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OBJETIVO
Resolver problemas sobre sistemas de ecuaciones lineales homogéneas y no homogéneas mediante la
interpretación, expresión y representación en términos de matrices y determinantes utilizando definiciones
propiedades y métodos adecuados para cada tipo, en situaciones reales propias de la ingeniería y ciencias
aplicadas.
CONTENIDO:
4.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
4.2 METODOS PARA SOLUCIONAR UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
4.3 CUESTIONARIO
4.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
En esta sección introduciremos terminología básica, estudiaremos los diferentes tipos de sistemas de ecuaciones
lineales y sus formas de soluciones. Enunciaremos y demostraremos las propiedades más importantes.
En el curso de Algebra Lineal la solución del sistema AX = B se expresa,
corrientemente, según el método de Cramer como una razón de los determinantes.
Dichas fórmulas no sirven para la resolución numérica del sistema AX = B, puesto
que requieren el cálculo de n + 1 determinantes, lo que, a su vez, exige un gran
número de operaciones aritméticas, hasta n!. Si incluso escogemos el mejor
método, para el cálculo de un solo determinante se necesitará aproximadamente
tanto tiempo que se requiere para la resolución de un sistema de ecuaciones
lineales por los métodos numéricos modernos. Además, hemos de tener en cuenta,
que los cálculos según las fórmulas de Cramer conducen con frecuencia a los
grandes errores de redondeo.
La peculiaridad de la mayoría de los métodos numéricos para AX = B consiste en
que se abandona la idea de buscar la matriz inversa. El requisito principal que se
levanta ante el método de resolución es el mínimo de operaciones aritméticas
suficientes para la búsqueda de una solución aproximada con la precisión
prefijada.
Los métodos directos permiten obtener, después de un número finito de
operaciones, una solución exacta del sistema de ecuaciones lineales, siempre que la
información de entrada viene dada con toda la exactitud y los cálculos se realizan
sin redondeo. El método iterativo permite hallar la solución aproximada del
sistema construyendo una sucesión de aproximaciones, a partir de cierta
aproximación inicial. La propia solución aproximada es el resultado de los cálculos
obtenido después de haberse realizado un número finito de iteraciones.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
140
Calcular los conjuntos de valores simultáneos de varias incógnitas, que satisfagan
a varias ecuaciones; se dice entonces que estas ecuaciones forman un sistema, y
cada conjunto de valores que las satisface a todas se llama una solución. Un
sistema sin soluciones, se llama inconsistente; y si tiene infinitas soluciones, se
llama indeterminado.
DEFINICION 4.1.1
Una ecuación lineal sobre en n variables es una expresión de la
forma:
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b
donde los ai, b son números conocidos y los xi son variables. Los ai se
denominan coeficientes de los xi respectivos, y b es el término
independiente de la ecuación.
Las ecuaciones en dos variables se representan geométricamente por una recta;
las tres variables por un plano; para más de tres variables no se tienen
representación visual, pero los geómetras le llaman hiperplano.
Una solución de la ecuación lineal
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b
es un conjunto ordenado de n valores k1, k2, ..., kn tales que
a1k1 + a2k2 + ... + ankn = b.
Un sistema de m ecuaciones lineales en n variables, es una expresión de la
forma
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
donde los aij y los bi pertenecen a los números reales. El primer subíndice en los
coeficientes indica el número de la ecuación, y el segundo, el número de la
variable. Para un sistema de m ecuaciones lineales en n variables xi, i = 1, 2, ..., n,
el conjunto solución S es el subconjunto de n definido por S = S1 S2 ... Sm
donde Si es el conjunto solución de la i-ésima ecuación, i = 1, 2, ..., m.
Si m = n = 2, se tienen dos ecuaciones en las dos incógnitas x e y
11 12 1
21 22 2
a x a y b
a x a y b
si se interpretan x, y como coordenadas en el plano xy, entonces cada una de las
dos ecuaciones representa una recta y (x, y) es una solución si, y sólo si, el punto
P(x, y) se encuentra sobre ambas rectas. De aquí que se tienen tres casos posibles:
1.- ninguna solución si las rectas son paralelas;
2.- precisamente una solución si se interceptan;
3.- un número infinito de soluciones si coinciden.
Nos formaremos ciertas ideas de las complicaciones que pueden surgir
considerando el caso de tres ecuaciones con tres incógnitas. Cada una de esas
ecuaciones representa un plano en el espacio, y el determinante de los coeficientes
se anula si:
1.- dos cualesquiera de los tres planos son coincidentes o paralelos.
2.- la recta de intersección de dos de los planos pertenece o es paralela al tercer
plano.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
141
Toda solución del sistema de ecuaciones corresponde a un punto situado en los tres
planos. En los casos 1) y 2) no existe punto alguno que esté en los tres planos, o
bien hay infinitos. En particular, hay infinitas soluciones si los tres planos se
cortan a lo largo de una misma recta. El conjunto de todas las soluciones a un
sistema de ecuaciones lineales recibe el nombre de conjunto solución del sistema.
Una solución del sistema de ecuaciones lineales
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
es un conjunto ordenado de n valores k1, k2, ..., kn tales que
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
n n
m m mn n m
a k a k a k b
a k a k a k b
a k a k a k b
Para cualesquiera sistemas de ecuaciones lineales, se presentan tres tipos de
conjunto solución:
1.- Un conjunto solución que contiene solamente un elemento. Se dice que el
sistema tiene solución única y se denomina sistema compatible determinado;
2.- Un conjunto solución que contiene más de un elemento. En este caso se dice
que el sistema tiene más de una solución y se denomina sistema compatible
indeterminado;
3.- Un conjunto solución vacío. Se dice que el sistema no tiene solución y se
denomina sistema incompatible.
DEFINICION 4.1.2
Se llama sistema de m ecuaciones homogéneas y n incógnitas, al
sistema
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
siempre que b1 = b2 = ... = bm = 0, es decir, cuando todos los términos
independientes son nulos.
Un sistema de este tipo se da a continuación
2 5 0
7 9 2 0
5 0
x y z u
x y z u
x y z u
DEFINICION 4.1.3
Se llama sistema de m ecuaciones no homogéneas y n incógnitas, al
sistema
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
siempre que al menos un bi 0.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
142
Un sistema de este tipo se da a continuación
2 3 5 2
2 1
5 0
x y z u
x y z u
x y z u
DEFINICION 4.1.4
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es sobredeterminado si hay
más ecuaciones que incógnitas. Se dice que un sistema de ecuaciones
lineales está escasamente determinado si hay menos ecuaciones que
incógnitas.
Los sistemas sobredeterminados suelen ser inconsistentes, pero no lo son siempre.
Aunque es posible que los sistemas escasamente determinados sean inconsistentes,
en general son consistentes con muchas soluciones. Es posible que un sistema
escasamente determinado tenga solución única.
DEFINICION 4.1.5
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es no susceptible, si errores
pequeños en los coeficientes o en el proceso de resolución sólo tienen un
efecto pequeño sobre la solución. Y es susceptible, si errores pequeños en
los coeficientes o en el proceso de resolución tienen un efecto grande
sobre la solución.
Para el sistema de ecuaciones no susceptible, la solución está indicada con relativa
intensidad por las ecuaciones. Para el sistema de ecuaciones susceptible, la
solución está indicada con relativa debilidad por las ecuaciones.
Dos ecuaciones lineales en dos incógnitas representan dos rectas. Un sistema tal es
susceptible si, y sólo si, el ángulo entre las rectas es pequeño, es decir, si, y sólo si,
las rectas son casi paralelas. En efecto, entonces un pequeño cambio en un
coeficiente puede provocar un gran desplazamiento del punto de intersección de
las rectas. Para sistemas mayores de ecuaciones lineales, la situación es semejante
en principio, pero no es posible una interpretación geométrica tan sencilla y no
podríamos seguir cada detalle de la situación.
PROBLEMAS
4.1.1 Sea A una matriz de 3 x 2. Explique por qué la
ecuación AX = B no puede ser consistente tiene sólo la
solución nula si y sólo si (QA)X = O sólo tiene la
solución nula.
4.1.2 Sean AX = O un sistema homogéneo de n
ecuaciones lineales con n incógnitas y Q una matriz
invertible de n x n. Demuestre que AX = O solución fija.
Demuestre que toda solución del sistema se puede
escribir en la forma X = X1 + X0, donde X0 es una
solución de AX = O. También demuestre que toda
matriz de esta forma es una solución.
4.1.3 Sea A una matriz de 5 x 3 y sean Y un vector en
3 y Z un vector en
5. Suponga que AY = Z. ¿Qué
hecho permite concluir que el sistema AX = 4Z es
consistente?
4.1.4 Sea AX = O un sistema homogéneo de n ecua-
ciones lineales en n incógnitas que sólo tiene la solu-
ción nula. Demuestre que si k es cualquier entero posi-
tivo, entonces el sistema AkX = O también tiene sólo la
solución nula.
4.1.5 Sea A una matriz de 3 x 4, sean Y1 y Y2 vectores
en 3 y sea W = Y1 + Y2. Suponga que Y1 = AX1 y que
Y2 = AX2 para algunos vectores X1 y X2 en 4. ¿Qué
hecho permite concluir que el sistema AX = W es
consistente?
4.1.6 Sea AX = B cualquier sistema de ecuaciones
lineales consistentes, y sea X1 una para toda B en 3.
Generalice el argumento para el caso de una matriz A
arbitraria con más filas que columnas.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
143
4.2 METODOS PARA SOLUCIONAR UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
En esta sección analizaremos la resolución de un sistema de ecuaciones lineales por diversos métodos, de acuerdo
a su estructura. Se enunciarán las propiedades más importantes.
I. ELIMINACION GAUSSIANA
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a un segundo sistema de
ecuaciones lineales, si el primero puede obtenerse a partir del segundo por medio de
operaciones elementales. Además los sistemas equivalentes de ecuaciones lineales
tienen los mismos conjuntos de soluciones.
DEFINICION 4.2.1
Sea S un sistema lineal de la forma
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
y sea S´ un sistema lineal de las mismas dimensiones que S ´ ´ ´ ´11 1 12 2 1 1
´ ´ ´ ´21 1 22 2 2 2
´ ´ ´ ´1 1 2 2
...
...
...
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
Los sistemas lineales S y S´ se llaman equivalentes, si ambos son
simultáneamente son compatibles y tienen las mismas soluciones.
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales de m ecuaciones con n variables, se va
a estudiar el método de reducción a la forma escalonada, que consiste en la
eliminación sucesiva de las variables para reducir el sistema a uno equivalente más
simple mediante la aplicación de las operaciones elementales siguientes:
TIPO 1. La ecuación E(i) puede multiplicarse por cualquier escalar a diferente de
cero y se puede usar la ecuación resultante en lugar de E(i). Notamos esta operación
como aE(i) E(i);
TIPO 2. La ecuación E(j) puede multiplicarse por cualquier escalar a, sumarla a la
ecuación m-1 ecuaciones restantes y se obtenga el sistema equivalente:
11 1 12 2 1 1
(1) (1) (1)222 2 2
(1) (1) (1)22
...
...
...
...
n n
nn
mn n mm
a x a x a x b
a x a x b
a x a x b
Al pasar a la ejecución del segundo paso, supongamos que el elemento (1)22a , llamado
elemento principal del segundo paso, es distinto de cero. (En caso contrario, es
necesario efectuar la respectiva permutación de las ecuaciones.)
11 1 12 2 1 1
(1) (1) (1) (1)2 322 23 2 2
(2) (2) (2) (2)3 433 34 3 3
(2) (2) (2) (2)3 43 4
...
...
...
...
...
n n
nn
nn
mn n mm m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
144
Después del paso m-1 llegamos al sistema triangular
11 1 12 2 1 1
(1) (1) (1) (1)2 322 23 2 2
(2) (2) (2) (2)3 433 34 3 3
( 1) ( 1)
...
...
...
...
n n
nn
nn
n nmn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x b
La reducción del sistema inicial S a la forma triangular actual finaliza la primera
etapa de elaboración de la solución según el método de reducción a la forma
escalonada. La segunda etapa, la marcha inversa, consiste en resolver el último
sistema triangular. Se realiza del modo siguiente, de la última ecuación se determina
xn. De acuerdo con el valor hallado de xn de la ecuación m-1 determinamos xn-1, a
continuación, con los valores de xn-1 y xn de la ecuación m-2 hallamos xn-2, etc., el
cálculo sucesivo de las incógnitas continúa hasta que se determina x1 de la primera
ecuación, aquí termina el proceso de construcción de la solución del sistema S con la
ayuda de la resolución del sistema triangular equivalente al primero.
Si durante el proceso de reducción se llega a un sistema tal, que una de las
ecuaciones del sistema equivalente es de la forma 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = bn, bn
0, se dice que el sistema inicial es E(i), y usar la ecuación resultante en lugar de
E(i). Esta operación la notaremos como E(i) + aE(j) E(i);
TIPO 3. Las ecuaciones E(i) y E(j) se pueden intercambiar, es decir E(i) E(j).
TEOREMA 4.2.1
Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes, si uno se obtiene
del otro aplicando una sucesión finita de operaciones elementales.
DEMOSTRACION
Es suficiente demostrar la equivalencia de los sistemas S y S´, obtenido de S, al
aplicar una operación elemental. Observemos, que el sistema S se obtiene del
sistema S´ también como resultado de una operación elemental; por cuanto estas
operaciones son inversibles. En otras palabras, en el caso del tipo 1, cambiando otra
vez de lugar a las ecuaciones i y t, regresamos al sistema inicial; análogamente, en el
caso del tipo 2, sumando la i-ésima ecuación en S´, la t-ésima ecuación multiplicada
por –r, obtendremos la i-ésima ecuación del sistema S. Demostremos ahora, que
cualquier solución k1, k2, ..., kn del sistema S resulta también solución del sistema S´.
Si fue realizada una operación elemental del tipo 1, entonces, las propias ecuaciones,
en general, no cambiaron. Por eso, los números k1, k2, ..., kn, que antes las satisfacían,
las satisfacerán luego de la operación elemental. En el caso de una operación
elemental del tipo 2, las ecuaciones, excepto la i-ésima, no se modificaron, y por eso
la solución k1, k2, ..., kn satisface a éstas como antes. En virtud de la reversibilidad de
las operaciones elementales, las reflexiones realizadas demuestran también que,
recíprocamente, cualquier solución del sistema S´ será solución del sistema S. Queda
observar, que la incompatibilidad de un sistema proporciona la incompatibilidad del
otro.
Si en el sistema S se considera que a11 0, para cada i > 1 llamado elemento
principal del primer paso (En el caso de que a11 = 0 cambiamos de lugar las
ecuaciones con los números 1 e i, donde ai1 0.) se aplican las operaciones
elementales de modo que se sustituya la ecuación i-ésima por la ecuación que se
obtiene multiplicando la primera por –a11 y se sume con la i-ésima, de tal forma
que se elimine x1 en las incompatible, y, por tanto, no tiene solución. Si en los
sistemas equivalentes se llega a una ecuación de la forma 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = 0,
esta puede eliminarse sin que se afecte la solución del sistema.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
145
Calculemos el número de operaciones que hay que efectuar para obtener la solución
del sistema de ecuaciones lineales. Para reducir el sistema de ecuaciones a la forma
escalonada, aceptando que m = n, tendremos que realizar n inversiones
n2 + (n – 1)
2 + ... + 1
2 =
1
6(2n + 1)(n + 1)n
multiplicaciones y
( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 2) 2 1
3
n n nn n n n
adiciones. Además, para hallar del sistema reducido las incógnitas habrá que realizar
adicionalmente
1 + 2 + ... + (n – 1) = 1
2n(n – 1)
multiplicaciones y un número igual de adiciones. Por consiguiente, para resolver el
sistema de ecuaciones lineales empleando el método de Gauss, es necesario realizar,
en el caso general, n inversiones
1
3n(n
2 + 3n – 1)
1
3n
3
multiplicaciones y
1
6n(2n
2 + 3n – 5)
1
3n
3
adiciones. En resumen, este método de reducción se puede aplicar a cualquier
sistema de ecuaciones lineales. Debe observarse, además, que el método de
reducción es sistemático y que no se reduce a ningún artificio a base de los números
particulares que aparecen en las ecuaciones.
TEOREMA 4.2.2
Para la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales es necesario y
suficiente que, después de ser reducido a la forma escalonada, en él no se
encuentren ecuaciones del tipo 0 = b i, con b i 0. Si esta condición se
cumple, entonces, a las incógnitas independientes se les puede dar valores
arbitrarios; las incógnitas principales se determinan unívocamente en el
sistema de ecuaciones.
DEMOSTRACION
Comencemos con la cuestión de la compatibilidad. Es evidente, que si el sistema
11 1 1 1
2 2 2
3 3 3
1
´ ´
´ ´ ´
´ ´ ´
´ ´ ´
0 ´
0 ´
n n
k k n n
t t n n
r s s r n n r
r
m
a x a x b
a x a x b
a x a x b
a x a x b
b
b
(1)
contiene ecuaciones del tipo 0 = b´i, con b´i 0, entonces, este sistema es
incompatible, puesto que la igualdad 0 = b´i no puede ser satisfecha por ningún valor
para las incógnitas. Demostremos, que si en el sistema (1) no hay tales ecuaciones,
entonces el sistema es compatible. Y bien, sea b´i = 0 para i > r. Llamaremos
incógnitas principales a x1, xk, ..., xs, con las cuales comienzan la primera, segunda,
..., y r-ésima ecuaciones, respectivamente; las restantes incógnitas, si es que las hay,
se denominan independientes. Por definición, sólo hay r incógnitas principales.
Otorgamos a las incógnitas independientes valores arbitrarios, y los sustituimos en el
sistema (1). Entonces, para ks se obtiene una ecuación de tipo axs = b, con a = a´r s
0, la cual tiene solución única. Sustituyendo el valor obtenido xs = ks en las primeras
r – 1 ecuaciones, y yendo por el sistema (1) de abajo hacia arriba, nos convencemos
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
146
de que los valores de las incógnitas principales se determinan unívocamente para
cualquier valor que se dé a las incógnitas independientes.
TEOREMA 4.2.3
Un sistema de ecuaciones lineales tiene solución única si y sólo si el
sistema reducido correspondiente tiene la misma solución.
DEMOSTRACION
De la forma en que reducimos el sistema es claro que si cierto conjunto de números
x1, x2, ..., xn satisface el sistema original, cumplen también el sistema reducido. Ahora
cambiamos los papeles del sistema original reducido. Si comenzamos con el sistema
reducido, el sistema original se puede obtener de éste por alguna combinación de las
tres operaciones elementales. Ahora es claro que cualquier solución del sistema
reducido también es solución del sistema original.
TEOREMA 4.2.4
El sistema compatible
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
con n > m es indeterminado.
DEMOSTRACION
Efectivamente, en todo caso r m, por cuanto en el sistema (1) no hay más
ecuaciones que en el sistema dado, las ecuaciones con identidades iguales a cero para
ambos miembros, son desechadas. Por eso, la desigualdad n > m lleva a n > r, lo cual
significa indeterminación del sistema dado.
EJEMPLO 4.2.1
Utilizando eliminación gaussiana, solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones
lineales:
a.-
3
2 4 3
3 2 8
x y z
x y z
x y z
; b.-
3 4 6 7
5 2 4 5
3 5 3
x y z
x y z
x y z
.
SOLUCION
a.- Multiplicamos la ecuación 1 por 2 y luego le restamos la fila 2, multiplicamos la
fila 1 por 3 y luego restamos la fila 3:
3
2 1
2 1
x y z
y z
y z
restamos la fila dos a la fila tres:
3
2 1
0 0
x y z
y z
podemos observar que 0 = 0, lo cual indica que el sistema es indeterminado, es decir
tiene un número infinito de soluciones:
z = t, x = 2 – t, y = 1 + 2t.
b.- Se multiplica la ecuación 1 por 5 y luego le restamos 3 veces la fila 2, y 3 veces
la fila 3:
3 4 6 7
13 21 10
13 21 2
x y z
y z
y z
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
147
restamos la fila dos a la fila tres:
3 4 6 7
13 21 10
0 2
x y z
y z
podemos observar que 0 = 12, lo cual indica que el sistema es inconsistente.
EJEMPLO 4.2.2
Utilizando eliminación gaussiana, solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones
lineales:
a.-
2 3 2 4
3 3 3 2 6
3 2 6
3 3 6
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
; b.-
0
2 3 4 0
3 6 10 0
4 10 20 0
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
.
SOLUCION
a.- A la segunda fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos 3 veces la primera
fila, a la tercera fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos 3 veces la primera
fila, a la cuarta fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos 3 veces la primera fila
2 3 2 4
9 3 2 0
11 2 0
3 8 0
x y z u
y z u
y z u
y z u
A la tercera fila le multiplico por –9 y luego le sumo la segunda fila, a la cuarta
fila le multiplico por –9 y luego le sumo la segunda fila:
2 3 2 4
9 3 2 0
6 0
12 35 0
x y z u
y z u
z u
z u
A la cuarta fila le resto 2 veces la tercera fila:
2 3 2 4
9 3 2 0
6 0
33 0
x y z u
y z u
z u
u
Como el sistema se redujo a la forma triangular, entonces el sistema tiene solución
única:
x = 2, y = z = u = 0.
b.- A la segunda fila le resto la primera fila, a la tercera fila le resto la primera fila, a
la cuarta fila le resto la primera fila:
0
2 3 0
2 5 9 0
3 9 19 0
x y z u
y z u
y z u
y z u
A la tercera fila le resto 2 veces la segunda fila, a la cuarta fila le resto 3 veces la
segunda fila:
0
2 3 0
3 0
3 10 0
x y z u
y z u
z u
z u
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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148
A la cuarta fila le resto 3 veces la tercera fila:
0
2 3 0
3 0
0
x y z u
y z u
z u
u
Como el sistema se redujo a la forma triangular, entonces el sistema tiene solución
única:
x = y = z = u = 0.
EJEMPLO 4.2.3
Utilizando eliminación gaussiana, solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones
lineales:
a.-
2 3 1
3 2 4
2 3 6
2 3 4
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
; b.-
2 3 2 6
2 2 3 8
3 2 2 4
2 3 2 8
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
; c.-
2 3 4 5
2 2 3 1
3 2 2 1
4 3 2 5
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
.
SOLUCION
a.- A la segunda fila le restamos 3 veces la primera fila, a la tercera fila le restamos 2
veces la primera fila y a la cuarta fila le restamos la primera:
2 3 1
4 7 11 7
5 7 8
4 5
x y z u
y z u
y z u
y z u
A la tercera fila le multiplicamos por 4 y luego le sumamos la segunda fila, a la
cuarta fila le multiplicamos por 4 y luego le sumamos la segunda fila:
2 3 1
4 7 11 7
27 39 39
9 9
x y z u
y z u
z u
z u
A la cuarta fila le multiplicamos por 27 y luego le sumamos la tercera fila:
2 3 1
4 7 11 7
27 39 39
1
x y z u
y z u
z u
u
Observamos que el sistema se redujo a la forma triangular, lo cual indica que el
sistema tiene solución única:
x = y = -1, z = 0, u = 1.
b.- A la segunda fila le restamos 2 veces la primera fila, a la tercera fila le restamos
3 veces la primera fila y a la cuarta fila le restamos 2 veces la primera fila:
2 3 2 6
5 8 4
2 5 4 7
7 4 5 20
x y z u
y z u
y z u
y z u
A la tercera fila le multiplicamos por 5 y luego le sumamos 2 veces la segunda
fila, a la cuarta fila le multiplicamos por 5 y luego le restamos 7 veces la segunda
fila:
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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149
2 3 2 6
5 8 4
2 3
2 4
x y z u
y z u
z u
z u
A la cuarta fila le restamos 2 veces la tercera fila:
2 3 2 6
5 8 4
2 3
5 10
x y z u
y z u
z u
u
Como el sistema se redujo a la forma triangular, entonces el sistema tiene solución
única: x = 1, y = 2, z = -12, u = -2.
c.- A la segunda fila le restamos 2veces la primera fila, a la tercera fila le restamos 3
veces la primera fila y a la cuarta fila le restamos 4 veces la primera fila:
2 3 4 5
3 4 5 9
2 4 5 7
2 3 5
x y z u
y z u
y z u
y z u
A la tercera fila le multiplicamos por 3 y luego le sumamos la segunda fila
multiplicada por 2, a la cuarta fila le multiplicamos por 3 y luego le sumamos la
segunda fila:
2 3 4 5
3 4 5 9
4 5 3
2 3
x y z u
y z u
z u
z u
A la cuarta fila le multiplicamos por 4 y luego le restamos la tercera fila:
2 3 4 5
3 4 5 9
4 5 3
3
x y z u
y z u
z u
u
Como el sistema se redujo a la forma triangular, entonces el sistema tiene solución
única: x = -2, y = 2, z = -3, u = 3.
II. METODO DE GAUSS – JORDAN
El sistema S de ecuaciones lineales
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
puede ser escrito en forma matricial como AX = B, donde A es la matriz m x n de
coeficientes con elementos aij, B es un vector columna en m y X es un vector
columna en n. Efectuando la multiplicación matricial en la ecuación
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
n
n
m m mn n m
a a a x b
a a a x b
a a a x b
se ve de inmediato que esto es equivalente al sistema S.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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150
DEFINICION 4.2.2
En cuanto a la matriz
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
a a a b
se denomina matriz aumentada del sistema.
Consideremos ahora el sistema lineal no homogéneo AX = B, en donde A es de m x
n y B es de m x 1 y tiene al menos un elemento distinto de cero. A continuación
enunciaremos un teorema, en el cual se basara el método de las operaciones
elementales.
TEOREMA 4.2.5
Un sistema homogéneo de m ecuaciones lineales con n incógnitas tiene un
número indeterminado de soluciones si n > m.
DEMOSTRACION
Cuando la matriz de coeficientes se ha reducido, la matriz aumentada del sistema
reducido tiene una última columna formada únicamente por ceros. Entonces, el
sistema tiene una solución, pero puede que no tenga soluciones no nulas. Sin
embargo, consideremos los elementos aii, i = 1, 2, ..., m de la matriz reducida de
coeficientes. Estos elementos son 0 ó 1. Suponiendo que akk = 0 para algún k y k es el
menor elemento para el cual esto ocurre, la solución se puede escribir en términos de
xk y posiblemente de algunas otras variables. Pero tales variables son arbitrarias, y así
tomando a xk 0, tenemos una solución no trivial. Si todos los aii, i = 1, 2, ..., m, son
1, la última fila de la matriz aumentada del sistema reducido es
0, 0, ..., 0, 1, am m+1, am m+2, ..., am n, 0
y
xm = -am m+1xm+1 – am m+2xm+2 - ... – am nxn
donde xm+1, xm+2, ..., xn son arbitrarias. Tomando xm+1 0 lograremos una solución no
nula.
TEOREMA 4.2.6
Sea X1 cualquier solución de AX = B. Entonces X1 – X2 es una solución
de AX = O ya que A(X1 - X2) = AX1 - AX2 = B - B = O. Sea X3 = X1 -
X2. Entonces X3 es una solución de AX = O y por supuesto X1 = X2 +
X3.
DEMOSTRACION
Supongamos que X1 y X2 son soluciones. Entonces AX1 = B y AX2 = B, y por
sustracción A(X1 – X2) = O. Como quiera que si la ecuación homogénea no tiene
soluciones no nulas, entonces X1 – X2 = O y X1 = X2. Esto muestra la unicidad.
Recíprocamente, suponiendo que X3 O es una solución de la ecuación homogénea,
es decir AX3 = O, mientras que X1 es una solución de AX1 = B, entonces X1 + X3
también es solución, puesto que
A(X1 + X3) = AX1 + AX3 = B + O = B.
Esta es una contradicción a la unicidad y completa la demostración.
TEOREMA 4.2.7
Un sistema homogéneo de m ecuaciones lineales con m incógnitas tiene
solución trivial si y sólo si la matriz reducida de coeficientes no tiene filas
formadas únicamente por ceros.
DEMOSTRACION
Consideremos los elementos aii, i = 1, 2, ..., m de la matriz reducida de coeficientes.
Si aii = 1 para todo i, la matriz aumentada del sistema reducido es de la forma
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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151
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
y la única solución es x1 = x2 = ... = xm = 0, algunos de los aii son cero si y sólo si la
última fila de esta matriz está formada únicamente por ceros. Así, el sistema de
ecuaciones lineales tiene soluciones no nulas si y sólo si la matriz reducida de
coeficientes está formada únicamente por ceros.
TEOREMA 4.2.8
Sea la matriz A de n x n. Entonces el sistema de ecuaciones no
homogéneo AX = B tiene solución única si y sólo si el Rang(A) = n.
DEMOSTRACION
Supongamos primero que Rang(A) = n. Entonces AR = I. De donde (A | B)R es de la
forma (I | C) para alguna matriz C de n x 1. El sistema IX = C tiene exactamente una
solución y esta es la única solución del sistema original. Recíprocamente,
supongamos que AX = B tiene exactamente una solución Y. Si AX = O tiene una
solución Z entonces Y + Z es una solución de AX = B. Pero entonces Y = Y + Z por
la suposición de que AX = B tiene solamente una solución Y. Concluimos que
Z = O y, por tanto, AX = O tiene solamente la solución trivial. Por lo tanto
Rang(A) = n.
Un sistema homogéneo AX = O de m ecuaciones lineales con n incógnitas tiene un
número indeterminado de soluciones si el número de ecuaciones es menor que el
número de incógnitas, es decir n > m.
Sea X1 cualquier solución de AX = B. Entonces X1 – X2 es una solución de
AX = O ya que
A(X1 - X2) = AX1 - AX2 = B - B = O.
Sea X3 = X1 - X2. Entonces X3 es una solución de AX = O y por supuesto X1 = X2
+ X3.
Como hemos podido ver, cuando un sistema de ecuaciones lineales tiene soluciones,
puede tener muchas soluciones. En efecto, la situación general cuando las soluciones
no son únicas, es que ciertas variables se pueden escribir en términos de otras y estas
son completamente arbitrarias. Podemos pensar en tales variables como parámetros
que pueden variar para generar soluciones. Podremos decir que tenemos la solución
general de un sistema si tenemos todas las variables expresadas en términos de
ciertos parámetros en tal forma que toda posible solución particular se pueda obtener
al asignar valores apropiados a estos parámetros.
Podemos ahora esbozar un procedimiento para encontrar la solución general de un
sistema lineal no homogéneo AX = B:
PASO 1. Reducir (AB) para obtener la matriz reducida de la forma (ARC). Las
soluciones de AX = B son las mismas soluciones que las de ARX = C, así que
trabajaremos con este sistema reducido;
PASO 2. Si Rang((AB)) Rang(A), el sistema no tiene solución y ya
terminamos. Si estos dos rangos son iguales continuamos;
PASO 3. Identificamos las incógnitas dependientes. Si la columna j contiene el
elemento principal de la fila i, utilizamos la ecuación i para escribir xj en términos de
las incógnitas independientes;
PASO 4. Escribimos una matriz columna
(x1 x2 … xn)T
con cada xj dependiente escrita en términos de las incógnitas independientes y de ci.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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152
Las incógnitas independientes son arbitrarias y se les puede asignar valores
cualesquiera;
PASO 5. Para aclarar la estructura de la solución, la escribimos como una suma de
matrices columna multiplicadas por las incógnitas independientes (escalares
arbitrarios), más una matriz columna que contiene las ci que aparecen en las
expresiones para las incógnitas dependientes. Esta matriz columna constante es una
solución particular de ARX = C. Ahora tenemos la solución general de AX = B
escrita como la solución general de ARX = O más una solución particular de
ARX = C, obteniendo la solución general del sistema no homogéneo original.
TEOREMA 4.2.9
Un sistema de ecuaciones lineales AX = B tiene solución única si y sólo si
el rango de la matriz A es igual al rango de la matriz (A | B).
DEMOSTRACION
Reduciendo la matriz de coeficientes usando operaciones elementales sobre las filas
podemos lograr el sistema equivalente (I | C) en este caso, y solamente en este caso,
el rango de A es igual al rango de la matriz aumentada (A | B).
Una solución a un sistema AX = B de m ecuaciones lineales con n incógnitas no
tiene solución única si n > m.
Un sistema de ecuaciones lineales AX = B tiene solución única si y sólo si el sistema
reducido correspondiente tiene la misma solución.
Si el sistema de ecuaciones lineales AX = B de m ecuaciones y n incógnitas es
consistente, y si r es el rango por filas de la forma escalonada reducida de la matriz
aumentada del sistema, entonces:
1.- Si r < n, el sistema tiene un número indeterminado de soluciones. Las soluciones
se expresan en base a n – r variables.
2.- Si r = n, el sistema tiene solución única.
3.- Si m < n, entonces r m < n, y el sistema tiene un número indeterminado de
soluciones.
TEOREMA 4.2.10
Un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales algebraicas con m
incógnitas tiene un número indeterminado de soluciones si m > n.
DEMOSTRACION
Escribimos el sistema homogéneo de ecuaciones lineales como AX = O con la
matriz A de n x m. Este sistema tiene n ecuaciones y m incógnitas. Si hay más
incógnitas que ecuaciones, m > n. Ahora, Rang(A) es el número de filas distintas de
cero de AR y no puede ser mayor que n. Como Rang(A) n, m – Rang(A) m – n >
0. Por lo tanto, existe al menos una incógnita independiente a la que se puede asignar
cualquier valor en la solución general y, por tanto, se le pueden dar valores distintos
de cero llegando a un número indeterminado de soluciones.
Ahora podemos bosquejar ahora un procedimiento para resolver el sistema
homogéneo de ecuaciones lineales AX = O:
PASO 1. Reducir A a AR. Como el sistema reducido tiene las mismas soluciones
que el sistema original, trabajaremos con el sistema reducido ARX = O;
PASO 2. En el sistema ARX = O, determine si cada incógnita es dependiente o
independiente de acuerdo con el siguiente criterio. Si la columna j contiene el
elemento principal de cualquier fila de A, llame a xj dependiente; si no es así, xj es
independiente;
PASO 3. Exprese cada incógnita dependiente en términos de las independientes,
usando las filas de AR. Si, por ejemplo, xj es dependiente porque la columna j
contiene el elemento principal de la fila i, podemos resolver para xj en términos de
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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153
las incógnitas independientes mediante la ecuación i;
PASO 4. Para obtener la solución, a las incógnitas independientes se les puede
asignar cualquier valor; las incógnitas dependientes se expresan en términos de las
independientes usando el paso 3.
TEOREMA 4.2.11
Si A es una matriz de n x m, el número de escalares arbitrarios en la
solución general del sistema homogéneo de ecuaciones lineales AX = O es
m – Rang(A).
DEMOSTRACION
Si la matriz A es de n x m, el número de incógnitas independientes es igual al
número total de incógnitas m menos el número de incógnitas dependientes. Pero el
número de incógnitas dependientes es el número de filas de AR que tienen entradas
principales y, por lo tanto, es igual al número de filas distintas de cero de AR, es
decir, el rango de A.
TEOREMA 4.2.12
Una solución de un sistema de ecuaciones lineales AX = B es única si y
sólo si el sistema homogéneo de ecuaciones AX = O tiene solución
trivial.
DEMOSTRACION
Supongamos que X y Y son soluciones. Entonces AX = B y AY = B, y por
sustracción A(X – Y) = O. Como quiera que si la ecuación homogénea tiene
solución trivial, entonces X – Y = O y X = Y. Esto muestra la unicidad.
Recíprocamente, suponiendo que Z O es una solución de la ecuación homogénea,
es decir AZ = O, mientras que X es una solución de AX = B, entonces X + Z
también es solución, puesto que
A(X + Z) = AX + AZ = B + O = B.
Esta es una contradicción a la unicidad.
TEOREMA 4.2.13
La solución general del sistema no homogéneo de ecuaciones, AX = B,
se puede obtener al sumar la solución general del sistema homogéneo
AX = O a cualquier solución particular del sistema no homogéneo.
DEMOSTRACION
Supongamos que Z es una solución particular del sistema no homogéneo, entonces
AZ = B. Suponiendo que X es cualquier otra solución particular, entonces
AX = B y A(X – Z) = AX – AZ = B – B = O.
De donde, Y = X – Z es una solución del sistema de ecuaciones homogéneas y
entonces se puede obtener de la solución general del sistema de ecuaciones
homogéneas para una elección apropiada de ciertos parámetros. Así, X = Z + Y, y
como X es cualquier solución particular, podemos obtener la solución general del
sistema no homogéneo al sumar la solución general del sistema homogéneo a una
solución particular del sistema no homogéneo.
TEOREMA 4.2.14
Un sistema de n ecuaciones lineales algebraicas homogéneas con n
incógnitas tiene un número indeterminado de soluciones si y sólo si el
determinante de la matriz de coeficientes es cero.
DEMOSTRACION
Si Det(A) no es cero la matriz A es no singular. Entonces, al multiplicar los dos
miembros del sistema AX = O por A-1
obtendremos A-1
AX = O, es decir X = O.
Por lo tanto, si Det(A) 0, entonces X = O será la única solución de AX = O.
Supongamos a continuación que el sistema AX = O quede satisfecho por un
vector Y distinto de cero. Si k es el rango de A, entonces n – k tiene que ser, por
lo menos, igual a 1. Dicho de otro modo, el rango por filas de A será
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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154
estrictamente menor que n. Pero A no puede ser no singular, es singular y, por lo
tanto, Det(A) = 0.
% RESUELVE UN SISTEMA DE ECUACIONES
clc;clear;
fprintf('\n SISTEMA DE ECUACIONES AX=B \n')
fil=input('Ingrese el numero de ecuaciones: ');
col=input('Ingrese el numero de incognitas: ');
%Ingreso de elementos
fprintf('\nIngrese los coeficientes y terminos independientes del sistema\n')
for f=1:fil
fprintf('\n Ingrese los coeficientes (%d)\n', f)
for c=1:col
fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c)
A(f,c)=input(' :');
end
end
fprintf('\n Ingrese los coeficientes de B \n')
%for f=1:col
for c=1:fil
fprintf('Ingrese el elemento %d',f)
B(c,1)=input(' :');
end
fprintf('\n LA MATRIZ DE COEFICIENTES A ES:\n')
A
end
fprintf('El VECTOR B es:\n')
B
end
fprintf('LA MATRIZ REDUCIDA DE A ES:')
R1= rref(A);
R1
fprintf('EL RANGO DE LA MATRIZ A ES:')
RangA=rank(A)
fprintf('\n LA MATRIZ AUMENTADA ES: \n',c);
C=[A,B];
C
fprintf('LA MATRIZ REDUCIDA DE C ES:')
R2= rref(C);
R2
fprintf('EL RANGO DE LA MATRIZ AUMENTADA C ES:')
RangC=rank(C)
end
end
if RangC==col
fprintf('EL SISTEMA DE ECUACIONES TIENE SOLUCION UNICA\n')
end
if RangA<col
fprintf('EL SISTEMA DE ECUACIONES TIENE MAS DE UNA SOLUCION\n')
end
if RangA~=RangC
fprintf('EL SISTEMA DE ECUACIONES NO TIENE SOLUCION\n')
end
end
EJEMPLO 4.2.4
Resuelva el sistema de ecuaciones siguiente:
3 3
2 1
4 6
5 16
x y z u
x z u
y z u
y z u
.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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155
SOLUCION
Construimos la matriz aumentada (A|B) y luego procedemos por el método de Gauss
– Jordan:
1 3 1 1 3
2 0 1 1 1
0 1 4 1 6
0 1 1 5 16
A la primera fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos la segunda fila:
1 3 1 1 3
0 6 1 3 5
0 1 4 1 6
0 1 1 5 16
A la tercera fila le multiplicamos por 6 y luego le sumamos la segunda fila, a la
cuarta fila le multiplicamos por –6 y luego le sumamos la segunda fila, a la primera
fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos la segunda fila:
2 0 1 1 1
0 6 1 3 5
0 0 25 3 41
0 0 5 27 91
A la primera fila le multiplicamos por 25 y luego le restamos la tercera fila, a la
segunda fila le multiplicamos por 25 y luego le restamos la tercera fila, a la cuarta
fila le multiplicamos por 5 y luego le sumamos la tercera fila:
25 0 0 11 8
0 25 0 13 14
0 0 25 3 41
0 0 0 1 3
A la primera fila le restamos 25 veces la cuarta fila y luego dividimos toda la fila
para -25, a la segunda fila le sumamos 13 veces la cuarta fila y luego dividimos toda
la fila para 25, a la tercera fila le restamos 3 veces la cuarta fila y luego dividimos
toda la fila para 25:
4125
5325
3225
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1 3
Por lo tanto Rang(A) = Rang(A|B) = 4 y la solución está dada por el vector siguiente: T
41 53 323
25 25 25
X .
EJEMPLO 4.2.5
Resuelva el sistema
a.- 3 2 0
2 3 0
x y z
x y z
; b.-
2 3 5 2
3 2 4 1
4 2 3 3
x y z
x y z
x y z
; c.-
3 1
2 2 3
4 2 4 6
x y z
x y z
x y z
.
SOLUCION
a.- Este sistema se puede resolver fácilmente sin matrices, pero queremos ilustrar el
método matricial.
PASO 1. Reducir A. Procedemos como sigue: Sumar 2 veces la fila 1 a la fila 2
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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156
1 3 2
0 5 1
multiplicar la fila 2 por -1/5
1 3 2
10 5
5
sumar 3 veces la fila 2 a la fila 1
R
71 0
5
10 1
5
A .
PASO 2. Identificar las incógnitas dependientes e independientes. La entrada
principal de la fila 1 está en la columna 1, así que x es dependiente; análogamente, y
es dependiente. Finalmente, z es independiente.
PASO 3. Escribimos las incógnitas dependientes en términos de las independientes.
De la fila 1 de AR, x + 7z/5 = 0, así que x = - 7z/5. De la fila 2, y - z/5 = 0, así que y =
z/5. En estas ecuaciones z es arbitraria.
PASO 4. Por conveniencia, sea x = - 7t/5, y = t/5. En forma matricial, la solución es
7
5 5
Tt t
t
X .
Esta expresión se llama solución general del sistema porque obtenemos todas las
soluciones dando a t diferentes valores.
b.- Primero: resolvemos el sistema no homogéneo de ecuaciones lineales AX = B.
Construimos la matriz aumentada del sistema:
2 3 5 2
3 2 4 1
4 2 3 3
A la segunda fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos 3 veces la primera fila, a
la tercera fila le restamos 2 veces la primera fila:
2 3 5 2
0 13 7 4
0 8 13 1
A la primera fila le multiplicamos por 13 y luego le sumamos 3 veces la segunda fila,
a la tercera fila le multiplicamos por 13 y luego le restamos 8 veces la segunda fila:
13 0 43 7
0 13 7 4
0 0 5 1
A la primera fila le multiplicamos por 5 y luego le restamos 43 veces la tercera fila y
a continuación dividimos toda la fila para 65, a la segunda fila le multiplicamos por 5
y luego le sumamos 7 veces la tercera fila y después dividimos toda la fila para -65:
865
15
15
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Por lo tanto, la solución está dada por el vector siguiente:
1
8 1 1
65 5 5
T
X .
Segundo: resolvemos el sistema homogéneo de ecuaciones lineales AX = O:
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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157
2 3 5
3 2 4
4 2 3
2 3 5
0 13 7
0 8 13
13 0 43
0 13 7
0 0 5
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Por lo tanto, la solución está dada por el vector siguiente: 2 0 0 0X .
La solución al sistema esta dada por X1 + X2, es decir: 8 865 65
1 15 5
1 15 5
0
0
0
X .
Por lo tanto queda comprobado que el sistema tiene una única solución.
c.- Encontramos la solución del sistema AX = B:
1 3 1 1
2 1 2 3
4 2 4 6
1 3 1 1
0 7 4 1
0 14 8 2
7 0 5 10
0 7 4 1
0 0 0 0
De aquí que la solución general del sistema AX = B es
T1
( ) 10 5 1 4 77
t t t t X .
Si asignamos cualquier valor a t, digamos t = 1, obtenemos una solución particular:
T1
(1) 15 5 77
X .
A continuación encontramos la solución general del sistema AX = O:
1 3 1 0
2 1 2 0
4 2 4 0
1 3 1 0
0 7 4 0
0 14 8 0
7 0 5 0
0 7 4 0
0 0 0 0
De aquí que la solución general del sistema AX = O es
T1
( ) 5 4 77
t t t tX .
Si asignamos cualquier valor a t, digamos t = 7, obtenemos una solución particular:
T
(7) 5 4 7X .
Por lo tanto la matriz X = X(7) + X(1) es solución del sistema AX = B, es decir
T1
50 33 567
X .
EJEMPLO 4.2.6
Utilizando el método de Gauss-Jordan, solucionar los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales:
a.-
3 1
2 2 1
3
2 3 1
x y z
x y z
x y z
x y z
; b.-
2 2
3 5
5 7
2 3 3 14
x y z
x y z
x y z
x y z
; c.-
2 3 3
3 5 0
4 3
3 13 6
x y z
x y z
x y z
x y z
.
SOLUCION
a.- A la segunda fila le restamos 2 veces la primera fila, a la tercera fila le restamos
la primera fila, a la cuarta fila le restamos la primera fila:
1 1 3 1
0 1 4 3
0 0 1 4
0 1 0 2
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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158
a la primera fila le sumamos la segunda fila:
1 0 1 2
0 1 4 3
0 0 1 1
0 1 0 2
a la primera fila le restamos la tercera fila, a la segunda fila le restamos la tercera
fila:
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
0 1 0 2
a la cuarta fila le restamos la segunda fila:
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 1
por la cuarta fila, tenemos que el sistema de ecuaciones no tiene solución.
b.- Multiplicamos la segunda fila por 2 y luego le restamos la primera fila,
multiplicamos la tercera fila por 2 y luego le restamos la primera fila, a la cuarta fila
le restamos la primera fila:
2 1 1 2
0 5 1 8
0 1 9 16
0 1 2 6
a la primera fila le multiplicamos por 5 y luego le restamos la segunda fila,
multiplicamos la tercera fila por 5 y luego le restamos la segunda fila,
multiplicamos la cuarta fila por 5 y luego le restamos la segunda fila:
5 0 2 1
0 5 1 8
0 0 1 2
0 0 1 2
a la primera fila le restamos 2 veces la tercera fila, a la segunda fila le restamos la
tercera fila y a la cuarta fila le sumamos la tercera fila:
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 2
0 0 0 0
el sistema tiene solución única, por lo tanto la solución general es: T(1 2 2) X .
c.- Multiplicamos la segunda fila por 2 y luego le restamos 3 veces la primera fila, a
la tercera fila le restamos 2 veces la primera fila, a la cuarta fila le multiplicamos por
2 y luego le restamos la primera fila:
2 1 3 3
0 5 19 9
0 1 5 3
0 7 29 15
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
159
a la primera fila le multiplicamos por 5 y luego le sumamos la segunda fila, a la
tercera fila le multiplicamos por 5 y luego le restamos la segunda fila, a la cuarta
fila le multiplicamos por 5 y luego le restamos 7 veces la segunda fila:
5 0 2 3
0 5 19 9
0 0 1 1
0 0 1 1
a la primera fila le sumamos 2 veces la tercera fila, a la segunda fila le sumamos
19 veces la tercera fila y a la cuarta fila le restamos la tercera fila:
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 1
0 0 0 0
el sistema tiene solución única, por lo tanto la solución general es: T(1 2 1)X .
EJEMPLO 4.2.7
Utilizando el método de Gauss-Jordan, solucionar los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales:
a.-
3 0
2 0
4 2 6 3 4 0
2 4 2 4 7 0
x y u w
x y z u
x y z u w
x y z u w
; b.-
7
3 2 3 2
2 2 6 23
5 4 3 3 12
x y z u w
x y z u w
y z u w
x y z u w
.
SOLUCION a.- A la segunda fila le restamos la primera fila, a la tercera fila le restamos 4 veces
la primera fila y a la cuarta fila le restamos 2 veces la primera fila:
1 1 0 3 1 0
0 2 2 2 1 0
0 2 2 5 0 0
0 2 2 10 5 0
multiplicamos la primera fila por 2 y luego le restamos la segunda fila, a la tercera
fila le restamos la segunda fila y a la cuarta fila le sumamos la segunda fila:
2 0 2 4 1 0
0 2 2 2 1 0
0 0 0 3 1 0
0 0 0 3 1 0
multiplicamos la primera fila por 3 y luego le sumamos 4 veces la tercera fila,
multiplicamos la segunda fila por 3 y luego le restamos 2 veces la tercera fila y a
la cuarta fila le restamos la tercera fila:
6 0 6 0 7 0
0 6 6 0 5 0
0 0 0 3 1 0
0 0 0 0 0 0
en esta matriz podemos observar que el sistema de ecuaciones lineales tiene un
número indeterminado de soluciones y éstas se dan de la siguiente manera:
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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160
T7 5
6 6 3
t t tr r r t
X .
b.- A la segunda fila le restamos 3 veces la primera fila y a la cuarta fila le restamos
5 veces la primera fila:
1 1 1 1 1 7
0 1 2 2 6 23
0 1 2 2 6 23
0 1 2 2 6 23
a la primera fila le restamos la segunda fila, a la tercera fila le sumamos la
segunda fila y a la cuarta fila le restamos la segunda fila:
1 0 1 1 5 16
0 1 2 2 6 23
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
en esta matriz podemos observar que el sistema de ecuaciones lineales tiene un
número indeterminado de soluciones y éstas se dan de la siguiente manera:
T
16 23 2 2 6t r s t r s t r s X .
EJEMPLO 4.2.8
Utilizando el método de Gauss-Jordan, solucionar los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales:
a.-
4 6 4 0
4 6 4 0
4 4 6 0
6 4 4 0
4 6 4 0
x y z u w
x y z u w
x y z u w
x y z u w
x y z u w
; b.-
2 2
2 0
3 3
4 2
5 5
x y z u w
x y z u w
x y z u w
x y z u w
x y z u w
.
SOLUCION a.- A la segunda fila le restamos la primera fila, a la tercera fila le restamos 4 veces
la primera fila, a la cuarta fila le restamos 6 veces la primera fila y a la quinta fila le
restamos 4 veces la primera fila:
1 4 6 4 1 0
0 3 2 2 3 0
0 15 23 12 2 0
0 20 35 23 2 0
0 10 20 15 3 0
a la primera fila le multiplicamos por 3 y luego le restamos 4 veces la segunda fila, a
la tercera fila le restamos 5 veces la segunda fila, a la cuarta fila le multiplicamos por
3 y luego le restamos 20 veces la segunda fila, a la quinta fila le multiplicamos por 3
y luego le restamos 10 veces la segunda fila:
3 0 10 20 15 0
0 3 2 2 3 0
0 0 13 22 13 0
0 0 65 109 66 0
0 0 40 65 39 0
a la primera fila le multiplicamos por 13 y luego le sumamos 10 veces la tercera fila,
a la segunda fila le multiplicamos por 13 y luego le restamos 2 veces la tercera fila, a
la cuarta fila le restamos 5 veces la tercera fila, a la quinta fila le multiplicamos por
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
161
13 y luego le restamos 40 veces la tercera fila:
39 0 0 40 65 0
0 39 0 70 65 0
0 0 13 22 13 0
0 0 0 1 1 0
0 0 0 35 13 0
a la primera fila le restamos 40 veces la cuarta fila, a la segunda fila le restamos 70
veces la cuarta fila, a la tercera fila le sumamos 22 veces la cuarta fila, a la quinta fila
le restamos 35 veces la cuarta fila:
39 0 0 0 105 0
0 39 0 0 135 0
0 0 13 0 35 0
0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 1 0
a la primera fila le restamos 105 veces la quinta fila, a la segunda fila le restamos 13
veces la quinta fila, a la tercera fila le sumamos 35 veces la quinta fila, a la cuarta fila
le sumamos la quinta fila:
39 0 0 0 0 0
0 39 0 0 0 0
0 0 13 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
en esta matriz podemos observar que el sistema de ecuaciones lineales tiene
solución única y ésta se expresa de la siguiente manera:
x = y = z = u = w = 0.
b.- A la segunda fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos la primera fila, a la
tercera fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos la primera fila, a la cuarta fila
le multiplicamos por 2 y luego le restamos la primera fila, a la quinta fila le
multiplicamos por 2 y luego le restamos la primera fila:
2 1 1 1 1 2
0 3 1 1 1 2
0 1 5 1 1 4
0 1 1 7 1 6
0 1 1 1 9 8
a la tercera fila le multiplicamos por 3 y luego le restamos la segunda fila, a la cuarta
fila le multiplicamos por 3 y luego le restamos la segunda fila, a la quinta fila le
multiplicamos por 3 y luego le restamos la segunda fila:
3 0 1 1 1 4
0 3 1 1 1 2
0 0 7 1 1 7
0 0 1 10 1 8
0 0 1 1 13 13
a la primera fila le multiplicamos por 7 y luego le restamos la tercera fila, a la
segunda fila le multiplicamos por 7 y luego le restamos la tercera fila, a la cuarta fila
le multiplicamos por 7 y luego le restamos la tercera fila, a la quinta fila le
multiplicamos por 7 y luego le restamos la tercera fila:
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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162
7 0 0 2 2 7
0 7 0 2 2 7
0 0 7 1 1 7
0 0 0 23 2 21
0 0 0 1 15 14
a la primera fila le multiplicamos por 23 y luego le restamos 2 veces la cuarta fila, a
la segunda fila le multiplicamos por 23 y luego le restamos 2 veces la cuarta fila, a la
tercera fila le multiplicamos por 23 y luego le restamos la cuarta fila, a la quinta fila
le multiplicamos por 23 y luego le restamos la cuarta fila:
161 0 0 0 42 203
0 161 0 0 42 119
0 0 161 0 21 182
0 0 0 23 2 21
0 0 0 0 1 1
a la primera fila le restamos 42 veces la quinta fila, a la segunda fila le restamos 42
veces la quinta fila, a la tercera fila le restamos 21 veces la quinta fila, a la cuarta fila
le restamos 2 veces la quinta fila:
161 0 0 0 0 161
0 161 0 0 0 161
0 0 161 0 0 161
0 0 0 23 0 23
0 0 0 0 1 1
en esta matriz podemos observar que el sistema de ecuaciones lineales tiene
solución única y ésta se expresa de la siguiente manera:
x = 1, y = -1, z = 1, u = -1, w =1.
EJEMPLO 4.2.9
¿Cuál es la condición para que tres rectas
1 1 1
2 2 2
3 3 3
0
0
0
a x b y c
a x b y c
a x b y c
pasen por un punto?
SOLUCION
Las tres rectas forman un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo
1 1 1
2 2 2
3 3 3
0
0
0
a x b y c
a x b y c
a x b y c
y, para que estas tres rectas pasen por un punto, el determinante formado por los
coeficientes del sistema y términos independientes debe ser igual a cero, es decir:
1 1 1
2 2 2
3 3 3
0
a b c
a b c
a b c
.
III. METODO DE CRAMER
La definición de un determinante de n x n es sugerida por sistemas de n ecuaciones
en incógnitas y en el presente método se deducirá la regla de Cramer, que expresa
las soluciones como cocientes de determinantes.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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163
Para el trabajo numérico, son preferibles otras fórmulas, pero la regla de Cramer
tiene un interés práctico. Aunque para la resolución numérica es el método de
reducción más rápido, sobre todo si los coeficientes son números decimales, tiene
gran importancia la resolución por medio de determinantes, pues permite hacer a
discusión completa de los sistemas de ecuaciones lineales.
El valor de cada incógnita se obtiene dividiendo por el determinante del sistema, el
determinante formado sustituyendo por los términos independientes que están en los
segundos miembros, la columna que forman los coeficientes de dicha incógnita.
TEOREMA 4.2.15
Sea A una matriz no singular de n x n. Entonces la única solución del
sistema no homogéneo AX = B está dada por
xk =kBDet( )
Det( )kx
A
A para k = 1, 2, ..., n,
donde AkB es la matriz de orden n x n que se obtiene reemplazando la
columna k de A con B.
DEMOSTRACION
Si Det(A) 0, entonces la matriz A es no singular y, por lo tanto X = A-1
B es la
solución única de AX = B. Por consiguiente se tiene
X = A-1
B
1= Adj( )
Det( ) A B
A
11 21 1 1
12 22 2 2
1 2
Det( ) Det( ) Det( )
Det( ) Det( ) Det( )1=
Det( )
Det( ) Det( ) Det( )
n
n
n n nn n
b
b
b
A A A
A A A
A
A A A
1 11 2 21 1
1 12 2 22 2
1 1 2 2
Det( ) + Det( ) + + Det( )
Det( ) + Det( ) + + Det( )1=
Det( )
Det( ) + Det( ) + + Det( )
n n
n n
n n n nn
b b b
b b b
b b b
A A A
A A A
A
A A A
.
Por tanto, el elemento de la j-ésima fila de X es
1 1 2 2Det( ) + Det( ) + + Det( )( ) =
Det( )
j j n njb b bx j
A A A
A.
Ahora, sea
11 12 1 1 1 1 1 1
21 22 2 1 2 2 1 2
1 2 1 1
j j n
j j n
j
n n nj n nj nn
a a a b a a
a a a b a a
a a a b a a
A ,
Dado que Aj difiere de A únicamente en la j-ésima columna, los cofactores de los
elementos b1, b2, ..., bn de Aj son iguales a los cofactores de los elementos
correspondientes que están en la j-ésima columna de A. Como consecuencia, el
desarrollo por cofactores de Det(Aj) a lo largo de la j-ésima columna es
Det(Aj) = b1Det(A1j) + b2Det(A2j) + ... + bnDet(Anj).
Al sustituir este resultado en (1) se obtiene Det( )
Det( )
j
jx A
A.
Para resolver un sistema de n ecuaciones en n incógnitas por la regla de Cramer, se
necesita evaluar n + 1 determinantes de n x n. Desde el punto de vista del cálculo,
para sistemas con más de tres ecuaciones, la eliminación gaussiana resulta superior,
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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164
puesto que sólo se ha de reducir una matriz aumentada (A | B) de n x n + 1. Sin
embargo, la regla de Cramer da una fórmula para la solución.
Debemos mencionar que es posible, aunque no muy práctico, aplicar la regla de
Cramer a sistemas de m ecuaciones lineales en n incógnitas. Si la matriz de los
coeficientes A y la matriz aumentada (A | B) tienen el mismo rango k, se sabe que
pueden asignárseles valores arbitrarios a n – k incógnitas apropiadas, llamémoslas
xk+1, xk+2, ..., xn, tales que la submatriz de los coeficientes de las otras incógnitas x1, x2,
..., xk tenga rango k.
Esto implica que A y (A | B) tienen k vectores filas linealmente independientes,
digamos los primeros k vectores fila, y si k < m, entonces cualquiera de los otros
vectores fila es una combinación lineal de aquellos. Se deduce que las m – k
ecuaciones correspondientes pueden reducirse a la forma 0 = 0 mediante operaciones
elementales. De esto se ve que pueden omitirse esas m – k ecuaciones del sistema.
Ahora puede escribirse el sistema reducido en la forma
11 1 12 2 1 1 1 1 1 1
21 1 22 2 2 2 2 1 1 2
1 1 2 2 1 1
( )
( )
( )
k k k k n n
k k k k n n
k k kk k k k k k k n n
a x a x a x b a x a x
a x a x a x b a x a x
a x a x a x b a x a x
donde, si k = n, las expresiones de la derecha son b1, b2, ..., bk y resolverlo para x1,
x2, ..., xk mediante la regla de Cramer.
% RESOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
clc;clear;
fprintf('\n METODO DE CRAMER \n')
fil=input('Ingrese el numero de incognitas: ');
%Ingreso de elementos
fprintf('Ingrese los coeficientes del sistema de ecuaciones\n')
for f=1:fil
for c=1:fil
fprintf('Ingrese el elemento A:(%d,%d)',f,c)
A(f,c)=input(' :');
end
end
fprintf('\n Ingrese los terminos independientes\n')
%for f=1:fil
for c=1:fil
fprintf('Ingrese el elemento B:(%d,%d)',f,c)
B(c,1)=input(' :');
end
%end
N=A(:,:);
A
for c=1:fil
N(:,c)=B(:,1)
DetN=det(N)
DetA=det(A)
fprintf('\n La incognita (%d) es igual X : ', c)
X=det(N)/det(A);
X
N=A(:,:);
end
end
if DetA==0
fprintf('EL SISTEMA DE ECUACIONES NO TIENE SOLUCION\n')
end
end
% RESOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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165
clc;clear;
fprintf('\n METODO DE CRAMER GENERALIZADO \n')
fil=input('Ingrese el numero de incognitas: ');
%Ingreso de elementos
fprintf('Ingrese los coeficientes del sistema de ecuaciones\n')
for f=1:fil
for c=1:fil
fprintf('Ingrese el elemento A:(%d,%d)',f,c)
A(f,c)=input(' :');
end
end
fprintf('\n Ingrese los terminos independientes\n')
%for f=1:fil
for c=1:fil
fprintf('Ingrese el elemento B:(%d,%d)',f,c)
B(c,1)=input(' :');
end
end
fprintf('LA MATRIZ A ES :\n')
A
end
DetA=det(A)
end
fprintf('LA MATRIZ B ES:\n')
B
fprintf('LA INVERSA DE A ES:\n')
C=inv(A)
fprintf('EL VECTOR SOLUCION X ES:\n')
X=inv(A)*B;
X
end
end
if DetA==0
fprintf('EL SISTEMA DE ECUACIONES NO TIENE SOLUCION\n')
end
end
EJEMPLO 4.2.10
Resolver el sistema
a.-
3 4 1
3 14
3 5
x y z
x y z
y z
; b.-
2
3 2
4 3
( 1) 3
( 1) 3
( 1) 3
a x y z a a
x a y z a a
x y a z a a
.
SOLUCION
a.- La matriz de coeficientes es
1 3 4
1 1 3
0 1 3
A .
Encontramos que Det(A) = 13. Por la regla de Cramer,
1 3 41 117
Det 14 1 3 913 13
5 1 3
x
,
1 1 41 10
Det 1 14 313 13
0 5 3
y
,
1 3 11 25
Det 1 1 1413 13
0 1 5
z
.
b.- La matriz de coeficientes es
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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166
1 1 1
1 1 1
1 1 1
a
a
a
A
Encontramos que Det(A) = a3 + 3a
2. Por la regla de Cramer,
2
2 3 53 2 2
3 2 3 2
4 3
3 1 11 3 2
3 1 1 23 3
3 1 1
a aa a a
x a a a aa a a a
a a a
,
2
4 3 23 2
3 2 3 2
4 3
1 3 11 2 5 3
1 3 1 2 13 3
1 3 1
a a aa a a
y a a aa a a a
a a a
,
2
6 5 4 3 23 2 3 2
3 2 3 2
4 3
1 1 31 5 5 4 3
1 1 3 2 13 3
1 1 3
a a aa a a a a
z a a a a a aa a a a
a a
EJEMPLO 4.2.11
Utilizando el método de Cramer, solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones
lineales:
a.-
2 3 4 5 13
2 2 3 4 10
2 2 2 3 11
2 2 2 2 6
2 2 2 2 3
x y z u w
x y z u w
x y z u w
x y z u w
x y z u w
; b.-
2 3 4 1
2 3 4 2 8
3 2 3
4 3 4 2 2 2
2 3 3
x y z u w
x y z u w
x y z u w
x y z u w
x y z u w
.
SOLUCION
a.- Calculamos los determinantes correspondientes:
13 2 3 4 5
10 1 2 3 4
011 2 1 2 3
6 2 2 1 2
3 2 2 2 1
x ,
1 13 3 4 5
2 10 2 3 4
622 11 1 2 3
2 6 2 1 2
2 3 2 2 1
y ,
1 2 13 4 5
2 1 10 3 4
622 2 11 2 3
2 2 6 1 2
2 2 3 2 1
z ,
1 2 3 13 5
2 1 2 10 4
02 2 1 11 3
2 2 2 6 2
2 2 2 3 1
u ,
1 2 3 4 13
2 1 2 3 10
932 2 1 2 11
2 2 2 1 6
2 2 2 2 3
w ,
1 2 3 4 5
2 1 2 3 4
312 2 1 2 3
2 2 2 1 2
2 2 2 2 1
.
A continuación reemplazamos en cada una de las variables, y obtenemos la solución
general:
00
31
xx
, 62
231
yy
,
621
31
zz
, 0
031
uu
,
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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167
933
31
ww
.
b.- Calculamos los determinantes correspondientes:
1 2 3 4 1
8 1 3 4 2
963 1 1 2 1
2 3 4 2 2
3 1 1 2 3
x
,
1 1 3 4 1
2 8 3 4 2
03 3 1 2 1
4 2 4 2 2
1 3 1 2 3
y
,
1 2 1 4 1
2 1 8 4 2
963 1 3 2 1
4 3 2 2 2
1 1 3 2 3
z
,
1 2 3 1 1
2 1 3 8 2
963 1 1 3 1
4 3 4 2 2
1 1 1 3 3
u
,
1 2 3 4 1
2 1 3 4 8
483 1 1 2 3
4 3 4 2 2
1 1 1 2 3
w
,
1 2 3 4 1
2 1 3 4 2
483 1 1 2 1
4 3 4 2 2
1 1 1 2 3
.
A continuación reemplazamos en cada una de las variables, y obtenemos la solución
general:
962
48
xx
, 0
048
yy
,
962
48
zz
, 96
248
uu
,
481
48
ww
.
EJEMPLO 4.2.12
Analizar según los parámetros dados y solucionar los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales:
a.-
(5 1) 2 (4 1) 1
(4 1) ( 1) (4 1) 1
2(3 1) 2 (5 2) 2
a x ay a z a
a x a y a z
a x ay a z a
; b.-
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
.
SOLUCION
a.- El primer paso es calcular el determinante de la matriz de coeficientes del
sistema:
3
5 1 2 4 1
4 1 1 4 1
2(3 1) 2 5 2
a a a
a a a a a
a a a
Para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solución única, el determinante de la
matriz de coeficientes debe ser diferente de cero:
a3 – a 0 a(a
2 – 1) 0 a(a – 1)(a + 1) 0
0
1
1
a
a
a
por lo tanto a \ {-1, 0, 1}. Cuando a = -1:
2 2 2 2
1 1 1 1
a c c d
a c c d
1 1 3 1
0 0 2 2
1 1 4 1
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
168
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 3. Por lo tanto, si a = -1, el
sistema es inconsistente.
Cuando a = 0:
1 0 1 1
1 1 1 1
2 0 2 2
1 1 3 1
0 0 2 2
0 0 1 0
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 2. Por lo tanto, si a = 0, el
sistema es indeterminado.
Cuando a = 1:
6 2 5 2
3 0 3 1
8 2 7 1
6 2 5 2
0 2 1 4
0 2 1 5
3 2
2( 1) 3
4 1 1 2 1 6 11 6
5 4 1 3 4
a a
a a a a a a
a a a
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 3. Por lo tanto, si a = 1, el
sistema es inconsistente.
Para solucionar el sistema de ecuaciones lineales, debemos encontrar la inversa de la
matriz de coeficientes y luego multiplicamos el sistema AX = B a la izquierda por
A-1
, para obtener el vector solución X = A-1
B:
22 2
2
2
2
2 2 2
2
5 73 2 4 12
1( 1) ( 1)1
1 1 4 4 1 8 71 1
1 1 1 12
2 2 2 3 2 1 5 2 12
( 1) ( 1) 1
a aa a a a
aa a a aa
a a a a
a a a aa
a a a a a a
a a a a a
X .
b.- El primer paso es calcular el determinante de la matriz de coeficientes del
sistema:
1
1 2
1 2 3
a a a
a a a a
a a a
Para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solución única, el determinante de la
matriz de coeficientes debe ser diferente de cero: - 2a 0 a 0 por lo tanto
a \ {0}.
Cuando a = 0:
0 0 1 0
0 0 1 0
1 0 3 1
0 0 1 0
0 0 0 0
1 0 3 1
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 2. Por lo tanto, cuando
a = 0, el sistema es indeterminado.
Para solucionar el sistema de ecuaciones lineales, debemos encontrar la inversa de la
matriz de coeficientes y luego multiplicamos el sistema AX = B a la izquierda por
A-1
, para obtener el vector solución X = A-1
B:
2 2
4 21
2 21
3 1 11
2 21 0
1 10
2 2
a a
a aa a a a
a aa a
X .
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
169
EJEMPLO 4.2.13
Analizar según los parámetros dados y solucionar los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales:
a.-
(2 1) ( 2) 1
( 1) ( 3) 1
(3 2) (3 1) 2
ax a y a z
a y a z a
ax a y a z a
;
b.-
2( 1) 3 4
(4 1) ( 1) (2 1) 2 2
(5 4) ( 1) (3 4) 1
a x y az a
a x a y a z a
a x a y a z a
.
SOLUCION
a.- El primer paso es calcular el determinante de la matriz de coeficientes del
sistema:
3 2
2 1 2
0 1 3 2
3 2 3 1
a a a
a a a a a
a a a
Para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solución única, el determinante de la
matriz de coeficientes debe ser diferente de cero:
a3 + a
2 – 2a 0 a(a
2 + a – 2) 0 a(a – 1)(a + 2) 0
0
1
2
a
a
a
por lo tanto a \ {-2, 0, 1}. Cuando a = -2:
2 5 0 0
0 3 5 1
2 8 5 4
2 5 0 0
0 3 5 1
0 3 5 4
2 5 0 0
0 3 5 1
0 0 0 5
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 3. Por lo tanto, cuando
a = -2, el sistema es inconsistente. Cuando a = 0:
2 2 2 2
1 1 1 1
a c c d
a c c d
0 1 2 1
0 0 5 0
0 0 3 0
0 1 2 1
0 0 5 0
0 0 0 0
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 2. Por lo tanto, cuando
a = 0, el sistema es indeterminado. Cuando a = 1:
1 1 3 1
0 0 2 2
1 1 4 1
1 1 3 1
0 0 2 2
0 0 1 0
1 1 3 1
0 0 2 2
0 0 0 2
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 3. Por lo tanto, cuando
a = 1, el sistema es inconsistente. Para solucionar el sistema de ecuaciones lineales,
debemos encontrar la inversa de la matriz de coeficientes y luego multiplicamos el
sistema AX = B a la izquierda por A-1
, para obtener el vector solución X = A-1
B:
22 2
2
4 12 109 7 3 5 3 8 5
(1 )( 2)( 1)( 2) (1 )( 2) ( 1)( 2)1
3 2 1 3 3 3 21
( 1)( 2) ( 1)( 2) (1 )( 2) (1 )( 2)2
1 1 1 2
2 2 2 2
a aa a a a a
a aa a a a a a a a a
a a a a aa
a a a a a a a aa
a
a a a a
X
.
b.- El primer paso es calcular el determinante de la matriz de coeficientes del
sistema:
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
170
3 2
2( 1) 3
4 1 1 2 1 6 11 6
5 4 1 3 4
a a
a a a a a a
a a a
Para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solución única, el determinante de la
matriz de coeficientes debe ser diferente de cero:
a3 - 6a
2 + 11a - 6 0 (a – 1)(a – 2)(a - 3) 0
1
2
3
a
a
a
por lo tanto a \ {1, 2, 3}.
Cuando a = 1:
4 3 1 5
3 2 1 4
1 2 1 0
4 3 1 5
0 1 1 1
0 5 5 5
4 3 1 5
0 1 1 1
0 0 0 0
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 2. Por lo tanto, cuando
a = 1, el sistema es indeterminado.
Cuando a = 2:
6 3 2 6
7 3 3 6
6 3 2 1
6 3 2 6
0 3 4 6
0 0 0 5
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 3. Por lo tanto, cuando
a = 2, el sistema es inconsistente.
Cuando a = 3:
8 3 3 7
11 4 5 8
11 4 5 2
8 3 3 7
0 1 12 13
0 1 12 61
8 3 3 7
0 1 12 13
0 0 0 48
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 3. Por lo tanto, cuando
a = 3, el sistema es inconsistente. Para solucionar el sistema de ecuaciones lineales,
debemos encontrar la inversa de la matriz de coeficientes y luego multiplicamos el
sistema AX = B a la izquierda por A-1
, para obtener el vector solución X = A-1
B:
2 2
2
1 6 5 3 2 4 15
( 1)( 2) ( 1)( 3) (1 )( 2)( 3) ( 2)(4
2 4 3 22 2
(1 )( 2) ( 1)( 3) (1 )( 2)( 3)1
1 2 7 2 8 5
(1 )( 2) (1 )( 3) ( 1)( 2)( 3)
a a a a a a
a a a a a a a aa
a a aa
a a a a a a aa
a a a a
a a a a a a a
X
2
3)
18
( 2)( 3)
3 3 21
(2 )( 3)
a
a
a a
a a
a a
EJEMPLO 4.2.14
Analizar según los parámetros dados y solucionar los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales:
a.-
2 3
2 3
2 3
x ay a z a
x by b z b
x cy c z c
; b.-
2 2 2 2
1x y z
ax by cz d
a x b y c z d
.
SOLUCION
a.- El primer paso es calcular el determinante de la matriz de coeficientes del
sistema:
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
171
2
2
2
1
1 ( )( )( )
1
a a
b b a b a c c b
c c
Para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solución única, el determinante de la
matriz de coeficientes debe ser diferente de cero:
(a – b)(a – c)(c - b) 0
b a
c a
b c
a b c
Cuando a = b: 2 3
2 3
2 3
1
1
1
b b b
b b b
c c c
2 31
0 0 0 0
1 0 ( )
b b b
bc bc b c
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 2. Por lo tanto, cuando
a = b, el sistema es indeterminado.
Cuando a = c:
2 3
2 3
2 3
1
1
1
c c c
b b b
c c c
2 31
1 0 ( )
0 0 0 0
c c c
bc bc b c
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 2. Por lo tanto, cuando
a = c, el sistema es indeterminado.
Cuando b = c: 2 3
2 3
2 3
1
1
1
a a a
c c c
c c c
2 3
1 0 ( )
1
0 0 0 0
ac ac a c
c c c
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 2. Por lo tanto, cuando
b = c, el sistema es indeterminado.
Para solucionar el sistema de ecuaciones lineales, debemos encontrar la inversa de la
matriz de coeficientes y luego multiplicamos el sistema AX = B a la izquierda por
A-1
, para obtener el vector solución X = A-1
B:
3
3
3
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
1 1 1
( )( ) ( )( ) ( )( )
bc ac ab
a b a c a b c b a c b c a abcb c a c a b
b ab ac bca b c a a b b c a c c b
a b cc
a b a c a b c b a c b c
X .
b.- El primer paso es calcular el determinante de la matriz de coeficientes del
sistema:
2 2 2
1 1 1
( )( )( )a b c a b a c c b
a b c
Para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solución única, el determinante de la
matriz de coeficientes debe ser diferente de cero:
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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172
(a – b)(a – c)(c - b) 0
b a
c a
b c
a b c.
Cuando a = b:
2 2 2 2
1 1 1 1
b b c d
b b c d
2 2 2 2
1 1 1 1
0 0
0 0
b c b d
b c b d
1 1 1 1
0 0
0 0 0 ( )( )
b c b d
c d b d
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 3. Por lo tanto, cuando
a = b, el sistema es inconsistente.
Cuando a = c:
2 2 2 2
1 1 1 1
c b c d
c b c d
2 2 2 2
1 1 1 1
0 0
0 0
c b c d
c b c d
1 1 1 1
0 0
0 0 0 ( )( )
c b c d
b d c d
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 3. Por lo tanto, cuando
a = c, el sistema es inconsistente.
Cuando b = c:
2 2 2 2
1 1 1 1
a c c d
a c c d
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
0
0
a c a c a d
a c a c a d
1 1 1 1
0
0 0 0 ( )( )
a c a c a d
c d a d
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 3. Por lo tanto, cuando
b = c, el sistema es inconsistente. Para solucionar el sistema de ecuaciones lineales,
debemos encontrar la inversa de la matriz de coeficientes y luego multiplicamos el
sistema AX = B a la izquierda por A-1
, para obtener el vector solución X = A-1
B:
2
1 ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1
1 ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
1 ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )(
bc b c b d c d
a b a c a b c a a b a c a b a c
ac a c a d d cd
a b c b a b b c a b c b a b b cd
ab a b a d b d
a c b c a c c b a c b c a c b
X
)c
.
IV. METODO DE CHOLESKY
Si una matriz A de n x n y todas sus submatrices cuadradas principales son no
singulares, entonces A = LU donde L y U son las matrices triangulares inferior y
superior respectivamente. L y U son esencialmente únicas y se especifican los
elementos diagonales de L o bien, de U, son únicas. El punto es que pueden
obtenerse L y U sin resolver ecuaciones simultáneas. Para resolver un sistema AX =
B de n ecuaciones en n incógnitas, ahora puede introducirse A = LU, teniendo LUX
= B, y premultiplicando por L-1
. Esto da UX = C donde C = L-1
B, y se ve que ésta es
la forma triangular del sistema. Primero se determina C a partir de LC = B y, a
continuación, se resuelve UX = C para X.
Los métodos numéricos se usan principalmente en aquellos problemas para los que
se sabe que la convergencia es rápida, de modo que se obtiene la solución con mucho
menos trabajo que con un método directo, y para sistemas de orden grande pero con
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
173
muchos coeficientes cero, para los cuales los métodos de eliminación serían
relativamente laboriosos y necesitarían mucha memoria en un computador. Los
métodos de cálculo numérico tienen un gran interés en ciertas aplicaciones de las
Matemáticas a la resolución de problemas en variadas áreas de la ingeniería, y entre
aquellos métodos destacan los que hacen referencia a la resolución de sistemas de
ecuaciones lineales.
EJEMPLO 4.2.15
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales
2 3 14
2 3 4 20
3 4 14
x y z
x y z
x y z
.
SOLUCION
La matriz A de coeficientes del sistema es simétrica. Esto implica que L = UT y
pueden determinarse los elementos de U a partir de
11 11 12 13
12 22 22 23
13 23 33 33
1 2 3 0 0
2 3 4 0 0
3 4 1 0 0
a a a a
a a a a
a a a a
multiplicando e igualando los elementos correspondientes. Sucesivamente se obtiene
211 11 12 11 13
2 211 12 12 22 12 13 22 23
2 2 211 13 12 13 22 23 13 23 33
1 2 3
2 3 4
3 4 1
a a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a a a
211 11 12 11 13
2 211 12 12 22 12 13 22 23
2 2 211 13 12 13 22 23 13 23 33
1, 2, 3
2, 3, 4
3, 4, 1
a a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a a a
11 12
13 22
23 33
1, 2
3,
2 , 2
a a
a a i
a i a i
.
De aquí que LC = B tiene la forma
1
2
3
1 0 0 14
2 0 20
3 2 2 14
c
i c
i i c
1
2
3
14
8
6
c
c i
c i
Ahora se resuelve
1
2
3
1 2 3 14
0 2 8
0 0 2 6
x
i i x i
i x i
1
2
3
1
2
3
x
x
x
.
V. METODO DE GAUSS - SEIDEL
Sea AX = B un sistema de ecuaciones lineales dado n ecuaciones. Sean X0, X1, ... la
sucesión iterativa de las aproximaciones sucesivas de Gauss – Seidel,
correspondientes a una aproximación inicial X0. Se dice que el método converge para
un X0, si la sucesión iterativa correspondiente converge a una solución del sistema de
ecuaciones dado.
Sin pérdida de generalidad, puede suponerse aij = 1 para j = 1, 2, ..., n, debido a que
puede lograrse esta forma de A, rearreglando las ecuaciones de modo que no se anule
coeficiente diagonal alguno y, a continuación, dividiendo cada ecuación por el
coeficiente diagonal que corresponda. Entonces puede escribirse A = I + L´ + U´,
donde I es la matriz identidad de n filas y L´ y U´ son, respectivamente, matrices
triangulares inferior y superior con diagonales principales nulas.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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174
Sustituyendo esta forma de A en AX = B, se tiene (I + L´ + U´)X = B. Se
acostumbra hacer L´ = - L y U´ = -U; entonces (I – L – U)X = B, de donde de hecho,
U es triangular superior y sus elementos (I – L)X = B + UX. De esto se obtiene la
fórmula de Gauss – Seidel
(I – L)Xm+1 = B + UXm m = 0, 1, ... (1)
diferentes de cero corresponden a esas posiciones en las que todavía tienen que
usarse las aproximaciones antiguas porque las nuevas correspondientes todavía no
están disponibles. En contraste, L es triangular inferior y sus elementos diferentes de
cero corresponden a aquellas posiciones en las que los elementos de la nueva
aproximación Xm+1 ya se tienen disponibles. Resolviendo (1) para Xm+1, se tiene
Xm+1 = (I – L)-1
B + CXm (2)
donde C = (I – L)-1
U. La iteración de Gauss – Seidel es un método de correcciones
sucesivas porque se reemplazan las aproximaciones por unas nuevas
correspondientes, tan pronto como éstas se han calculado. Este método recibe el
nombre de método de correcciones simultáneas si no se usa elemento alguno de una
aproximación Xm+1 hasta que se han calculado todos los elementos Xm+1.
EJEMPLO 4.2.16
Utilizando el método de Gauss-Seidel y cuatro cifras significativas, solucionar los
siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
a.-
0.25 0.25 0.50
0.25 0.25 0.50
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25
w x y
w x z
w y z
x y z
; b.-
4.1 0.1 0.2 0.2 21.14
0.3 5.3 0.9 0.1 17.82
0.2 0.3 3.2 0.2 9.02
0.1 0.1 0.2 9.1 17.08
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
.
SOLUCION
a.- Se escribe el sistema en la forma
0.25 0.25 0.50
0.25 0.25 0.50
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25
w x y
x w z
y w z
z x y
(1)
y se usan estas ecuaciones para la iteración; es decir, se parte de una aproximación a
la solución, digamos w0 = 1, x0 = 1, y0 = 1, z0 = 1 y calculamos una aproximación
presumiblemente mejor
1 0 0
1 1 0
1 1 0
1 1 1
0.25 0.25 0.50
0.25 0.25 0.50
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25
w x y
x w z
y w z
z x y
1
1
1
1
0.25 0.25 0.50 1.0000
0.25 0.25 0.50 1.0000
0.25 0.25 0.25 0.7500
0.25 (0.25)(0.7500) 0.25 0.6875
w
x
y
z
(2)
Se ve que estas ecuaciones se obtienen de las (1), sustituyendo a la derecha las
aproximaciones más recientes. En efecto, elementos correspondientes reemplazan a
los previos tan pronto como se han calculado, de modo que en la segunda y tercera
ecuaciones se usa w1 y en la última ecuación de (2) se usa x1 y y1. El siguiente paso
da
2 1 1
2 2 1
2 2 1
2 2 2
0.25 0.25 0.50
0.25 0.25 0.50
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25
w x y
x w z
y w z
z x y
2
2
2
2
0.25 (0.25)(0.75) 0.50 0.9375
(0.25)(0.9375) (0.25)(0.6875) 0.50 0.9062
(0.25)(0.9375) (0.25)(0.6875) 0.25 0.6563
(0.25)(0.9062) (0.25)(0.6562) 0.25 0.6405
w
x
y
z
(3)
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
175
3 2 2
3 3 2
3 3 2
3 3 3
0.25 0.25 0.50
0.25 0.25 0.50
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25
w x y
x w z
y w z
z x y
3
3
3
3
(0.25)(0.9062) (0.25)(0.6563) 0.50 0.8906
(0.25)(0.8906) (0.25)(0.6405) 0.50 0.8827
(0.25)(0.8906) (0.25)(0.6405) 0.25 0.6327
(0.25)(0.8827) (0.25)(0.6327) 0.25 0.6288
w
x
y
z
(4)
4 3 3
4 4 3
4 4 3
4 4 4
0.25 0.25 0.50
0.25 0.25 0.50
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25
w x y
x w z
y w z
z x y
4
4
4
4
(0.25)(0.8827) (0.25)(0.6327) 0.50 0.8788
(0.25)(0.8788) (0.25)(0.6288) 0.50 0.8768
(0.25)(0.8788) (0.25)(0.6288) 0.25 0.6268
(0.25)(0.8788) (0.25)(0.6268) 0.25 0.6263
w
x
y
z
(5)
5 4 4
5 5 4
5 5 4
5 5 5
0.25 0.25 0.50
0.25 0.25 0.50
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25
w x y
x w z
y w z
z x y
5
5
5
5
(0.25)(0.8768) (0.25)(0.6268) 0.50 0.8758
(0.25)(0.8758) (0.25)(0.6263) 0.50 0.8755
(0.25)(0.8758) (0.25)(0.6263) 0.25 0.6255
(0.25)(0.8755) (0.25)(0.6255) 0.25 0.6252
w
x
y
z
(6)
6 5 5
6 6 5
6 6 5
6 6 6
0.25 0.25 0.50
0.25 0.25 0.50
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25
w x y
x w z
y w z
z x y
6
6
6
6
(0.25)(0.8755) (0.25)(0.6255) 0.50 0.8752
(0.25)(0.8752) (0.25)(0.6252) 0.50 0.8751
(0.25)(0.8752) (0.25)(0.6252) 0.25 0.6251
(0.25)(0.8751) (0.25)(0.6251) 0.25 0.6250
w
x
y
z
(7)
7 6 6
7 7 6
7 7 6
7 7 7
0.25 0.25 0.50
0.25 0.25 0.50
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25
w x y
x w z
y w z
z x y
7
7
7
7
(0.25)(0.8751) (0.25)(0.6251) 0.50 0.8750
(0.25)(0.8750) (0.25)(0.6250) 0.50 0.8750
(0.25)(0.8750) (0.25)(0.6250) 0.25 0.6250
(0.25)(0.8750) (0.25)(0.6250) 0.25 0.6250
w
x
y
z
(8)
Ubicando todos los resultados en una tabla, obtenemos:
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
176
r 0 1 2 3 4 5 6 7
x 1.0000 1.0000 0.9062 0.8827 0.8768 0.8758 0.8751 0.8750
y 1.0000 0.7500 0.6563 0.6327 0.6268 0.8755 0.6251 0.6250
z 1.0000 0.6875 0.6405 0.6288 0.6263 0.6255 0.6250 0.6250
w 1.0000 1.0000 0.9375 0.8906 0.8788 0.8758 0.8752 0.8750
La solución exacta es w = x = 0.875, y = z = 0.625.
b.- El sistema de ecuaciones se escribe en la forma:
0.1 0.2 0.2 21.14
4.1
0.3 0.9 0.1 17.82
5.3
0.2 0.3 0.2 9.02
3.2
0.1 0.1 0.2 17.08
9.1
y z ux
x z uy
x y uz
x y zu
Comenzando el proceso y ubicando todos los resultados en una tabla, obtenemos:
r 0 1 2 3 4 5
x 1.0000 5.0340 5.2000 5.1990 5.2000 5.2000
y 1.0000 -3.7980 -4.1650 -4.1990 -4.2000 -4.2000
z 1.0000 2.7970 2.9960 3.0000 3.0000 3.0000
u 1.0000 -1.8010 -1.7990 -1.8000 -1.8000 -1.8000
De aquí concluimos que la solución exacta es: x = 5.2, y = -4.2, z = 3, u = -1.8
EJEMPLO 4.2.17
Aplicar la iteración de Gauss – Seidel a los sistemas siguientes, partiendo de 1, 1, 1.
a.-
10 13
10 36
10 35
x y z
x y z
x y z
; b.-
4 2 14
5 10
8 20
x y z
x y z
x y z
.
SOLUCION
a.- El sistema de ecuaciones se escribe en la forma:
13
10
36
10
35
10
y zx
x zy
x yz
Comenzando el proceso y ubicando todos los resultados en una tabla, obtenemos:
r 0 1 2 3 4
x 1.0000 1.5000 2.0330 2.0000 2.0000
y 1.0000 3.3500 2.9980 2.9990 3.0000
z 1.0000 3.9850 4.0030 4.0000 4.0000
De aquí concluimos que la solución exacta es: x = 2, y = 3, z = 4.
b.- El sistema de ecuaciones se escribe en la forma:
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
177
2 14
4
10
5
20
8
y zx
x zy
x yz
Comenzando el proceso y ubicando todos los resultados en una tabla, obtenemos:
r 0 1 2 3 4 5 6
x 1.0000 2.7500 2.1870 2.0280 2.0050 2.0010 2.0000
y 1.0000 1.6500 1.9520 1.9900 1.9980 1.9990 2.0000
z 1.0000 1.9500 1.9820 1.9970 1.9990 2.0000 2.0000
De aquí concluimos que la solución exacta es: x = 2, y = 2, z = 2.
VI. METODO DE JACOBI
Una técnica iterativa para resolver el sistema de ecuaciones lineales AX = B,
comenzando con la aproximación inicial x(0)
a la solución x, consiste en generar una
sucesión de aproximaciones x(0)
, x(1)
, ..., x(n)
que convergerán a la solución x, donde
(0)
(0) (0) (0) (0)1, 1 1 11 1 1(1)
... ...
n
i i j j
j j i i i i i i i i n ni i
ii i i i
b a xb a x a x a x a x
xa a
(1)
(2) (2) (2) (2)1, 1 1 11 1 1(2)
... ...
n
i i j j
j j i i i i i i i i n ni i
ii i i i
b a xb a x a x a x a x
xa a
( )
1,( 1)
nr
i i j j
j j iri
i i
b a x
xa
, r = 0, 1, 2, ...
expresión que se denomina fórmula de iteración de Jacobi. Matricialmente este
método es similar a la iteración de Gauss – Seidel, pero que consiste en no usar
valores mejorados hasta que se ha completado el paso y a continuación, reemplazar
completamente Xm por Xm+1 para el ciclo siguiente.
De aquí que si se escribe AX = B en la forma X = B + (I – A)X, la iteración de
Jacobi en notación matricial es Xm+1 = B + (I – A)Xn. Este método tiene un gran
interés teórico. Converge para toda elección de X0 si, y sólo si, el radio espectral de
I – A es menor que 1; aquí nuevamente se supone aij = 1 para j = 1, 2, ...
EJEMPLO 4.2.18
Resuelva el siguiente sistema:
7 4 8
3 8 2 4
4 6 3
x y z
x y z
x y z
Realizar los cálculos con tres decimales redondeados.
SOLUCION
Analicemos previamente si la matriz de coeficientes es estrictamente diagonal
dominante, ya que es condición suficiente para que el proceso iterativo sea
convergente
| 7 | > | -1 | + | 4 |, | -8 | > | 3 | + | 2 | y | -6 | > | -4 | + | 1 |
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
178
Luego, efectivamente, cumple la condición suficiente de convergencia. Las fórmulas
de iteración de Jacobi para este sistema serán:
( 1) ( ) ( )1 2 3
( 1) ( ) ( )2 1 3
( 1) ( ) ( )3 1 2
1(8 4 )
7
1(4 3 2 )
8
1(3 4 )
6
r r r
r r r
r r r
x x x
x x x
x x x
Comencemos con la aproximación inicial (0) (0) (0)1 2 3 0x x x . Entonces, la primera
iteración resulta
(1)1
(1)2
(1)3
81,143
7
40,5
8
30,5
6
x
x
x
y la segunda
(2)1
(2)2
(2)3
1(8 0,5 2) 1,5
7
1(4 3, 429 1) 0,804
8
1(3 4,572 0,5) 1,179
6
x
x
x
Así sucesivamente hasta que se cumpla la condición de paro establecida. En la
siguiente tabla se muestran las iteraciones necesarias, que resultan ser diez.
r 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x1 0.000 1,143 1,500 1,931 2,033 2,217 2,240 2,322 2,322 2,359 2,354
x2 0.000 0,500 0,804 0,768 0,883 0,848 0,904 0,881 0,910 0,895 0,911
x3 0.000 -0,500 -1,179 -1,366 -1,659 -1,708 -1,837 -1,843 -1,901 -1,896 -1,923
EJEMPLO 4.2.19
Partiendo de 0, 0, 0, demuestre que la iteración de Gauss – Seidel converge para el
sistema siguiente
2 4
2 4
2 4
x y z
x y z
x y z
mientras que la iteración de Jacobi diverge.
SOLUCION
Aplicando el método de Gauss – Seidel, el sistema de ecuaciones se escribe en la
forma:
2 14
4
10
5
20
8
y zx
x zy
x yz
Comenzando el proceso y ubicando todos los resultados en una tabla, obtenemos:
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
179
r 0 1 2 3 4 5 6 7 8
x 0.0000 2.0000 1.2500 1.0310 0.9882 0.9888 0.9950 0.9984 1.0000
y 0.0000 1.0000 1.1250 1.0780 1.0330 1.0100 1.0020 1.0000 1.0000
z 0.0000 0.5000 0.8125 0.9455 0.9893 1.0000 1.0010 1.0000 1.0000
de aquí concluimos que la solución exacta es: x = 1, y = 1, z = 1
Para Aplicar el método de Jacobi, analicemos previamente si la matriz de
coeficientes es estrictamente diagonal dominante, ya que es condición suficiente para
que el proceso iterativo sea convergente | 2 | > | 1 | + | 1 |, | 2 | > | 1 | + | 1 | y | 2 | > | 1 |
+ | 1 |. Podemos darnos cuenta que no se cumple la condición de Jacobi, por lo tanto
este método diverge.
EJEMPLO 4.2.20
Resulta evidente pensar que la iteración de Gauss – Seidel es mejor que la iteración
de Jacobi. En realidad, los métodos no son comparables. Ilustrar este hecho,
demostrando que para el sistema
2
0
2 3 0
x z
x y
x y z
la iteración de Jacobi converge, mientras que la iteración de Gauss – Seidel diverge.
SOLUCION
Analicemos previamente si la matriz de coeficientes es estrictamente diagonal
dominante, ya que es condición suficiente para que el proceso iterativo sea
convergente | 1 | > | 1 |, | 1 | > | 1 | y | -3 | > | 1 | + | 2 |. Podemos darnos cuenta que no
se cumple la condición de Jacobi. Las fórmulas de iteración de Jacobi para este
sistema serán:
( 1) ( )
( 1) ( )
( 1) ( ) ( )
2
1( 2 )
3
r r
r r
r r r
x z
y x
z x y
Comencemos con la aproximación inicial (0) (0) (0) 0x y z
En la siguiente tabla se muestran las iteraciones necesarias:
r 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 0.0000 2.0000 2.0000 1.3330 0.0000 0.2229 1.1110 1.9250 1.4810 0.6180 0.2229
y 0.0000 0.0000 2.0000 2.0000 1.3330 0.0000 0.2229 1.1110 1.9250 1.4810 0.6180
z 0.0000 0.0000 0.6666 2.0000 1.7770 0.8886 0.0743 0.5189 1.3820 1.7770 1.1930
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
0.8070 1.5130 1.5820 0.9580 0.4640 0.6260 1.2060 0.7940 1.1800 0.9320 1.0770 0.9030
0.2229 0.8070 1.5130 1.5820 0.9580 0.4640 0.6260 1.2060 0.7940 1.1800 0.9320 1.0770
0.4862 0.4176 1.0420 1.5360 1.3740 0.7933 0.5180 0.8193 1.0680 0.9226 1.0970 0.9803
23 24 25 26 27 28
1.0190 0.9809 1.0580 0.9940 0.9940 0.9640
0.9030 1.0190 0.9809 1.0580 0.994 0.994
1.0190 0.9416 1.0060 1.0060 1.0360 0.9940
de aquí concluimos que la solución exacta es:
x = 1, y = 1, z = 1
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
180
Aplicando el método de Gauss – Seidel, el sistema de ecuaciones se escribe en la
forma:
2
2
3
x z
y x
x yz
Comenzando el proceso y ubicando todos los resultados en una tabla, obtenemos:
r 0 1 2 3 4 . . .
x 0 2 0 2 0 . . .
y 0 2 0 2 0 . . .
z 0 2 0 2 0 . . .
De aquí concluimos que este método diverge.
PROBLEMAS
4.2.1 ¿Cuál es la condición para que tres puntos P(a, b),
Q(c, d), R(e, f) estén situados en una recta?
4.2.2 Una compañía minera trabaja en tres minas, cada
una de las cuales produce minerales de tres clases. La
primera mina puede producir 4 Tm del mineral A, 3 Tm
del B y 5 Tm del C; la segunda mina puede producir 1 Tm
de cada uno de los minerales y, la tercera mina, 2 Tm del
A, 4 Tm del B y 3 Tm del C, por cada hora de
funcionamiento. Cuántas horas se debe trabajar en cada
mina para satisfacer los tres pedidos siguientes:
A B C
P1
P2
P3
19
13
8
25
16
12
25
16
10
4.2.3 Determinar el valor de k, utilizando el método de
Gauss-Jordan, para que el siguiente sistema no tenga
solución:
4 2 2
0
2 3
x y kz
y z
x y z
.
4.2.4 Plantear el sistema de ecuaciones lineales que
permite obtener el polinomio de tercer grado que es
divisible por (x – 3) y (x + 1) y además tiene resto -3 y -15
al dividir respectivamente por (x – 2) y (x + 2).
4.2.5 Hallar el polinomio f(t) de tercer grado para el cual
f(1) = -2, f(2) = -4, f(3) = -2, f(4) = 10.
4.2.6 Hallar la ecuación de la recta que pasa por los
puntos P(a, b), Q(c, d).
4.4.7 Un espía sabe que en un aeropuerto hay
es2acionados 60 aviones entre cazas y bombarderos. El
agente conoce además que en el aeropuerto se han
introducido 200 cohetes para equipar a estos 60 aviones,
de manera que cada caza lleva 6 de dichos cohetes y cada
bombardero 2. ¿Cuál es el número de cazas y
bombarderos que hay en el aeropuerto?
4.2.8 Escribir la ecuación de la circunferencia que pasa
por los puntos
P(2, 1), Q(1, 2), R(0, 1).
4.2.9 ¿Cuál es la condición para que cuatro puntos
P(a, b), Q(c, d), R(e, f), S(m, n)
estén situados en una circunferencia?
4.2.10 Hallar la ecuación de la curva de segundo orden
que pasa por los puntos
P(0, 0), Q(1, 0), R(-1, 0), S(1, 1), T(-1, 1).
4.2.11 Hallar la ecuación de la parábola de tercer grado
que pasa por los puntos
P(1, 0), Q(0, -1), R(-1, -2), S(2, 7).
4.2.12 Formar la ecuación de la esfera que pasa por los
puntos
P(1, 0, 0), Q(1, 1, 0), R(1, 1, 1), S(0, 1, 1).
4.2.13 Una empresa se dedica a la fabricación de cuatro
tipos de jabón. Desde la compra de materias primas
hasta la disposición para la distribución se realizan las
siguientes fases:
I. Se mezclan los dos tipos de materias primas
utilizadas, grasa vegetal y sosa cáustica.
II. Se introduce la mezcla obtenida en unos moldes
preparados para el efecto.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
181
III. Los bloques obtenidos en la fase anterior se cortan
y troquelan.
IV. Las pastillas así obtenidas se envasan en cajas de
cartón de doscientas unidades.
Los recursos necesarios para producir los cuatro tipos
de jabones, por caja fabricada, vienen dados en la
siguiente tabla:
Jabón S. mezclado S. moldeado S. troquelado
Kg grasa Kg sosa Hora / máquina Hora / máquina
J1
J2
J3
J4
20
25
40
50
10
15
20
22
10
8
10
15
3
4
7
20
Si se dispone durante una semana de 1970 kg de grasa
vegetal, 970 de sosa cáustica, 601 hora/máquina en la
sección de moldeados y de 504 horas/máquina en la
sección de troquelado, ¿cuántas cajas de jabones de
cada tipo se pueden producir, utilizando todos los
recursos disponibles, en una semana?
4.2.14 Resolver mediante el método de eliminación de Gauss-Jordan los siguientes sistemas de ecuaciones:
a.-
3 1
2 2 0
5 6 3 2
x y z
x y z
x y z
;
b.-
2 8
5 3 2 3
7 3 20
x y z
x y z
x y z
;
c.-
4 5 6 3
8 7 3 9
7 8 9 6
x y z
x y z
x y z
;
d.-
2 6 3
3 2 5
4 1
x y z
x y z
x y z
;
e.-
5 3 4(1 )
2( 2 ) 8
2 3 14
x z y
z x y
y x z
;
f.-
5 2 3
2 8 1
3 3 5 5
x y z
x y z
x y z
;
g.-
2 3 1
5 2 4
3 5 7 2
x y z
x y z
x y z
;
h.-
7 4 3 3
4 3 1
6 7 3 6
x y z
x y z
x y z
;
i.-
3 0
4 1
7 3 2
x y z
x y z
x y z
;
j.-
2 5 2
8 6 8
3 5
x y z
x y z
x y z
;
k.-
9 6 8
5 3 1
5 7
x y z
x y z
x y z
;
l.-
7 9 0
4 6 3 1
7 5 2
x y z
x y z
x y z
;
m.-
5 5 9 5
7 6 3
2 7 5 0
x y z
x y z
x y z
;
n.-
7 9 9 0
12 5 5
3 7 6 6
x y z
x y z
x y z
;
o.-
5 9 9
5 3 3 0
3 9
x y z
x y z
x y z
;
p.-
9 7 0
8 2 1
7 7 4 2
x y z
x y z
x y z
;
q.-
5 10 5
9 3 1
9 5 5
x y z
x y z
x y z
;
r.-
7 9 0
9 7 1
2 5 7 2
x y z
x y z
x y z
;
s.-
9 7 8
7 9 1
8 2 7
x y z
x y z
x y z
;
t.-
2 3 9 9
7 7 4 8
5 8 3 7
x y z
x y z
x y z
;
u.-
5 5 7 7
2 9 2 2
9 5 9 9
x y z
x y z
x y z
;
v.-
9 7 7
3 9 3
5 7 9 5
x y z
x y z
x y z
;
w.-
6 9 3 3
2 4 8 2
7 9 5 3
x y z
x y z
x y z
;
x.-
9 7 5
7 5 4
9 5 5
x y z
x y z
x y z
.
4.2.15 Determine de ser posible los valores de a, para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solución única, tenga
más de una solución, no tenga solución y encuentre la solución general del sistema en términos de a:
a.-
2 3 1
1
1
x y az
ax y z
x y az
;
b.-
2 2
2 1
ax ay z
x y az a
x y az
;
c.-
( 1) 1
( 1) 1
( 1) 1
x y a z
x a y z
a x y z
;
d.-
( 1) 2 3
( 1) 1
2 4 2
a x y z a
a x y z
x y az
;
e.-
1
1
1
x ay az
ax ay z
ax y az
;
f.-
1
1
x ay z
ax y z a
x y az
;
g.-
( 1) 1
( 1) 1
x a y z
ax y a z
x y z a
;
h.-
( 1) 1
3 2 1
a x y az
x y z a
x y az
;
i.-
3 0
3
1
x ay z
x y z a
x y z
;
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
182
j.-
4 3
2 3 3 1
x y az a
x y z
x y az a
;
k.-
(2 1) 1
(2 1) 2
(2 1) 3
x a y z
a x y z
x y a z
;
l.-
(2 1) 1
(2 2) 1
(2 3) 1
a x y z
x a y z
x y a z
;
m.-
3 2
3
2
x ay z
x y az
x y z a
;
n.- 2
1
0
1
ax y z
x a y z
x y az
;
o.-
( 1) 1
( 2) 1
( 3) 1
a x y z
a x y z
a x y z
;
p.-
( 2) 1
2 ( 1) 1
3 ( 1) 1
ax a y z
x a y z
x a y z
;
q.-
1
2 1
x y z
x y z
ax y z a
;
r.-
3 2 3 1
2 3 1
3 1
ax y z
x ay z
x y az
;
s.-
( 2) 2
( 3) 3
( 4) 4
a x y z
x a y z
x y a z
;
t.-
0.2 0.1 0.2
0.1 0.3 0.1
0.3 0.4 0.3
ax y z
x y z
x y z
;
u.-
3 2
3 1
3 3
x ay z
ax y z
x y az
;
v.-
2 2 3 1
3 1
4 1
ax y z
x ay z
x y z
;
w.-
( 3) 1
( 3) 1
( 3) 1
x y a z
x a y z
a x y z
;
x.-
3 2
2
x y az a a
x y z a a
x y az a
.
4.2.16 Determine de ser posible los valores de a y b, para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solución única,
tenga más de una solución, no tenga solución y encuentre la solución general del sistema en términos de a y b:
a.-
4
3
2 4
ax y z
x by z
x by z
;
b.-
1
1
ax by z
x aby z b
x by az
;
c.-
( 1) 1
( 1) 1
bx a y z
ax y a z
x y z a
;
d.-
(2 1) 1
(2 1)
(2 1) 1
b x y z
x b y z b
x y b z
;
e.-
ax y z b
x ay z c
x y az d
;
f.-
1
x ay z b
bx y z a
x y z
;
g.-
( 1) 1
( 1)
( 1) 1
x y b z
x a y z b
b x y z
;
h.-
(2 1) 1
(2 1)
(2 1) 3
x a y z
a x y z b
x y b z
;
i.-
1
1
x by az
bx ay z
ax y az b
;
j.-
3 0x y bz
x by z a
x y z b
;
k.-
2 2 3 1
3
4 1
bx y z
x ay z b
x by z
;
l.-
( 2) 1
( 1) 1
3 ( 1) 1
ax b y z
bx a y z
x b y z
;
m.-
2
3
2 1
x by az
bx y z
x y z
;
n.-
3
2 3 1
bx y bz b
x by z
x y az a
;
o.-
( 1) 1
( 2)
( 3) 1
b x y z
a x y z b
b x y z
;
p.-
0.2 0.1 0.2
0.1 0.3 0.1
0.3 0.4 0.3
bx y z
x by z
x y az
;
q.- 2
1
1
bx y z
x a y z b
x y bz
;
r.- 3
ax y z b
x by z
x y az b
;
s.-
3 1
1
bx y az
ax by z
bx y az b
;
t.-
( 3)
( 3) 1
( 3) 1
x y a z b
x b y z
a x y z
;
u.- 1
x y z b
bx y z
ax by z a
;
v.-
3 2
3
3 3
x ay az
bx y z b
x y z
;
w.-
3 2 3
2 3 1
3 1
ax y z b
bx ay z
x y bz
;
x.-
3 2
2
x y z b b
x y z a a
x y z b
.
4.2.17 Solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando un método numérico:
a.-
3.2 5.4 4.2 2.2 2.6
2.1 3.2 3.1 1.1 4.8
1.2 0.4 0.8 0.8 3.6
4.7 10.4 9.7 9.7 8.4
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
;
b.-
7.9 5.6 5.7 7.2 6.68
8.5 4.8 0.8 3.5 9.95
4.3 4.2 3.2 9.3 8.6
3.2 1.4 8.9 3.3 1
x y z w
x y z w
x y z w
x y z w
;
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
183
c.-
2.5 1.25 3.75 5 0.625
4.125 2.75 5.5 4.125 1.25
8.125 4.875 3.25 1.625 0.625
5.25 5.25 1.75 3.5 0,625
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
;
d.-
3.2 5.4 4.2 2.2 2.6
2.1 3.2 3.1 1.1 4.8
1.2 0.4 0.8 0.8 3.6
4.7 10.4 9.7 9.7 8.4
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
;
e.-
2.4 0.2 0.3 1.1 5.8 23.84
0.3 0.1 1.1 10.2 38.85
0.5 6.2 0.1 1.5 1.2 17.23
0.1 2.1 5.1 0.2 0.3 6.56
2.5 0.1 0.2 0.3 0.4 6.63
x y z u w
x y z u w
x y z u w
x y z u w
x y z u w
.
4.2.18 Resolver mediante el método de eliminación de Gauss-Jordan los siguientes sistemas de ecuaciones:
a.-
2
3 1
2 2 1
3 1
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
;
b.-
1
2
2 2 1
2 2 2
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
;
c.-
2 2 0
3 3 1
3 3 0
3 1
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
;
d.-
2 3 0
3 2 5 1
3 2 0
2 3 1
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
;
e.-
2 2 0
3 1
3 2 0
2 1
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
;
f.-
3 3
3 2
3 1
3 1
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
;
g.-
3 2 1
3 2
3 1
3 1
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
;
h.-
5 3 2
3 2 2
3 2 2 1
2 1
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
;
i.-
2 2 3 3 1
2 2 2 1
3 2 3 1
3 2 1
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
;
j.-
2 3 3
2 3 2 1
2 3 2
2 3 2 1
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
;
k.-
4 3 2 1
5 4 3 2
4 5 2 1
2 2 3 2
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
;
l.-
3 3 3
2 3 2 1
3 2 3 2
4 3 3 4
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
;
m.-
2 3 5
2 3 2 3
3 2 1
3 2 2
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
;
n.-
3 2 1
2 2 2 1
2 3 2
3 3
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
;
o.-
5 3 2 1
4 3 2 2 2
3 2 3 3 3
2 4 4
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
;
p.-
3 5 7 4
7 5 3 3
2 7 4 2
5 4 3 1
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
;
q.-
7 5 3 5
4 3 2 2
5 3 4 3
6 4 2
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
;
r.-
7 12 4 3 5
3 7 5 4 2
2 5 12 3
12 15 2 4
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
;
s.-
2 4 5 6 1
3 3 4 1
3 2 3 3
4 2 5 2
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
;
t.-
4 3 5 5
10 3 2
4 2 5 3
5 3 2 1
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
;
u.-
3 4 5 4
5 6 2 1
2 4 4 3
5 5 3 2
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
184
4.3 CUESTIONARIO
Responda verdadero (V) o falso (F) a cada una de las siguientes afirmaciones. Para las afirmaciones que sean falsas,
indicar por que lo es:
4.3.1 Si las matrices aumentadas de dos sistemas de
ecuaciones lineales son equivalentes por filas, entonces los
dos sistemas tienen el mismo conjunto solución.
4.3.8 Para que un sistema homogéneo de n ecuaciones
lineales con n incógnitas tenga soluciones no nulas es
necesario y suficiente que el determinante de la matriz de
coeficientes sea diferente de cero.
4.3.10 La solución general de un sistema no homogéneo
de ecuaciones lineales es igual a la suma de la solución
general del sistema homogéneo asociado y de una solución
cualquiera, pero fija, del sistema no homogéneo.
4.3.6 Para que un sistema no homogéneo de ecuaciones
lineales sea inconsistente, es necesario y suficiente que el
rango de la matriz de coeficientes sea igual al rango de la
matriz aumentada.
4.3.5 Un sistema homogéneo de ecuaciones lineales tiene
un número indeterminado de soluciones si, y sólo si el
sistema tiene por lo menos una variable libre.
4.3.4 Si A es una matriz de orden m x n, entonces, para
cada B m, entonces el sistema de ecuaciones AX = B
tiene un número indeterminado de soluciones.
4.3.7 Para que un sistema homogéneo de ecuaciones
lineales sea inconsistente, es necesario y suficiente que el
rango de la matriz de coeficientes sea menor que el
número de variables.
4.3.9 Cualquier combinación lineal de unas soluciones
de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales será
también una solución del mismo.
4.3.2 Un sistema de ecuaciones lineales es consistente si
y sólo si la columna del extremo derecho de la matriz
aumentada es una columna pivote.
4.3.3 El sistema de ecuaciones AX = B tiene solución
única si y sólo si B es una combinación lineal de las
columnas de A.
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