20. Oktober 2005Hochschule Bremen4. Workshop "Mathematik für Ingenieure" Ein bisschen...

20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"

Ein bisschen unbestimmt?

Jörg J. Buchholz

20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"

L´Hospital

Wenn 0 0

lim lim 0x x x x

f x g x

oder

dann

0 0

lim limx x x x

f x f x

g x g x

0 0

lim limx x x x

f x g x

20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"

Geht?

0 0 0

sin sin coslim lim lim 1

1x x x

x x x

x x

1lim 1 e

x

x x

42

420

sinlim 1x

x

x

20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"

Geht nicht?

sin 1 coslim lim ?

sin 1 cosx x

x x x

x x x

Abschätzung

sinlim lim lim 1

sinx x x

x x x x

x x x x

20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"

Geht auch nicht?

1 12 22 2

12 2

12 2

1lim lim

11 1 2

2

1lim lim ?

1

x x

x x

x

x x x

x x

xx

20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"

Geht doch!>> syms x>> f = x/(x^2 + 1)^(1/2) f =x/(x^2+1)^(1/2) >> ezplot (f)

-4 -2 0 2 4

-1

-0.5

0

0.5

1

x

x/(x2+1)1/2

>> subs (f, x, 1e100)

ans = 1

>> limit (f, x, inf) ans = 1

20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"

Geht immer?

>> f = 1/x^(log (log (log (log (1/x)))) - 1);>> ezplot (f)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

0

1

2

x 10-4

x

1/(xlog(log(log(log(1/x)))- 1))

10 ln ln ln ln 1

1limx

xx

20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"

Einsetzen?

>> subs (f, x, 0)Warning: Divide by zero.

ans =Inf

>> limit (f, x, 0) ans =NaN

>> subs (f, x, 1e-100)

ans = 4.8704e-048

>> limit (f, x, 0, 'right') ans =Inf

>> solve (diff (f)) ans =.280843878523400709e-579202

20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"

Geht manchmal

ln 1 lnlim ln 1 ln lim

ln 1 ln

1 1ln ln 1

lim lim 0ln 1 ln ln 1 ln

x x

x x

x xx x

x x

xx x

x x x x

20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"

Geht häufig

2

0 0

0

1 11 1lim lim

lim

s

x x

x

sx O xx

x xs O x s

20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"

Was ist eigentlich

Matlab 7.0.4.365 (R14SP2):

>> 1^inf

ans =

NaN

1 1 1 1 1 1 1 ?

>> sym(1)^inf ans =1

20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"

1 ?

Matlab 7.0.4.365 NaN

Maple 9.5 1

Octave 2.1.50 NaN

Reduce 3.6 1

Mathematica 5 NaN

Maxima 5.9.1 1

Derive 6 NaN

MuPAD light 2.5.3 1

20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"

• Euler, L. (1707-1783): 0^0 = 1• Cauchy, A. L. (1821): 0^0 = NaN• Möbius, A. F. (1833): 0^0 = 1

:

• Mathematica (2005): 0^0 = NaN• Matlab (2005): 0^0 = 1• Windows XP (2005): 0^0 = 1• Google (2005): 0^0 = 1

00 ?

20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"

“However,if x and y -> 0 at the same rate, then the limit of x^y is 1.“

Matlab-Urgestein

Cleve Moler (vs. Buchholz, comp.soft-sys.matlab, 2002)

0

0.5

1

0

0.5

10

0.5

1

x

xy

y

20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"

und außerdem

0

nn k n k

k

nx y x yk

11 1

0

0 1 0 1 1 1

0

10 1 0 1

1 11 0 1 010 1

1 0

k k

kk

Binomischer Satz:

mit 0, 1:x y n

20. Oktober 2005 Hochschule Bremen 4. Workshop "Mathematik für Ingenieure"

Da müht man sich tagelang ab, den Studierenden die Wunderwelt der Grenzwerte durch anschauliche Beispiele nahe zu bringen:

limx 8

1x 8

8=

Doch wenn man dann eine einfache Transferleistung erhofft: lim

x 5

1x 5

5=

Trial and ERROR