View
5
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
. . . . . .
.
.. ..
.
.
دلون بندی مثلث
جوکار احسان
یزد اه دانش
١٣٩٠ خرداد ١
١ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. مقدمه
نشان terrain ناحیه ی صورت به توانیم م را زمین سط از قطعه یدهیم.
ی ناحیه از نقطه هر به که است تابع ی گراف واق در terrain یدهد. م نسبت را ارتفاع
f : A ⊂ R۲ → R
٢ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. مقدمه
نداریم! را نقاط همه ارتفاع
داریم. را P نام به نقاط از مجموعه ی ارتفاع تنها
نزدی ارتفاع نقطه، هر به بعدی: سه سط این ترسیم برای راه ترین سادهدهیم. نسبت را P از نقطه ترین
.
.. ..
.
.
طبیع چندان که داشت خواهیم گسسته ناحیه ی صورت این در که بینیم منیست!
٣ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. مقدمه
نداریم! را نقاط همه ارتفاع
داریم. را P نام به نقاط از مجموعه ی ارتفاع تنها
نزدی ارتفاع نقطه، هر به بعدی: سه سط این ترسیم برای راه ترین سادهدهیم. نسبت را P از نقطه ترین
.
.. ..
.
.
طبیع چندان که داشت خواهیم گسسته ناحیه ی صورت این در که بینیم منیست!
٣ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. مقدمه
نداریم! را نقاط همه ارتفاع
داریم. را P نام به نقاط از مجموعه ی ارتفاع تنها
نزدی ارتفاع نقطه، هر به بعدی: سه سط این ترسیم برای راه ترین سادهدهیم. نسبت را P از نقطه ترین
.
.. ..
.
.
طبیع چندان که داشت خواهیم گسسته ناحیه ی صورت این در که بینیم منیست!
٣ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. مقدمه
بهتر: ایده یکنیم. م ایجاد P از بندی مثلث ی ابتدابریم. م باال آن ارتفاع تا را نقطه هر سپس
۴ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. مقدمه
کنیم؟ بندی مثلث ونه چ را نقاط از مجموعه ی سوال:
شده تعیین دارند آن از زیادی فاصله که نقطه دو توسط q نقطه ارتفاع (b) ل ش دراست!
۵ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. مقدمه
کجاست؟ ل مشهای زاویه و بلند های ضل که است گرفته قرار مثلث در q نقطه (b) ل ش در
دارد. کوچ
. ..نتیجه
.. ..
.
.
نیست! مطلوب دارد کوچ های زاویه که بندی مثلث
را زاویه ترین کوچ که بندی مثلث ،P ن مم های بندی مثلث بین دراست. مطلوب کند م ماکزیمم
۶ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. مقدمه
کجاست؟ ل مشهای زاویه و بلند های ضل که است گرفته قرار مثلث در q نقطه (b) ل ش در
دارد. کوچ. ..نتیجه
.. ..
.
.
نیست! مطلوب دارد کوچ های زاویه که بندی مثلث
را زاویه ترین کوچ که بندی مثلث ،P ن مم های بندی مثلث بین دراست. مطلوب کند م ماکزیمم
۶ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. مقدمه
کجاست؟ ل مشهای زاویه و بلند های ضل که است گرفته قرار مثلث در q نقطه (b) ل ش در
دارد. کوچ. ..نتیجه
.. ..
.
.
نیست! مطلوب دارد کوچ های زاویه که بندی مثلث
را زاویه ترین کوچ که بندی مثلث ،P ن مم های بندی مثلث بین دراست. مطلوب کند م ماکزیمم
۶ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. مقدمه
٧ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. مسط نقاط مجموعه بندی مثلث ٩.١
باشد. صفحه در نقاط از مجموعه ی P = {p۱, p۲, ..., pn} کنید فرض
. ..تعریف
.. ..
.
.
به یال هر کردن اضافه که است زیرتقسیم P از ماکسیمال١ مسط زیرتقسیم یشود. زیرتقسیم شدن مسط غیر باعث آن
Maximal Planar Subdivision
دارد. وجود P برای بندی مثلث ی فوق تعریف طبق
٨ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. مسط نقاط مجموعه بندی مثلث ٩.١
باشد. صفحه در نقاط از مجموعه ی P = {p۱, p۲, ..., pn} کنید فرض. ..تعریف
.. ..
.
.
به یال هر کردن اضافه که است زیرتقسیم P از ماکسیمال١ مسط زیرتقسیم یشود. زیرتقسیم شدن مسط غیر باعث آن
Maximal Planar Subdivision
دارد. وجود P برای بندی مثلث ی فوق تعریف طبق
٨ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. مسط نقاط مجموعه بندی مثلث ٩.١
.٩.١ ..قضیه
.. ..
.
.
واق راست خط ی بر که باشد صفحه در نقطه از ای مجموعه P کنید فرضاین Convex Hull کران بر که باشد نقاط تعداد k که کنید فرض و نیستند.و مثلث ۲n − ۲ − k بندی، مثلث هر صورت این اند.در واق نقاط مجموعه
داشت. خواهد یال ۳n − ۳ − k
٩ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. مسط نقاط مجموعه بندی مثلث ٩.١
ها مثلث تعداد mاست. m + ۱ برابر ،nf بندی، مثلث های face تعداد
دارد. یال k کران بی face و یال سه مثلث هربا است برابر ها یال تعداد بنابراین
ne = (۳m + k)/۲
داریم اویلر فرمول ازn − ne + nf = ۲
داشت خواهیم بنابراینm = ۲n − ۲ − k
همچنین وne = ۳n − ۳ − k
١٠ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. مسط نقاط مجموعه بندی مثلث ٩.١
زاویه ۳m و مثلث m با بندی مثلث ی Tدهیم م قرار بردار ی در و کنیم م مرتب صعودی صورت به را ها زاویه
A(T) = (α۱, α۲, ..., α۳m)
i < j هر برای آن در که نامیم م T زاویه٢ بردار را بردار این
αi ≤ αj
٢angle-vector١١ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. مسط نقاط مجموعه بندی مثلث ٩.١
با ر دی بندی مثلث ی T′
A(T′) = (α′۱, α
′۲, ..., α
′۳m)
i مانند اندیس گاه هر است بزرگتر T′ زاویه بردار از T زاویه بردار گوییمکه باشد داشته وجود
αi > α′i
j < i هر برای وαj = α′
j
A(T) > A(T′)
ای نامه لغت ترتیب
١٢ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. مسط نقاط مجموعه بندی مثلث ٩.١
ر دی بندی مثلث هر ازای به گاه هر گوییم زاویه-بهینه٣ را T بندی مثلث یباشیم: داشته T′
A(T) ≥ A(T′)
terrain ی ساخت برای که چرا هستیم زاویه-بهینه بندی مثلث دنبال به مااست. مناسب سطح چند
است؟ زاویه-بهینه بندی مثلث کدام سوال:
٣angle-optimal١٣ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. مسط نقاط مجموعه بندی مثلث ٩.١.
تالس) (قضیه ٩.٢ قضیه..
.. ..
.
.
نقاط و کند قط b و a نقاط در را دایره ℓ خط و باشد دایره ی C کنید فرضصورت: این در باشند. شده واق خط سمت ی در p, q, r, s
]arb > ]apb = ]aqb > ]asb.
١۴ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. مسط نقاط مجموعه بندی مثلث ٩.١
دو با e نباشد، کران بی face از یال و باشد بندی مثلث ی از یال e = pipj اگرe تغییر با بسازند، را محدب چهارضلع ی مثلث دو این اگر است. مجاور مثلث
کرد. ایجاد جدید بندی مثلث ی توان م
١۵ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. مسط نقاط مجموعه بندی مثلث ٩.١
داشته T′ بندی مثلث در اگر نامیم م غیرمجاز۴ را T بندی مثلث یال یباشیم:
min۱≤i≤۶
αi < min۱≤i≤۶
α′i
ترین کوچ ،edge flip با بتوان اگر است مجاز غیر یال ی ر: دی عبارت بهداد. افزایش محل صورت به را زاویه
۴illegal١۶ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. مسط نقاط مجموعه بندی مثلث ٩.١
داشته T′ بندی مثلث در اگر نامیم م غیرمجاز۴ را T بندی مثلث یال یباشیم:
min۱≤i≤۶
αi < min۱≤i≤۶
α′i
ترین کوچ ،edge flip با بتوان اگر است مجاز غیر یال ی ر: دی عبارت بهداد. افزایش محل صورت به را زاویه
۴illegal١۶ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. مسط نقاط مجموعه بندی مثلث ٩.١
.٩.٣ ..مشاهده
.. ..
.
.
مثلث ، e یال تعویض با و باشیم داشته e مجاز غیر یال با T بندی مثلث ی اگرآنگاه: شود، ایجاد T′ بندی
A(T′) > A(T)
١٧ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. مسط نقاط مجموعه بندی مثلث ٩.١است. آمده دست به تالس قضیه از زیر لم
.٩.۴ لم
..
.. ..
.
.
از که باشد ای دایره C و باشد مجاور pipjpl و pipjpk مثلث دو با pipj یال اگرpl اگر تنها و اگر است مجاز غیر pipj یال آنگاه کند، م عبور pi, pj, pk نقاط
باشد. C داخلروی و دهند یل تش محدب چهارضلع ی pi, pj, pk, pl نقطه چهار اگر عالوه، به
است. مجاز غیر pkpl و pipj از ی دقیقا آنگاه باشند، نداشته قرار دایره ی
١٨ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. مسط نقاط مجموعه بندی مثلث ٩.١
باشد. نداشته مجازی غیر یال اگر نامیم مجاز را بندی مثلث ی
مجاز بندی مثلث ی زاویه-بهینه بندی مثلث هر که دانیم م ٩.٣ مشاهده ازاست.
١٩ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. مسط نقاط مجموعه بندی مثلث ٩.١
باشد. نداشته مجازی غیر یال اگر نامیم مجاز را بندی مثلث ی
مجاز بندی مثلث ی زاویه-بهینه بندی مثلث هر که دانیم م ٩.٣ مشاهده ازاست.
١٩ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. مسط نقاط مجموعه بندی مثلث ٩.١
شود؟ م متوقف وریتم ال چرا
یابد. م افزایش زاویه بردار حلقه تکرار هر در که دانیم م ٩.٣ مشاهده از
است. متناه نقاط از مجموعه ی ن مم های بندی مثلث تعداد
شود. م متوقف وریتم ال پس. ..توجه
.. ..
.
.
آن از کندتر بسیار وریتم ال ول است مجاز بندی مثلث ی وریتم ال این خروجباشد! ما توجه مورد که است
٢٠ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. مسط نقاط مجموعه بندی مثلث ٩.١
شود؟ م متوقف وریتم ال چرا
یابد. م افزایش زاویه بردار حلقه تکرار هر در که دانیم م ٩.٣ مشاهده از
است. متناه نقاط از مجموعه ی ن مم های بندی مثلث تعدادشود. م متوقف وریتم ال پس
. ..توجه
.. ..
.
.
آن از کندتر بسیار وریتم ال ول است مجاز بندی مثلث ی وریتم ال این خروجباشد! ما توجه مورد که است
٢٠ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ٩.٢
گراف: این در یرید. ب نظر در را ورونوی دیاگرام همزاد۵ گراف
سلول) درون سایت دارد.(همان قرار راس ی ورونوی سلول هر ازای بهداشته مشترک ضل آنها با متناظر های سلول اگر دارد وجود یال راس دو بین
باشند.
۵Dual graph٢١ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ٩.٢
یال دو (هیچ است مسط صفحه، در نقاط از مجموعه ی دلون گراف : ویژگکنند). نم قط را ر دی ی
٢٢ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ٩.٢.
٩.۵ ..قضیه.. ..
.
.
است. مسط صفحه، در نقاط از مجموعه ی دلون گراف
کنیم: م استفاده ((ii)٧.۴ (قضیه زیر ویژگ از اثبات برای.
.. ..
.
.
که باشد داشته وجود Cij دایره اگر تنها و اگر دارد وجود گراف دلون در pipj یالنگیرد. قرار آن درون P از ری دی سایت(نقطه) هیچ و باشند واق آن بر pj و pi نقاط
است.) واق ν(pj) و ν(pi) های سلول مشترک یال بر ای دایره چنین مرکز )
٢٣ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ٩.٢.
٩.۵ ..قضیه.. ..
.
.
است. مسط صفحه، در نقاط از مجموعه ی دلون گراف
کنیم: م استفاده ((ii)٧.۴ (قضیه زیر ویژگ از اثبات برای.
.. ..
.
.
که باشد داشته وجود Cij دایره اگر تنها و اگر دارد وجود گراف دلون در pipj یالنگیرد. قرار آن درون P از ری دی سایت(نقطه) هیچ و باشند واق آن بر pj و pi نقاط
است.) واق ν(pj) و ν(pi) های سلول مشترک یال بر ای دایره چنین مرکز )
٢٣ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ٩.٢
Cij دایره مرکز و pi, pj هایش رأس که مثلث کنیم: م تعریف را tij مثلثاست.
واق pi سلول در کامال کرده وصل دایره مرکز به را pi که یال که کنید دقت( pj مورد در است.(همچنین
دایره و tkl .مثلث باشد دلون گراف در ری دی یال pkpl کنید فرض اکنونکنیم. م تعریف مشابه بطور را Ckl
کنند. قط را ر دی ی pkpl و pipj کنید فرض خلف: برهان
٢۴ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ٩.٢
داشته قرار tij بیرون بنابراین و Cij بیرون در باید pl و pk شده، ذکر ویژگ طبقباشند.
کند. قط را Cij مرکز مجاور tij های یال از ی باید pkpl یعن این
کند. قط را Ckl مرکز مجاور tkl های یال از ی باید pipj مشابه، بطور
٢۵ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ٩.٢
tkl های یال از ی باید Cij مرکز مجاور tij های یال از ی صورت این درکند. قط را است Ckl مرکز مجاور که
دارند! قرار مجزایی های سلول در ها یال این که واقعیت این با تناقض
٢۶ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ٩.٢
های سایت های سلول رأس و ورونوی دیاگرام از رأس v اگررأس دارای دلون گراف در آن با متناظر face آنگاه باشد، p۱, p۲, p۳, ..., pk
است. p۱, p۲, p۳, ..., pk های
٢٧ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ٩.٢
در P نقاط نگیرند،(مجموعه قرار دایره ی روی سایت چهار هیچ اگررا گراف این است. مثلث ی دلون گراف face هر باشند) ۶ کل موقعیت
نامیم. م دلون بندی مثلث
.
.. ..
.
.
گیرند قرار دایره ی روی نقطه چهار نقاط، از پراکنده توزیع ی در اینکه احتمالاست! کم
۶General Position٢٨ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ٩.٢
در P نقاط نگیرند،(مجموعه قرار دایره ی روی سایت چهار هیچ اگررا گراف این است. مثلث ی دلون گراف face هر باشند) ۶ کل موقعیت
نامیم. م دلون بندی مثلث
.
.. ..
.
.
گیرند قرار دایره ی روی نقطه چهار نقاط، از پراکنده توزیع ی در اینکه احتمالاست! کم
۶General Position٢٨ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ٩.٢
: دلون گراف برای ٧.۴ قضیه بیان.
٩.۶ ..قضیه
.. ..
.
.
اگر تنها و اگر هستند دلون گراف از face ی های رأس pi, pj, pk نقطه سه,piنباشد. pj, pk نقاط از گذرنده دایره درون P از ای نقطه هیچ
اگر تنها و اگر دهند م یل تش را دلون گراف از یال ی pj و pi نقطه دونقطه هیچ و باشند شده واق برآن pj و pi نقاط که باشد داشته وجود C دایره
نباشد. آن درون P از ری دی
.٩.٧ ..قضیه
.. ..
.
.
دلون بندی مثلث ی T صورت این در باشد. P از بندی مثلث ی T کنید فرضP از ای نقطه شامل T های مثلث از کدام هر محیط دایره اگر تنها و اگر است P از
نباشد. خود درون
٢٩ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ٩.٢
: دلون گراف برای ٧.۴ قضیه بیان.
٩.۶ ..قضیه
.. ..
.
.
اگر تنها و اگر هستند دلون گراف از face ی های رأس pi, pj, pk نقطه سه,piنباشد. pj, pk نقاط از گذرنده دایره درون P از ای نقطه هیچ
اگر تنها و اگر دهند م یل تش را دلون گراف از یال ی pj و pi نقطه دونقطه هیچ و باشند شده واق برآن pj و pi نقاط که باشد داشته وجود C دایره
نباشد. آن درون P از ری دی
.٩.٧ ..قضیه
.. ..
.
.
دلون بندی مثلث ی T صورت این در باشد. P از بندی مثلث ی T کنید فرضP از ای نقطه شامل T های مثلث از کدام هر محیط دایره اگر تنها و اگر است P از
نباشد. خود درون
٢٩ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ٩.٢
؟ دلون بندی مثلث زاویه بردار
.٩.٨ ..قضیه
.. ..
.
باشد.. دلون بندی مثلث ی T اگر تنها و اگر است مجاز T بندی مثلث
...اثبات:
.. ..
.
.
است.(چرا؟) مجاز دلون بندی مثلث هر که است واض
کنیم. م استفاده خلف برهان از عکس، جهت در اثبات برای
٣٠ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ٩.٢
نیست. دلون که باشد مجاز بندی مثلث ی T کنید فرضمحیط دایره که دارد وجود pipjpk مثلث ی یعن این ٩.۶ قضیه طبق
است. خود درون pl مانند ای نقطه شامل C(pipjpk)pipjpk و pipjpl مثلث بین که باشد pipjpl از یال e = pipj کنید فرض
است. مشترککه کنیم م انتخاب را جفت آن ، T در (pipjpk, pl) های جفت همه ازای به
باشد. بیشینه ]piplpj زاویه آن در
٣١ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ٩.٢
نیست. دلون که باشد مجاز بندی مثلث ی T کنید فرضمحیط دایره که دارد وجود pipjpk مثلث ی یعن این ٩.۶ قضیه طبق
است. خود درون pl مانند ای نقطه شامل C(pipjpk)pipjpk و pipjpl مثلث بین که باشد pipjpl از یال e = pipj کنید فرض
است. مشترککه کنیم م انتخاب را جفت آن ، T در (pipjpk, pl) های جفت همه ازای به
باشد. بیشینه ]piplpj زاویه آن در
٣٢ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ٩.٢
یرید. ب نظر در را e مشترک یال با pipjpk همسای در pipjpm مثلث اکنوننم واق C(pipjpk) دایره درون pm نقطه ٩.۴ لم طبق پس است مجاز e
شود.از e توسط که است C(pipjpk) از بخش آن شامل C(pipjpm) محیط دایره
. pl ∈ C(pipjpm)پس شود. م جدا pipjpkpjpmpl و pipjpm مثلث بین که باشد pipjpm از یال pjpm کنید فرض
است. مشترکجفت تعریف با که ]pjplpm > ]piplpj داریم تالس قضیه طبق اکنون ول
دارد! تناقض (pipjpk, pl)
٣٣ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ٩.٢
یرید. ب نظر در را e مشترک یال با pipjpk همسای در pipjpm مثلث اکنوننم واق C(pipjpk) دایره درون pm نقطه ٩.۴ لم طبق پس است مجاز e
شود.از e توسط که است C(pipjpk) از بخش آن شامل C(pipjpm) محیط دایره
. pl ∈ C(pipjpm)پس شود. م جدا pipjpkpjpmpl و pipjpm مثلث بین که باشد pipjpm از یال pjpm کنید فرض
است. مشترکجفت تعریف با که ]pjplpm > ]piplpj داریم تالس قضیه طبق اکنون ول
دارد! تناقض (pipjpk, pl)
٣۴ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ٩.٢
و است بندی مثلث ی دلون گراف آنگاه باشند، کل موقعیت در نقاط اگرتاست. ی دلون بندی مثلث
و کرد تبدیل بندی مثلث ی به را دلون گراف توان م صورت این غیر درهستند. مساوی زاویه ترین کوچ دارای گراف این های بندی مثلث همه
٣۵ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ٩.٢
و است بندی مثلث ی دلون گراف آنگاه باشند، کل موقعیت در نقاط اگرتاست. ی دلون بندی مثلث
و کرد تبدیل بندی مثلث ی به را دلون گراف توان م صورت این غیر درهستند. مساوی زاویه ترین کوچ دارای گراف این های بندی مثلث همه
٣۵ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ٩.٢
.٩.٩ ..قضیه
.. ..
.
.
مثلث هر عالوه، به است. دلون بندی مثلث ی P از زاویه-بهینه بندی مثلث هرکند. م ماکزیمم را زاویه ترین کوچ P از دلون بندی
٣۶ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
اول: روش
ورونوی دیاگرام ساختن .١ورونوی دیاگرام همزاد گراف تولید .٢
نیستند. مثلث که faceهایی بندی مثلث .٣
٣٧ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
٧ تصادف افزایش وریتم ال مستقیم: روشکنیم. م اضافه نقاط مجموعه به را p−۲ و p−۱ نقطه دو ابتدا
کنیم. م بندی مثلث را P ∪ {p−۱, p−۲} مجموعه
حذف را ها آن به متصل های یال همه و p−۲ و p−۱ نقاط وریتم ال انتهای درآید. دست به P بندی مثلث تا کنیم م
٧Randomized Incremental Approach٣٨ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
است. P در نقطه باالترین p۰
p۰p−۱p−۲ مثلث: اولین
...توجه!
.. ..
.
.
باید: نقطه دو اینباشند. دور کاف اندازه به فاصله در (١
باشند. نشده واق نقطه سه از گذرنده دایره هیچ بر یعن نبرند بین از را بندی مثلث (٢
٣٩ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
است. P در نقطه باالترین p۰
p۰p−۱p−۲ مثلث: اولین
...توجه!
.. ..
.
.
باید: نقطه دو اینباشند. دور کاف اندازه به فاصله در (١
باشند. نشده واق نقطه سه از گذرنده دایره هیچ بر یعن نبرند بین از را بندی مثلث (٢
٣٩ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
شوند. م اضافه تصادف ترتیب با نقاطشود. م محاسبه دلون بندی مثلث مرحله هر در
:pr نقطه کردن اضافه هنگام درpr شامل مثلث تعیینها یال کردن اضافه
شوند! غیرمجاز قبل های یال از برخ است ن مم توجه:
۴٠ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
شوند. م اضافه تصادف ترتیب با نقاطشود. م محاسبه دلون بندی مثلث مرحله هر در
:pr نقطه کردن اضافه هنگام درpr شامل مثلث تعیینها یال کردن اضافه
شوند! غیرمجاز قبل های یال از برخ است ن مم توجه:
۴٠ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
۴١ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
۴٢ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
نباشند؟ مجاز ر دی pr شدن اضافه با است ن مم ها یال کدام سوال:تغییر که هایی مثلث های یال فقط پس است مجاز مرحله هر در بندی مثلث
شوند. غیرمجاز است ن مم اند کرده
۴٣ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
هستند. pr مجاور شوند، م ایجاد pr شدن اضافه با که جدیدی های یال تمام
۴۴ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
۴۵ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
۴۶ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
۴٧ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
۴٨ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
۴٩ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
۵٠ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
۵١ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
۵٢ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
۵٣ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣.
٩.١٠ لم.... ..
.
.
هستند. دلون گراف در شوند، م ایجاد pr شدن اضافه با که جدیدی های یال تمام
اثبات:آن محیط دایره است، دلون بندی مثلث از مثلث ی pipjpk که آنجا از
نیست. خود درون t < r با pt مانند ای نقطه هیچ (C)شاملدست به را pi, pr نقاط از گذرنده C′ دایره توانیم م C کردن کوچ با
آوریم.گراف از یال prpi یعن این و نیست ای نقطه هیچ شامل C′ پس C′ ⊂ C
است. دلون
۵۴ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
pr مجاور prpl یال با pipjpl مثلث از pipj مانند یال همیشه ،edge flip درشود. م زین جای
شامل (C) اش محیط دایره چون و بوده دلون مثلث ی pipjpl که آنجا ازبود- نخواهد غیرمجاز pipj صورت این غیر -در است pr
از گذرنده C′ خال دایره ی به تا کنیم کوچ را محیط دایره توانیم مبرسیم. pr, pl
۵۵ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
است؟ مثلث کدام درون جدید نقطه که دهیم تشخیص ونه چ
D نقطه یابی ان م برای داده ساختمان ی بندی، مثلث ساخت با همزمانسازیم. م را است، دور بدون دار جهت گراف ی ،که
است. مثلث ی با متناظر گره هراند. رفته بین از قبل مراحل در که هستند هایی مثلث با متناظر داخل های گره
۵۶ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
است؟ مثلث کدام درون جدید نقطه که دهیم تشخیص ونه چ
D نقطه یابی ان م برای داده ساختمان ی بندی، مثلث ساخت با همزمانسازیم. م را است، دور بدون دار جهت گراف ی ،که
است. مثلث ی با متناظر گره هراند. رفته بین از قبل مراحل در که هستند هایی مثلث با متناظر داخل های گره
۵۶ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
۵٧ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
۵٨ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
۵٩ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
داشته قرار P نقاط همه از باالتر ℓ−۲ خط و تر پایین ℓ−۱ خط کنید فرضباشد.
م انتخاب طوری ،Pراست سمت در کاف اندازه به و ℓ−۱ روی را p−۱ نقطهکند. م عبور P نقطه سه از که باشد ای دایره هر خارج که کنیم
هر خارج که کنیم م انتخاب طوری ℓ−۲ خط چپ سمت در را p−۲ نقطهکند. م عبور P ∪ {p−۱} نقطه سه از که باشد ای دایره
۶٠ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
داشته قرار P نقاط همه از باالتر ℓ−۲ خط و تر پایین ℓ−۱ خط کنید فرضباشد.
م انتخاب طوری ،Pراست سمت در کاف اندازه به و ℓ−۱ روی را p−۱ نقطهکند. م عبور P نقطه سه از که باشد ای دایره هر خارج که کنیم
هر خارج که کنیم م انتخاب طوری ℓ−۲ خط چپ سمت در را p−۲ نقطهکند. م عبور P ∪ {p−۱} نقطه سه از که باشد ای دایره
۶٠ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣از: شده یل تش P ∪ {p−۱, p−۲} دلون بندی مثلث
P دلون بندی مثلثمجموعه Convex Hull راست سمت های رأس همه به را p−۱ که هایی یال
کنند م متصل PP مجموعه Convex Hull چپ سمت های رأس همه به را p−۲ که هایی یال
کنند م متصلp−۱p−۲ یال
است. متصل p−۲ به هم و p−۱ به هم P نقطه ترین پایین و باالترین توجه:
۶١ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
یال؟ بودن مجاز بررس هنگام در p−۲ و p−۱ نقاط با برخورد نحوه
ر دی رأس دو pk, pl و شود بررس باید که باشد یال pipj کنید فرضوجود): صورت باشند(در
است. مجاز همیشه باشد p۰p−۱p−۲ مثلث از یال pipj اگرانجام معمول صورت به بررس نباشند، منف دام هیچ i, j, k, l های اندیس اگر
شود. ماگر: تنها و اگر است مجاز pipj حاالت، ی بقیه در
min(k, l) < min(i, j)
۶٢ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
pipj is legal ⇐⇒ min(k, l) < min(i, j)
است. منف i, j های اندیس از ی حداکثر که دانیم مپس ایم کرده اضافه تازگ به که است pr نقطه pl یا و pk یا ر، دی طرف از
است. منف k, l های اندیس از ی حداکثردایره از خارج نقطه این که دانیم م باشد، منف اندیس چهار از ی تنها اگر
گذرد. م ر دی نقطه سه از که است ایمثبت بقیه و باشد منف j یا i اگرمثبت بقیه و باشد منف l یا k اگر
۶٣ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣
pipj is legal ⇐⇒ min(k, l) < min(i, j)
باشند منف min(k, l) هم و min(i, j) هم اگرmin(k, l) = −۱ و min(i, j) = −۲ اگرmin(k, l) = −۲ و min(i, j) = −۱ اگر
۶۴ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. وریتم ال تحلیل ٩.۴
.وریتم: ال تحلیل
..
.. ..
.
.
طول در که است هایی مثلث تعداد بررس وریتم، ال این تحلیل در اساس مسئلهشوند. م حذف و ایجاد وریتم ال روند
نماد: چند معرف ابتداPr = {p۱, ..., pr}
Dgr = Dg({p−۲, p−۱, p۰} ∪ Pr)
۶۵ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. وریتم ال تحلیل ٩.۴
.وریتم: ال تحلیل
..
.. ..
.
.
طول در که است هایی مثلث تعداد بررس وریتم، ال این تحلیل در اساس مسئلهشوند. م حذف و ایجاد وریتم ال روند
نماد: چند معرف ابتداPr = {p۱, ..., pr}
Dgr = Dg({p−۲, p−۱, p۰} ∪ Pr)
۶۵ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. وریتم ال تحلیل ٩.۴
.٩.١١ لم
..
.. ..
.
.
است. ۹n + ۱ حداکثر وریتم، ال توسط شده ایجاد های مثلث انتظار مورد تعداد
سه به را مثلث ی ،ابتدا pr کردن اضافه هنگام وریتم، ال تکرار rامین درکنیم. م ایجاد Dgr در جدید یال سه و تبدیل مثلث
باعث همچنین و کرده ایجاد جدید مثلث دو نیز یال تعویض هر این، بر عالوهشود. pr مجاور Dgr یال ی که شود م
باشند، pr مجاور Dgr از kیال ، pr کردن اضافه از پس اگر یعن: با بود خواهد برابر حدکثر شده ایجاد جدید های مثلث تعداد
۲(k − ۳) + ۳ = ۲k − ۳
k = deg(pr,Dgr)
۶۶ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. وریتم ال تحلیل ٩.۴
دارد. یال ۳(r + ۳) − ۶ حداکثر Dgr ، ٧.٣ قضیه طبقهستند، p۰p−۱p−۲ مثلث به متعلق ها یال این از تا ٣
از است کمتر Pr دنباله های رأس درجات مجموع ، بنابراین
۲[۳(r + ۳) − ۹] = ۶r
است. ۶ حداکثر Pr از تصادف نقطه ی انتظار مورد درجه یعن این و
۶٧ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. وریتم ال تحلیل ٩.۴
داشت: خواهیم پس
E[r مرحله در شده ایجاد های مثلث [تعداد ≤ E[۲k − ۳]
= ۲E[k] − ۳
≤ ۲ ∗ ۶ − ۳ = ۹
داشت. خواهیم مثلث ۹n + ۱ حداکثر مرحله، n مجموع در
۶٨ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. وریتم ال تحلیل ٩.۴
.٩.١٢ ..قضیه
.. ..
.
.
از استفاده با و O(n log n) انتظار مورد زمان در توان م را دلون بندی مثلثداد. انجام O(n) انتظار مورد حافظه
ی با متناظر گره هر ،D داده ساختمان در اینکه به توجه با حافظه، مورد درم اثبات O(n) قبل، لم به توجه با و بود وریتم ال توسط شده ایجاد مثلث
شود.
نقطه(خط٧)، ان م تعیین مرحله گرفتن نظر در بدون اجرا، زمان مورد دراست متناسب شده ایجاد های مثلث تعداد با وریتم ال توسط شده هزینه زمان
O(n) یعن
۶٩ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. وریتم ال تحلیل ٩.۴
.٩.١٢ ..قضیه
.. ..
.
.
از استفاده با و O(n log n) انتظار مورد زمان در توان م را دلون بندی مثلثداد. انجام O(n) انتظار مورد حافظه
ی با متناظر گره هر ،D داده ساختمان در اینکه به توجه با حافظه، مورد درم اثبات O(n) قبل، لم به توجه با و بود وریتم ال توسط شده ایجاد مثلث
شود.
نقطه(خط٧)، ان م تعیین مرحله گرفتن نظر در بدون اجرا، زمان مورد دراست متناسب شده ایجاد های مثلث تعداد با وریتم ال توسط شده هزینه زمان
O(n) یعن
۶٩ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. وریتم ال تحلیل ٩.۴
: point location مرحله مورد درpi نقطه کردن اضافه هنگام در گراف، در جستجو هزینه T(i) کنید فرض
باشد.کنیم. م شارژ جستجو مسیر در موجود مثلث هر به را هزینه این
مثلث شارژ دفعات تعداد مجموع توانیم م∑n
i=۱ T(i) محاسبه جای به یعنکنیم. حساب را ها
.
.. ..
.
.
n∑i=۱
T(i) =∑∆
card(∆) =∑∆
card(K(∆))
∆ مثلث محیط دایره : K(∆)
٧٠ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. وریتم ال تحلیل ٩.۴.
٩.١٣ لم..
.. ..
.
.
آنگاه باشد، کل موقعیت در نقاط مجموعه ی P ∑اگر∆
card(K(∆)) = O(n log n)
شوند. م ایجاد وریتم ال توسط که است ∆ دلون های مثلث همه روی ، جم که
اثبات:Dgr های مثلث مجموعه :Tr
r مرحله در شده ایجاد دلون های مثلث مجموعه :Tr \ Tr−۱
n∑r=۱
(∑
∆∈Tr\Tr−۱
card(K(∆)))
٧١ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. وریتم ال تحلیل ٩.۴
q ∈ K(∆) که ∆ ∈ Tr های مثلث تعداد :k(Pr, q)
∆ مجاور pr همچنین و q ∈ K(∆) که ∆ ∈ Tr های مثلث تعداد :k(Pr, q, pr)باشد.
∑∆∈Tr\Tr−۱
card(K(∆)) =∑
q∈P\Pr
k(Pr, q, pr) (*)
٧٢ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. وریتم ال تحلیل ٩.۴
حداکثر باشد، p ∈ P∗r تصادف نقطه ی مجاور ∆ ∈ Tr مثلث ی اینکه احتمال
است. (۳r ) برابر
پس
E[k(Pr, q, pr)] ≤۳k(Pr, q)
r: داریم (*) رابطه از استفاده با و q ∈ P \ Pr نقاط همه ازای به مقادیر این جم با
E[∑
∆∈Tr\Tr−۱
card(K(∆))] ≤ ۳
r∑
q∈P\Pr
k(Pr, q) (**)
٧٣ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. وریتم ال تحلیل ٩.۴
است، برابر شود ظاهر pr+۱ عنوان به q ∈ P \ Pr نقاط از کدام هر اینکه احتمالپس:
E[k(Pr, pr+۱)] =۱
n − r∑
q∈P\Pr
k(pr, q)
: (**) در مقدار این جاگذاری با
E[∑
∆∈Tr\Tr−۱
card(K(∆))] ≤ ۳(n − r
r )E[k(Pr, pr+۱)]
٧۴ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. وریتم ال تحلیل ٩.۴
است، برابر شود ظاهر pr+۱ عنوان به q ∈ P \ Pr نقاط از کدام هر اینکه احتمالپس:
E[k(Pr, pr+۱)] =۱
n − r∑
q∈P\Pr
k(pr, q)
: (**) در مقدار این جاگذاری با
E[∑
∆∈Tr\Tr−۱
card(K(∆))] ≤ ۳(n − r
r )E[k(Pr, pr+۱)]
٧۴ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. وریتم ال تحلیل ٩.۴
قضیه طبق که .pr+۱ ∈ K(∆) که است Tr از هایی مثلث تعداد k(Pr, pr+۱)حذف pr+۱ شدن اضافه با که هستند هایی مثلث همان دقیقا ها مثلث این (i) ٩.۶
داریم: پس شوند، م
E[∑
∆∈Tr\Tr−۱
card(K(∆))] ≤ ۳(n − r
r )E[card(Tr \ Tr+۱)]
تعداد از تا ٢ دقیقا شوند م حذف pr+۱ نقطه شدن اضافه با که هایی مثلث تعدادپس: است، کمتر شوند م ایجاد pr+۱ شدن اضافه با که هایی مثلث
E[∑
∆∈Tr\Tr−۱
card(K(∆))] ≤ ۳(n − r
r )(E[card(Tr+۱ \ Tr)] − ۲)
٧۵ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. وریتم ال تحلیل ٩.۴
قضیه طبق که .pr+۱ ∈ K(∆) که است Tr از هایی مثلث تعداد k(Pr, pr+۱)حذف pr+۱ شدن اضافه با که هستند هایی مثلث همان دقیقا ها مثلث این (i) ٩.۶
داریم: پس شوند، م
E[∑
∆∈Tr\Tr−۱
card(K(∆))] ≤ ۳(n − r
r )E[card(Tr \ Tr+۱)]
تعداد از تا ٢ دقیقا شوند م حذف pr+۱ نقطه شدن اضافه با که هایی مثلث تعدادپس: است، کمتر شوند م ایجاد pr+۱ شدن اضافه با که هایی مثلث
E[∑
∆∈Tr\Tr−۱
card(K(∆))] ≤ ۳(n − r
r )(E[card(Tr+۱ \ Tr)] − ۲)
٧۵ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
. . . . . .
.. وریتم ال تحلیل ٩.۴
تعداد با شوند م ایجاد pr+۱ شدن اضافه با که هایی مثلث تعداد که میدانیم اکنوناست. ی Tr+۱ در pr+۱ مجاور های یال
م نتیجه پس است. ۶ حداکثر هایی یال چنین انتظار مورد تعداد که دانیم م وکه: گیریم
E[∑
∆∈Tr\Tr−۱
card(K(∆))] ≤ ۱۲(n − r
r )
کند. م ثابت را لم r روی جم با که
٧۶ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث
Recommended