通信原理

通信原理第四章　模拟信号的数字化

2

4.1 概述 数字化目的 数字化方法

抽样：信号自变量的离散化量化：信号幅值的离散化编码

pulse modulation

数字信号···01001011···抽样 量化 编码

模拟信号

3

4.2 模拟信号的抽样 抽样过程

理论上：抽样过程 = 周期冲激序列 × 模拟信号

实际上：抽样过程 = 周期性窄脉冲 × 模拟信号

t

t

t

s(t)

δT (t)

sk(t)

s(t)

c (t)

sk(t)

t

t

t

sampling

4

4.2.1 低通模拟信号的抽样 低通抽样定理　　　一个带宽有限信号 s (t) 的最高频率为 fH ，若

抽样频率 fs ≥ 2 fH ，则可以由抽样信号序列 sk (t) 无失真地恢复原始信号 s (t) 。

说明　　　设信号 s(t) 的频谱为 S( f ) 。　　　若 S( fH ) = 0 ，则 fs ≥ 2 fH ；　　　若 S( fH ) ≠ 0 ，则 fs > 2 fH 。 奈奎斯特频率　　 fs = 2 fH 称为奈奎斯特频率。

band-limited signal

5

4.2.1 低通模拟信号的抽样 抽样过程的时域描述　　　设 s(t) 为模拟低通信号， δT (t) 为周期性抽样

冲激序列

　 Ts 为抽样周期，抽样过程可描述为

n

T nTtt )()(

n

n

Tk

nTtnTs

nTtts

ttsts

)()(

)()(

)()()(

Nyquist

6

4.2.1 低通模拟信号的抽样 抽样过程的频域描述　　　设 s(t) 的频谱密度为 S( f ) ，以及

　于是，抽样过程可描述为

n

T fnfT

ft )(1

)()( s

n

nk

k

fnfST

fnffST

ffSfS

)(1

)()(1

)()()(

s

s

periodically sampling train

7

4.2.1 低通模拟信号的抽样 抽样过程的波形和频谱

t

t

t

s(t)

δT (t)

sk(t)

S ( f )

)(ˆ ts

f

fSk ( f )

f

f

)(ˆ fS

… …

( f )

t

… …

convolution

8

4.2.1 低通模拟信号的抽样 频谱混叠

S ( f )

f

f

Sk ( f )

f……

( f )

spectrum aliasing

9

4.2.1 低通模拟信号的抽样 抽样信号恢复低通滤波器

理想低通滤波器频率响应

理想低通滤波器的冲激响应

H

H

,0

,1)(

ff

fffH

tftf

T

tftf

ffHth

H

H

H

HH

1

π2π2sin1

π2π2sin

2)]([)(

F

ideal lowpass filter

10

4.2.1 低通模拟信号的抽样 抽样信号恢复

频域

时域)(ˆ)(1)()( fSfS

TfHfSk

n

n

k

nTtfnTtf

nTsT

tftf

TnTtnTs

thtsts

)(π2)(π2sin

)(1

π2π2sin1)()(

)()()(ˆ

H

H

H

H

reconstruction lowpass filter

11

4.2.1 低通模拟信号的抽样 抽样信号恢复的波形

t

sk(t)

)(ˆ ts

t

interpolation

12

由抽样信号恢复原信号的方法 ： 从频域看：当 fs 2fH 时，用一个截止频率为 fH 的理想低

通滤波器就能够从抽样信号中分离出原信号。 从时域中看，当用抽样脉冲序列冲激此理想低通滤波器时，

滤波器的输出就是一系列冲激响应之和，如图所示。这些冲激响应之和就构成了原信号。

理想滤波器是不能实现的。实用滤波器的截止边缘不可能做到如此陡峭。所以，实用的抽样频率 fs 必须比 2fH 大较多。

例如，典型电话信号的最高频率限制在 3400 Hz ，而抽样频率采用 8000 Hz 。

4.2.1 低通模拟信号的抽样

13

4.2.2 带通模拟信号的抽样 带通信号　　　设信号频谱的高端截止频率为 fH ，低端截止

频率为 fL ，带宽 B 。　　　带通信号的带宽远小于信号的中心频率。

fHfLf 0f

)(AM fS

kHz 0.9kHz 5.985kHz 5.994

kHz 990

L

H

0

Bfff

bandpass signal

14

4.2.2 带通模拟信号的抽样 带通抽样定理　　　设带通模拟信号 s (t) 的高端截止频率为 fH ，

低端截止频率为 fL ，则抽样频率为

　时，则可以由抽样信号序列 sk (t) 无失真地恢复原始信号 s (t) 。

　　　式中， B = fH − fL ，　　　　　　 fH / B = n + k ，　　　　　　 n 为不超过 fH / B 的最大整数，　　　　　　 0 ≤ k < 1 。

nkBf 12s

high cutoff frequency

15

4.2.2 带通模拟信号的抽样 抽样频率与信号频率的关系曲线

4B

3B

2B

B

O B 2B 3B 4B 5B 6BfL

fs

low cutoff frequency

16

4.2.2 带通模拟信号的抽样 带通抽样的频谱

O

4B0−4B

fs−fs 2fs−2fs 3fs−3fs 4fs−4fs

S ( f )

Sk( f )

f

f

fH = 4 kHzfL = 3 kHz

B = 1 kHz

fs = 2 kHz

bandpass sampling

17

4.2.3 模拟脉冲调制 脉冲序列

脉冲序列三要素幅度宽度位置

脉冲序列作为载波

analog pulse modulation

c (t)

t

18

4.2.3 模拟脉冲调制pulse amplitude modulation (PAM)

m(t)

c(t)

sPAM(t)

t

t

t

t

t

sPDM(t)

sPPM(t)

脉冲幅度调制（ PAM ） 脉冲宽度调制（ PDM ） 脉冲位置调制（ PPM ）

PDM 也称 PWM 模拟脉冲调制在非通信领

域也有广泛应用

19

4.3 抽样的量化 量化

模拟信号数字化的第二个步骤对信号幅度进行离散化处理的过程称为量化量化过程必然会引入误差

数字信号···01001011···抽样 量化 编码

模拟信号

连续幅度 离散幅度

pulse duration modulation (PDM)

20

4.3.1 量化原理 量化过程

mi 为分层电平 qi 为量化电平Δvi 为量化间隔

量化分类均匀量化（量化间隔相等）非均匀量化（量化间隔不等）

Δvi

m1 m2

q1 q2 qi

mi1 mi mi+1

qi+1 qM1

mM2 mM1

qM

a b

pulse position modulation (PPM)

21

4.3.1 量化原理 量化特性曲线　　　 sq(kT) = qi ， mi1 s(kT) < mi

m6m1

q1

q7

M=7

中平型

m7m1

q8

M=8

中升型

q1

quantization

22

4.3.1 量化原理 抽样信号化实例

q1

q7

q8

q6

q5

q4

q3

q2m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

t

s(t) sq(t)

quantizer

23

4.3.2 均匀量化 均匀量化的特点

所有量化间隔相等

量化器输出电平取量化间隔的中点

MiM

abvvi ,2,1 　 　

Mimm

q iii ,2,1

21

Δvi

m1 m2

q1 q2 qi

mi1 mi mi+1

qi+1 qM1

mM2 mM1

qM

a b

midtread

24

4.3.2 均匀量化 量化噪声

量化噪声的衡量　　　信号量化噪声比 S / Nq

量化噪声功率 Nq

信号功率 S

若已知输入信号抽样值的概率密度函数，则可以计算平均量噪比

M

i

m

m kkqk

b

a kkqkqkq

i

i

ssfss

ssfssssEN

1

2

22

1

d)()(

d)()(])[(

b

a kkkk ssfssES d)()( 22

midrise

25

4.3.2 均匀量化 特例：输入信号在区间 [-a, a] 内服从均匀分布，量

化电平数为 M

)(lg20)/(

)(1223

1

33

2

2

1d

2

1

12

)(

12

)(

12

)(

2

1

d2

1)5.0(

d2

1)(

2

22223

2

23

1

3

1)1(

2

1

2

1

dBMNSMN

S

vM

vMaa

as

asS

vv

vM

Mv

a

sa

vvias

sa

ssN

dBqq

a

a kk

M

i

M

i

via

via kk

M

i

m

m kqkq

i

i

quantization noise

26

4.3.2 均匀量化 均匀量化器性能分析　　　实际语音信号不符合均匀分布，而符合拉普拉

斯分布。　　　这时，信号量化噪声比会急剧下降。

xO

xx

x

x exp

2

2

1)(

Laplacian distribution

27

4.3.3 非均匀量化 非均匀量化的目的　　　增加小信号时的信号量化噪声比，同时尽可能

减少量化器的分层数。 非均匀量的基本思路　　　对幅度比较小的信号，采用较小的量化间隔；

对幅度较大的信号，则采用较大的量化间隔。 非均匀量化的方法

先对信号作非线性变换，然后进行均匀量化；先对信号进行均匀量化，然后作数字非线性变换。

uniform quantizer

28

4.3.3 非均匀量化 压缩特性

xk

y

kykxyx

cykx

ykxx

ykxx

ln11

ln11

ln

dd

时，当

Ox

y

x

y

1

1

nonuniform quantizer

29

4.3.3 非均匀量化 A 律对数压缩特性

第一象限定义

压缩系数 A 的性质

A = 1 时无压缩、 A 越大压缩效果越明显 国际标准取 A = 87.6 ，其目的在于：

一、使特性曲线原点附近的斜率凑成 16 ；二、为了使 13 折线逼近时， x 的八段量化分界点近似于 1/2i （其中 i 取 0,1,2,…,7 ）。

11ln1ln1

10ln1

xAA

AxA

xA

Ax

y

A-law

30

4.3.3 非均匀量化 A 律对数压缩特性曲线

1

1

x

y

A = 87.6

A = 5

A = 1

O

11ln1ln1

10ln1

xAA

AxA

xA

Ax

y

-law

31

4.3.3 非均匀量化 A 律压缩特性 13 折线近似（第一象限）

xO 1/21/41/8 1

1/16

1/32

1/64

1/128

1

7/8

6/8

5/8

4/8

3/8

2/8

1/8

y

第 8 段第 7 段

第 6 段第 5 段

第 1 段第 2 段

第 4 段第 3 段

compression

32

4.3.3 非均匀量化 A 律压缩特性 13 折线近似

Ox

y

1

1

1

1

expansion

33

4.3.3 非均匀量化 A 律特性与 A 律 13 折线特性的比较

xO 1

y

piecewise linear approximation

34

A 律和 13 折线法比较

i 8 7 6 5 4 3 2 1 0

y =1-i/8 0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 1

A 律 x 值 0 1/128 1/60.6 1/30.6 1/15.4 1/7.79 1/3.93 1/1.98 1

13 折线法 0 1/128 1/64 1/32 1/16 1/8 ¼ ½ 1

x=1/2i

折线段号 1 2 3 4 5 6 7 8

折线斜率 16 16 8 4 2 1 ½ ¼

从表中看出， 13 折线法和 A = 87.6 时的 A 律压缩法十分接近。

35

4.3.3 非均匀量化 μ 律对数压缩特性

第一象限定义

压缩系数 μ 的性质 μ = 0 时无压缩 μ 越大压缩效果越明显 国际标准取 μ = 255 。

A 律压缩和 μ 律压缩的比较　　　两者效果并无本质差别。 μ 律早由美国提出，

A 律后来由欧洲提出。我国采用 A 律标准。

)1(ln)1(ln

x

y

36

4.3.3 非均匀量化 μ 律对数压缩特性曲线

1

1

x

y

O

μ = 5

μ = 0

μ = 255)1(ln)1(ln

x

y

37

4.3.3 非均匀量化 μ 律压缩特性 15 折线近似（第一象限）

xO 1

1

7/8

6/8

5/8

4/8

3/8

2/8

1/8

y

第 8 段第 7 段

第 6 段第 5 段

第 1 段第 2 段

第 4 段第 3 段

127/25563/25531/255

15/255

7/2553/255

1/255

38

13 折线法和 15 折线法比较 比较 13 折线特性和 15 折线特性的第一段斜率可知， 15

折线特性第一段的斜率（ 255/8 ）大约是 13 折线特性第一段斜率（ 16 ）的两倍。

所以， 15 折线特性给出的小信号的信号量噪比约是 13 折线特性的两倍。

但是，对于大信号而言， 15 折线特性给出的信号量噪比要比 13 折线特性时稍差。这可以从对数压缩式 (4.3-2

2) 看出，在 A 律中 A 值等于 87.6 ；但是在 m 律中，相当 A 值等于 94.18 。 A 值越大，在大电压段曲线的斜率越小，即信号量噪比越差。

4.3.3 非均匀量化

39

非均匀量化和均匀量化的比较 现以 13 折线法为例作一比较。若用 13 折线法中的（第 1

和第 2 段）最小量化间隔作为均匀量化时的量化间隔，则 13

折线法中第 1 至第 8 段包含的均匀量化间隔数分别为 16 、 16 、32 、 64 、 128 、 256 、 512 、 1024 ，共有 2048 个均匀量化间隔，而非均匀量化时只有 128 个量化间隔。因此，在保证小信号的量化间隔相等的条件下，均匀量化需要 11 比特编码，而非均匀量化只要 7 比特就够了。

4.3.3 非均匀量化

40

4.4 脉冲编码调制 基本原理

模拟信号输入LPF 抽样 量化 编码 PCM 信号

数字信道

解码重建滤波模拟信号输出

PCM 编码器

PCM 解码器

pulse code modulation (PCM)

41

4.4 脉冲编码调制 自然二进制码和折叠二进制码

11100000001101000110100100200101100311000010401001010510000110600001110

负极性

7000100018100110019010101011011011101正极性110011001112101110111301110111141111111115

折叠二进制码自然二进制码量化电平极性电平序号

42

4.4 脉冲编码调制 A 律 PCM 编码规则

极性码 c1

　　　 1 表示正极性， 0 表示负极性。段落码 c2 c3 c4

　　　表示信号绝对值所处 8 个段落中的某一个。段内码 c5 c6c7 c8

　　　表示任一段内的 16 个量化电平值。

c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8

43

00000000110010200113010040101501106011171000810019101010101111110012110113111014111115

段内码 (c5 c6c7 c8)量化值段内码的编码规则段落码编码规则

段落号段落码 (c2 c3 c

4)起始电平

8 111 1/2

7 110 1/4

6 101 1/8

5 100 1/16

4 011 1/32

3 010 1/64

2 001 1/128

1 000 0

4.4 脉冲编码调制

44

A律 PCM编码原理A 律 PCM 编码规则正、负方向共有 16 段，每一段内有 16 个均匀的量化电平。

M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8

极性码 段落码 段内量化电平值

1 ：正0 ：负

8 段 16 个电平值

量化级：共 256级

第一段：量化间隔 1 ； 第二段：量化间隔 1

第三段：量化间隔 2 ； 第四段：量化间隔 4

…………………… 第八段：量化间隔 64

最小量化电平2048

1

45

段落码 段内电平码对应的电平

段落号 M2 M3 M4

段落码对应

的起始电平

M5 M6 M7 M8 段内量 化间隔

1 0 0 0 0 8 4 2 1 1 2 0 0 1 16 8 4 2 1 1 3 0 1 0 32 16 8 4 2 2 4 0 1 1 64 32 16 8 4 4 5 1 0 0 128 64 32 16 8 8 6 1 0 1 256 128 64 32 16 16 7 1 1 0 512 256 128 64 32 32 8 1 1 1 1024 512 256 128 64 64

M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8

极性码 段落码 段内量化电平值1 ：正0 ：负

8 段 16 个电平值

A律 PCM编码原理

46

例：若输入信号抽样值 x=630 △ 求 A 律 13 折线编码输出码组、解码输出码组和量化误差

根据 x 电平与分段起始电平 (512Δ) 相比，抽样值在第 7 段，即 M2 M3 M4＝ 110

630Δ － 512Δ ＝ 118Δ

由第 7 段的段内电平码 256Δ 128Δ 64Δ 32Δ

118Δ<256Δ ， M5＝ 0 ； 118Δ<128Δ ， M6＝ 0 ；118Δ－ 64Δ＝ 54Δ ， M7＝ 1 ； 54Δ>32Δ ， M8＝ 1

C ＝ 1110 ， 0011

输入极性为正， M1＝ 1

6 1 0 1 256 128 64 32 16 167 1 1 0 512 256 128 64 32 328 1 1 1 1024 512 256 128 64 64

A律 PCM编码原理

47

解码输出 :

x ＝＋ 512Δ＋ 64Δ＋ 32Δ＋ 32Δ/2＝ 624Δ

量化误差 :

q＝ 630Δ－ 624Δ＝ 6Δ

6Δ<32Δ/2 ，量化误差小于量化间隔的一半。

C ＝ 1110 ， 0011接收信号为

量化误差最大值是该段量化间隔的一半。

A律 PCM编码原理

6 1 0 1 256 128 64 32 16 167 1 1 0 512 256 128 64 32 328 1 1 1 1024 512 256 128 64 64

48

段落码 段内电平码对应的电平

段落号 M2 M3 M4

段落码对应

的起始电平

M5 M6 M7 M8 段内量 化间隔

1 0 0 0 0 8 4 2 1 1 2 0 0 1 16 8 4 2 1 1 3 0 1 0 32 16 8 4 2 2 4 0 1 1 64 32 16 8 4 4 5 1 0 0 128 64 32 16 8 8 6 1 0 1 256 128 64 32 16 16 7 1 1 0 512 256 128 64 32 32 8 1 1 1 1024 512 256 128 64 64

第 3 段：最大误差 / 最大量化信号＝ 1/32=0.03125 ．．．．．．第 1 、 2 段：最大误差 / 最大量化信号＝ 0.5/16=0.03125

第 8 段：最大误差 / 最大量化信号＝ 32/1024=0.03125在量化范围内，各段平均量化信噪比是常数。在量化段内，有 16 个均匀的量化电平，其信噪比不是常数。

A律 PCM编码的段内信噪比

49

正弦输入折线近似对数量化的信噪比

对数量化 ( 折线近似 )

x

SNR

(dB)

(dB)

正弦幅度 /满载幅度

线性量化

对数量化 ( 理想 )

50

4.4 脉冲编码调制 实例　　　设 A 律 13 折线编码器的输入范围为 (−5V,

+5V) ，输入抽样脉冲幅度为 1.5V 。求编码器的输出码组。解：极性码　 M1 = 1 　　　段落码　 (1.5V/5V)×2048 = 614 　　　　　　　 M2 M3 M3 = 110　　段内码　 614 − 512 = 102

　　　　　　 M4 M5 M6M7 = 0011　输出码组　 1 110 0011　　　

51

4.4 脉冲编码调制 PCM 系统的量化噪声

均匀量化器的信号量化噪声比　　当采用 N 位二进制码编码时，有　模拟信号的最高频率为 f H

由奈氏准则：理想低通信道的最高码元传输速率＝２ B Baud.因此 PCM 信号带宽至少为 B = N f H ，即 N = B/f H

信号量化噪声比 )(2 H2 fBqNS

2MNS q

NqNS 22

52

4.5 差分脉冲编码调制 (DPCM)

差分脉冲编码调制 (DPCM) 的原理目的　　　在不降低信号质量的前提下，降低数字语

音信号的传输速率。原理

经过抽样的语音信号，各抽样之间存在着相关性。于是可以由前面的抽样值预测当前的抽样值；

预测必然会有误差，然后对实际值与预测值之差值进行编码。由于差值的功率比信号功率小得多，所以对差值编码所需的位数也可以显著减少。

differential PCM (DPCM)

53

4.5 差分脉冲编码调制 (DPCM)

DPCM 编码器原理框图

量化器eks(t)

编码器

预测器

++

+−

rk

ks

抽样器sk

ks

重建信号量化预测误差预测误差预测信号抽样信号模拟信号

k

k

k

k

k

sress

ts )(

k

kkk

kkkkk

ssss

sesrs

)(

kk er 假设

prediction filter

54

4.5 差分脉冲编码调制 (DPCM)

DPCM 预测器

DPCM 解码器原理框图

adaptive DPCM (APDCM)

为预测器的系数为预测器的阶数

1

i

p

iikik

ap

sas

解码器 kr+

预测器

+

'ks

滤波器

55

4.5 差分脉冲编码调制 (DPCM)

DPCM 过程图解

PCM

DPCM

抽样信号模拟信号

预测误差

t t t

tt

correlation

56

4.5 差分脉冲编码调制 (DPCM)

DPCM 的量化噪声

Nq 为量化噪声功率v 为量化间隔N = log2 M 为抽样器的位数 fL 为低通滤波器的截止频率 fs 为抽样频率

实验依据：量化噪声在 0 ~ N fs 内均匀分布

m2 m2 m4

m1

Δv

Os

L2

12)(

f

f

Nv

Nq

quantizer

57

4.5 差分脉冲编码调制 (DPCM)

DPCM 的信号功率设输入信号为一正弦波： m(t) = Acos(0t)

为防止过载， m(t) 的最大斜率不能太大，即

信号功率00

max

00

π2

)cos(d

)(d

f

ffA

fT

tAttm

ss

s

20

2

222max

π82 f

fAS s

slope overload noise

58

4.5 差分脉冲编码调制 (DPCM)

DPCM 的信号量噪比信号功率

量化噪声功率

信号量噪比

结论：信号量噪比随量化器位数 N 和抽样频率 fs 的增大而增大

20

2

2s

22

20

2

22

π32

)()1(

π8 f

fvM

f

fS s

s

L2

12)(

f

f

Nv

Nq

L2

02

3s

2

π8

)1(3

ff

fMN

NS

q

cutoff frequency

59

4.6 增量调制 (DM)

增量调制原理在 DPCM 基础上，当信号的抽样频率提高，相邻抽样之间的相关性增加，差值信号功率减小，编码位数也随之减少。当仅使用一位编码表示差值时，这一编码方法称为增量调制。

当差值为正时，编码为 1 ；当差值为负时，编码为 0 。

delta modulation (DM)

60

4.6 增量调制 (DM)

增量调制编码器原理框图

电平二值化eks(t)

延迟

++

+−

rk

ks

抽样器sk

ks

重建信号量化预测误差预测误差预测信号抽样信号模拟信号

k

k

k

k

k

sress

ts )(

delay

61

4.6 增量调制 (DM)

增量调制解码器原理框图

解码器 kr+

延迟

+

'ks

滤波器

prediction error

62

4.6 增量调制 (DM)

增量调制过程图示

x(t)

T

Δ

t

ks

ks

ks

0000 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 000

comparator

63

4.6 增量调制 (DM)

增量调制系统中的量化噪声颗粒噪声斜率过载噪声

x(t)

Ts

Δ

t

ks

x(t)

t

granular noise

64

4.6 增量调制 (DM)

增量调制系统的量化噪声

Nq 为量化噪声功率 为增量台阶 fL 为低通滤波器的截止频率 fs 为抽样频率

实验依据：量化噪声在 0 ~ fs 内均匀分布

slope overload distortion

s

L2

3 f

fNq

65

4.6 增量调制 (DM)

增量调制系统的信号功率设输入信号为一正弦波： m(t) = Acos(0t)

为防止过载， m(t) 的最大斜率不能太大，即

信号功率0

s

0

smax

s00

π2

)cos(d

)(d

f

ffA

fT

tAttm

20

2

2s

22max

max π82 f

fAS

quantum level

66

4.6 增量调制 (DM)

DPCM 的信号量噪比信号功率

量化噪声功率

信号量噪比

结论：信号量噪比与抽样频率 fs 的三次方成正比，而与信号频率 f0 的平方成反比。

s

L2

3 f

fNq

20

2

2s

22max

max π82 f

fAS

L2

02

3smax

π8

3

ff

f

N

S

q

delta-sigma modulation (DSM)

67

第四章习题 P93 4.4 4.5 4.7