2. Eliminasi Gauss

8/19/2019 2. Eliminasi Gauss

http://slidepdf.com/reader/full/2-eliminasi-gauss 1/21

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN

LINIER SECARA NUMERIS

Bagaimana bentuk SISTEM persamaan linier?

BENTUK UMUM SISTEM PERSAMAAN LINIER:

a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 + ….… + a1n Xn = b1 (pers. 1)

a21 X1 + a22 X2 + a23 X3 + ……. + a2n Xn = b2 (pers. 2)


… … …. … … .. …

… … … … … .. …

am1 X1 + am2 X2 + am3 X3 + …..…+ amn Xn = bm (pers. m)

Bagaimana sampai terbentuk sistem persamaan l inier

tsb?

Ikuti ilustrasi sederhana berikut:

Contoh kasus sehari-hari yang membentuk sistem persamaan linier:

Misalkan ada 3 orang (Ali, Badu & Cica) yang berbelanja di Hypertmart,mereka datang dan pulang bersama-sama.

Misal

Ali berbelanja: 5 pisang, 3 indomi dan 7 baju. Total pengeluaran Rp. 68.000,-

Badu berbelanja: 2 pisang, 0 indomi dan 1 baju. Total pengeluaran Rp. 32.000,-

Cica berbelanja: 1 pisang, 5 indomi dan 70 baju. Total pengeluaran Rp. 94.000,-



Bila ditanya, berapa sebetulnya harga pisang, indomi dan baju?

Maka secara sistematis untuk memudahkan perhitungan, biasanya ilustrasi

diatas di tulis dalam bentuk persamaan:

Ali : 5 pisang + 3 indomi + 7 baju = 68.000

Badu: 2 pisang + 0 indomi + 1 baju = 32.000

Cica : 1 pisang + 5 indomi + 70 baju = 94.000

Misalkan pisang=P, indomi=I dan B= baju, maka sistem tersebut dapat ditulis

5 P + 3 I + 7 B = 68.000

2 P + 0 I + 1 B = 32.000

1 P + 5 I + 70 B = 94.000

Atau misal

P=X1, I=X2, B=X3, maka:

5 X1 + 3 X2 + 7 X3 = 68.000 .......(1)

2 X1 + 0 + X3 = 32.000 .......(2)

X1 + 5 X2 + 70 X3 = 94.000 ......(3)

Susunan ini disebut sistem persamaan linier.

Dan bila disusun dalam bentuk umum menjadi seperti

a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 + ….… + a1n Xn = b1 (pers. 1)



… … .... … … .. …

… … … … … .. …


ini merupakan sistem persamaan linier dengan matrix [m x n]

Untuk kasus Ali, Badu dan Cica diatas dengan mudah dapat diselesaikan secara

analitis berapa X1, X2, dan X3 atau berapa harga pisang, indomi dan baju.

Ada yang tidak tau caranya?

Caranya: dari pers. 2 diperoleh X3=32.000-2X1 .............(4)

Substitusi X3 pada pers. 4 ke pers. 1

Lalu substitusi ke pers. 3

Dan akhirnya akan diperoleh nilai X1, X2 dan X3 ?????



Untuk kasus ini masih bisa kita selesaikan dengan cara analitis, karena jumlah

variabel dan persamaannya masih sedikit (3 variabel dan 3 persamaan).

Tapi bayangkan, misalkan kita ingin menghitung harga setiap item dari 100

jenis barang untuk 100 orang yang belanja bersama Ali, Badu dan Cica.

Bagaimana cara menyelesaikannya???

Tentu tidak efektif dan efisien bila menggunakan cara analitis seperti contoh diatas

Karena ada 100 persamaan dan 100 variabel seperti berikut:

a 1, 1 X1 + a 1,2 X2 + a1,3 X3 +…. + a1,100 X100 = b1 ....... (pers. 1)

a 2, 1 X1 + a 2,2 X2 + a2,3 X3 +.... + a2,100 X100 = b2 ....... (pers. 2)

a 3, 1 X1 + a 3,2 X2 + a3,3 X3 +.... + a3,100 X100 = b3 ........ (pers. 3)

… … …. … … .. …

… … … … … .. …a100, 1 X1 + a100,2 X2 + a100,3 X3 + … + a100,100 X100 = b100 ... .. (pers. 100)

repot bila menggunakan cara

analitis!!!!!!

Maka dipakai solusi cara numeris.

Ada beberapa metode penyelesaian sistem persamaan linier secara numeris,

umumnya digolongkan atas:

1. metode langsung

2. metode tidak langsung



dll



Dalam kuliah ini akan dipelajari:

1. Metode eliminasi gauss (langsung)

2. Metode Gauss Seidel (tak langsung)

Masing-masing metode mempunyai kekurangan dan kelebihan masing-masing,

dan saling melengkapi.



BENTUK SISTEM PERSAMAAN LINIER:




… … …. … … .. …

… … … … … .. …


Keterangan:

* X1, X2, X3 ….Xn disebut variabel dari persamaan. *a11, a21…..dst disebut koefisien variabel

* n = jumlah variabel; m = jumlah persamaan;

Sistem persamaan linier tersebut dapat juga ditulis dalam bentuk perkalian Matrix, sbb:

a11 a12 a13 …… a1n X1 b1

a21 a22 a23 …… a2n X2 b2

a31 a32 a33 …… a3n x X3 = b3… … … .. ..

… … … .. ..

am1 am2 am3 ….. amn Xn bm

matrix A matrix X matrix B

(matrix koefisien) (matrix variabel) (matrix hasil/eigen value)

bila m = n maka matrix A merupakan matrix bujur sangkar (m x n)

Misalkan ingin diselesaikan soal sbb:Mau diselesaikan secara analitis atau numeris?

4 8 4 0 1 3 0 2 X1 8

1 5 4 -3 2 2 1 1 X2 -4

1 4 7 2 3 3 3 1 X3 101 3 0 -2 2 1 2 3 x X4 = -4

1 2 3 4 5 4 0 4 X5 1

2 1 2 3 4 6 1 3 X6 2

3 1 2 4 0 1 3 1 X7 4

4 3 2 1 1 3 2 2 X8 1

Kalau memilih numeris, anda bisa menggunakan Matlab. Ada yg belum bisa?

Matlab telah meyediakan fasilitas hitung cepat matrik, yg merupakan kompilasiberbagai metode numerik

Bekerja dengan matlab:



clcA=[4 8 4 0 1 3 0 2;1 5 4 -3 2 2 1 1;1 4 7 2 3 3 3 1;1 3 0 -2 2 1 2 3;1 2 3 4 5 4 0 4;2 1 2 3 46 1 3;3 1 2 4 0 1 3 1;4 3 2 1 1 3 2 2]

B=[8;-4;10;-4;1;2;4;1]

X=A\B

MAKA KELUARAN MATLAB:

X =

-18.0761-7.2023

17.1550

-1.8803

-41.1916

12.7471

-3.4107

36.1267

Bagaimana Matlab di atas bekerja?

Jawab:

Matlab bekerja atas metode numerik (algoritma) tertentu dengan sebelumnya

melakukan prosedur pemilihan metode numerik yg sesuai!



METODE LANGSUNG:

METODE ELIMINASI GAUSS

Metode ini bertujuan membentuk sistem persamaan/matrix menjadi matrix

eliminasi gauss (upper tr iangular matri x ), yaitu dari matrix …..

a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 + …… + a1n Xn = b1 (pers. 1)a21 X1 + a22 X2 + a23 X3 + ……. + a2n Xn = b2 (pers. 2)


… … …. … … .. …

… … … … … .. …


menjadi matrix…………

a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 + …. + a1n Xn = b1 (pers. 1)

a22’ X2 + a23’X3 + …. + a2n’ Xn = b2’ (pers. 2’)

a33’’ X3 + … + a3n’’ Xn = b3’’ (pers. 3’’)

.... … … .. …

nilainya = 0 …. … .. …

amn’ Xn = bm’ (pers. m’)

Perhatikan:

pers. 2’;3’.…dst tidak sama lagi dengan pers. 2;3….dst seperti

sebelumnya, karena semua nilai koefisien-koefisiennya telah berubah

akibat proses eliminasi membentuk segitiga bawah yang bernilai = 0.

Tetapi pers. 1 tetap seperti semula karena tidak dimodifikasi

Karena telah membentuk matrix eliminasi gauss, maka pada pers. m’ langsung

dapat ditentukan besarnya nilai Xn yaitu Xn = bm’/amn’

Kemudian setelah Xn diketahui, maka subtitusi Xn tsb ke pers. m’-1 untuk

menemukan Xn-1

.........Demikian seterusnya sampai diperoleh X..., X3, X2 dan akhirnya

diketahui X1

Prosedur ini disebut backward substitution (penghitungan substitusi mundur)



Bagaimana cara eliminasinya agar terbentuk matrix eliminasi gauss?

Lakukan langkah eliminasi gauss, sbb:

1. Menghilangkan a21, a31,…..,am1 dengan cara:

* menghilangkan a21 {pers. (2)} - {pers.(1) x (a21/a11)}

* menghilangkan a31 {pers. (3)} - {pers.(1) x (a31/a11)}

….

* menghilangkan am1 {pers. (m)} - {pers.(1) x (am1/a11)}

Catt: Dalam hal ini koef a11 disebut koefisien dari elemen pivot

sehingga terbentuk sistem persaman


a22’ X2 + a23’ X3 + …. + a2n’ Xn = b2’ (pers. 2’)

a32’ X2 + a33’ X3 + …. + a3n’ Xn = b3’ (pers. 3’)

… …. … … .. …

… … … … .. …

am2’X2 + am3’X3 + …. + amn’Xn = bm’ (pers. m’)

2. Menghilangkan a32’, a42’,…..,am2’ dengan cara:

Pilih elemen pivot a22’

* menghilangkan a32’ {pers. (3’)} - {pers.(2’) x (a32’/a22’)}

* menghilangkan a42’ {pers. (4’)} - {pers.(2’) x (a42’/a22’)}

…..

* menghilangkan am2’ {pers. (m’)} - {pers.(2’) x (am2’/a22’)}

sehingga terbentuk sistem persaman


a22’ X2 + a23’ X3 + …. + a2n’ Xn = b2’ (pers. 2’)

a33’’ X3 + ... + a3n’’Xn = b3’’ (pers. 3’’)

…. … … .. …

… … … .. …

am3’’X3 + …. + amn’’Xn = bm’’ (pers. m’’)

3.

Demikian seterusnya untuk menghilangkan kolom-kolom selanjutnya,

dilakukan dengan cara yang sama dan konsisten, sehingga akhirnya

terbentuk matrik eliminasi gauss seperti diatas:


a22’ X2 + a23’X3 + …. + a2n’ Xn = b2’ (pers. 2’)

a33’’ X3 + …. + a3n’’ Xn = b3’’ (pers. 3’)

… … .. …

…. … .. (pers. m-1)

amn’’’’ Xn = bm’’’ (pers. m’)

4. Lakukan substitusi balik (backward substi tution )

diperoleh Xn = bm/amn

substitusi Xn tersebut ke pers. (m-1) untuk mendapatkan Xn-1

lalu substitusi nilai Xn dan Xn-1 ke pers. (m-2) untuk memperoleh Xn-2



demikian seterusnya akhirnya akan diperoleh nilai X3, X2 dan X1

sebetulnya tugas metode numerik

hanya sampai disini, selanjutnya

adalah tugas komputasimenterjemahkan metode/algoritma

tadi menjadi bentuk program

komputer menggunakan bahasa

pemrograman tertentu.Kata kunci: memamahi prosedur (algoritma)

Contoh soal sederhana (dalam rangka memahirkan prosedur El-Gauss):

Tentukan nilai-nilai variabel X1, X2, X3 dari sistem persamaan linier berikut

dengan cara eliminasi gauss

3 X1 - 2 X2 + 3 X3 = 8 …….(pers. A) 4 X1 + 2 X2 - 2X3 = 2 …….(pers. B)

X1 + X2 + 2X3 = 9 …….(pers. C)

Penyelesaian:

Langkah 1. Menghilangkan 4X1 dan X1 pada kolom 1

*Menghilangkan 4X1 pada pers. B dengan cara:

Pers. B - (4/3) x (pers. A)

yaitu:4 X1 + 2 X2 - 2X3 = 2 4 X1 + 2 X2 - 2 X3 = 2

(4/3) x (3 X1 - 2 X2 + 3 X3 = 8) 4 X1 - (8/3) X2 + 4 X3 = 32/3

( - )

(14/3) X2 – 6 X3 = -26/3 ….pers. B’

*Menghilangkan X1 pada pers. C dengan cara:

Pers. C - (1/3) x (pers. A)

Menjadi:X1 + X2 + 2X3 = 9 X1 + X2 + 2 X3 = 9

(1/3) x (3 X1 - 2 X2 + 3 X3 = 8) X1 - (2/3) X2 + X3 = 8/3

( - )

(5/3) X2 + X3 = 19/3 ….pers. C’



Sehingga muncul sistem persamaan baru:

3 X1 - 2 X2 + 3 X3 = 8 ……. ( pers. A )

(14/3) X2 – 6 X3 = -26/3 ……. ( pers. B’ )

hilang (5/3) X2 + X3 = 19/3 ……. ( pers. C’ )

Langkah 2. Menghilangkan (5/3)X2 pada kolom 2 pada pers. C’

Pers. C’ - {(5/3)/(14/3)} x (pers. B’)

yaitu:

(5/3) X2 + X3 = 19/3 (5/3) X2 + X3 = 19/3

(5/14) x {(14/3) X2 -6X3 = -26/3} (5/3) X2 - (30/14) X3 = -130/42

( - )

(44/14)X3 = 396/42 …….(pers. C’’)

Sehingga muncul sistem persamaan baru lagi:

3 X1 - 2 X2 + 3 X3 = 8 ……. ( pers. A )

(14/3) X2 – 6 X3 = -26/3 ……. ( pers. B’ )

hilang (44/14)X3 = 396/42 ……. ( pers. C’’ )

*Sehingga dari pers. C’’ dapat diketahui X3 = (396/42)/(44/14)= 3

*Selanjutnya lakukan subtitusi balik untuk mencari X2 pada pers. B’

dengan mensubstitusi X3 ke pers. B’ shg diperoleh X2 = 2

*Untuk mencari X1 digunakan pers. A dengan mensubstitusi X3 dan X2

ke pers. A X1 = 1

Sehingga hasilnya: X1=1 ; X2=2 ; X3=3

LATIHAN

1. Tentukan X1, X2 dan X3

2X2 – 2X3 =2

X1 + 2X2 - 3X3 =4

X1 - 2X2 + 2X3 = 1



Jwb: X1=3, X2=2, X3=1

PERHATIKAN!!!

PROSEDUR PEMAKAIAN CARA ELIMINASI GAUSS HARUSKONSISTEN SEPERTI DIATAS, TIDAK BOLEH DIBOLAK-BALIK,

KARENA AKAN MEMPERMUDAH DALAM TRANSFER KE

PEMBUATAN PROGRAM KOMPUTER.

ATURAN PROSEDUR SEPERTI ITU DALAM PEMROGRAMAN

KOMPUTER DISEBUT ALGORITMA

Membolak-balik cara di atas (tidak konsisten), maka akan kesulitan

dalam transfer ke program

Bila prosedur el gauss di atas dijalani secara konsisten maka

berdasarkan itu dapat disusun program komputasi dengan matlab:

Contoh potongan program El-gauss:%...........deklarasi matrik.........

%looping utama (perhitugan berulang) utk prosedur eliminasi

for k=1:(n-1)

for i=(k+1):n

for j=(k+1):n

a[i,j,k+1]=a[i,j,k] - ((a[i,j-1,k])/(a[i-1,j-1,k]))* a[i-1,j,k];end

b[i,k]= b[i,k-1]-(a[i,k,k-1]/a[k,k,k-1])* b[k,k-1];

end;

end;

Catt: *pada praktek penyusunan program, tidak lg memperhatikan kolom yg di-nol-kan tetapi

memperhatikan kolom yg termodifikasi

*identitas koefisien a ditentukan oleh 3 indeks yaitu: a(baris, kolom, running-ke)*identitas koefisien b ditentukan oleh 2 indeks yaitu: b(baris, running-ke)

Sistem persamaan baru:

3 X1 - 2 X2 + 3 X3 = 8 ……. . ( pers. A )

(14/3) X2 – 6 X3 = -26/3 ……. ( pers. B’ )

hilang (5/3) X2 + X3 = 19/3 ……. ..( pers. C’ )

backward substitution%prosedur backward substitution************



for i=n:-1:1

jumlah=0;

for j=(i+1):n

if (j>n)

end

else

jumlah=jumlah + a[i,j,i-1]*x[j];

end

end;

x[i]=(b[i,i-1] - jumlah)/a[i,i,i-1];

disp ('x',i,' = ',x[i]:6:2);

end;

Kelemahan Cara eliminasi gauss:1.

Jika pada saat eliminasi kolom ke-i harga aii (koefisien pada diagonalutama (elemen pivot) adalah = nol, maka cara eliminasi gauss tidak

dapat berjalan.

2. Jika pada saat eliminasi kolom ke-i harga aii (koefisien pada diagonal

utama) adalah sangat kecil (dibanding koefisien lain pd baris pivot

tersebut), maka cara eliminasi gauss menghasilkan

ketelitian hitungan yang rendah.

Catatan:Catatan 1 . Bila kelemahan eliminasi gauss ini terjadi, maka baris yang

mengandung aii =0 atau sangat kecil tersebut, ditukar dengan baris lain

dibawahnya yang memiliki nilai mutlak …. pada kolom ke-i yang terbesar

Trik ini disebut dengan teknik pivoting parsial

Contoh:

Misalkan dari langkah 1 contoh diatas:

………… Muncul sistem persamaan baru:

3 X1 - 2 X2 + 3 X3 = 8 ……. ( pers. A )

(14/3) X2 – 6 X3 = -26/3 ……. ( pers. B’ )

hilang (5/3) X2 + X3 = 19/3 ……. ( pers. C’ )

misalkan hasilnya bukan (14/3) tetapi nol atau sangat kecil mendekati

nol,

atau ditulis

3 X1 - 2 X2 + 3 X3 = 8 ……. ( pers. A )

0 X2 – 6 X3 = -26/3 ……. ( pers. B’ )

hilang (5/3) X2 + X3 = 19/3 ……. ( pers. C’ )



maka kita harus menukar baris pers. B’ dengan baris

dibawahnya yang nilai koefisien kolom X2 nya yang terbesar (dalam

kasus ini hanya tinggal 1 pers. saja yaitu pers. C’ dan tidak ada pilihan

lain).

Maka kita tulis lagi sistem tersebut menjadi

3 X1 - 2 X2 + 3 X3 = 8 ……. ( pers. A ) hilang (5/3) X2 + X3 = 19/3 ……. ( pers. C’ )

0 X2 – 6 X3 = -26/3 ……. ( pers. B’ )

atau

3 X1 - 2 X2 + 3 X3 = 8 ……. ( pers. A )

(5/3) X2 + X3 = 19/3 ……. ( pers. C’ )

6 X3 = -26/3 ……. ( pers. B’ )

Maka langsung dapat diselesaikan

Catt: untuk menghindari kelemahan ini maka list program eliminasi gauss juga

harus dimodifikasi

Latihan.Selesaikan sistem persamaam linier berikut dengan

metode eliminasi Gauss yang

menerapkan tatacara pivoting parsial .

x 1 + 2x 2 + x 3 = 23x 1 + 6x 2 = 9

2x 1 + 8x 2 + 4x 3 = 6



Jawab:

Soal tahap 1 Tahap 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

3 6 0 9 0 0 -3 3 0 4 2 2

2 8 4 6 0 4 2 2 0 0 -3 3

Diperoleh

x 3 = -1, x 2 = 1, dan x 1 = 1.

Ada juga yang secara hati-hati melakukan pivoting sejak dari awal untukmengurangi ralat, seperti contoh:



Catatan2 . Bila koefisien elemen pivot=0 atau aii=0 tidak dapat dihindari, seperti

contoh berikut:

2X + Y + Z = 2 ........................(1)

X - Y - 3Z = 1 ........................(2)

X + 2Y + 4Z = 1 .......................(3)

Dan dengan eliminisai gaus diperoleh:

2X + Y + Z = 2 .......................(1)

(-3/2)Y - (7/2)Z = 0 ........................(2’)

0 Z = 0 .......................(3’)

Maka sistem pers. tsb tidak dapat diselesaikan secara eliminasi gauss, dan

memiliki tak berhingga penyelesaian, karena Z dapat bernilai berapa saja.

Bila diperhatikan secara detil, bentuk seperti ini muncul akibat dari ”tidak

bebasnya satu persamaan. Bila dilihat ternyata pers. (1) merupakan

penjumlahan pers. (2) + pers. (3), shg pers. (1) bersifat tidak

bebas/independen. Dan sistem pers. Seperti ini disebut sistem tidak bebas

atau sering disebut matrix singular

Jadi bila ada pesan/komen semacam itu di Matlab maka dapat dipastikan yg salah

adalah matrixnya bukan kesalahan dalam membuat program

Kebalikan dari matrix singular adalah matrix bebas linier, disebut bebas

Linier bila matrix/sistem pers. Linier (SPL) tidak memuat satu persamaan

pun yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier persamaan-persamaan

yang lain (spt contoh-contoh sebelumnya).

Matrix/SPL bebas linier secara teoritis mempunyai penyelesaian tunggal.

Latihan di rumah (tdk usah dikumpul)

1). Selesaikan dengan manual

4 8 4 0 X1 8

1 5 4 -3 x X2 = -41 4 7 2 X3 10

1 3 0 -2 X4 -4

Catt: gunakan matlab sebagai kontrol untuk mengecek hasil



2). Cek SPL berikut bersifat bebas linier atau singular??

X1 + X2 + X3 + X4 = 7

X1 + X2 + 2X4 = 8

2X1 + 2X2 + 3X3 = 10

-X1 - X2 -2X3 +2X4 = 0

Buktikan dengan matlab dan manual!

MATRIX TRIDIAGONAL

PERNAHKAH ANDA MELIHAT SUSUNAN MATRIX SEPERTI INI??

a11.X1 + a12.X2 = b1

a21.X1 + a22.X2 + a23.X3 = b2

a32.X2 + a33.X3 + a34.X4 = b3

. . . .

. . . .

an(n-1).(Xn-1) + ann.Xn = bnContoh: atau susunan matrixnya:

2.X1 – 3.X2 = -4 (pers. 1) 2 -3 X1 -4

X1 + 2.X2 – X3 = 2 (pers. 2) 1 2 -1 x X2 = 2

4.X2 - X3 + X4 = 9 (pers. 3) 4 -1 1 X3 9

2.X3 - X4 = 2 (pers. 4) 2 -1 X4 2

semua nilai lainnya adalah nol

MATRIX SEPERTI INI DISEBUT MATRIX TRIDIAGONAL

BAGAIMANA MENYELESAIKANNYA?

ADA IDE ?!



Penyelesaiannya dapat dilakukan dengan eliminasi gauss.

Tinggal menghilangkan satu deretan koefisien tepat dibawah diagonal utama,

yaitu X1 (kolom 1), 4.X2 (kolom 2), 2.X3 (kolom 3) dengan cara eliminasi

gauss.

2.X1 – 3.X2 = -4 (pers. 1)

X1 + 2.X2 – X3 = 2 (pers. 2)

4.X2 - X3 + X4 = 9 (pers. 3)

2.X3 - X4 = 2 (pers. 4)

Penyelesaian:

Langkah 1:

X1 + 2.X2 – X3 = 2 X1 + 2.X2 – X3 = 2

2.X1 – 3.X2 = -4 x (½) X1 – (3/2).X2 = -2

( - )

(7/2).X2 – X3 = 4 ..... (pers. 2’)

Langkah 2:

4.X2 -X3 + X4 = 9 4.X2 - X3 + X4 = 9

(7/2).X2 – X3 = 4 x 4/(7/2) 4.X2 – (8/7).X3 = 32/7

( - )

(1/7).X3 + X4 = 31/7 ………...(pers. 3’)

Langkah 3:

2.X3 – X4 = 2 2.X3 – X4 = 2

(1/7).X3 + X4 =31/7 x 2/(1/7) 2.X3 +14.X4 = 62

( - )

-15.X4 = -60 …….(pers. 4’)

sehingga matrix menjadi:

2.X1 – 3.X2 = -4 (pers. 1 )

(7/2).X2 – X3 = 4 (pers. 2’)

(1/7)X3 + X4 = 31/7 (pers. 3’)

-15.X4 = -60 (pers. 4’)



sehingga diperoleh X4= 4

subtitusi X4 tsb ke (pers. 3’) diperoleh X3 = 3

subtitusi X3 ke pers. 2’ diperoleh X2 = 2

subtitusi X2 ke pers. 1 diperoleh X1 = 1

latihan 2.X1 + X2 = 5

3.X1 + X2 -2.X3 = 2

X2 -3.X3 - X4 = 3

3.X3 + 2.X4 = 2

Contoh soal aplikasi bidang teknik kimia:

Suatu proses ekstraksi cair-cair multi-tahap menggunakan pelarut (solvent)

yang tidak saling melarut, seperti terlihat pada gambar berikut:

stage 1 stage 2 ……. stage i …… stage n-1 stage n

Y2 Y3 Yi Yi+1 Yn-1 Yn Yin

Y1 S

….. …..

W X1 X2 Xi-1 Xi Xn-2 Xn-1 Xn

Xin

Arus W (massa/waktu) memasuki stage 1 mengandung senyawa A dengan

fraksi berat Xin. Senyawa A tsb akan diambil dengan pelarut yang berlawanan

arah dengan arus W, yaitu pelarut S (massa/waktu) yang masuk dari stage n

yang mula-mula mengandung senyawa A dengan fraksi berat Y in. Senyawa A

dalam arus W akan terekstrak dan masuk ke arus S.

Masing-masing stage beroperasi pada suhu yang sama, dan hubungan

kesetimbangan pada masing-masing stage mengikuti persamaan:

Yi = K Xi , K adalah konstanta kesetimbangan …………..(pers. 1)

Diasumsikan Xi dan Yi sangat kecil dibandingkan S dan W sehingga S dan W

dianggap jumlahnya tetap, sehingga

* neraca massa A pada stage ke-1:

Input = Output

W.Xin + Y2.S = Y1.S + X1.W ….(pers. 2)

Dari pers. 1 diperoleh Y1 = K X1 dan Y2=K.X2 …..(pers. 3)

subtitusi pers. 3 ke pers. 2, diperoleh:

W.Xin + K.X2.S = K.X1.S + X1.W

– (1+ KS/W) X1 + (KS/W) X2 = - Xin …..(pers. 4)

* neraca massa A pada stage ke-i:



W.Xi-1 + S. Yi+1 = Yi.S + Xi.W ….(pers. 5)

Dari pers. 1 diperoleh Yi = K Xi dan Yi+1=K.Xi+1

dan diperoleh:

Xi-1 – (1 + KS/W)Xi + (KS/W).Xi+1 = 0 …..(pers. 6)

* Neraca Massa pada stage ke-n

Xn-1.W + Yin.S = Xn.W + Yn.S

Subtitusi Yn = K XnSehingga menjadi Xn-1 - (1 + KS/W) Xn = -(S/W) Yin ……(pers. 7)

Bila pers. 4, 6 dan 7 disusun secara lengkap bersama pers. neraca massa dari

setiap stage maka tersusun menjadi:

– (1+ KS/W) X1 + (KS/W) X2 = - Xin stage ke-1

. .

. . .

Xi-1 – (1 + KS/W)Xi + (KS/W).Xi+1 = 0 stage ke-i

. .

. . .

Xn-1 - (1 + KS/W) Xn = -(S/W) Yin stage ke-n

Misal diketahui:

Jumlah stage ada 5 stage (n =5)

S = 1000 kg/jam

W = 2000 kg/jam

Xin = 0,05

Yin = 0,00

K = 10

Maka susunan persamaan neraca massa setiap stage menjadi:

-6.X1 + 5.X2 = -0,05 stage 1

X1 - 6.X2 + 5.X3 = 0 stage 2

X2 - 6.X3 + 5.X4 = 0 stage 3

X3 – 6.X4 + 5.X5 = 0 stage 4

X4 - 6.X5 = -(1/2). 0=0 stage n=5

PR. Coba selesaikan secara pakai matlab manual dan buktikan hasilnya

adalah:

X1 = 0,999999. 10-2

X4 = 0,799999. 10-4

X2 = 0,199999. 10-2

X5 = 0,159999. 10-4

X3 = 0,399999. 10-3

Cek Pakai Matlab!



PR di rumah manual & Matlab:

1).

2).

000

Documents

2. Eliminasi Gauss