nombre: Alex Cáceres.

Materia: Lógica Matemática.

Tema: Métodos de demostración.

Fecha: 19 de octubre del 2010.

Contenido:

Métodos de demostración

Demostración por medio del razonamiento deductivo.

• El razonamiento deductivo es una forma de demostración.

El razonamiento deductivo nos pone en capacidad de obtener conclusiones

verdaderas, o aceptables como tales, supuesto que las proposiciones de las cuales se

deducen son verdaderas o se aceptan como verdaderas. Tiene las tres etapas

siguientes:

a. Se elabora una proposición universal o general, que abarque la totalidad de

un conjunto o clase de objetos, por ejemplo, la clase de los perros:

b. Todos los perros son cuadrúpedos (tiene cuatro patas).Se enuncia una

proposición particular sobre uno o algunos de los elementos del conjunto o

de la clase a que se refiere la proposición universal:

c. Todos los galgos son perros. Se llega a una deducción, que no es sino una

proposición que se infiere lógicamente al aplicar la proposición universal a la

particular:

d. Todos los galgos son cuadrúpedos.

El razonamiento deductivo se denomina también razonamiento silogístico porque los tres

tipos de proposiciones aludidas constituyen un silogismo. En un silogismo, la proposición

universal se llama premisa mayor, la proposición particular se denomina premisa menor, y

la deducción se llama conclusión. De esta suerte, en el silogismo anterior:

• La premisa mayor es: Todos los perros son cuadrúpedos.

• La premisa menor es: Todos los galgos son perros.

• La conclusión es: Todos los galgos son cuadrúpedos.

El empleo de círculos, para representar los conjuntos o clases, como se muestra en el dibujo

adjunto, ayudará a comprender mejor las relaciones implícitas en el razonamiento

deductivo o silogístico.

• Como quiera que la premisa mayor enuncia que todos los perros son cuadrúpedos,

el círculo que representa los perros debe ser interior al que representa los

cuadrúpedos.

• Como quiera que la premisa menor o proposición particular enuncia que todos los

galgos son perros, el círculo que representa los galgos debe ser interior al que

representa los perros.

• La conclusión es inmediata. Puesto que el círculo que representa los galgos debe ser

interior al que representa los cuadrúpedos, la única conclusión posible es que los

galgos son cuadrúpedos.

La observación, la medición y la experimentación no constituyen una demostración.

• La observación no puede servir como una demostración o prueba lógica. Las apariencias

suelen ser engañosas. Así, en el caso de una persona ciega para algunos colores, la vista

puede ser un recurso defectuoso. Por ejemplo, en las figuras siguientes, no aparece que AB

sea igual a CD, cuando en realidad lo es.

• La medición no puede servir de prueba matemática. La medición sólo se aplica en un

limitado número de casos en que tiene cabida. Las conclusiones que de ella se derivan no

son exactas sino simplemente aproximadas; esta aproximación depende de la precisión del

instrumento y del esmero del observador. Al hacer una medición, se suele aceptar errores

que equivalgan a la mitad de la menor unidad de medida que se emplee. Por ejemplo, si un

ángulo se mide con relación al grado más cercano, se puede aceptar errores de medio grado.

• La experimentación no puede servir la prueba matemática. Las conclusiones que se

deducen de la experimentación son apenas probables. El grado de esa probabilidad depende

de las situaciones o casos particulares que se examinen durante el proceso del experimento.

Por ejemplo, el juego del dado es probable que éstos estén cargados si durante diez veces

consecutivas salen 7 puntos con los dos dados; la probabilidad es mucho mayor si salen 7

puntos en veinte tiros consecutivos; pero, ninguna de esas dos probabilidades constituye la

plena certeza.

• EMPLEO DE CIRCULOS PARA DETERMINAR RELACIONES ENTRE

GRUPOS.

En los casos siguientes, del (a) al (e), cada letra, como A,B Y R, representa un conjunto o

grupo de entes. Complétese cada uno de los enunciados o proposiciones. Muéstrese en qué

forma se puede utilizar los círculos para representar cada conjunto o grupo.

• Si A es B Y B es C, entonces (¿) (d) Si C es D y E es C, entonces (¿)

• Si A es B y B es E y E es R, entonces (¿) (e) Si todos los cuadrados (S) son

rectángulos

• Si X es Y y (¿), entonces X es M. (R) y todos los rectángulos son

Paralelogramos (P), entonces (¿).

• COMPLETAR SILOGISMO

Escríbase la proposición necesaria para completar cada silogismo.

Premisa Mayor Premisa Menor Conclusión

(Proposición Universal) (Proposición Particular) (Proposición Deducida)

Solución:

• Micifuz es un animal doméstico, (b) Juan es un hombre, (c)<c = <d, (d) . Un rectángulo

tiene las diagonales, (e) el ABC es obtusángulo

• Un gato es un animal

doméstico.

• Todos los hombres son

mortales.

• Los ángulos opuestos por

el verti

Ce son iguales.

a. (¿)

b. Un triángulo obtusángulo

tiene

Sólo un ángulo obtuso.

Micifuz es un gato

(¿)El <c y el <d son

opuestos por

El vértice.

Un cuadrado es un

rectángulo

(¿)

(¿)

Juan es mortal.

(¿)

Un cuadrado Tiene las

Diagonales iguales.

ABC tiene sólo Ángulo obtuso

OTROS SIGNIFICADOS

La demostración es un razonamiento o serie de razonamiento que prueba la validez de un

nuevo conocimiento estableciendo sus conexiones necesarias con otros conocimientos. Cuando

un conocimiento queda demostrado, entonces se le reconoce como válido y es admitido dentro

de la disciplina correspondiente. La demostración es el enlace, entre los conocimientos recién

adquiridos y el conjunto de los conocimientos anteriores. El enlace entre los conocimientos

recién adquiridos y los anteriores está constituido por una sucesión finita de proposiciones que

o bien son postulados o bien son conocimientos cuya validez

se ha inferido de otras proposiciones, mediante operaciones lógicas perfectamente coordinadas.

La demostración permite explicar unos conocimientos por otros y por tanto es una prueba

rigurosamente racional. Sabemos que todas las proposiciones de una teoría matemática se

clasifican en dos tipos: las aceptadas sin demostración que son las definiciones (donde no hay

nada por demostrar) y los o (que se toman como proposiciones de partida) y las deducidas,

llamadas (que son proposiciones cuya validez ha sido probada). No siempre tenemos evidencia

directa de la validez de un teorema. Eso depende en parte su grado de complejidad y de nuestra

mayor o menor familiaridad con su contenido. Un teorema requiere demostración cuando no

hay evidencia de su validez. Estructura de la demostración La demostración consta de tres

partes: a) El conocimiento que se trata de demostrar, es decir la proposición (teorema)cuya

validez se trata de probar.

b) Los fundamentos empleados como base de la demostración.

c) El procedimiento usado para lograr que el conocimiento quede demostrado.

Los procedimientos de demostración permiten establecer la conexión lógica entre los

fundamentos y sus consecuencias sucesivas, hasta llegar como conclusión final a la tesis que así

se demuestra. Una tesis puede ser demostrada mediante distintos procedimientos. Tipos de

demostración Consideremos una demostración como un argumento que nos muestra que una

proposición condicional de la forma es lógicamente verdadera (es decir, verdadera en todos los

cosos posibles) donde es la o conjunción de las premisas y es la conclusión del argumento.

Luego, si en el enunciado de un teorema se incluyen explícitamente las proposiciones de

partida, éste afirma que partiendo de cierta hipótesis se puede demostrar otra proposición

llamada. Los procedimientos utilizados en la demostración están constituidos por distintas

formas de deducción o inferencia y se puede clasificar en varios tipos los cuales serán

estudiados