สถิติ บทที่ 6

บทท 6 การคาประมาณพารามเตอรส าหรบประชากรเดยว

1

การคาดประมาณ

2

การคาดประมาณ คอ การประมาณคาทแทจรง หรอคาพารามเตอร

การคาดประมาณม 2 ชนด

1. การคาดประมาณแบบจด

2. การคาดประมาณแบบชวง

3

คาเฉลย,

ไมทราบคา

ประชากร

การคาดประมาณแบบจด

ม นใจ 95%วา

มคาอยระหวาง4,000 และ 6,000

คาเฉลย

= 5,000

สมตวอยาง

x

การคาดประมาณแบบชวง

การคาดประมาณ

4

การคาดประมาณแบบจด

คาสถต คาพารามเตอร

คาเฉลย

คาสดสวน

คาความแปรปรวน

x

p p

2s 2

คอ การใชคาตวเลขเพยงตวเลขเดยวจากกลมตวอยางไปประมาณคาพารามเตอร

5

เปนการคาดประมาณคาของพารามเตอรโดยใชชวงตวเลขชวงหนง

โดยตองก าหนดระดบความเชอม น และสวนเบยงเบนมาตฐานของตวอยางไวดวย

ในทางธรกจนยมใชระดบความเชอม น

การคาดประมาณแบบชวง

ระดบความเชอม น สมประสทธความเชอม น ระดบนยส าคญ

90% 0.90 0.10

95% 0.95 0.05

99% 0.99 0.01

1

สามารถเขยนได 2 รปแบบL = ขดจ ากดความเชอม นลาง (lower confidence limit)

U = ขดจ ากดความเชอม นบน (upper confidence limit)

1- = สมประสทธความเชอม น

รปแบบท 1 P(L ≤ µ ≥ U) = 1-

เชน P(80 ≤ µ ≥ 120.5) = 0.95

รปแบบท 2 L ≤ µ ≥ U

เชน 80 ≤ µ ≥ 120.5

6

การเขยนชวงคาดประมาณ

7

รปตอไปนแสดงการประมาณคาเฉลยประชากร µ ณ ระดบความเชอม น 90%

สมมตวามการสมตวอยางจากประชากร 10 ชด แลวค านวณคาคาดประมาณแบบชวง (µ)

จากรปจะเหนวามชวงคาดประมาณ 1 ชวงทไมครอบคลมคา µ

µ = 100 11090

ครงท 1

ครงท 2

.

ครงท 3.

ครงท 4.

ครงท 6 ไมครอบคลมคา µครงท 5.

.

.ครงท 10

แสดงวา การใชระดบความเชอม น 90% ค านวณคาคาดประมาณแบบชวง (µ)

แปลความหมายไดวา ในการคาดประมาณแบบชวง µ จ านวน 100 คร ง จะม 10 คร ง ทชวงคาประมาณจะไมครอบคลมคาทแทจรงของ µ

µ

8

คณสมบตของคาประมาณทด

1. ความไมล าเอยงถาให เปนคาพารามเตอร

และ เปนคาคาดประมาณจากตวอยาง

2. มคาความแปรปรวนต าทสด

ความแปรปรวนของ มคาต าทสด

3. มความสม าเสอม

จะเขาใกลคา เมขนากตวอยางใหญขน

xE

EE

2

xx

x

การคาดประมาณคาเฉลยของประชากร

1. การคาดประมาณแบบจด (แบบเดยว)จะใช เปนคาคาดประมาณของ

ตวอยาง สมตวอยางหลอดไฟมา 5 หลอด

9

x

หลอดไฟ 1 2 3 4 5

อายการใชงาน 510 490 478 501 462

20.488

5

462501478490510

x

x

n

xx

i

2. การคาดประมาณแบบชวงเปนการขยายคาประมาณ ซงเปนคาประมาณแบบจดออกไปเปนชวงทงดานซายและดานขวา

10

การคาดประมาณคาเฉลยของประชากร

เงอนไข สตร

1 ประชากรเดมมการแจกแจงแบบปกต และทราบ

2 ประชากรเดมมการแจกแจงแบบปกต ไมทราบ และ

3 ไมทราบการแจกแจงของประชากรเดม และ หรอ

4 ประชากรเดมมการแจกแจงแบบปกต ไมทราบ และ

30n

30n

30n

nZx

2

n

sZx

2

nZx

2 n

sZx

2

n

stx

2

11

(1 – α)

2

2

2

Z

2

Z

คา เปนคาวกฤตทเปดไดจากตาราง z 2

Z

Z

12

0.99

2

2

575.2 575.2

ถา 99.0101.0

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753

0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952

0.4950.495

0.495

Z

13

0.95

2

2

96.1 96.1

ถา 95.0105.0

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753

0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767

0.4750.475

Z

14

0.90

2

2

645.1 645.1

ถา 90.0110.0

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753

0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545

0.450.45

0.4500

Z

15

ระดบความเชอมน

(1-)100%

ระดบนยส าคญ

()

90% 0.10 1.645

95% 0.05 1.96

99% 0.01 2.575

2

Z

คณสมบตของการแจกแจงแบบ t

16

1. เสนโคง t มลกษณะคลายโคงระฆงคว า เมอลากเสนแบงครงโคง ทงดานซายและดานขวาของโคงจะสมมาตรกน2. คาเฉลย เทากบ 0

3. คาความแปรปรวน มากกวา 1

4. ถากลมตวอยางมขนาดใหญขน การแจกแจงจะใกลการแจกแจงแบบปกต

2

t

12

17

(1 – α)

2

2

2

t

2

t

คา เปนคาวกฤตทเปดไดจากตาราง tการเปดตาราง t

ตองทราบคาสมประสทธความเชอมน หรอระดบนยส าคญ

ตองทราบองศาอสระ (Degree of Freedom ,df)

df = n-1

2

t

t

1

ตวอยาง

สมตวอยาง 100 วน พบวาปรมาณขยะเฉลยใน เทากบ 4,078.50 กก./วน และจากขอมลทผานมาทราบวา

ให x คอปรมาณขยะตอวน และไมทราบการแจกแจงของ x

1. การคาดประมาณแบบจด

2. การคาดประมาณแบบชวง

18

126

126

50.078,4

100

x

n

50.078,4x

nZx

2

19

23.099,477.057,4

727.2050.078,4727.2050.078,4

727.2050.078,4

100

126645.150.078,4

2

n

Zx

ทระดบความเชอมน 90%

645.1

10.0

90.01

05.0

2

ZZ

94.110,405.046,4

445.3250.078,4445.3250.078,4

445.3250.078,4

100

126575.250.078,4

2

n

Zx

ทระดบความเชอมน 99%

575.2

01.0

99.01

005.0

2

ZZ

20

ขอสงเกต

ระดบความเชอม น ความกวางของชวง

99% 4,110.94 – 4,046.05 = 64.89

90% 4,099.23 – 4,057.77 = 41.46

ตวอยาง

สมตวอยางขวดซรมมา 7 ขวด จากแพคขนาด 20 ขวดแลวตรวจปรมาณยาทอยในขวด ไดขอมลดงน

ให x คอปรมาณยา และไมทราบการแจกแจงของ x

การคาดประมาณแบบจด

21

0.10

7

6.92.100.108.94.102.108.9

x

x

n

xx

i

ขวดท 1 2 3 4 5 6 7

ปรมาณยา 9.8 10.2 10.4 9.8 10.0 10.2 9.6

22

08.06

48.0

6

16.004.0004.016.004.004.0

17

106.9...102.10108.9

1

2

2

222

2

2

2

s

s

s

n

xxs

i

283.008.0

2

s

ss

23

ให คอปรมาณยา ,ไมทราบคา และ

การคาดประมาณแบบชวง, ทระดบความเชอมน 95%

2617.107382.9

2617.0102617.010

2617.010

646.2

283.0447.210

7

283.010 17,025.0

1,2

df

ndf

t

n

stx

30nx

24

ทระดบความเชอมน 95% , 025.02

,05.0,95.01

df 0.40 0.25 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0005

1 0.324920 1.000000 3.077684 6.313752 12.70620 31.82052 63.65674 636.6192

2 0.288675 0.816497 1.885618 2.919986 4.30265 6.96456 9.92484 31.5991

.. .. .. .. .. .. .. .. ..

5 0.267181 0.726687 1.475884 2.015048 2.57058 3.36493 4.03214 6.8688

6 0.264835 0.717558 1.439756 1.943180 2.44691 3.14267 3.70743 5.9588

(1 – α)

2

2

2

t

2

tt