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11 .1 向量的定義. 向量與純量. 向量 是具有大小和方向的量 。. 純量 是只有大小的量 。. 物理量. 向量 例如:力、速度、 加速度、 …. 純量 例如:質量、長度、 時間、溫度、 …. 11 .1 向量的定義 . 相等向量. 若兩個向量的大小與方向相同,則這兩個向量相等。. 零向量與單位向量. 大小為零的向量稱為 零向量 ,且可用 0 來表示。 大小為 1 單位 的向量稱為 單位 向量 。. 11 . 2 向量的運算. 向量的加法. 11 . 2 向量的運算. 向量的加法. 11 . 2 向量的運算. 向量的加法. - PowerPoint PPT Presentation
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二維空間的向量1111.1 向量的定義
分兩類:總括來說,物理量可為
向量與純量
物理量向量例如:力、速度、 加速度、…
純量例如:質量、長度、 時間、溫度、…
向量是具有大小和方向的量。
純量是只有大小的量。
11 二維空間的向量
1 âaaa 也可寫單位,且為單位向量,則若
11.1 向量的定義 相等向量
零向量與單位向量大小為零的向量稱為零向量,且可用 0 來表示。大小為 1 單位的向量稱為單位向量。
若兩個向量的大小與方向相同,則這兩個向量相等。
11 二維空間的向量
11.2 向量的運算向量的加法
三角形加法律
11 二維空間的向量
平行四邊形加法律
ACBCAB
11.6 圖
11.2 向量的運算向量的加法
三角形加法律
11 二維空間的向量
OCOBOA
OACB
則
為平行四邊形,若
11.7 圖
11.6 圖
11.2 向量的運算向量的加法
平行四邊形加法律
三角形加法律
ACBCAB
11 二維空間的向量
例 11.1
baba
baba表和 試以
,的交角為和若兩個非零向量和已知
11.2 向量的運算
、
11 二維空間的向量
解: ba OBOA 及設
OC ba
OC
cos( )= –cos
OACACOAACOA )cos)((222
在 OAC 中應用餘弦公式。))cos()((222 baba
cos222 baba
11.9 圖
例 11.111.2 向量的運算
baba
baba表和 試以
,的交角為和若兩個非零向量和已知
、
ba
11 二維空間的向量
負向量ABBAAB 的負向量
11.11 圖
A B
A B
u
–u
向量的差,可以改寫成兩個向量的差 ) ( baba
:並可圖解如下
11.2 向量的運算
11 二維空間的向量
11.12(a) 圖
負向量
11.11 圖
A B
A B
u
–u
向量的差:並可圖解如下
11.2 向量的運算
ABBAAB 的負向量
,可以改寫成兩個向量的差 ) ( baba
11 二維空間的向量
負向量
11.11 圖
A B
A B
u
–u
向量的差:並可圖解如下
11.2 向量的運算
ABBAAB 的負向量
,可以改寫成兩個向量的差 ) ( baba
11.12(a) 圖 11.12(b) 圖
11 二維空間的向量
11.11 圖
A B
A B
u
–u
向量的差,可以改寫成兩個向量的差 ) ( baba
:並可圖解如下
11.2 向量的運算
11.2(a) 圖
負向量ABBAAB 的負向量
11.2(b) 圖 11.2(c) 圖
11 二維空間的向量
向量運算法則為實數,則和為向量,且和 設 21 kkcba
abba 1.
)()( 2. cbacba
)()()( 3. 122121 aaa kkkkkk
aaa 2121 )( 4. kkkk
baba 111 )( 5. kkk
11.2 向量的運算
、
11 二維空間的向量
例 11.3
0 ADCBACBDBABC
ABCD
222
為一平行四邊形,證明已知
11.2 向量的運算
11 二維空間的向量
證明:左方
ADCBACBDBABC 222
由於 ABCD 為一平行四邊形,因此,
11.17 圖
ADCBACBDBABC 2)(2
ADABBDBABC 22
)(2 ADABBDBABC
DBBDBABC 2
)()( DBBDBABCDB
BBBADC
0 BAABAA0
ABDC
例 11.311.2 向量的運算
0 ADCBACBDBABC
ABCD
222
為一平行四邊形,證明已知
右方
11 二維空間的向量
11.3 笛卡兒坐標平面上的向量與分點笛卡兒坐標平面上的向量之表示法
先設 i 為正 x 軸的單位向量 及 j 為正 y 軸的單位向量。
11 二維空間的向量
ji yxOP
及注意, 22 yxOP
,xy
tan
且按逆時針方向量度軸的交角,與正為其中 xOP
11.31 圖
11.3 笛卡兒坐標平面上的向量與分點笛卡兒坐標平面上的向量之表示法
先設 i 為正 x 軸的單位向量 及 j 為正 y 軸的單位向量。
11 二維空間的向量
笛卡兒坐標平面上的向量之表示法若 A 和 B 兩點的坐標分別是 (x1, y1) 及 (x2, y2)
11.3 笛卡兒坐標平面上的向量與分點
11 二維空間的向量
)( )( 1212 ji yyxxAB
22 )()( 1212 yyxxAB
11.32 圖
可寫成:則向量 AB
笛卡兒坐標平面上的向量之表示法若 A 和 B 兩點的坐標分別是 (x1, y1) 及 (x2, y2)
11.3 笛卡兒坐標平面上的向量與分點
11 二維空間的向量
例 11.5的大小與方向兩點,試求和已知 4) (3, 2) (1, ABBA
解:OAOBAB
)2()4(3 jiji
ji 22 22 22 AB
22
11.3 笛卡兒坐標平面上的向量與分點
11 二維空間的向量
解: 軸的交角為與正設 xAB
22tan
o45
45 o軸的交角是與正因此, xAB
o
oo
45
j2i2 225 45
1tan
位於第一象限
或
AB
例 11.511.3 笛卡兒坐標平面上的向量與分點
的大小與方向兩點,試求和已知 4) (3, 2) (1, ABBA
1
11 二維空間的向量
例 11.5
解:OAOBAB
)2()6(4 jiji
5
43 22
AB
AB
ABAB
單位向量
ji54
53
11.3 笛卡兒坐標平面上的向量與分點方向的單位向量兩點,試求和已知點 6) (4, 2) (1, ABBA
ji 43
11 二維空間的向量
從向量定出分點11.3 笛卡兒坐標平面上的向量與分點
11 二維空間的向量
nmOBmOAnOP
11.33 圖
從向量定出分點11.3 笛卡兒坐標平面上的向量與分點
11 二維空間的向量
若 M 為 AB 的中間點,則 m : n = 1 : 1 ,所以
2OBOAOM
11.35 圖
11.33 圖
從向量定出分點11.3 笛卡兒坐標平面上的向量與分點
nmOBmOAnOP
11 二維空間的向量
例 11.8
3:2: 1:2 : 2:3 : ,及 若
及為一平行四邊形,其中已知
FEDFEABEDBCD
OCOAOABC ca
11.3 笛卡兒坐標平面上的向量與分點
、 (c) (b) (a)
OFOEOD
表下列向量和試以 ca
11 二維空間的向量
解: (c) (b) (a)
OFOEOD
表下列向量和試以 ca
11.36 圖
例 11.811.3 笛卡兒坐標平面上的向量與分點
3:2: 1:2 : 2:3 : ,及 若
及為一平行四邊形,其中已知
FEDFEABEDBCD
OCOAOABC ca、
11 二維空間的向量
CDOCOD (a)
CBOC53
ca53
OCD 考慮
aOACB
11.37 圖
解:11.36 圖
例 11.811.3 笛卡兒坐標平面上的向量與分點
(c) (b) (a)
OFOEOD
表下列向量和試以 ca 3:2: 1:2 : 2:3 : ,及 若
及為一平行四邊形,其中已知
FEDFEABEDBCD
OCOAOABC ca、
11 二維空間的向量
AEOAOE (b)
ABOA31
ca31
OAE 考慮
11.38 圖
解:
例 11.811.3 笛卡兒坐標平面上的向量與分點
(c) (b) (a)
OFOEOD
表下列向量和試以 ca 3:2: 1:2 : 2:3 : ,及 若
及為一平行四邊形,其中已知
FEDFEABEDBCD
OCOAOABC ca、
11 二維空間的向量
11.39 圖
3223 (c)
OEODOF
5312
533
caca
ca1511
2519
11.38 圖
解:
例 11.811.3 笛卡兒坐標平面上的向量與分點
、
AEOAOE (b)
ABOA31
ca31
OAE 考慮
(c) (b) (a)
OFOEOD
表下列向量和試以 ca 3:2: 1:2 : 2:3 : ,及 若
及為一平行四邊形,其中已知
FEDFEABEDBCD
OCOAOABC ca
11 二維空間的向量
例 11.10
1:2:
ba
OBOADCBDBC
DAB OAECOAB
及已知上的一點,使得
則為的中點,而和分別為和中,在
11.4 向量的應用 (I)
11 二維空間的向量
11.50 圖
(a) OD表和試以 ba (b) OE表和試以 ba
例 11.1011.4 向量的應用 (I)
(c) 試判斷 O、 D 和 E 三點是否共線,並加以解釋。
1:2:
ba
OBOADCBDBC
DAB OAECOAB
及已知上的一點,使得
則為的中點,而和分別為和中,在
11 二維空間的向量
解:12
)2()(1 (a)
OCOBOD ba
31
31
2 (b) OBOAOE
11.51 圖ba
21
21
)(21 (c) baOE ODOD
23 )(3
21
例 11.1011.4 向量的應用 (I)
因此, OE//OD ,而且這兩條直線均以 O 為起點。所以, O 、 D 和 E 三點共線。
(a) OD表和試以 ba (b) OE表和試以 ba
(c) 試判斷 O、 D 和 E 三點是否共線,並加以解釋。
1:2:
ba
OBOADCBDBC
DAB OAECOAB
及已知上的一點,使得
則為的中點,而和分別為和中,在
11 二維空間的向量
11.5 兩向量的純量積
11 二維空間的向量
,cosbaba
11.68 圖
,則其中,若 ab
2aaa
:進而有關係式
1 jjii
它們的純積量 ( 以 a b 表示 ) , 定義如下:11.5 兩向量的純量積
11 二維空間的向量
垂直於當且僅當來說,和對非零向量 bababa 0
進而有0 ijji
們可推導出以下法則:根據純量積的定義,我
abba 1.
)()()( 2. bababa kkk
cabac)ba ( 3.
11.5 兩向量的純量積
已知 a、 b 和 c 為向量,且 k 為實數。【交換性】【分配性】
11 二維空間的向量
11.5 兩向量的純量積
11 二維空間的向量
,則及若 2211 jibjia yxyx
2121 1. yyxx ba
為非零向量和的交角,而和為其中
cos 2.2
22
22
12
1
2121
baba
yxyx
yyxx
11.77 圖
11.5 兩向量的純量積
11 二維空間的向量
例 11.14
最接近的度的交角,答案須準確至和由此求的值試求及已知
(b) (a)
125 43
vuvu
jivjiu
解:
(4)(12)(3)(5)
(b) 的交角為和設 vu
vuvu
cos
)21)(54(3 (a) jijivu
u 和 v 為非零向量。
2222 1254363
)(14 o 準確至最接近的度
o14 的交角是和因此, vu
11.5 兩向量的純量積
63
11 二維空間的向量
例 11.16
11.6 向量的應用 (II)
利用向量證明垂直性
11 二維空間的向量
o90
ADBDAOB
證明為圓周上的任意點,為直徑,且若
解:daa 及則OB
OAODAD
OBODBD
,及設 da ODOA
圓半徑相等11.86 圖
ad )()( adad BDAD
aadd 22 ad
o90 ADBBDAD 及因此,
例 11.16
11.6 向量的應用 (II)
利用向量證明垂直性
ad
0
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