View
241
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
8/19/2019 2. Eliminasi Gauss
http://slidepdf.com/reader/full/2-eliminasi-gauss 1/21
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN
LINIER SECARA NUMERIS
Bagaimana bentuk SISTEM persamaan linier?
BENTUK UMUM SISTEM PERSAMAAN LINIER:
a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 + ….… + a1n Xn = b1 (pers. 1)
a21 X1 + a22 X2 + a23 X3 + ……. + a2n Xn = b2 (pers. 2)
a31 X1 + a32 X2 + a33 X3 + ……. + a3n Xn = b3 (pers. 3)
… … …. … … .. …
… … … … … .. …
am1 X1 + am2 X2 + am3 X3 + …..…+ amn Xn = bm (pers. m)
Bagaimana sampai terbentuk sistem persamaan l inier
tsb?
Ikuti ilustrasi sederhana berikut:
Contoh kasus sehari-hari yang membentuk sistem persamaan linier:
Misalkan ada 3 orang (Ali, Badu & Cica) yang berbelanja di Hypertmart,mereka datang dan pulang bersama-sama.
Misal
Ali berbelanja: 5 pisang, 3 indomi dan 7 baju. Total pengeluaran Rp. 68.000,-
Badu berbelanja: 2 pisang, 0 indomi dan 1 baju. Total pengeluaran Rp. 32.000,-
Cica berbelanja: 1 pisang, 5 indomi dan 70 baju. Total pengeluaran Rp. 94.000,-
8/19/2019 2. Eliminasi Gauss
http://slidepdf.com/reader/full/2-eliminasi-gauss 2/21
Bila ditanya, berapa sebetulnya harga pisang, indomi dan baju?
Maka secara sistematis untuk memudahkan perhitungan, biasanya ilustrasi
diatas di tulis dalam bentuk persamaan:
Ali : 5 pisang + 3 indomi + 7 baju = 68.000
Badu: 2 pisang + 0 indomi + 1 baju = 32.000
Cica : 1 pisang + 5 indomi + 70 baju = 94.000
Misalkan pisang=P, indomi=I dan B= baju, maka sistem tersebut dapat ditulis
5 P + 3 I + 7 B = 68.000
2 P + 0 I + 1 B = 32.000
1 P + 5 I + 70 B = 94.000
Atau misal
P=X1, I=X2, B=X3, maka:
5 X1 + 3 X2 + 7 X3 = 68.000 .......(1)
2 X1 + 0 + X3 = 32.000 .......(2)
X1 + 5 X2 + 70 X3 = 94.000 ......(3)
Susunan ini disebut sistem persamaan linier.
Dan bila disusun dalam bentuk umum menjadi seperti
a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 + ….… + a1n Xn = b1 (pers. 1)
a21 X1 + a22 X2 + a23 X3 + ……. + a2n Xn = b2 (pers. 2)
a31 X1 + a32 X2 + a33 X3 + ……. + a3n Xn = b3 (pers. 3)
… … .... … … .. …
… … … … … .. …
am1 X1 + am2 X2 + am3 X3 + …..…+ amn Xn = bm (pers. m)
ini merupakan sistem persamaan linier dengan matrix [m x n]
Untuk kasus Ali, Badu dan Cica diatas dengan mudah dapat diselesaikan secara
analitis berapa X1, X2, dan X3 atau berapa harga pisang, indomi dan baju.
Ada yang tidak tau caranya?
Caranya: dari pers. 2 diperoleh X3=32.000-2X1 .............(4)
Substitusi X3 pada pers. 4 ke pers. 1
Lalu substitusi ke pers. 3
Dan akhirnya akan diperoleh nilai X1, X2 dan X3 ?????
8/19/2019 2. Eliminasi Gauss
http://slidepdf.com/reader/full/2-eliminasi-gauss 3/21
Untuk kasus ini masih bisa kita selesaikan dengan cara analitis, karena jumlah
variabel dan persamaannya masih sedikit (3 variabel dan 3 persamaan).
Tapi bayangkan, misalkan kita ingin menghitung harga setiap item dari 100
jenis barang untuk 100 orang yang belanja bersama Ali, Badu dan Cica.
Bagaimana cara menyelesaikannya???
Tentu tidak efektif dan efisien bila menggunakan cara analitis seperti contoh diatas
Karena ada 100 persamaan dan 100 variabel seperti berikut:
a 1, 1 X1 + a 1,2 X2 + a1,3 X3 +…. + a1,100 X100 = b1 ....... (pers. 1)
a 2, 1 X1 + a 2,2 X2 + a2,3 X3 +.... + a2,100 X100 = b2 ....... (pers. 2)
a 3, 1 X1 + a 3,2 X2 + a3,3 X3 +.... + a3,100 X100 = b3 ........ (pers. 3)
… … …. … … .. …
… … … … … .. …a100, 1 X1 + a100,2 X2 + a100,3 X3 + … + a100,100 X100 = b100 ... .. (pers. 100)
repot bila menggunakan cara
analitis!!!!!!
Maka dipakai solusi cara numeris.
Ada beberapa metode penyelesaian sistem persamaan linier secara numeris,
umumnya digolongkan atas:
1. metode langsung
2. metode tidak langsung
8/19/2019 2. Eliminasi Gauss
http://slidepdf.com/reader/full/2-eliminasi-gauss 5/21
Dalam kuliah ini akan dipelajari:
1. Metode eliminasi gauss (langsung)
2. Metode Gauss Seidel (tak langsung)
Masing-masing metode mempunyai kekurangan dan kelebihan masing-masing,
dan saling melengkapi.
8/19/2019 2. Eliminasi Gauss
http://slidepdf.com/reader/full/2-eliminasi-gauss 6/21
BENTUK SISTEM PERSAMAAN LINIER:
a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 + ……. + a1n Xn = b1 (pers. 1)
a21 X1 + a22 X2 + a23 X3 + ……. + a2n Xn = b2 (pers. 2)
a31 X1 + a32 X2 + a33 X3 + ……. + a3n Xn = b3 (pers. 3)
… … …. … … .. …
… … … … … .. …
am1 X1 + am2 X2 + am3 X3 + …..…+ amn Xn = bm (pers. m)
Keterangan:
* X1, X2, X3 ….Xn disebut variabel dari persamaan. *a11, a21…..dst disebut koefisien variabel
* n = jumlah variabel; m = jumlah persamaan;
Sistem persamaan linier tersebut dapat juga ditulis dalam bentuk perkalian Matrix, sbb:
a11 a12 a13 …… a1n X1 b1
a21 a22 a23 …… a2n X2 b2
a31 a32 a33 …… a3n x X3 = b3… … … .. ..
… … … .. ..
am1 am2 am3 ….. amn Xn bm
matrix A matrix X matrix B
(matrix koefisien) (matrix variabel) (matrix hasil/eigen value)
bila m = n maka matrix A merupakan matrix bujur sangkar (m x n)
Misalkan ingin diselesaikan soal sbb:Mau diselesaikan secara analitis atau numeris?
4 8 4 0 1 3 0 2 X1 8
1 5 4 -3 2 2 1 1 X2 -4
1 4 7 2 3 3 3 1 X3 101 3 0 -2 2 1 2 3 x X4 = -4
1 2 3 4 5 4 0 4 X5 1
2 1 2 3 4 6 1 3 X6 2
3 1 2 4 0 1 3 1 X7 4
4 3 2 1 1 3 2 2 X8 1
Kalau memilih numeris, anda bisa menggunakan Matlab. Ada yg belum bisa?
Matlab telah meyediakan fasilitas hitung cepat matrik, yg merupakan kompilasiberbagai metode numerik
Bekerja dengan matlab:
8/19/2019 2. Eliminasi Gauss
http://slidepdf.com/reader/full/2-eliminasi-gauss 7/21
clcA=[4 8 4 0 1 3 0 2;1 5 4 -3 2 2 1 1;1 4 7 2 3 3 3 1;1 3 0 -2 2 1 2 3;1 2 3 4 5 4 0 4;2 1 2 3 46 1 3;3 1 2 4 0 1 3 1;4 3 2 1 1 3 2 2]
B=[8;-4;10;-4;1;2;4;1]
X=A\B
MAKA KELUARAN MATLAB:
X =
-18.0761-7.2023
17.1550
-1.8803
-41.1916
12.7471
-3.4107
36.1267
Bagaimana Matlab di atas bekerja?
Jawab:
Matlab bekerja atas metode numerik (algoritma) tertentu dengan sebelumnya
melakukan prosedur pemilihan metode numerik yg sesuai!
8/19/2019 2. Eliminasi Gauss
http://slidepdf.com/reader/full/2-eliminasi-gauss 8/21
METODE LANGSUNG:
METODE ELIMINASI GAUSS
Metode ini bertujuan membentuk sistem persamaan/matrix menjadi matrix
eliminasi gauss (upper tr iangular matri x ), yaitu dari matrix …..
a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 + …… + a1n Xn = b1 (pers. 1)a21 X1 + a22 X2 + a23 X3 + ……. + a2n Xn = b2 (pers. 2)
a31 X1 + a32 X2 + a33 X3 + ……. + a3n Xn = b3 (pers. 3)
… … …. … … .. …
… … … … … .. …
am1 X1 + am2 X2 + am3 X3 + …..…+ amn Xn = bm (pers. m)
menjadi matrix…………
a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 + …. + a1n Xn = b1 (pers. 1)
a22’ X2 + a23’X3 + …. + a2n’ Xn = b2’ (pers. 2’)
a33’’ X3 + … + a3n’’ Xn = b3’’ (pers. 3’’)
.... … … .. …
nilainya = 0 …. … .. …
amn’ Xn = bm’ (pers. m’)
Perhatikan:
pers. 2’;3’.…dst tidak sama lagi dengan pers. 2;3….dst seperti
sebelumnya, karena semua nilai koefisien-koefisiennya telah berubah
akibat proses eliminasi membentuk segitiga bawah yang bernilai = 0.
Tetapi pers. 1 tetap seperti semula karena tidak dimodifikasi
Karena telah membentuk matrix eliminasi gauss, maka pada pers. m’ langsung
dapat ditentukan besarnya nilai Xn yaitu Xn = bm’/amn’
Kemudian setelah Xn diketahui, maka subtitusi Xn tsb ke pers. m’-1 untuk
menemukan Xn-1
.........Demikian seterusnya sampai diperoleh X..., X3, X2 dan akhirnya
diketahui X1
Prosedur ini disebut backward substitution (penghitungan substitusi mundur)
8/19/2019 2. Eliminasi Gauss
http://slidepdf.com/reader/full/2-eliminasi-gauss 9/21
Bagaimana cara eliminasinya agar terbentuk matrix eliminasi gauss?
Lakukan langkah eliminasi gauss, sbb:
1. Menghilangkan a21, a31,…..,am1 dengan cara:
* menghilangkan a21 {pers. (2)} - {pers.(1) x (a21/a11)}
* menghilangkan a31 {pers. (3)} - {pers.(1) x (a31/a11)}
….
* menghilangkan am1 {pers. (m)} - {pers.(1) x (am1/a11)}
Catt: Dalam hal ini koef a11 disebut koefisien dari elemen pivot
sehingga terbentuk sistem persaman
a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 + …. + a1n Xn = b1 (pers. 1)
a22’ X2 + a23’ X3 + …. + a2n’ Xn = b2’ (pers. 2’)
a32’ X2 + a33’ X3 + …. + a3n’ Xn = b3’ (pers. 3’)
… …. … … .. …
… … … … .. …
am2’X2 + am3’X3 + …. + amn’Xn = bm’ (pers. m’)
2. Menghilangkan a32’, a42’,…..,am2’ dengan cara:
Pilih elemen pivot a22’
* menghilangkan a32’ {pers. (3’)} - {pers.(2’) x (a32’/a22’)}
* menghilangkan a42’ {pers. (4’)} - {pers.(2’) x (a42’/a22’)}
…..
* menghilangkan am2’ {pers. (m’)} - {pers.(2’) x (am2’/a22’)}
sehingga terbentuk sistem persaman
a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 + …. + a1n Xn = b1 (pers. 1)
a22’ X2 + a23’ X3 + …. + a2n’ Xn = b2’ (pers. 2’)
a33’’ X3 + ... + a3n’’Xn = b3’’ (pers. 3’’)
…. … … .. …
… … … .. …
am3’’X3 + …. + amn’’Xn = bm’’ (pers. m’’)
3.
Demikian seterusnya untuk menghilangkan kolom-kolom selanjutnya,
dilakukan dengan cara yang sama dan konsisten, sehingga akhirnya
terbentuk matrik eliminasi gauss seperti diatas:
a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 + …. + a1n Xn = b1 (pers. 1)
a22’ X2 + a23’X3 + …. + a2n’ Xn = b2’ (pers. 2’)
a33’’ X3 + …. + a3n’’ Xn = b3’’ (pers. 3’)
… … .. …
…. … .. (pers. m-1)
amn’’’’ Xn = bm’’’ (pers. m’)
4. Lakukan substitusi balik (backward substi tution )
diperoleh Xn = bm/amn
substitusi Xn tersebut ke pers. (m-1) untuk mendapatkan Xn-1
lalu substitusi nilai Xn dan Xn-1 ke pers. (m-2) untuk memperoleh Xn-2
8/19/2019 2. Eliminasi Gauss
http://slidepdf.com/reader/full/2-eliminasi-gauss 10/21
demikian seterusnya akhirnya akan diperoleh nilai X3, X2 dan X1
sebetulnya tugas metode numerik
hanya sampai disini, selanjutnya
adalah tugas komputasimenterjemahkan metode/algoritma
tadi menjadi bentuk program
komputer menggunakan bahasa
pemrograman tertentu.Kata kunci: memamahi prosedur (algoritma)
Contoh soal sederhana (dalam rangka memahirkan prosedur El-Gauss):
Tentukan nilai-nilai variabel X1, X2, X3 dari sistem persamaan linier berikut
dengan cara eliminasi gauss
3 X1 - 2 X2 + 3 X3 = 8 …….(pers. A) 4 X1 + 2 X2 - 2X3 = 2 …….(pers. B)
X1 + X2 + 2X3 = 9 …….(pers. C)
Penyelesaian:
Langkah 1. Menghilangkan 4X1 dan X1 pada kolom 1
*Menghilangkan 4X1 pada pers. B dengan cara:
Pers. B - (4/3) x (pers. A)
yaitu:4 X1 + 2 X2 - 2X3 = 2 4 X1 + 2 X2 - 2 X3 = 2
(4/3) x (3 X1 - 2 X2 + 3 X3 = 8) 4 X1 - (8/3) X2 + 4 X3 = 32/3
( - )
(14/3) X2 – 6 X3 = -26/3 ….pers. B’
*Menghilangkan X1 pada pers. C dengan cara:
Pers. C - (1/3) x (pers. A)
Menjadi:X1 + X2 + 2X3 = 9 X1 + X2 + 2 X3 = 9
(1/3) x (3 X1 - 2 X2 + 3 X3 = 8) X1 - (2/3) X2 + X3 = 8/3
( - )
(5/3) X2 + X3 = 19/3 ….pers. C’
8/19/2019 2. Eliminasi Gauss
http://slidepdf.com/reader/full/2-eliminasi-gauss 11/21
Sehingga muncul sistem persamaan baru:
3 X1 - 2 X2 + 3 X3 = 8 ……. ( pers. A )
(14/3) X2 – 6 X3 = -26/3 ……. ( pers. B’ )
hilang (5/3) X2 + X3 = 19/3 ……. ( pers. C’ )
Langkah 2. Menghilangkan (5/3)X2 pada kolom 2 pada pers. C’
Pers. C’ - {(5/3)/(14/3)} x (pers. B’)
yaitu:
(5/3) X2 + X3 = 19/3 (5/3) X2 + X3 = 19/3
(5/14) x {(14/3) X2 -6X3 = -26/3} (5/3) X2 - (30/14) X3 = -130/42
( - )
(44/14)X3 = 396/42 …….(pers. C’’)
Sehingga muncul sistem persamaan baru lagi:
3 X1 - 2 X2 + 3 X3 = 8 ……. ( pers. A )
(14/3) X2 – 6 X3 = -26/3 ……. ( pers. B’ )
hilang (44/14)X3 = 396/42 ……. ( pers. C’’ )
*Sehingga dari pers. C’’ dapat diketahui X3 = (396/42)/(44/14)= 3
*Selanjutnya lakukan subtitusi balik untuk mencari X2 pada pers. B’
dengan mensubstitusi X3 ke pers. B’ shg diperoleh X2 = 2
*Untuk mencari X1 digunakan pers. A dengan mensubstitusi X3 dan X2
ke pers. A X1 = 1
Sehingga hasilnya: X1=1 ; X2=2 ; X3=3
LATIHAN
1. Tentukan X1, X2 dan X3
2X2 – 2X3 =2
X1 + 2X2 - 3X3 =4
X1 - 2X2 + 2X3 = 1
8/19/2019 2. Eliminasi Gauss
http://slidepdf.com/reader/full/2-eliminasi-gauss 12/21
Jwb: X1=3, X2=2, X3=1
PERHATIKAN!!!
PROSEDUR PEMAKAIAN CARA ELIMINASI GAUSS HARUSKONSISTEN SEPERTI DIATAS, TIDAK BOLEH DIBOLAK-BALIK,
KARENA AKAN MEMPERMUDAH DALAM TRANSFER KE
PEMBUATAN PROGRAM KOMPUTER.
ATURAN PROSEDUR SEPERTI ITU DALAM PEMROGRAMAN
KOMPUTER DISEBUT ALGORITMA
Membolak-balik cara di atas (tidak konsisten), maka akan kesulitan
dalam transfer ke program
Bila prosedur el gauss di atas dijalani secara konsisten maka
berdasarkan itu dapat disusun program komputasi dengan matlab:
Contoh potongan program El-gauss:%...........deklarasi matrik.........
%looping utama (perhitugan berulang) utk prosedur eliminasi
for k=1:(n-1)
for i=(k+1):n
for j=(k+1):n
a[i,j,k+1]=a[i,j,k] - ((a[i,j-1,k])/(a[i-1,j-1,k]))* a[i-1,j,k];end
b[i,k]= b[i,k-1]-(a[i,k,k-1]/a[k,k,k-1])* b[k,k-1];
end;
end;
Catt: *pada praktek penyusunan program, tidak lg memperhatikan kolom yg di-nol-kan tetapi
memperhatikan kolom yg termodifikasi
*identitas koefisien a ditentukan oleh 3 indeks yaitu: a(baris, kolom, running-ke)*identitas koefisien b ditentukan oleh 2 indeks yaitu: b(baris, running-ke)
Sistem persamaan baru:
3 X1 - 2 X2 + 3 X3 = 8 ……. . ( pers. A )
(14/3) X2 – 6 X3 = -26/3 ……. ( pers. B’ )
hilang (5/3) X2 + X3 = 19/3 ……. ..( pers. C’ )
backward substitution%prosedur backward substitution************
8/19/2019 2. Eliminasi Gauss
http://slidepdf.com/reader/full/2-eliminasi-gauss 13/21
for i=n:-1:1
jumlah=0;
for j=(i+1):n
if (j>n)
end
else
jumlah=jumlah + a[i,j,i-1]*x[j];
end
end;
x[i]=(b[i,i-1] - jumlah)/a[i,i,i-1];
disp ('x',i,' = ',x[i]:6:2);
end;
Kelemahan Cara eliminasi gauss:1.
Jika pada saat eliminasi kolom ke-i harga aii (koefisien pada diagonalutama (elemen pivot) adalah = nol, maka cara eliminasi gauss tidak
dapat berjalan.
2. Jika pada saat eliminasi kolom ke-i harga aii (koefisien pada diagonal
utama) adalah sangat kecil (dibanding koefisien lain pd baris pivot
tersebut), maka cara eliminasi gauss menghasilkan
ketelitian hitungan yang rendah.
Catatan:Catatan 1 . Bila kelemahan eliminasi gauss ini terjadi, maka baris yang
mengandung aii =0 atau sangat kecil tersebut, ditukar dengan baris lain
dibawahnya yang memiliki nilai mutlak …. pada kolom ke-i yang terbesar
Trik ini disebut dengan teknik pivoting parsial
Contoh:
Misalkan dari langkah 1 contoh diatas:
………… Muncul sistem persamaan baru:
3 X1 - 2 X2 + 3 X3 = 8 ……. ( pers. A )
(14/3) X2 – 6 X3 = -26/3 ……. ( pers. B’ )
hilang (5/3) X2 + X3 = 19/3 ……. ( pers. C’ )
misalkan hasilnya bukan (14/3) tetapi nol atau sangat kecil mendekati
nol,
atau ditulis
3 X1 - 2 X2 + 3 X3 = 8 ……. ( pers. A )
0 X2 – 6 X3 = -26/3 ……. ( pers. B’ )
hilang (5/3) X2 + X3 = 19/3 ……. ( pers. C’ )
8/19/2019 2. Eliminasi Gauss
http://slidepdf.com/reader/full/2-eliminasi-gauss 14/21
maka kita harus menukar baris pers. B’ dengan baris
dibawahnya yang nilai koefisien kolom X2 nya yang terbesar (dalam
kasus ini hanya tinggal 1 pers. saja yaitu pers. C’ dan tidak ada pilihan
lain).
Maka kita tulis lagi sistem tersebut menjadi
3 X1 - 2 X2 + 3 X3 = 8 ……. ( pers. A ) hilang (5/3) X2 + X3 = 19/3 ……. ( pers. C’ )
0 X2 – 6 X3 = -26/3 ……. ( pers. B’ )
atau
3 X1 - 2 X2 + 3 X3 = 8 ……. ( pers. A )
(5/3) X2 + X3 = 19/3 ……. ( pers. C’ )
6 X3 = -26/3 ……. ( pers. B’ )
Maka langsung dapat diselesaikan
Catt: untuk menghindari kelemahan ini maka list program eliminasi gauss juga
harus dimodifikasi
Latihan.Selesaikan sistem persamaam linier berikut dengan
metode eliminasi Gauss yang
menerapkan tatacara pivoting parsial .
x 1 + 2x 2 + x 3 = 23x 1 + 6x 2 = 9
2x 1 + 8x 2 + 4x 3 = 6
8/19/2019 2. Eliminasi Gauss
http://slidepdf.com/reader/full/2-eliminasi-gauss 15/21
Jawab:
Soal tahap 1 Tahap 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
3 6 0 9 0 0 -3 3 0 4 2 2
2 8 4 6 0 4 2 2 0 0 -3 3
Diperoleh
x 3 = -1, x 2 = 1, dan x 1 = 1.
Ada juga yang secara hati-hati melakukan pivoting sejak dari awal untukmengurangi ralat, seperti contoh:
8/19/2019 2. Eliminasi Gauss
http://slidepdf.com/reader/full/2-eliminasi-gauss 16/21
Catatan2 . Bila koefisien elemen pivot=0 atau aii=0 tidak dapat dihindari, seperti
contoh berikut:
2X + Y + Z = 2 ........................(1)
X - Y - 3Z = 1 ........................(2)
X + 2Y + 4Z = 1 .......................(3)
Dan dengan eliminisai gaus diperoleh:
2X + Y + Z = 2 .......................(1)
(-3/2)Y - (7/2)Z = 0 ........................(2’)
0 Z = 0 .......................(3’)
Maka sistem pers. tsb tidak dapat diselesaikan secara eliminasi gauss, dan
memiliki tak berhingga penyelesaian, karena Z dapat bernilai berapa saja.
Bila diperhatikan secara detil, bentuk seperti ini muncul akibat dari ”tidak
bebasnya satu persamaan. Bila dilihat ternyata pers. (1) merupakan
penjumlahan pers. (2) + pers. (3), shg pers. (1) bersifat tidak
bebas/independen. Dan sistem pers. Seperti ini disebut sistem tidak bebas
atau sering disebut matrix singular
Jadi bila ada pesan/komen semacam itu di Matlab maka dapat dipastikan yg salah
adalah matrixnya bukan kesalahan dalam membuat program
Kebalikan dari matrix singular adalah matrix bebas linier, disebut bebas
Linier bila matrix/sistem pers. Linier (SPL) tidak memuat satu persamaan
pun yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier persamaan-persamaan
yang lain (spt contoh-contoh sebelumnya).
Matrix/SPL bebas linier secara teoritis mempunyai penyelesaian tunggal.
Latihan di rumah (tdk usah dikumpul)
1). Selesaikan dengan manual
4 8 4 0 X1 8
1 5 4 -3 x X2 = -41 4 7 2 X3 10
1 3 0 -2 X4 -4
Catt: gunakan matlab sebagai kontrol untuk mengecek hasil
8/19/2019 2. Eliminasi Gauss
http://slidepdf.com/reader/full/2-eliminasi-gauss 17/21
2). Cek SPL berikut bersifat bebas linier atau singular??
X1 + X2 + X3 + X4 = 7
X1 + X2 + 2X4 = 8
2X1 + 2X2 + 3X3 = 10
-X1 - X2 -2X3 +2X4 = 0
Buktikan dengan matlab dan manual!
MATRIX TRIDIAGONAL
PERNAHKAH ANDA MELIHAT SUSUNAN MATRIX SEPERTI INI??
a11.X1 + a12.X2 = b1
a21.X1 + a22.X2 + a23.X3 = b2
a32.X2 + a33.X3 + a34.X4 = b3
. . . .
. . . .
an(n-1).(Xn-1) + ann.Xn = bnContoh: atau susunan matrixnya:
2.X1 – 3.X2 = -4 (pers. 1) 2 -3 X1 -4
X1 + 2.X2 – X3 = 2 (pers. 2) 1 2 -1 x X2 = 2
4.X2 - X3 + X4 = 9 (pers. 3) 4 -1 1 X3 9
2.X3 - X4 = 2 (pers. 4) 2 -1 X4 2
semua nilai lainnya adalah nol
MATRIX SEPERTI INI DISEBUT MATRIX TRIDIAGONAL
BAGAIMANA MENYELESAIKANNYA?
ADA IDE ?!
8/19/2019 2. Eliminasi Gauss
http://slidepdf.com/reader/full/2-eliminasi-gauss 18/21
Penyelesaiannya dapat dilakukan dengan eliminasi gauss.
Tinggal menghilangkan satu deretan koefisien tepat dibawah diagonal utama,
yaitu X1 (kolom 1), 4.X2 (kolom 2), 2.X3 (kolom 3) dengan cara eliminasi
gauss.
2.X1 – 3.X2 = -4 (pers. 1)
X1 + 2.X2 – X3 = 2 (pers. 2)
4.X2 - X3 + X4 = 9 (pers. 3)
2.X3 - X4 = 2 (pers. 4)
Penyelesaian:
Langkah 1:
X1 + 2.X2 – X3 = 2 X1 + 2.X2 – X3 = 2
2.X1 – 3.X2 = -4 x (½) X1 – (3/2).X2 = -2
( - )
(7/2).X2 – X3 = 4 ..... (pers. 2’)
Langkah 2:
4.X2 -X3 + X4 = 9 4.X2 - X3 + X4 = 9
(7/2).X2 – X3 = 4 x 4/(7/2) 4.X2 – (8/7).X3 = 32/7
( - )
(1/7).X3 + X4 = 31/7 ………...(pers. 3’)
Langkah 3:
2.X3 – X4 = 2 2.X3 – X4 = 2
(1/7).X3 + X4 =31/7 x 2/(1/7) 2.X3 +14.X4 = 62
( - )
-15.X4 = -60 …….(pers. 4’)
sehingga matrix menjadi:
2.X1 – 3.X2 = -4 (pers. 1 )
(7/2).X2 – X3 = 4 (pers. 2’)
(1/7)X3 + X4 = 31/7 (pers. 3’)
-15.X4 = -60 (pers. 4’)
8/19/2019 2. Eliminasi Gauss
http://slidepdf.com/reader/full/2-eliminasi-gauss 19/21
sehingga diperoleh X4= 4
subtitusi X4 tsb ke (pers. 3’) diperoleh X3 = 3
subtitusi X3 ke pers. 2’ diperoleh X2 = 2
subtitusi X2 ke pers. 1 diperoleh X1 = 1
latihan 2.X1 + X2 = 5
3.X1 + X2 -2.X3 = 2
X2 -3.X3 - X4 = 3
3.X3 + 2.X4 = 2
Contoh soal aplikasi bidang teknik kimia:
Suatu proses ekstraksi cair-cair multi-tahap menggunakan pelarut (solvent)
yang tidak saling melarut, seperti terlihat pada gambar berikut:
stage 1 stage 2 ……. stage i …… stage n-1 stage n
Y2 Y3 Yi Yi+1 Yn-1 Yn Yin
Y1 S
….. …..
W X1 X2 Xi-1 Xi Xn-2 Xn-1 Xn
Xin
Arus W (massa/waktu) memasuki stage 1 mengandung senyawa A dengan
fraksi berat Xin. Senyawa A tsb akan diambil dengan pelarut yang berlawanan
arah dengan arus W, yaitu pelarut S (massa/waktu) yang masuk dari stage n
yang mula-mula mengandung senyawa A dengan fraksi berat Y in. Senyawa A
dalam arus W akan terekstrak dan masuk ke arus S.
Masing-masing stage beroperasi pada suhu yang sama, dan hubungan
kesetimbangan pada masing-masing stage mengikuti persamaan:
Yi = K Xi , K adalah konstanta kesetimbangan …………..(pers. 1)
Diasumsikan Xi dan Yi sangat kecil dibandingkan S dan W sehingga S dan W
dianggap jumlahnya tetap, sehingga
* neraca massa A pada stage ke-1:
Input = Output
W.Xin + Y2.S = Y1.S + X1.W ….(pers. 2)
Dari pers. 1 diperoleh Y1 = K X1 dan Y2=K.X2 …..(pers. 3)
subtitusi pers. 3 ke pers. 2, diperoleh:
W.Xin + K.X2.S = K.X1.S + X1.W
– (1+ KS/W) X1 + (KS/W) X2 = - Xin …..(pers. 4)
* neraca massa A pada stage ke-i:
8/19/2019 2. Eliminasi Gauss
http://slidepdf.com/reader/full/2-eliminasi-gauss 20/21
W.Xi-1 + S. Yi+1 = Yi.S + Xi.W ….(pers. 5)
Dari pers. 1 diperoleh Yi = K Xi dan Yi+1=K.Xi+1
dan diperoleh:
Xi-1 – (1 + KS/W)Xi + (KS/W).Xi+1 = 0 …..(pers. 6)
* Neraca Massa pada stage ke-n
Xn-1.W + Yin.S = Xn.W + Yn.S
Subtitusi Yn = K XnSehingga menjadi Xn-1 - (1 + KS/W) Xn = -(S/W) Yin ……(pers. 7)
Bila pers. 4, 6 dan 7 disusun secara lengkap bersama pers. neraca massa dari
setiap stage maka tersusun menjadi:
– (1+ KS/W) X1 + (KS/W) X2 = - Xin stage ke-1
. .
. . .
Xi-1 – (1 + KS/W)Xi + (KS/W).Xi+1 = 0 stage ke-i
. .
. . .
Xn-1 - (1 + KS/W) Xn = -(S/W) Yin stage ke-n
Misal diketahui:
Jumlah stage ada 5 stage (n =5)
S = 1000 kg/jam
W = 2000 kg/jam
Xin = 0,05
Yin = 0,00
K = 10
Maka susunan persamaan neraca massa setiap stage menjadi:
-6.X1 + 5.X2 = -0,05 stage 1
X1 - 6.X2 + 5.X3 = 0 stage 2
X2 - 6.X3 + 5.X4 = 0 stage 3
X3 – 6.X4 + 5.X5 = 0 stage 4
X4 - 6.X5 = -(1/2). 0=0 stage n=5
PR. Coba selesaikan secara pakai matlab manual dan buktikan hasilnya
adalah:
X1 = 0,999999. 10-2
X4 = 0,799999. 10-4
X2 = 0,199999. 10-2
X5 = 0,159999. 10-4
X3 = 0,399999. 10-3
Cek Pakai Matlab!
Recommended