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優質教育基金計劃 推廣活動. 處理初中數學學習差異 — 從錯誤中學習 盧偉業老師. 計劃簡介. 處理 初中生數學學習差異 收集初中同學於功課、小測和考試中常犯錯誤 分類、編輯成摘錄 針對學生常犯錯誤設計相關教學物資和內容 評核成效 ( 改善舊問題 + 發現新問題 ) 調整教學內容. 本校初中學生常犯的運算錯誤. 正負數運算 分數運算 括號的使用 解方程及公式主項. 模仿學習. 正負數運算. “ 負正得負”. “ 負負得正”. “2.9 + 4.5 = 7.4”. “12 + 10 = 22”. - PowerPoint PPT Presentation
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優質教育基金計劃推廣活動
處理初中數學學習差異— 從錯誤中學習
盧偉業老師
計劃簡介 處理初中生數學學習差異 收集初中同學於功課、小測和考試中常犯錯誤 分類、編輯成摘錄 針對學生常犯錯誤設計相關教學物資和內容 評核成效 ( 改善舊問題 + 發現新問題 ) 調整教學內容
本校初中學生常犯的運算錯誤 正負數運算 分數運算 括號的使用 解方程及公式主項
模仿學習
正負數運算
“ 負負得正”“12 + 10 = 22”
“ 負正得負”“2.9 + 4.5 = 7.4”
** 數字運算和正負符號分開處理(P.5) (P.6)
分數運算
10
12
10
21
10
9
10
3
10
12
770
** 帶分數的整數部份和分數部份分開處理
(P.7)
分數運算
4
6
432
523
152
x
x
** 繁分數處理** 加乘的先後處理
括號的使用 – 因式分解
** 能分辨最大公因數 未能了解抽走 最大公因數後的變化
** 混淆因式分解和化簡 的處理手法
括號的使用 – 展開
** 「拆」括號 「擦」括號
括號的使用 – 展開
** a(b – c) = ab – c
括號的使用 – 展開
Expand (2x – 7)2.
**(a)(b)(+c) =ab+ac
**(ab)2 = ab2
**(a – b)2 = a2 – b2
解方程
** 解方程 化簡
解方程
** 「移項」 ?? ** 移項概念不清 ( 兩邊同時乘或除 )
公式主項
** 主項在分母的處理
公式主項
** 主項要放在等 式的左邊
** A = B B = A** 移項
估計致錯原因 正負數運算
未能掌握正數和負數之關聯和異同 未能掌握正負數的交換律 (Commutative Property, -a+b=+b-a)
分數運算 未能掌握繁分數的四則運算 負值帶分數的運算壓力
括號的使用 未能掌握如何使用和使用括號的好處 未能掌握運算的先後次序 名詞的分別:因式分解 (factorize) 、化簡 (simplify) 指數的理解
解方程及公式主項 未能掌握方程式兩邊同時運作 ( 移項、對消 ) 和單邊獨立運作的分
別 兩邊同時乘、除數字後方程式的變化
嘗試措施 –正負數運算觀察規律例如:觀察以下例題,然後在空白地方填上正確答案。1. 已知 5 – 2 = 3 ,可得 2 – 5 = -3
2. 已知 10 – 6 = 4 ,可得 6 – 10 = -4
3. 已知 8 – 1 = 7 ,可得 1 – 8 = ( )
讓學生自行找出一般性的解答方法。
嘗試措施 –正負數運算改變看法
例 : 計算 10 – 33 + 9.
小學看法 : 10 – 33 + 9
中學看法 : +10 – 33 + 9
嘗試措施 – 分數改變看法
帶分數運算 假分數運算
中一生可能覺得不自然小學:分數用作描述具體數量,帶分數較自然。中學:分數可理解為比值。 ( 可引入假分數 )
可理解為除法。 ( 可引入繁分數 )
嘗試措施 – 括號為何要使用1. 運算的先後次序例 1 :請於下列算式加上括號使得等式成立。
3 + 4 x 10 – 8 = 62
學生應該了解括號的使用對運算的影響
3 + 4 x 10 – 8 = 11
3 + 4 x 10 – 8 = 14
3 + 4 x 10 – 8 = 35
嘗試措施 – 括號*** 括號在分數的使用
學生應該了解括號的使用對運算的影響
1 + 2
1 + 41 – = 1 – (1 + 2)÷(1 + 4) ( ! )
(
(
)
)
嘗試措施 – 括號為何要使用2. “ 打包”例如:計算 10 – 3 + 10 – 3 + 10 + 10 – 3 – 3.
10 + 10 + 10 + 10 – 3 – 3 – 3 – 3
10 + 10 + 10 + 10 – (3 + 3 + 3 + 3)(10 + 10 + 10 + 10) – (3 + 3 + 3 + 3)(10 – 3) + (10 – 3) + (10 – 3) + (10 – 3)
與學生討論使用括號的需要和好處。4 x (10 – 3)
4 x 10 – 4 x 3
嘗試措施 – 括號為何要使用3. 可視為乘法
3 x 5 = (3)(5)
3 x 5 = 3(5)
3 x 5 = (3)5?
學生要了解如何加上括號才是正確。
3 x -5 = 3 x (-5)
3 x -5 = (3)(-5)
3 x -5 = 3(-5)
3 x -5 = (3)-5?
嘗試措施 – 括號
-2(-3)2 = ?
-2(-32) = ?
(-2)(-32) = ?
(-2)-32 = ?
嘗試措施 – 展開
橫式和直式
12 x 34 1 x
6
23 4= ( 10 + 2 ) ( 30 + 4 )
3 84
04 8
= 60 +
= 408
300 + 8 + 40
嘗試措施 – 展開
橫式和直式
12 x 34 1 x
6
23 4
= ( 10 + 2) (30 +4 )3
84
04 8
= 60 +
= 408
300 + 8 + 40
嘗試措施 – 展開
圖像理解
(a+b)2
(a-b)2
(a+c)x(b+d)
嘗試措施 – 因式分解
如何引入8 + 12 = 4 x 2 + 4 x 3 = 4 x (2 + 3)
問題 1 :似乎有點笨…
問題 2 : 8 + 12 = 2 x 4 + 2 x 10 = 2 x (4 + 10) 8 + 12 = 1 x (8 + 12)
8 + 12 = 0.5 x (16 + 24)
*** 計算 10 – 3 + 10 – 3 + 10 + 10 – 3 – 3
那麼 a – b + a – b + a + a – b – b 呢 ?
嘗試措施 – 因式分解
拼圖
引導學生有效率地找出矩形的底和高
嘗試措施 – 因式分解
拼圖
嘗試措施 – 因式分解
拼圖
嘗試措施 – 因式分解
儘管拼法不同,底和高都分別為 2x+1 和 x+2
( 因式分解的唯一性 )
嘗試措施 – 解方程
天秤法則
優點:1. 知道方程式兩邊的等價關係2. 能了解在解方程式的過程中,出現的每一個方程 式之間存在等價關係缺點:1. 加減乘除與其逆運算之間的關係不明顯
嘗試措施 – 解方程移項 –逆運算
嘗試措施 – 解方程
總結 沒有最好方法 沒有固定方法 只有最合適方法 多題一解 一題多解
謝謝
參考資料 教育局 中學杖本課程發展組
二零一二年十月 中學校本課程通訊 數學教學 林保平 臺北市立師範學院 數資系
正負數的概念及其加減運算 李祐宗 澎湖縣立湖西國民中學 國中補救教學示例 --從拼圖學因式分解 林壽福 臺北市國中數學輔導團 /興雅國中
解一元一次方程式楊淑真 彰化縣國中數學輔導團 /彰泰國中 解一元一次方程式
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