Задачи на нахождение площади сечения многогранника

Задачи на нахождение площади сечения многогранника

Подготовка к решению задач ЕГЭ

Автор: Ингинен Ольга Вячеславовна,учитель математики,МОУ «СОШ № 6» г. Луга

А

В

С

А1

С1

В1

Найти площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через

вершины A, B и C1. Построим плоскость сечения, проходящее через вершины A, B и C1.

Проведем высоту КC1.

1

.

;

;

;

:

2

2

11

1

21

2221

21

221

1

BÑ

BÑ

BÑ

ÑÑBÑBÑ

ÂÑÑÈç

К

.

;

;

;

:

2

7

4

31

2

12

1

21

222

1

221

21

1

ÊÑ

ÊÑ

ÊÑ

ÂÊÂÑÊÑ

ÂÊÑÈç

1

2

2

1

4

7

2

71

2

1

2

1

1

1 1

ÀÂÑ

ÀÂÑ

S

ÊÑÀÂS

Ответ. 4

7

АС = СВ; СС1 - общаяΔ АСС1 = Δ ВСС1 (по двум катетам)Значит АС1 = ВС1

Δ АВС1 - равнобедренный

ABCD – правильная треугольная пирамида все ребра которой равны 1. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки D, C и М, где М – середина стороны АВ.

М

Построим плоскость сечения, проходящее через точки D, C и М.

Н

4

2

3

2

2

3

2

1

2

1

DÑÌ

DÑÌ

S

DHÑMS

Δ АВС - равносторонний

3

1

3

2 CMÑÍ

.

;

;

;

:

3

2

3

2

3

11

2

2

22

222

DÍ

DÍ

DH

CÍDCDH

DÍCÈç

2

3

2

3

ABÑM

Ответ. 4

2

Н – точка пересечения медиан. Применим свойство медиан: медианы треугольника пересекаются в отношении 2 к 1, считая от вершины СН : НМ = 2 : 1. Вся медиана СМ – это 3 части.

СН = СМ (2 части)

НМ = СМ (1 часть)

3

2

3

1

Ответ. 6

2

Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершину A и середины ребер BB1 и DD1.

1

к

м

Построим плоскость сечения, проходящее через вершину A и точки К и М.

КМ = BD = АС =

.

;

;

;

:

5

5

12

1

21

2221

21

221

1

ÀÑ

ÀÑ

ÀÑ

ÑÑÀÑÀÑ

ÀÑÑÈç 2

2

623

2

1

2

1

1

1 1

ÌÀÊÑ

ÌÀÊÑ

S

ÊÌÀÑS

АКС1М – параллелограмм

ðîìáÌÀÊÑÇíà÷èò

ACKMBDKM

ACBDACCBDCCBD

ACBD

1

1

111

)(

Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1

плоскостью, проходящей через вершину В и точки E и F на ребрах A1В1 и В1C1 соответственно, если В1E = 5A1E  и C1F = 5В1F.

FE

Построим плоскость сечения, проходящее через вершины B, Е и F.

Δ ВEF - произвольный

6

1

6

5

6

26

36

26

6

1

6

522

21

21

21

EFFBEBEFEFÂÈç :

6

37

36

37

6

11

222

121

21

BFFBBBBFFBÂÈç :

6

61

36

61

6

51

222

121

21

BEEBBBBEEBÂÈç :

962

1

2cos

cos2222

222

EFBF

BEEFBFBFE

BFEFEBFEFBFBEПо теореме косинусов:

962

31

962

11cos1sin 2 BFEBFE

72

31

962

31

6

26

6

37

2

1

sin2

1

BEF

BEF

S

BEFEFBFS

Ответ. 72

31

Найти площадь сечения пирамиды SABCD, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер AD, BC и SC.

мК

N

Построим плоскость сечения, проходящее через точки N, К и М.

Р

КМ= АВ =1, PN= DC=2

1

2

1

2

1

2

1КР= МN= AS =

м

NР

КH

4

1

2

11

2

1

2

1

)( PSKMÊÍ

2

1

4

1 .

;

;

;

:

4

3

16

3

4

1

2

1

2

222

222

ÐÍ

ÐÍ

ÐÍ

ÊÍÊÐÐÍ

ÊÐÍÈç

16

33

4

31

2

1

2

1

2

1

KPNM

KPNM

KPSM

S

S

PHKMPSS

КPSМ – равнобедренная трапеция

MNKPíèìèìåæäó

óãëóèñòîðîíàìäâóìïîMCNKDP

PSDP

SCDëèíèÿñðåäíÿÿPNNSCN

CDPN

PNKMSCDKMCDKM

)

(

)(

Ответ. 3 3

16

Найти площадь сечения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1,

проходящее через вершины A, C и D1.

Построим плоскость сечения, проходящее через точки A, C и D1.

.

;

;

;

:

2

2

11

1

21

2221

21

221

1

ÀF

ÀF

ÀF

FFÀFÀF

ÀFFÈç

3AC

62311

11 1

FÀÑD

FÀÑD

S

AFÀÑS

Ответ. 6

íèêïðÿìîóãîëüFÀÑDÇíà÷èò

AFACFAAACAAAC

AFAC

ðàììïàðàëëåëîãFÀÑD

11

1

1

11

)(

Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через вершины B1 и D и точку M на ребре CC1, если C1M = 2CM.

мК

3

1

3

2

Построим плоскость сечения, проходящее через вершины B, D1 и M.

Сечением является параллелограмм BMD1K.

3

10

9

10

3

11:

22222

BMMCBÑÂÌÂMCÈç

3

13

9

13

3

21: 1

222

1211

2111

MDMÑDCÌDDMCÈç

3

По теореме косинусов:

130

2cos

cos2

1

1121

221

BMD

BMDMDBMMDBMBD

65

63

130

41cos1sin 1

21 BMDBMD

3

14

65

63

3

13

3

10

sin

1

1 11

KBMD

KBMD

S

BMDMDBMS

Ответ. 3

14

Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершину D1 и середины ребер AB, BC.

Построим плоскость сечения, проходящее через указанные точки.

Сечением является пятиугольник EFGD1H.

ADCFE – проекция сечения на плоскость ABCD

SADCFE =SABCD - SBEF = ;8

7

8

11

17

3

11

1

RD

DRDRDCOS

DRDÈç

А

D C

F

BE

R

4

23

4

3 DBDR

.

;

;

;

:

4

34

16

34

14

23

1

21

2

2

21

21

221

1

RD

RD

RD

DDDRRD

DRDÈç

24

177

11

DRDCOS

SS ADCFE

HEFGD Ответ. 24

177

По теореме о площади ортогональной проекции многоугольника

Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника:Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

ïðîåêöèèåãîïëîñêîñòüþè

ñå÷åíèÿïëîñêîñòüþìåæäóóãîëãäå

ñå÷S

ïðS

cos

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершины A, B, C1.

Ответ. . 2

Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1 , проходящее через середины ребер AB, BC, A1B1.

Ответ: 2

2

Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершину A и середины ребер CD, C1D1.

Ответ. .5

2

Найдите площадь сечения пирамиды SABCD, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер SA, SB и SC.

Ответ. 0,25.

Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через

середины ребер AA1, BB1, CC1.

Ответ. 0,5.

Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через

вершины B, B1 и середину ребра AC.

Ответ. . 3

2

Найдите площадь сечения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1,

проходящее через вершины A, C и C1.

Ответ. . 3

1. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 2 плоскостью, проходящей через вершины C1 и В и точку E на ребре A1В1, если В1E = 0,4 А1E.

Е

Ответ. 7

116

В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 4 см. Через диагональ основания под углом 45 к плоскости основания проведена плоскость, пресекающая боковое ребро. Найти площадь сечения.

Ответ. 28

Найти площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1

плоскостью, проходящей через вершины B1 и D и середину ребра CC1.

Ответ. 2

6

Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершины A, C и середину ребра С1D1.

Ответ: 8

11

Найдите площадь сечения пирамиды SABCD, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины A, B и середину ребра SC.

Ответ: 16

113

Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проходящее через

середины ребер AB, BC и CC1.

Ответ: 3 7

16

Найдите площадь сечения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1,

проходящее через вершины A, D и C1.

Ответ:3 7

4

Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через вершину A и середины ребер BC, DD1.

Ответ: 16

213

Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA1B1C1D1, проходящее через середины ребер AB, BC, CC1.

Ответ. 3 3

4

Найдите площадь сечения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1,

проходящее через вершины A, B и D1.

Ответ: 3

Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 2 плоскостью, проходящей через вершину C1 и середины ребер A1D1 и CD.

Ответ. 4

213