あみだくじをつくろう (Let's Make an Amidakuji (Ghost Leg Game)!)

あみだくじを作ろう照井　章

（筑波大学 数理物質系）

2013年2月23日並木SSH数学入門セミナー於 並木中等教育学校

あみだくじの例1 2 3 4 5

15 32 4

橋をかける

橋のかけ方のルール

[1] となりあう2本の縦棒の間にかける

1 2 3 4 5

[2] 異なる橋どうしが交わらないようにかける

1 2 3 4 5

このようなあみだくじをどうやって作ろうか？

1 2 3 4 5

12 34 5

ついでに、橋の本数を最小にしよう！

1 2 3 4 5

12 34 5

まず基礎知識を学ぼう

あみだくじに必要な橋の最小本数

＝あみだくじが表す「置換」の「転倒数」

置換って何？

「置換」＝「関数」

あみだくじの場合：スタートの位置にゴールの位置を

対応づける「関数」

あみだくじは関数だ！1 2 3 4 5

12 34 5

1は左から4番目に移る

�(1) = 4

�

あみだくじは関数だ！1 2 3 4 5

12 34 5

�

2は左から3番目に移る

�(2) = 3

あみだくじは関数だ！1 2 3 4 5

12 34 5

�

3は左から5番目に移る

�(3) = 5

あみだくじは関数だ！1 2 3 4 5

12 34 5

�

4は左から1番目に移る

�(4) = 1

あみだくじは関数だ！1 2 3 4 5

12 34 5

�5は左から2番目に移る

�(5) = 2

あみだくじは関数だ！�

�(1) = 4�(2) = 3�(3) = 5�(4) = 1�(5) = 2

� =✓

1 2 3 4 54 3 5 1 2

◆

1 2 3 4 5

12 34 5

転倒数って何？

転倒数あみだくじの縦線の本数：n 本

1 2 3 4 n

転倒数あみだくじの縦線の本数：n 本　　　　をみたす整数の組み合わせ　　で　　　を

みたすものの個数

1 5 i < j 5 n

(i, j)

�(i) > �(j)転倒する組み合わせ

(1, 2): 転倒する1 2 3 4 5

12 34 5 �(1) = 4�(2) = 3

(1, 3): 転倒しない1 2 3 4 5

12 34 5�(1) = 4

�(3) = 5

(1, 4): 転倒する1 2 3 4 5

12 34 5 �(1) = 4�(4) = 1

(1, 5): 転倒する1 2 3 4 5

12 34 5 �(1) = 4�(5) = 2

(2, 3): 転倒しない1 2 3 4 5

12 34 5�(2) = 3

�(3) = 5

(2, 4): 転倒する1 2 3 4 5

12 34 5 �(2) = 3

�(4) = 1

(2, 5): 転倒する1 2 3 4 5

12 34 5 �(2) = 3�(5) = 2

(3, 4): 転倒する1 2 3 4 5

12 34 5

�(3) = 5�(4) = 1

(3, 5): 転倒する1 2 3 4 5

12 34 5

�(3) = 5

�(5) = 2

(4, 5): 転倒しない1 2 3 4 5

12 34 5 �(5) = 2

�(4) = 1

これまでの結果をまとめると

1 2 4 31 3 4 51 4 4 11 5 4 22 3 3 52 4 3 12 5 3 23 4 5 13 5 5 24 5 1 2

i j �(i) �(j) �(i) > �(j)

　の個数は7個☞　 の転倒数は7

1 2 4 31 3 4 51 4 4 11 5 4 22 3 3 52 4 3 12 5 3 23 4 5 13 5 5 24 5 1 2

i j �(i) �(j) �(i) > �(j)

�

　あみだくじに必要な橋の本数は7本

1 2 4 31 3 4 51 4 4 11 5 4 22 3 3 52 4 3 12 5 3 23 4 5 13 5 5 24 5 1 2

i j �(i) �(j) �(i) > �(j)

ではどのような順序で橋をかければいいの？

逆置換（逆関数）を考えよう！

逆置換って何？

恒等置換＝どの数字も動かさない置換（あみだくじ）

e =✓

1 2 3 4 51 2 3 4 5

◆= (1)

橋が1本もないあみだくじは恒等置換

しかし、恒等置換はこれだけとは限らない点に注意！

1 2 3 4 5

43 51 2

逆置換

与えられた置換と組み合わせると恒等置換になるような置換

もとのあみだくじの下に別のあみだくじをつなげる

1 2 3 4 5

12 34 5

1 2 3 4 5

15 24 3

� =✓

1 2 3 4 54 3 5 1 2

◆

��1 =✓

1 2 3 4 54 5 2 1 3

◆

もとのあみだくじの下に別のあみだくじをつなげる

1 2 3 4 5

12 34 5

1 2 3 4 5

15 24 3

��1� =✓

1 2 3 4 54 3 5 1 2

◆

⇥✓

1 2 3 4 54 5 2 1 3

◆

1は元に戻る1 2 3 4 5

12 34 5

1 2 3 4 5

15 24 3

��1�(1)

=✓

1 2 3 4 54 3 5 1 2

◆

⇥✓

1 2 3 4 54 5 2 1 3

◆(1)

=1

2も元に戻る1 2 3 4 5

12 34 5

1 2 3 4 5

15 24 3

��1�(2)

=✓

1 2 3 4 54 3 5 1 2

◆

⇥✓

1 2 3 4 54 5 2 1 3

◆(2)

=2

3も元に戻る1 2 3 4 5

12 34 5

1 2 3 4 5

15 24 3

��1�(3)

=✓

1 2 3 4 54 3 5 1 2

◆

⇥✓

1 2 3 4 54 5 2 1 3

◆(3)

=3

4も元に戻る1 2 3 4 5

12 34 5

1 2 3 4 5

15 24 3

��1�(4)

=✓

1 2 3 4 54 3 5 1 2

◆

⇥✓

1 2 3 4 54 5 2 1 3

◆(4)

=4

5も元に戻る1 2 3 4 5

12 34 5

1 2 3 4 5

15 24 3

��1�(5)

=✓

1 2 3 4 54 3 5 1 2

◆

⇥✓

1 2 3 4 54 5 2 1 3

◆(5)

=5

　　は恒等置換1 2 3 4 5

12 34 5

1 2 3 4 5

15 24 3

��1� =✓

1 2 3 4 51 2 3 4 5

◆

= e

��1�

　　は　の逆置換1 2 3 4 5

12 34 5

1 2 3 4 5

15 24 3

��1 �

� =✓

1 2 3 4 54 3 5 1 2

◆

��1 =✓

1 2 3 4 54 5 2 1 3

◆

あみだくじを作る上で

逆置換が何の役に立つの？

逆置換が表すあみだくじの上に橋をかけていって...

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

��1 =✓

1 2 3 4 54 5 2 1 3

◆

全体が恒等置換になったら...

4 5 2 1 3

43 51 2

��1 =✓

1 2 3 4 54 5 2 1 3

◆

1 2 3 4 5

12 34 5

これが求めるあみだくじ！

� =✓

1 2 3 4 54 3 5 1 2

◆

逆置換の上にどんな順番で橋をかけていけばよいか？

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

��1 =✓

1 2 3 4 54 5 2 1 3

◆

? ? ? ?

実際に橋をかける前に...

橋のかけ方と置換の関係を確かめよう

1本の橋は「隣り合う2つの数字の互換」

1 2 3 4 5

43 52 1

� =✓

1 2 3 4 52 1 3 4 5

◆

=�1 2

�

1本の橋は「隣り合う2つの数字の互換」

1 2 3 4 5

42 51 3

� =✓

1 2 3 4 51 3 2 4 5

◆

=�2 3

�

1本の橋は「隣り合う2つの数字の互換」

1 2 3 4 5

42 51 3

� =✓

1 2 3 4 51 2 4 3 5

◆

=�3 4

�

1本の橋は「隣り合う2つの数字の互換」

1 2 3 4 5

42 51 3

� =✓

1 2 3 4 51 2 3 5 4

◆

=�4 5

�

これら4種類の橋（置換）を組み合わせてあみだくじを作る

1 2 3 4 5

42 51 3

� =✓

1 2 3 4 51 2 3 5 4

◆

=�4 5

�

1 2 3 4 5

43 52 1

� =✓

1 2 3 4 52 1 3 4 5

◆

=�1 2

�

1 2 3 4 5

42 51 3

� =✓

1 2 3 4 51 3 2 4 5

◆

=�2 3

�

1 2 3 4 5

42 51 3

� =✓

1 2 3 4 51 2 4 3 5

◆

=�3 4

�

では実際にあみだくじを作ってみましょう

逆置換の上にどんな順番で橋をかけていけばよいか？

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

��1 =✓

1 2 3 4 54 5 2 1 3

◆

? ? ? ?

逆置換の転倒数を打ち消すように橋をかける！

逆置換でとなり合う数字が転倒する組み合わせを調べる

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

? ? ? ?

(1, 2): 転倒しない

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

? ? ? ?

(2, 3): 転倒する

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

? ? ? ?

��1(2) > ��1(3)

(3, 4): 転倒する

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

? ? ? ?

��1(2) > ��1(3)

��1(3) > ��1(4)

(4, 5): 転倒しない

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

? ? ? ?

��1(2) > ��1(3)

��1(3) > ��1(4)

(2, 3)に橋をかける

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

��1(2) > ��1(3)

��1(3) > ��1(4)

新しいあみだくじ　 で転倒する組み合わせを調べる

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

4 2 5 1 3

�1 = ��1�2 3

�

�1

(1, 2): 転倒する

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

4 2 5 1 3

�1(1) > �1(2)

(2, 3): 転倒しない

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

4 2 5 1 3

�1(1) > �1(2)

(3, 4): 転倒する

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

4 2 5 1 3

�1(1) > �1(2)

�1(3) > �1(4)

(4, 5): 転倒しない

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

4 2 5 1 3

�1(1) > �1(2)

�1(3) > �1(4)

(1, 2)に橋をかける

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

4 2 5 1 3

�1(1) > �1(2)

�1(3) > �1(4)

新しいあみだくじ　 で転倒する組み合わせを調べる

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

2 4 5 1 3

�2 = ��1�2 3

� �1 2

�

�2

(1, 2): 転倒しない

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

2 4 5 1 3

(2, 3): 転倒しない

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

2 4 5 1 3

(3, 4): 転倒する

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

2 4 5 1 3

�2(3) > �2(4)

新しいあみだくじ　 で転倒する組み合わせを調べる

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

2 4 1 5 3

�3 =��1�2 3

� �1 2

�

⇥�3 4

�

�3

(4, 5): 転倒する

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

2 4 1 5 3

�3(4) > �3(5)

新しいあみだくじ　 で転倒する組み合わせを調べる

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

2 4 1 3 5

�4 =��1�2 3

� �1 2

�

⇥�3 4

� �4 5

�

�4

(2, 3): 転倒する

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

2 4 1 3 5

�4(2) > �4(3)

新しいあみだくじ　 で転倒する組み合わせを調べる

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

2 1 4 3 5

�5 =��1�2 3

� �1 2

�

⇥�3 4

� �4 5

�

⇥�2 3

�

�5

(1, 2): 転倒する

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

2 1 4 3 5

�5(1) > �5(2)

新しいあみだくじ　 で転倒する組み合わせを調べる

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

1 2 4 3 5

�6 =��1�2 3

� �1 2

�

⇥�3 4

� �4 5

�

⇥�2 3

� �1 2

�

�6

(3, 4): 転倒する

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

1 2 4 3 5

�6(3) > �6(4)

新しいあみだくじ　 は恒等置換

�7

4 5 2 1 3

43 51 2

�7 =��1�2 3

� �1 2

�

⇥�3 4

� �4 5

�

⇥�2 3

� �1 2

�

⇥�3 4

�

=e

12 34 5

1 2 3 4 5

求めるあみだくじが完成！

12 34 5

1 2 3 4 5

異なる橋のかけ方が何通りかある場合が

あります

今回は (2, 3) から橋をかけましたが...

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

��1(2) > ��1(3)

��1(3) > ��1(4)

(3, 4) から橋をかける作り方もあります

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

��1(2) > ��1(3)

��1(3) > ��1(4)

皆さんもチャレンジしてみてください

12 34 5

4 5 2 1 3

43 51 2

��1(2) > ��1(3)

��1(3) > ��1(4)

あみだくじに必要な橋の最小本数

＝あみだくじが表す「置換」の「転倒数」

大学の数学（科）ではこれらの背景となるような

理論も学びます

あみだくじ＝数字の並べ替え

12 34 5

1 2 3 4 5

並べ替え（ソート）＝計算機の基本的なアルゴリズムの一つ

本日はありがとうございました

私の仕事場からの筑波山とキャンパスの眺望（2013年1月撮影）