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BCC 101 – Matemática Discreta I
Indução / Recursão
BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP
Introdução
Como podemos calcular de 1+2+3+…+n, dado o valor de n?
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Proque precisamos de uma prova?
1 + 2 + 3 + … + n
Alguns resultados são mostrados na tabela:
Será que podemos garantir que, para qualquer n∈N
1 + 2 + 3 + … + n = n (n+1)/2 ?
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Indução
Combina raciocínio indutivo e dedutivo buscar um padrão a partir de observações
formular esse padrão como uma conjectura
testar se a conjectura pode ser deduzida (provada) a partir de leis já conhecidas
O último passo é necessário porque é muito frequente que se façam conjecturas falsas.
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Porque precisamos de uma prova?
Se uma afirmação é verdadeira para todos os valores que testamos, será que podemos concluir que ela é verdadeira sempre?
Considere a seguinte proposição:
Proposição 3. Se p é primo, 2p − 1 também é primo.
Testando alguns casos:
Entretanto… 211 −1 = 2047 = 23×89.
A proposição 3 é falsa!BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 5
Prova por Indução
Uma prova por indução tem a seguinte estrutura:
Prova: Vamos provar que P(n) vale para todo n ∈ N, n ≥ a, usando indução sobre n.
Base: Devemos provar que P (a) é true.
Indução: Suponha que P(k) é true, para todo inteiro a ≤ k < n. Devemos mostrar que P (n) é true.
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P(a) n. (a ≤ k < n. P(k)) P(n)_____________________________{Ind}
n. P(n)
InduçãoBase Indução
Hipótese de Indução
Exemplo 1
Proposição1.
Base: Se n = 1, a soma é 1 = 1(1+1)/2.
Indução:
Hipótese Indução: 1+2+3+···+k = k(k+1)/2, p/ 1≤k<n(1)
Queremos provar: 1+2+3+···+(n-1)+n= n(n+1)/2 (2)
Como podemos usar (1) para obter (2) ?
Note que: 1+2+3+···+(n-1)+n = (1+2+3+···+(n-1)) + n
= (n-1)(n-1+1)/2 + n (de 1)
= n(n+1) /2
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Exemplo 2
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polígono convexo polígono não convexo
Proposição 2. Em um polígono convexo com n vértices, o maior número de diagonais que podem ser traçadas é n(n−3)/2, para n ≥ 4.
Exemplo 2 (continuação)
Base: Se n = 4, o polígono é um quadrilátero, que tem 2 diagonais; e n(n − 3)/2=(4)(1)/2 = 2.
Indução:
Hipótese de indução: o no. de diagonais de um polígono de 4≤k<n vértices é k(k−3)/2. (1)
Queremos provar que o no. de diagonais de um polígono com n vértices é n(n-3)/2. (2)
Como obter (2) a partir de (1)?
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Exemplo 2 (continuação)
A resposta é “adicione mais um vértice”. Quantas diagonais podem ser traçadas agora?
Quando adicionamos 1 vértice, todas as diagonais do polígono original são ainda diagonais do novo polígono, mas há ainda outras diagonais.
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poligono com k vérices poligono com k+1 vérices
Exemplo 2 (continuação)
A hipótese de indução nos dá que o no. de diagonais do polígono original é k(k-3)/2.
Novas diagonais podem ser traçadas, do vértice extra Pk+1 a cada um dos outros vértices não
adjacentes (P1 e Pk), dando (k−2) diagonais extras.
Isso dá um total de k(k−3)/2+(k−2) diagonais.
Mas, k(k−3)/2+(k−2) = [k(k−3)+2k−2]/2
= (k+1)((k+1)-3)/2
Isso completa o passo indutivo (já que n=k+1).
Portanto, a proposição é true para todo n ≥ 4.
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Exercícios
Prove que a soma dos n primeiros números inteiros positivos ímpares é n2.
Prove que para todo n∈N.
Prove que n! < nn para todo inteiro n>1.
Prove que n3 – n é divisível por 3, para todo n≥0.
Prove que (1+x)m > 1 + mx, para todo inteiro m≥2.
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n
i
ni
r
rr
0
1
1
1
Triominós
Considere um tabuleiro com tamanho 2n x 2n no qual exatamente um quadrado está coberto.
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um triominó de formato L é feito de 3 quadrados:
Mostre que é possível cobrir os quadrados restantes com triominós de formato L, sem que triominós se sobreponham. Quantos triominós são necessários?
Triominós - solução para 23 x 23
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Triominós Caso base (n=0):
O tabuleiro tem dimensão 20x20 = 1x1, isto é, exatamente 1 quadrado, que já está coberto. Portanto, são necessários 0 triominós para cobrir os quadrados restantes.
Passo indutivo: Considere um tabuleiro de dimensões 2n+1x2n+1
Suponha que é possível cobrir qq tabuleiro de dimensões 2nx2n com triominós HI
Devemos mostrar como explorar essa hipótese para obter a solução para o caso 2n+1x2n+1
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Triominós
Um tabuleiro 2n+1x2n+1 pode ser subdividido em 4 tabuleiros 2nx2n, traçando-se uma linha horizontal e uma vertical que se cruzam no meio.
Em uma desses 4 tabuleiros, há um quadrado que já está coberto. Pela hipótese de indução, os demais quadrados desse tabuleiro podem ser combertos com triominós.
Nenhum dos 3 outros tabuleiros 2nx2n tem um quadrado coberto. Como aplicar a hipótese de indução aos 3 outros tabuleiros?
A idéia é colocar um triominó na junção desses 3BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 16
Triominós
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Agora a hipótese de indução pode ser aplicada para cobrir os quadrados restantes de cada uma dos 3 outros sub-tabuleiros, completando o processo.
Indução matemática
Combina raciocínio indutivo e dedutivo buscar um padrão a partir de observações
formular esse padrão como uma conjectura
testar se a conjectura pode ser deduzida (provada) a partir de leis já conhecidas
O último passo é necessário porque é muito frequente que se façam conjecturas falsas.
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