حل المتباينات التي تتضمن القيمة المطلقة

) حل المتباينات التي تتضمن القيمة المطلقة5- 4(

فيما سبق: درست حل معادلت تتضمن القيمة المطلقة.

أحل متباينات القيمة المطلقة (<) وأمثلها بياني.ًا.

أحل متباينات القيمة المطلقة (>) وأمثلها بياني.ًا.

وال�ن

لماذا؟

تستعمل بعض الشركات متباينات القيمة المطلقة لضبط جودة منتجاتها. فلعمل قطع جزر صغيرة تستعمل آلة لتقطيع 3حبات الجزر الطويلة إلى شرائح بطول

سنتمترات.

لماذا؟

ــــــــــفإذا تراوحت دقة اللة ضمن سنتمتر، فإ�ن أطوال الشرائح تتراوح بين

1 سنتمترات. 3ــــــــ سنتمتر إلى 2ـــــــ

1

8 8

8

7

لماذا؟

متباينات القيمة المطلقة (<): تعني أ�ن المسافة 3س│< │المتباينة

3 أقل من 0بين س َو

لماذا؟

ومجموعة 3 وس < 3إذ�ن، س > -} 3 < س < 3-│الحل هي: {س

وعند حل متباينات القيمة المطلقة، تؤخذ لماذا؟ الحالتا�ن التيتا�ن بعين العتبار:

أ�ن تكو�ن العبارة داخل رمز القيمة : 1الحالةالمطلقة غير سالبة.

أ�ن تكو�ن العبارة داخل رمز القيمة : 2الحالةالمطلقة سالبة.

لماذا؟

وتكو�ن مجموعة الحل هي اتحاد ح ّل هاتين الحالتين.

1مثال

حل متباينات القيمة المطلقة (<)

.ًال من المتباينتين التيتين، ثم م ّثل مجموعة حل كحلها بياني.ًا:

11│< 2أ) │م +

11│< 2أ) │م +

غير سالبة 2م + :1الحالة2، 1 لكل من الحالتين 11│< 2أعد كتابة │م +

2-11< 2- 2م + 9= م

سالبة 2م + :2الحالة11) < 2م + -(

2-11 > - 2-2م + 13> -م . وتكو�ن مجموعة الحل 13 َو م > -9إذ�ن، م<

} 9 < م < 13هي: {م│-

1مثال حل متباينات القيمة المطلقة (<)

.ًال من المتباينتين التيتين، ثم م ّثل مجموعة حل كحلها بياني.ًا:

2│< -1ب) │ص-

│ل يمكن أ�ن تكو�ن سالبة. لذا ل يمكن أ�ن تكو�ن 1│ص - ، وعليه، ل يوجد حل لهذه المتباينة، 2│أقل من -1│ص-

øوتكو�ن مجموعة حلها هي المجموعة الخالية

فهمك من تحقق

2 ≥ | 8أ) | �ن – 1

الحـــــــــــــــــــــل

2 ) ≤ 8 : ــ ( ن ــ 2 و الحالة 2 ≤ 8 : ن ــ 1الحالة

8 ــ 2 ≤ 8 ــ 8 و ــ ن + 8 + 2 ≤ 8 + 8 ن ــ 6≥ و ن 10 ن ≤

10 ≤ ن ≤ 6 { 10 ≤ ن ≤ 6 │ ن } مجموعة الحل هي =

فهمك من تحقق

3 | < -5جـ – 2ب) | 1

الحــــــــــــــــل

3 │ < ــ 5 ب ) │ ن جـ ــ 1

ل ويمكن أن تكون سالبة وعليه لويوجد حل لهذه المعادلة وتكون مجموعة حلها هي المجموعة الخالية

الربط مع الحياة

وافق مجلس الوزراء الموقر على إدخال هـ، 1417النترنت للمملكة رسمي ًا عام

ويقدر عدد المستفيدين منه حالي ًا بنحو مليين نسمة. 10

من واقع الحياة2مثال

استعمال متباينات القيمة المطلقة

أظهرت دراسة مسحية حديثة أن إنترنت: ٪ من الشباب يستعملون النترنت. فإذا 65

نقاط مئوية، 3كان هامش الخطأ ضمن فأوجد مدى النسبة المئوية للشباب الذي

يستعملون النترنت.

الحــــل

بما أن الفرق بين النسبة المئوية الفعلية للذين يستعملون النترنت والنسبة الواردة

٪، فإن 3في الدراسة أقل من أو تساوي ، حيث تمثل س النسبة 3│≤ 65│س-

المئوية الفعلية.

حل المتباينة في كل من الحالتين.

: 1الحالة غير سالبة 65س -

3│≤ 65│س-

3 ≥ 65س –

65+3 ≥ 65+65س – 68 ≥س

: 2الحالة سالبة65س-

3 ≥ ) 65-(س –

3 ≤ 65س –

62 ≤س

إذن، مدى النسبة المئوية الفعلية للشباب الذين } 68≤ س ≤ 62يستعملون النترنت هو: {س│

فهمك من تحقق

˚ سيليزية. 0درجة انصهار الجليد هي كيمياء: )2لكن خالد ًا لحظ أثناء إجراء تجربة أن درجة

˚سيليزية. اكتب مدى 1انصهار الجليد تتغير ضمن درجات الحرارة التي لحظها خالد.

إن المتباينة متباينات القيمة المطلقة (>): 0 تعني أن المسافة بين س و 3│س│ >

3أكبر من

3 أو س > 3إذن، س < -وتكون مجموعة الحل هي:

} 3 أو س > 3{س│س < -

وكما هو الحال في المثال السابق يجب أن نأخذ الحالتين التاليتين بعين العتبار:

: أن تكون العبارة داخل رمز القيمة 1الحالةالمطلقة غير سالبة.

: أن تكون العبارة داخل رمز القيمة 2الحالةالمطلقة سالبة.

إرشادات للدراسة

القيمة المطلقة: إن مجموعة حل المتباينة │أ│≥ ب حيث أ عبارة خطية بمتغير واحد، ب

عدد سالب، هي دائم ًا مجموعة العداد الحقيقية؛ لن │أ│أكبر أو يساوي صفر دائم ًا، وبذلك يكون

│أ│ دائم ًا أكبر من ب

3مثال

حل متباينات القيمة المطلقة (>)

، وملّثل مجموعة 12│≥ 6ن + 3حل المتباينة │حلها بياني ًا.

12│≥ 6ن + 3أعد كتابة المتباينة │ أعل.ه. 2، 1في الحالتين

، وملّثل مجموعة 12│≥ 6ن + 3حل المتباينة │حلها بياني.ًا .

:1الحالة غير سالبة . 6ن + 3

أعل.ه . 2، 1 في الحالتين 12│≥ 6ن + 3أعد كتابة المتباينة │

12 ≥6ن + 3

6-12 ≥6-6ن + 36 ن ≥3

2 ن ≥

:2الحالة سالبة 6ن + 3

12≥ )6ن+3-(

12 -≤ 6ن + 318 -≤ن 3

6 -≤ن

ومجموعة الحل هي: 6 أو ن ≤ -2إذن، ن ≥ }6 أو ن ≤ -2{ن│ن ≥

فهمك من تحقق

، ومثل 5│≥ -6 أ ) حل المتباينة: │ر- 3مجموعة حلها بياناّيا

الحـــــــــــــــــــل

مجمودعة الدعداد الحقيقية

الحـــــــــــــــــــل

فهمك من تحقق

7≥ │ 1ك + 2 ب) حل المتباينة: │3

، ومثل مجموعة حلها بياناّيا

الحــــــــــــل

:2 : الحالة 1 الحالة ) ≥ 1 ك + 2 أو ــ ( 7 ≥ 1 ك + 2 7 ) ≥ 1 ك ــ 2 أو ــ ( 1 ــ 7 ك ≥ 2

6 أو ك ≤ ــ 3 ك ≥ { 6 أو ك ≤ ــ 3ك ≥ │ ك }

تأكد

.ًل من المتباينات التية، وملّثل حل كمجموعة حلها بياناّيا

8 ≥| 2| ب - ) 4

الحــــــــــــــــل

8 ) ≥ 2 أو ــ ( ب ــ 8 ≥ 2 : ب ــ 1 الحالة 8 ≥ 2 أو ــ ب + 2 + 8 ≥ 2 + 2 ب ــ

6 أو ب ≤ ــ 10 ب ≥ { 6 أو ب ≤ ــ 10 ب ≥ │ ب } مجمودعة الحل هي :

تأكد

.ًل من المتباينات التية، وملّثل حل كمجموعة حلها بياناّيا

2| > -2| جـ + ) 3

الحـــــــــــــــــــل

مجمودعة الدعداد الحقيقية

تأكد

.ًل من المتباينات التية، وملّثل حل كمجموعة حلها بياناّيا

7 | < 3| ي + ) 1

الحـــــــــــل

7 ) < 3 و ــ ( ي + 7 < 3 : ي + 1 الحالة

7 < 3 و ــ ي ــ 3 ــ 7 < 3 ــ 3 ي +

10 و ي > ــ 4 ي <

10 < ن < ــ 4

{4 < ن < 10 ــ │ ن } مجموعة الحل هي =

تأكد

م ًال من المتباينات التية، وملّث ل ح ل كمجموعة حلها بياناّيا

2 -≤ | 4| ت + ) 2

الح ل

Фمجموعة الح ل

ل ويمكن أن تكون سالبة وعليه لويوجد حل لهذه المعادلة وتكون مجموعة حلها هي لمجموعة الخالية

تدرب وح ل المسائ ل

م ًال من المتباينات التية، وملّث ل مجموعة حلها ح ل كبياناّيا�:

7 ≤ | 1جـ - 2| )8

الحـــــــــــــــــل

7 ) ≤ 1 جـ ــ 2 : ــ ( 2 و الحالة 7 ≤ 1 جـ ــ 2: 1الحالة 7 ≤ 1 جـ + 2 و ــ 1 + 7≤ 1 + 1 جـ ــ 2

1 ــ 7 ≤ 1 ــ 1 جـ + 2 و ــ 8 جـ ≤ 2 6 جـ ≤ 2 و ــ 4 جـ ≤

3 جــ ≥ ــ 4 ≤ جــ ≤ 3 ــ

{ 4 ≤ جــ ≤ 3ــ │ جـ } هي =

تدرب وح ل المسائ ل

م ًال من المتباينات التية، وملّث ل مجموعة حلها ح ل كبياناّيا�:

3 | > 4| ك - )11

الحـــــــــــــــل

3 > ) 4 أو ــ ( ك ــ 3> 4 : ك ــ 1 الحالة 4 ــ 3> 4 ــ 4 أو ــ ك + 4+ 3 > 4 + 4 ك ــ

1 أو ك < 7ك > { 1 أو ك < 7 ك │ك > } مجموعة الحل هي :

انتهى الدرس