View
224
Download
15
Category
Preview:
Citation preview
Separable Differential EquationSeparable Differential Equation
Definisi
� Banyak Persamaan Diferensial (PD) orde 1 disederhanakan
dalam bentuk:
)(')( xfyyg =
� Sering dituliskan dalam bentuk lain yang lebih dikenal:
dxxfdyyg )()( =
� Disebut separable karena variabel x dan y dipisahkan
sehingga x muncul di ruas kanan sedang y muncul di sebelah
kiri.
� Pengintegralan kedua sisi menghasilkan:
cdxxfdyyg += ∫∫ )()(
Contoh 1
� Selesaikan PD berikut:
04'9 =+ xyy
Penyelesaian:
� Dengan cara pemisahan variabel:
xdxydy 49 −=
� Pengintegralan kedua sisi menghasilkan jawaban umum:
cxy ~22
9 22 +−= atau cyx
=+49
22
=
~cc
=18
cc
� Jawaban menunjukkan sebuah famili dari ellips.
Contoh 2
� Selesaikan PD berikut:
21' yy +=
Penyelesaian:
� Dengan cara pemisahan variabel dan pengintegralan: � Dengan cara pemisahan variabel dan pengintegralan:
dxy
dy=
+ 21cxy +=arctan
)tan( cxy +=
Contoh 3
� Selesaikan PD berikut:
xyy 2' −=
Penyelesaian:
� Dengan cara pemisahan variabel dan integral: � Dengan cara pemisahan variabel dan integral:
xdxy
dy2−=
cxy ~ln 2 +−=
cxey~2+−=
� Karena ea+b = eaeb dan dengan seting:
0yuntuk dan 0yuntuk ~~
<−=>= cece cc
2xcey −= cey =� Jawaban merupakan keluarga fungsi “bell-shaped curves”.
Initial Value Problem
� Pada kebanyakan aplikasi di bidang rekayasa, kita tidak
tertarik pada solusi umum dari persamaan diferensial tetapi
pada solusi khusus y(x) yang memenuhi kondisi awal (initial
condition), misalnya pada kondisi titik x0 solusi y(x)
dinyatakan oleh y0:
)( yxy = 00 )( yxy =
� Persamaan Diferensial orde-1 bersama dengan syarat awal ini
disebut initial value problem.
� Untuk menyelesaikan problem seperti ini, kita harus
menemukan solusi khusus dari persamaan yang memenuhi
syarat awal yang diberikan.
Contoh 4
� Selesaikan initial value problem berikut:
1)0( ,01')1( 22 ==+++ yyyx
Penyelesaian:
� Langkah 1. Penyelesian PD dengan cara pemisahan variabel: � Langkah 1. Penyelesian PD dengan cara pemisahan variabel:
22 11 x
dx
y
dy
+−=
+� Dengan integrasi kita dapatkan:
cxy +−= arctanarctan
cxy =+ arctanarctan
� Kedua ruas diambil tan-nya:
( ) cxy tanarctanarctantan =+
� Formula untuk tan:
( )ba
baba
tantan1
tantantan
−+
=+ba tantan1−
� Ambil:
xbya arctandan arctan ==
( )xy
xyxy
−+
=+1
arctanarctantan
cxy
xytan
1=
−+
� Langkah 2. Penggunaan initial condition.
� Kita tentukan c dari initial condition.
� Setting x = 0 dan y = 1, kita dapatkan 1 = tan c.
11
=−+xy
xy
x
xy
+−
=1
1
Modeling: Separable Equation
� Modeling berarti penyusunan model matematika dari
problem fisis atau sistem.
Contoh 1 (Newton’s law of cooling)
� Sebuah bola tembaga dipanaskan sampai suhu 1000C. Pada
saat t = 0 bola tersebut ditempatkan ke dalam air yang
dipertahankan pada suhu 300C. Pada akhir 3 menit, suhu bola dipertahankan pada suhu 300C. Pada akhir 3 menit, suhu bola
berkurang ke 700C. Carilah waktu dimana suhu bola
berkurang pada 310C.
Informasi fisis:
� Eksperimen menunjukkan bahwa waktu laju perubahan suhu bola sebanding
terhadap perbedaan antara T dan suhu medium sekeliling.
� Eksperimen juga menunjukkan bahwa panas mengalir cepat dalam tembaga
sedemikian hingga pada setiap saat suhu sama di semua titik dalam bola.
Penyelesaian:
� Langkah 1. Modeling.
Untuk sistem kita, formulasi matematika untuk hukum
pendinginan dari Newton:
)30( −−= Tkdt
dT
dt
di mana kita gunakan konstanta kesebandingan k sehingga k>0.
� Langkah 2. Solusi Umum.
Solusi umum di atas diperoleh dengan pemisahan variabel:
30)( += ktcetT
� Langkah 3. Gunakan initial condition.
Initial condition adalah T(0)=100. Solusi khusus untuk kondisi
ini:
3070)( += −ktetT
� Langkah 4. Gunakan informasi lebih lanjut.
Konstanta k dapat dicari dari informasi yang diberikan, Konstanta k dapat dicari dari informasi yang diberikan,
T(3)=70.
703070)3( 3 =+= − keT
1865.04
7ln
3
1==k
� Dengan menggunakan nilai k ini, kita dapatkan temperatur
T(t) dari bola adalah:
3070)( 1865.0 += − tetT
� Untuk T=310C akan dicapai pada saat:
70ln1865.0atau 170 1865.0 ==− te t
78.221865.0
70ln==t
� Akan dicapai setelah kira-kira 23 menit.
Contoh 2 (Aliran air melalui orifice/Torricelli’s law)
� Sebuah tanki silindris dengan tinggi 1.5 m berdiri dengan
diameter dasar berupa lingkaran dengan diameter 1 m pada
awalnya berisi air. Pada dasar tanki terdapat lubang dengan
diameter 1 cm dan terbuka suatu saat dan air mulai mengalir
akibat pengaruh gravitasi. Carilah tinggi h(t) dari air dalam
tanki untuk sembarang waktu t. Hitunglah waktu dimana air
dalam tanki menjadi ½ , ¼ penuh dan saat kosong. dalam tanki menjadi ½ , ¼ penuh dan saat kosong.
Penyelesaian:
� Langkah 1. Modeling.
Untuk sistem kita, formulasi model matematika persamaan
diferensial dari problem fisisnya.
Volume air yang mengalir keluar untuk interval waktu yang
singkat ∆t:
tAvV ∆=∆ tAvV ∆=∆
dimana A=0.502π cm2 merupakan luas penampang outlet dan v adalah kecepatan air keluar.
ghv 2600.0=
Hukum Torricelli menyatakan kecepatan air melalui orifice
dinyatakan:
o g = 980 cm/s2 adalah percepatan gravitasi
o h tinggi sesaat air dari orifice
o √2gh adalah kecepatan air dalam tanki turun
setinggi h dan hambatan sangat kecil sehingga
diabaikan
o Faktor 0.600 digunakan cross section
(penampang) aliran sedikit lebih kecil dari orifice.
∆V harus sama dengan perubahan ∆V* volume air dalam tanki.
hBV ∆−=∆ *
o B adalah luas penampang tanki dan ∆h adalah
penurunan tinggi h(t) dari air.
o Tanda minus karena volume air dalam tanki menurun
*VV ∆=∆
hBtghAtAv ∆−=∆=∆ 2600.0
B
ghA
t
h 2600.0−=
∆∆
Bt∆
o Dengan mengambil ∆t � 0, kita peroleh persamaan
diferensial:
hB
gA
dt
dh 2600.0−=
o Dimana A = 0.502π cm2, luas penampang tanki B = 50.02π cm2, dan √2g = √2.980 = 44.3 cm1/2/s.
2/100266.0 hdt
dh−=
o Initial condition:o Initial condition:
cm 150)0( =h
dimana t = 0 adalah saat lubang dibuka.
� Langkah 2. Solusi umum, solusi khusus.
Kita selesaikan persamaan diferensial menggunakan metode
pemisahan variabel kemudian pengintegralan;
dtdhh 00266.02/1 −=−
cth ~00266.02 2/1 +−=
o Pembagian dan pengambilan akar kuadrat:
cc=
2
~
2)00133.0()( tcth −=
o Dengan initial condition, h(0) = c2 =150, jawaban khusus:
2)00133.025.12()( tth −=
� Langkah 3. � Langkah 3.
Untuk menjawab pertanyaan tersisa, kita nyatakan t dalam h;
ht =− 00133.025.12
00133.0
25.12 ht
−=
o Tanki dalam keadaan ½ dari kondisi penuh:
min 0.451070.200133.0
0.7525.12 3 =⋅=−
= st
o Tanki dalam keadaan ¼ dari kondisi penuh terjadi setelah t
= 76.8 min dan kosong setelah t = 154 min.
Menjadikan Bentuk Separable
� Persamaan diferensial orde -1 yang bukan berbentuk
separable dapat dijadikan menjadi bentuk separable dengan
mengubah variabel.
=x
ygy'
x
dimana g adalah sembarang fungsi dari y/x, sebagai contoh
(y/x)3, sin(y/x), dll.
� Bentuk ekspresi baru:u
x
y=
dengan catatan bahwa y dan u adalah fungsi x.
� Dengan pendiferensialan:
xuuy '' +=
� Dengan memasukkan ke persamaan awal dan mengingat
bahwa g(y/x) = g(u):
)(' ugxuu =+ )(' ugxuu =+
� Sekarang kita bisa memisahkan variabel u dan x:
x
dx
uug
du=
−)(
Contoh 1
� Selesaikan PD berikut:
0'2 22 =+− xyxyy
Penyelesaian:
� Pembagian dengan x2:2
yy� Pembagian dengan x2:01'2
2
=+
−x
yy
x
y
xuuy '' +=
� Jika u = y/x maka;
01'2atau 01)'(2 22 =++=+−+ uxuuuxuuu
� Dengan pemisahan variabel:
x
dx
u
udu−=
+ 21
2
� Dengan integrasi:
2 +−=+c
=+ 2*ln)1ln( 2 cxu +−=+
x
cu =+ 21
� Penggantian u dengan y/x:
cxyx =+ 22
42
22
2c
yc
x =+
−
Contoh 2 (Initial value problem)
� Selesaikan IVB berikut:
0)( ,cos2
'23
=+= πyy
xx
x
yy
Penyelesaian:Penyelesaian:
� Kita set:
x
yu = xuy = uxuy += ''
u
xxuuxu
22 cos2' +=+
� Operasi aljabar dan pengintegralan menghasilkan:
2cos2' xxuu = cxu += 22 sin2
1
� Karena u = y/x:
cxxuxy 2sin2 2 +==
� Karena sinπ = 0, initial condition menghasilkan c = 0:
2sin2 xxy =
Recommended