View
5
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
๑ องคความรวชาคณตศาสตรในการดาเนนการ จดการเรยนร งป.๕๕
เรอง “ระบบจานวนจรงและฟงกชนตรโกณมต” ชนปท ๑
กองวชาคณตศาสตร สวนการศกษา โรงเรยนเตรยมทหาร
ชอองคความร
ระบบจานวนจรง ศกษาเนอหาคณตศาสตรเกยวกบ
อสมการของพหนามดกรสองขนไป สมการและอสมการคาสมบรณ
ฟงกชนตรโกณมต ศกษาเนอหาคณตศาสตรเกยวกบ
คาของฟงกชนตรโกณมตของมมตางๆทงทอยบนแกนพกดฉาก และนอกแกนพกดฉาก
วตถประสงค
๑. พฒนาองคความรของ นตท. ทมผลระดบคะแนนทตา
๒. เพมทกษะในการแกโจทยปญหาทางคณตศาสตร
๓. สงเสรมเจตคตทดในกลมสาระวชาคณตศาสตร
หลกการและแนวทางในการดาเนนการสอน
๑. กาหนดขอบเขตองคความรทนตท. ตองผานการประเมน
( องคความรท นตท. ตองผาน ไดแก
๑. อธบายความหมายของ อสมการของพหนามดกรสองขนไป สมการและอสมการคาสมบรณ ฟงกชน
ตรโกณมตของมมตางๆ
๒. สามารถแกอสมการของพหนามดกรสองขนไปได
๓. สามารถแกสมการและอสมการคาสมบรณได
๔. สามารถหาคาฟงกชนตรโกณของมมตาง ไๆด)
๒. ประเมนความรเดมในเนอหา การแยกตวประกอบของพหนาม การแกอสมการพหนามดกรหนง การแก
สมการของพหนาม ปทาโกรสและตรโกณมตพนฐาน โดยใชใบงาน
๓. เชอมโยงองคความรเรองแยกตวประกอบของพหนาม การแกอสมการพหนามดกรหนง การแกสมการ
ของพหนาม ปทาโกรสและตรโกณมตพนฐาน กบ อสมการของพหนามดกรสองขนไป สมการและ
อสมการคา สมบรณ ฟงกชนตรโกณมตของมมตางๆ
๔. ผสอนอธบายเนอหาในสวนท นตท.ไมเขาใจ อยางละเอยด โดยใช
๔.๑ ใบความรทบทวน
๔.๑.๑ เรองการแยกตวประกอบและการแกอสมการพหนามดกรหนง
๔.๑.๒ การแกสมการของพหนาม
๔.๑.๓ ปทาโกรสและตรโกณมตพนฐาน
๔.๒ ใบความร-ใบงานเนอหาหลก
๔.๒.๑ อสมการของพหนามดกรสองขนไป
๔.๒.๒ การแกสมการและอสมการคาสมบรณ
๔.๒.๓ ฟงกชนตรโกณมตของมมตางๆ
๒
๔.๓ สอการสอน
๔.๓.๑ power point เรอง 9 กฎทองคาสาหรบการแกอสมการกาลงสองและสงกวา
๔.๓.๒ power point เรอง กฎทองคาในการแกสมการอสมการคาสมบรณ
๔.๓.๓ power point เรอง การหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมตาง ๆ
และ นตท.สามารถทบทวนเนอหาวชาทเรยนดวยตวเอง โดยเขาไปโหลดสอการสอน power point ทง
สามเรองไดท เวบไซต http://www.gotoknow.org/blog/krukanid-kidna/toc
วธดาเนนการ
ทาการสอนทกวนพธ ระหวางภาคเรยน ๓ ครง เวลา ๑๙๓๐ – ๒๑๓๐
ครง
ท
วนท เรอง หองเรยน
๑ 3 ส.ค. 54 การแกอสมการพหนามดกรสองขนไป 2-18
๒ 10 ส.ค. 54 ทดสอบหลงเรยนครงท๑ /การแกสมการและอสมการคาสมบรณ 2-18
๓ 17 ส.ค. 54 ทดสอบหลงเรยนครงท๒ /การหาคาฟงกชนตรโกณมต /
แบบทดสอบหลงเรยนครงท ๓ นากลบไปทามาสง
2-18
การประเมนผล
ประเมนองคความรดวยแบบทดสอบหลงเรยน โดยใชเวลา ๑๐ นาทตนชวโมงถดไป ดวย
แบบทดสอบหลงเรยนครงท ๑ เรองการแกอสมการพหนามดกรสองขนไป
แบบทดสอบหลงเรยนครงท ๒ เรองการแกสมการและอสมการคาสมบรณ
และ แบบทดสอบหลงเรยนโดยใหไปทาดวยตวเองแลวนากลบมาสง ดวย
แบบทดสอบหลงเรยนครงท ๓ เรองการหาคาฟงกชนตรโกณมต
(แตละแบบทดสอบตองไดคะแนนรอยละ ๘๐ ขนไปจงถอวาผาน ถาไดคะแนนตากวารอยละ ๘๐ ตองนาเอา
แบบทดสอบกลบไปแกไขใหถกทงหมดจงถอวาผาน)
แหลงอางอง
๑. เอกสารประกอบการเรยนรการสอนซอมเสรม
๒. แบบเรยนวชาคณตศาสตร เรองจานวนจรง และฟงกชนตรโกณมต
๓. เวบไซต http://www.gotoknow.org/blog/krukanid-kidna/toc
ภาคผนวก
๑. ใบความรทบทวน
๑.๑ เรองการแยกตวประกอบและการแกอสมการพหนามดกรหนง
๑.๒ การแกสมการของพหนาม
๑.๓ ฟงกชนตรโกณมตของมม 30˚, 45˚ และ 60˚
๓
๒. ใบความรเนอหาหลก
๒.๑ อสมการของพหนามดกรสองขนไป
๒.๒ การแกสมการและอสมการคาสมบรณ
๒.๓ ฟงกชนตรโกณมตของมมตาง ๆ
๓. ใบงาน
๓.๑ อสมการของพหนามดกรสองขนไป
๒.๒ การแกสมการและอสมการคาสมบรณ
๓.๓ ฟงกชนตรโกณมตของมมตาง ๆ
แผนการสอนเรอง การแกอสมการพหนามดกรสองขนไป
ขนนา
ครเขยน ประโยคทงสามบนกระดาน
52 x
0232 xx
023 23 xxx แลวถามวา
๑. นตท.รจกประโยคบนกระดานหรอไม ใครตอบไดบางประโยคทงสามบนกระดานเรยกวาอะไร
(อสมการ)
๒. แลวอสมการทงสามแตกตางกนอยางไร ( ดกรของแตละพหนามไมเทากน)
๓. นตท.สามารถแกอสมการขอใดไดบาง (ขอแรก อาจใหตวแทน นตท.ออกมาแสดงใหด ) แลวอกสอง
ประโยคตอมาจะทาอยางไรด
ขนสอน
อธบายเพมเตมวาการแกอสมการทดกรสงขน คอตงแตดกรสองขนไปทาคลายสมการคอตองใชการ
แยกตวประกอบชวย ถามเพมเตมวาม นตท.คนใดแยกตวประกอบพหนามยงไมคลอง ( ถาม นตท.ยกมอ ใหแจก
ใบความรทบทวนเรองการแยกตวประกอบพหนาม แลวครอธบายวธการทาพรอมฝกให นตท.ทาแบบฝกหด
ประกอบ) ถาไมม หรอทบทวนเรยบรอยใหอธบายวธการแกอสมการกาลงสอง โดยใชสอการสอน power point
เรอง 9 กฎทองคาสาหรบการแกอสมการสองและสงกวา พรอมแจกใบความรเนอหาหลก อสมการของพหนาม
ดกรสองขนไป อธบายกฎทองคาขอท 1 อธบายจบ ถาม นตท.วาคนใดไมเขาใจ (ถาม อธบายเพมเตม) แลวใหจด
ตวอยางทยกพรอมทาแบบฝกหดประกอบในแตละหวขอ อาจเรยกออกมาทาใหดทกระดาน ทาเชนนจนจบ กฎ
ทองคาขอท9 และทาแบบฝกชดท 9
๔
ขนสรป
ครและ นตท.ชวยกนสรปวธการแกอสมการดกรสองขนไปวามการกแบบ แตละแบบตองทาอยางไร ให
แบบฝกหด นตท.ไปทาเพมเตม และใหดขอทม * ดอกจนทรหนาขอ จะเปนแนวทางในการทดสอบหลงเรยนใน
ชวโมงหนากอนการเรยนการสอนเรองตอไป คอการแกสมการและอสมการคาสมบรณ
ยา นตท.วาสามารถเขาไปทบทวนเนอหาวชาทไดเรยนวนน ไดจากสอ power point เรอง 9 กฎ
ทองคาสาหรบการแกอสมการกาลงสองและสงกวา ไดท http://www.gotoknow.org/file/krukanid-
kidna/view/608884
ใบความรทบทวนเรอง การแยกตวประกอบพหนาม
การแยกตวประกอบพหนาม คอ การเขยนพหนามนนในรปการคณกนของพหนามประกอบ
วธการแยกตวประกอบ เชน 21232 xxxx
1. การดงตวรวม เชน 2363 2 xxxx
แบบฝกหด จงแยกตวประกอบแตละขอตอไปน
1.1) 22 64 abba
1.2) xxx 9612 23 =
1.3) 3252 693 adcabcca
1.4) yxyx 772
2. ผลตางกาลงสอง หนา 2 - หลง2 = ( )( )
เชน 44162 xxx
แบบฝกหด
2.1) 92a
2.2) 12x
2.3) 6254y
2.4) 11 2a
๕
3. .รป cbxax 2 แยกเปน2วงเลบคณกน
เชน 32652 xxxx
แบบฝกหด
3.1) 652 xx
3.2) 62 xx
3.3) 62 2 xx
3.4) 20712 2 xx
ใบความร-ใบงาน เนอหาหลก อสมการของพหนามดกรสองขนไป
9กฎทองคาสาหรบแกอสมการกาลงสองและสงกวา มทงหมด 9 กฎดวยกนไดแก
1.ปกหลกสรางสรรค
2.ปกหลกสรางสรรคมากกวาหนอย
3.เปลยนความคดชวตเปลยน (— → +)
4.รวาบวกตดทง
5.ทงหมดกาลงสองตองมองใหด
6.กาลงจะสงสงสกเพยงใดคนกลบสสามญ
7.หารกคอคณแต...
8.ดเหมอนงายแตกงาย
9.สดยอด
1.ปกหลกสรางสรรค
ตวอยาง จงแกอสมการ
1252 2 XX
๖ วธทา
แบบฝกหดท จงแกอสมการ
1. 062 2 xx
2. 020712 2 xx
2.ปกหลกสรางสรรคมากกวาหนอย
ตวอยาง
วธทา
เซตคาตอบของอสมการ คอ
แบบฝกหดท 1.
2.
01252 2 XX0)4)(32( XX
1252 2 XX
],4[ 23X
0 0 + + -
-4 23
0)5)(4)(32( xXX
-4 23 5
+ - + -
5,234,
0)5)(4)(32( xXX
0)5)(4)(32( xXX
๗
3. เปลยนความคดชวตเปลยน (— → +)
ตวอยาง
แบบฝกหด
4.รวาบวกตดทง
ตวอยาง
แบบฝกหด
5.ทงหมดกาลงสองตองมองใหด
ตวอยาง
แบบฝกหด 1.
2.
3.
6. กาลงจะสงสงสกเพยงใดคนกลบสสามญ
ตวอยาง
แบบฝกหด 1.
2.
0)5)(4)(32( xXX
0)5)(4)(23( XXX
0)5)(4)(23( XXX
0)5)(4)(3( 2 xXx
0)1)(5)(3( 2 xXX
0)1)(5)(3( 2 xXX
0)1)(5)(3( 2 xXX
0)5)(4()3( 2 xXx
0)5)(4()3( 2 xXx
0)5()4()3( 765 xXx
0)1()5()3( 987 xXX
0)1()5()3( 121110 xXX
๘
7. หารกคอคณแต...
ตวอยาง 02156
xx
แบบฝกหด
02221
45
32
xxxx
8. ดเหมอนงายแตกงาย
ตวอยาง 721
xx
แบบฝกหด 2
121
xxx
9.สดยอด
ตวอยาง
แบบฝกหด
แบบฝกหดเพมเตม เรอง การแกอสมการพหนามดกรสองขนไป
จงแสดงวธแกอสมการตอไปน
1. 062 2 xx
2. 062 2 xx
*3. 062 2 xx
4. 062 2 xx
5.
0162 XX
01462 XX
0)7)(2)(32( xXX
๙ *6.
*7.
*8.
9.
10.
11.
12.
03
12
xxx
13. 0
4312
xxxx
*14.
04312
3
2
xxxx
15.
04312
3330
2120
xxxx
16.
17. 0
43
122
2
xxxx
*18. 21
21
xx
xx
19. 1
3
xxx
*20. 0262 xx
21. 01162 xx
025)5)(4)(23( xxxX
0)7)(2)(32( xXXx
0)7)(2()32( 2 xXX
025)5)(4()23( 22 xxXX
0)7()2()32( 853 xXX
025)5()4()23( 33442211 xxXX
0)7()2()32( 253 xXX
๑๐
ใบความรทบทวนเรอง การแกสมการและอสมการ
การแกสมการ
ตวอยางท 1. 4523 xx
ตวอยางท 2. 43.02.1 xx
ตวอยางท 3. 1223232 xx
ตวอยางท 4. 23652
211_2
32
xxx
ตวอยางท 5.
252
332 xx
การแกอสมการ
ตวอยางท 1. 4523 xx
ตวอยางท 2. 1223232 xx
ตวอยางท 3. 13215 x
ตวอยางท 4. 35231 xxx
๑๑
แผนการสอนเรอง การแกสมการพหและอสมการคาสมบรณ
ขนนา
ครทบทวนความรเรองคาสมบรณ เชน คาสมบรณคออะไร จานวนใดทอยภายใตคาสมบรณ และผลลพธ
เมอใสเครองหมายคาสมบรณ
ขนสอน
ครเขยนสมการและอสมการคาสมบรณบนกระดานแลวบอกนตท.วาอะไรคอสมการคาสมบรณ อะไรคอ
อสมการคาสมบรณ แลวใหนตท.สรปวาสมการและอสมการคาสมบรณคออะไร(สมการหรอสมการทตด
เครองหมายคาสมบรณ) แลวถาม นตท.วาเราจะมวธการแก หรอหาคาตอบของมนอยางไร(ปลดคาสมบรณออก)
เรามาดวธการปลดคาสมบรณโดยใชสมบตของคาสมบรณดงน ใหใชสอการสอน เพาเวอรพอยตเรองหลกการแก
สมการและอสมการคาสมบรณ จากเวบไซต http://www.gotoknow.org/file/krukanid-
kidna/view/608997
โดยใหนตท.พจารณาตวอยางพรอมไปกบคร จากนนใหทาแบบฝกหดของหลกตางๆแตละวธรวมกนไปดวย(ใบ
ความร-ใบงานเรองการแกสมการและอสมการคาสมบรณ) จนครบทกวธ
ขนสรป
ครและนตท.ชวยกนสรปวธการแกสมการและอสมการคาสมบรณแตละแบบตองทาอยางไร ให
แบบฝกหดนตท.ไปทาเพมเตม และใหดขอทม * ดอกจนทรหนาขอ จะเปนแนวทางในการทดสอบหลงเรยนใน
ชวโมงหนากอนการเรยนการสอนเรองตอไป คอฟงกชนตรโกรมต
ยา นตท.วาสามารถเขาไปทบทวนเนอหาวชาทไดเรยนวนน ไดจากสอ power point เรอง การแก
สมการคาสมบรณไดท http://www.gotoknow.org/file/krukanid-kidna/view/608997
ใบความร-ใบงาน เนอหาหลก สมการและอสมการคาสมบรณ
การแกสมการคาสมบรณ
หลกการท1 ax จะไดวา
ตวอยาง 1 จงแกสมการ
853 x
๑๒
ตวอยาง 2 จงแกสมการ
ตวอยาง 3 จงแกสมการ
ตวอยาง 4 จงแกสมการ
ตวอยาง 5 จงแกสมการ
หลกการท2 yx จะไดวา
ตวอยาง 1 จงแกสมการ
ตวอยาง 2 จงแกสมการ
หลกการท3
-๑๗-
ตวอยาง จงแกสมการตอไปน
หลกการท4
ตวอยาง จงแกสมการ
การแกอสมการคาสมบรณ
หลกการท1 ax จะไดวา
853 x
Xx 3103
xx 3553
5353 xx
6824 Xx
312
xx
0432 xx
x 0; xx0; xx
22 xx
521 xx
๑๓
ตวอยาง 1 จงแกอสมการ 32 x
ตวอยาง 2 จงแกอสมการ 523 x
ตวอยาง 3 จงแกอสมการ 023 x
ตวอยาง 4 จงแกอสมการ 023 x
ตวอยาง 5 จงแกอสมการ 123 xx
หลกการท2 ax จะไดวา
ตวอยาง 1 จงแกอสมการ 32 x
ตวอยาง 2 จงแกอสมการ 523 x
ตวอยาง 3 จงแกอสมการ 023 x
ตวอยาง 4 จงแกอสมการ 023 x
ตวอยาง 5 จงแกอสมการ 123 xx
หลกการท3 yx จะไดวา
ตวอยาง 1 จงแกอสมการ 132 Xx
ตวอยาง 2 จงแกอสมการ 2123
xx
หลกการท4
x 0; xx0; xx
๑๔
ตวอยาง 1 จงแกอสมการตอไปน 521 xx
ตวอยาง 2 จงแกอสมการตอไปน 53
12
xx
แบบฝกหดเพมเตม เรอง การแกสมการและอสมการคาสมบรณ
จงแกสมการและอสมการแตละขอตอไปน
1.
*2.
*3.
*4. 53
12
xx
* 5. 523 x
*6. 123 xx
*7. 132 Xx
*8. 2123
xx
* 9. 521 xx
523 x
523 xx
xx 3223
๑๕
แผนการสอนเรอง การหาคาของอตราสวนตรโกณมต
ขนนา
1. ครทบทวนฟงกชนตรโกณมตและการหาคาอตราสวนตรโกณของมม 30˚, 45˚ และ 60˚ โดย
สรปเปนตาราง ดงน
คา
มม 30 45 60
Sin 21
21
23
cos 23
21
21
tan 3
1 1 3
ขนสอน
1. ครใหนกเรยนหาคาของ 30sin บนกระดาน แลวถามนกเรยนวา ถาคามมเปลยนไป จะ
สามารถหาคาไดอยางไร
2. ครเรยกถาม นตท.เปนรายบคคลเพอใหตอบคาถามทครถาม
3. ครให นตท.ทาแบบฝกหดชดท 1
4. ครแสดงวธการหาคาของอตราสวนตรโกณมตของมมทมากกวา 90 )2
( ใหดเปนตวอยาง
(ใบความรเนอหาหลก)
5. ครให นตท.หาคามมทมากกวา 90 องศา ในแบบฝกหดชดท 2
ขนสรป
1. ครให นตท.สรปเกยวกบการหาคาอตราสวนในกรณมมอยในควอแดรนตางๆ ให
แบบฝกหดนตท.ไปทาเพมเตม
2. ยา นตท.วาสามารถเขาไปทบทวนเนอหาวชาทไดเรยนวนน ไดจากสอ power point เรอง
ตรโกณมตเบองตนไดท http://www.gotoknow.org/media/files/608168
๑๖ ใบความรทบทวนเรอง ฟงกชนตรโกณมต
ฟงกชนตรโกณมต
จากอตราสวนตรโกณมต สามารถนยามอตราสวนตรโกณมตในรปของพกดจดในระบบพกดฉากได
กาหนดวงกลมรศม 1 หนวย หรอวงกลม 1 หนวย (Unit Circle) ทมจดศนยกลางอยทจด
กาเนด O(0,0) ดงรป
P(x,y) เปนจดใดๆ บนเสนรอบวงกลมของวงกลมหนงหนวย พจารณา สามเหลยม PQR ม
90Q จะไดวา
sin yyOPPQ
1
cos xxOPOQ
1
จะเหนไดวา พกดของจด P(x,y) นน คา x = cos และ y = sin ทาใหสามารถบอกไดวา
สมาชกตวหนาของคอนดบ (x,y) คอคา cos และสมาชกตวหลงของคอนดบ (x,y) คอคา sin
ซงจากพกดของ P(x,y) นทาใหทราบคาอตราสวนตรโกณมต 2 อตราสวน จงนยามเพมเตม ดงน
tan
cossin
เมอ cos 0
cot
sincos
เมอ sin 0
sec
cos
1 เมอ cos 0
cosec
sin
1 เมอ sin 0
θ P
P(x,y)
Q O X
Y
๑๗
X
Y
225˚
45˚
P
O
ตารางสรปคาฟงกชนตรโกณมตของมม 30˚, 45˚ และ 60˚
คา
มม 30 45 60
Sin 21
21
23
cos 23
21
21
tan 3
1 1 3
ใบความรเนอหาหลก การหาคาของอตราสวนตรโกณมต
การหาคาของอตราสวนตรโกณมตของมมทมากกวา 90 )2
(
สามารถทาได 2 วธ คอ
1. การหมนแขนของมมรอบจดศนยกลาง โดยมหลกการทาเปนขนตอนดงน
- หมนแขนของมม (Radius Vector) ใหไดมมตามตองการ โดยใชหลกตอไปน
ก. หมนแขนของมมเพอใหไดมมตามตองการ จะไดทราบวามมตองการอยใน
Quadrant ใด ทาใหทราบเครองหมายของอตราสวนตรโกณมตทตองการ
ข. ดวาแขนของมมทหมนไปนนทามมกบแกน X เทาใด
ตวอยาง จงหาคาของ
ก. sin 225 ค. cos( 30 )
ข. tan )4
7( ง. tan( 120 )
วธทา
ก. sin 225
มม 225 อยใน 3Q
คา sin 225 มคาเปนลบ แขนของมมทามม
45 กบแกน X
sin 225 = - sin 45 = 2
1
๑๘
X
Y
P
Q
O
315˚
45˚
XO
Y
P
Q
O -30˚
XO
Y
PO
Q O60˚
-120˚
ข. tan )4
7( = tan )4
)180(7( = tan 315
มม 315 อยใน 4Q
คา tan 315 มคาเปนลบ แขนของมมทามม
45 กบแกน X
tan )4
7( = tan 315
= -tan 45 = -1
ค. cos( 30 )
มม 30 ตองหมนในทศทางตามเขมนาฬกา
ดงนน มม 30 อยใน 4Q
คาของ cos( 30 ) มคาเปนบวก แขนของมม
ทามม 30 กบแกน X
cos( 30 ) = cos 30 = 23
-๒๐-
ง. tan( 120 )
มม 120 ตองหมนในทศทางตามเขมนาฬกา
ดงนน มม 120 อยใน 3Q
คาของ tan( 120 ) มคาเปนบวก แขนของ
มมทามม 60 กบแกน X
tan( 120 ) = tan 60 = 3
๑๙
2. ใชวธการกระจายใหอยในรป A90 ),2
( A
)2(360),2
3(270),(180 AAAAAA เมอ 2
0 A
แลวใชหลกการพจารณาดงน
ก. ดวามมทโจทยตองการอยใน Quadrant ใด เพอจะไดทราบวา คาอตราสวนตรโกณมตท
ตองการมคาเปนบวกหรอลบ
ข. ดวาตองเปลยนคาอตราสวนหรอไม โดยดท
- ถามมอยในรป )2(360),(180 AAAA ไมตองเปลยนฟงกชน คอ
ถามฟงกชนใดตอบฟงกชนนน
- ถามมอยในรป A90 ),2
( A )
23(270 AA ตองเปลยนฟงกชนตอไปน
sin cos
tan cot
sec cosec
ตวอยาง จงหาคาของ
ก. tan 210 ค. sec 330
ข. sin 4
5 ง. cosec 3
7
วธทา ก. tan 210 = tan( 30180 ) ; 30180 อยใน 3Q
= - tan 30
= 3
1
ข. sin 4
5 = sin (4 ) ;
4 อยใน 3Q
= -sin 2
14
ค. sec 330 = sec( 60270 ) ; 60270 อยใน 4Q
= cosec 3
260
ง. cosec 3
7 = csc(3
2 ) ; 3
2 อยใน 1Q
= csc 3
23
๒๐ จ. cos 120 = cos( 60180 )
ฉ. cot 3
11 = cot (32
3 )
ช. sin 225 = sin( 45270 )
ใบงาน
แบบฝกหดชดท 1
จงหาคาของ
1.) 2sin30˚ – 6sin 60˚ + 2 sin 45˚
2.) 2tan230˚ + 4cos230˚ - 3sin230˚
3.) 2cos30˚ + 2cos 60˚ - 2 cos 45˚
4.) 3tan2
6 -
31 sin2
3 -
21 cosec2
4 +
34 cos2
6
5.) 21 cos
3 + cosec
6 - 2cot
6 + 1
แบบฝกหดชดท 2
จงหาคาของ
1. sin 120 2. cos 150
3. tan 120 4. sec6
5
5. sin 225 6. cot 3
4
7. cosec(6
) 8. tan 300
9. cos6
13 10. cos 240
๒๑ แบบทดสอบ
*1. sec 315 2. cot )120(
*3. tan4
7 4. sin(-3
8 )
5. cosec 855 6. sin 480
7. cos(-2 ) *8. cos )1230(
9. tan )330( 10. sin6
23
*11. 21 cos
3 + cosec
6 - 2cot
6 + 1
12. 3tan2
6 +
31 sin2
6cos
34
4csc
21
32
13. cos2
6 - 2cos2
3 -
43 sec2
4 - 4sin2
6
๒๒
องคความรวชาคณตศาสตรในการดาเนนการ จดการเรยนร งป.๕๔
เรอง “ เวกเตอร ” ชนปท ๒
กองวชาคณตศาสตร สวนการศกษา โรงเรยนเตรยมทหาร
ชอองคความร
เวกเตอร ศกษานยามการหาผลคณเชงสเกลารและผลคณเชงเวคเตอร และสามารถหา
ผลคณเชงสเกลาร ผลคณเชงเวคเตอร โคไซนแสดงทศทางของเวกเตอร และหามมระหวางเวกเตอรท
ก าหนดใหของเวกเตอรได
วตถประสงค
๑. พฒนาองคความรของ นตท. ทมผลระดบคะแนนทต า
๒. เพมทกษะในการแกโจทยปญหาทางคณตศาสตร
๓. สงเสรมเจตคตทดในกลมสาระวชาคณตศาสตร
หลกการและแนวทางในการดาเนนการสอน
๑. กาหนดขอบเขตองคความรท นตท. ตองผานการประเมน
๒. ทบทวนความรเดมในเรองการหาผลคณของเวกเตอรดวยสเกลาร
๓. เชอมโยงองคความรเรอง การหาผลคณเชงสเกลาร ผลคณเชงเวคเตอรโคไซนแสดง
ทศทางของเวกเตอร และหามมระหวางเวกเตอรทก าหนดใหของเวกเตอร
๔. อาจารยอธบายเนอหาในสวนท นตท.ไมเขาใจ อยางละเอยด
๕. อาจารยสอนเนอหา ผลคณเชงสเกลารและผลคณเชงเวคเตอรของเวกเตอร โดยเนน
การแกโจทยปญหาเปนหลก
๖. อาจารยให นตท. ทาแบบฝกหดดวยตนเอง
วธดาเนนการ
ทาการสอนวนพธท ๑๐ สงหาคม ๒๕๕๔ เวลา ๑๙๓๐ – ๒๑๓๐ น
การประเมนผล
ประเมนองคความรดวยโจทยปญหา
แหลงอางอง
๑. เอกสารประกอบการเรยนรการสอนซอมเสรม
๒. แบบเรยนวชาคณตศาสตรเรองเวกเตอร
ภาคผนวก
๑. ใบงาน
๒. แบบทดสอบเรองเวกเตอร
รายละเอยดหลกการและแนวทางในการดาเนนการสอน
๑. ขอบเขตองคความรท นตท. ตองผานการประเมน ประกอบดวย
๑. นตท. สามารถบอกนยามของ ผลคณเชงสเกลารและผลคณเชงเวคเตอรของเวกเตอรได
๒. นตท. สามารถ หาผลคณเชงสเกลารและผลคณเชงเวคเตอรของเวกเตอรได
๒๓
๓. หาโคไซนแสดงทศทางของเวกเตอรทก าหนดใหได
๔. หามมระหวางเวกเตอรทก าหนดใหได
๒. ประเมนความรเดมในเรองตรโกณ
จงหาคาของ
มมองศา มมเรเดยน cos 00 0
030 6
045 4
มมองศา มมเรเดยน cos 060
3
090 2
0120 3
2
0135 4
3
0150 6
5
0180 2
๒๔
๓. เชอมโยงองคความรเรองตรโกณและหาโคไซนแสดงทศทางของเวกเตอร
๑. ทาการยกตวอยางเวกเตอร คอ
ตวอยางท ให kjiu 623 และ kjiv 853 จงหามมระหวาง u และ v
วธทา จาก cosvuvu
49)8)(6()5)(2()3(3 vu
749)6()2(3 222 u
2798)8()5()3( 222 v
ดงน น 49 = 7( 27 ) cos
cos =2
1 ดงน น 45
๔. อาจารยอธบายเนอหาในสวนท นตท.ไมเขาใจ อยางละเอยดโดยมแผนการสอนดงน
การหาผลคณเชงสเกลาร และโคไซนแสดงทศทางของเวกเตอร
บทนยาม ให 321 ,, aaaa , 321 ,, bbbb
ผลคณเชงสเกลาร ระหวางa และ b คอ 332211 babababa
ba อานวาเวกเตอรเอดอตเวกเตอรบ หรออานส นๆ วา เอ ดอต บ
ตวอยางท 1 5,3,1u และ 2,4,0v จงหา vu
วธทา vu = 1(0)+3(4)+5(2)
= 22
ถา เปนมมระหวางa และb ในสามมต ซง 1800 แลว cosbaba
ถาa และb เปนเวกเตอรทไมใชเวกเตอรศนยa ต งฉากกบb กตอเมอ 0 ba
ตวอยางท 2 ให kjiu 623 และ kjiv 853 จงหามมระหวาง u และ v
วธทา จาก cosvuvu
49)8)(6()5)(2()3(3 vu
749)6()2(3 222 u
2798)8()5()3( 222 v
ดงน น 49 = 7( 27 ) cos
cos =2
1 ดงน น 45
๒๕
๕. อาจารยสอนเนอหาเวกเตอร โดยมแผนการสอนดงน
เนอหา
เวกเตอร
ผลคณเชงสเกลาร
บทนยาม ให 321 ,, aaaa , 321, bbbb
ผลคณเชงสเกลารระหวาง a และ b คอ 332211 babababa
ba อานวา เวกเตอร เอ ดอต เวกเตอรบหรออานส น ๆ วา เอ ดอต บ (a dot b)
ตวอยางท 1 u = [1, 3, 5] และ v = [0, 4, 2] จงหา vu
วธทา vu = 254301
= 22
ทฤษฎบท ให ba , และ c เปนเวกเตอรใด ๆ ในสามมต s เปนสเกลารจะไดวา
1. ba = ab
2. cabacba
3. bsabasbas
4. 00 a
5. 2aaa
6. 0 kjkiji
7. 1 kkjjii
ถา เปนมมระหวางa และb ในสามมต ซง 1800 แลว cosbaba
ถาa และb เปนเวกเตอรทไมใชเวกเตอรศนยa ต งฉากกบb กตอเมอ 0ba
ตวอยางท 2 ให kjiu 623 และ kjiv 853 จงหามมระหวาง u และ v
วธทา จาก cosvuvu
49)8)(6()5)(2()3(3 vu
749)6()2(3 222 u
2798)8()5()3( 222 v
ดงน น 49 = 7( 27 ) cos
cos =2
1 ดงน น 45
๒๖
โคไซนแสดงทศทาง
ในการกาหนดทศทางของเวกเตอร สามารถทาไดโดยมมทเวกเตอรดงกลาวทากบแกน X แกน Y และ
แกน Z
ให ,, เปนมมทเวกเตอร 321 ,, aaau ทากบแกน X แกน Y และ แกน Z
เรยก ,, วา มมแสดงทศทาง(direction angle)
เรยก cos,cos,cos วาโคไซนแสดงทศทาง (direction cosine)
บทนยาม โคไซนแสดงทศทาง(dierection cosine) ของเวกเตอร
321 ,, aaaa ซง 0a เทยบกบแกน X,Y,Z ตามลาดบ
คอจานวนสามจานวน ซงเรยงตามลาดบดงน aa
aa
aa 321 ,,
ตวอยางท 3 จงหาโคไซนแสดงเวกเตอร 10,8,6 a เมอเทยบกบแกน X,Y,Z ตามลาดบ วธทา
21020010)8(6 222 a
ดงน นโคไซนแสดงทศทางของ a เทยบกบแกน X,Y,Z ตามลาดบ คอ
210
6,
2108
,210
10 หรอ
253
,254
,2
1
บทนยาม
เวกเตอรสองเวกเตอรจะมทศทางเดยวกนกตอเมอ มโคไซนแสดงทศทางชด
เดยวกน และจะมทศทางตรงกนขามกตอเมอโคไซนแสดงทศทาง เทยบกบแตละแกนของเวกเตอรหนงเปน
จานวนตรงขามกบโคไซนแสดงทศทางของอกเวกเตอรหนง
กจกรรม
ขนนา
ครช แจงจดประสงคการเรยนรและทบทวนความรเดมโดยใชค าถามนกเรยนเกยวกบการหาผลคณของ
เวกเตอรดวยสเกลารวาทาไดอยางไร หากเราตองการหาผลคณเชงสเกลารระหวางเวกเตอรกบเวกเตอรจะ
ทาไดอยางไร และคดวาหาเชนเดยวกบการหาผลคณเชงเวกเตอรในสองมตหรอไม
X
Z
Y
๒๗
ขนสอน
1. ครยกตวอยางท 1 โดยครหาผลคณเชงสเกลารใหนกเรยนโดยย งไมบอกนยามการหา
ผลคณเชงเวกเตอร แลวใหนกเรยนสงเกตวธการและความสมพนธ ครอาจจะยกตวอยางอนเพมเตมเพอให
นกเรยนไดสงเกตหานยามของผลคณเชงสเกลาร
2. ครถามนกเรยนโดยการสมเกยวกบวธการทจะทาใหไดผลคณเชงสเกลาร สก 3-4 คน
แลวครกใหนกเรยนชวยกนสรปนยามการหาผลคณเชงสเกลารรวมกน แลวครกใหนยามทถกตองของการ
หาผลคณเชงสเกลารและทฤษฎทเกยวของ
3. ครถามถงการแสดงทศทางของเวกเตอรวาสามารถบอกทศทางของเวกเตอรไดอยางไร
บาง แลวครกอธบายนกเรยนวาการบอกทศทางของเวกเตอรสามารถบอกไดอวธหนงโดยอาศยโคไซน
เรยกวา โคไซนแสดงทศทาง
4. ครใหนยามการหาโคไซนแสดงทศทางของเวกเตอร เสรจเเลวยกตวอยางท 3 ให
นกเรยนลองหาโคไซนเเสดงทอศทางของเวกเตอรทก าหนดให
5. ครยกตวอยางท 2 เกยวกบการหามมระหวางเวกเตอร โดยใหนกเรยนลองทากอน คร
เดนตรวจตามโตะ แลวใหนกเรยนมาเฉลยหนาชอนเรยน ครใหเพอนตรวจความถกตองของตนเองกบท
เพอนทา ครเฉลยพรอมกบอธบายใหนกเรยนเขาใจ
6. ครสมนกเรยนใหมาทาหนาช นเรยนใหนกเรยนตรวจสอบคาตอบของตนเองกบ
คาตอบของเพอน แลวครตรวจสอบความถกตองพรอมกบอธบายใหนกเรยนเขาใจ
7. ครใหนยามเกยวกบการมทศทางเดยวกนของเวกเตอรโดยอาศยโคไซนเเสดงทศทาง
ของเวกเตอร
สอการสอน
1. แบบเรยนคณตศาสตร
การวดและประเมนผล
การวดผล การประเมนผล
1. การเรยกถามตอบ
2. ตรวจแบบฝกหดจากในแบบเรยน
1. นตท. สามารถตอบคาถามได………
2. นตท. สามารถทาแบบฝกหดในแบบเรยนได........
๖. แบบฝกหด ดงน
แบบฝกหดท ๑
1. ก าหนดให u , v เปนเวกเตอรใด ๆ จงหา vu
1.1 2,1,0,1,0,1 vu
๒๘
1.2 3,2,1,5,4,3 vu
1.3 kjivkjiu 221,632
2. ให 2,1,1,3,4, vxu ถา vu = 2 จงหาคาของ 2x
3. ให kjiwkjiv 538,236 จงหามมระหวาง wv
4. ให 1,3,2,2,1,2 vu และ 2,0,3w
ถา 5.2 avau และ 5aw จงหา a
5. ให u และ v เปนเวกเตอรทมขนาด 2 หนวย และ 3 หนวย ตามลาดบ ถามมระหวาง u
กบ v เปน 120 องศา จงหา vu 31
6. ให u = 10, v = 6 และ w = 14
ถา 0 wvu แลวจงหามมระหวาง u และ v
7. ให vu = 2 และ w ต งฉากกบ v
ถา 4 5 2 , 2u i j k w i j k และ kcjbiav โดยท 3 ba
จงหา v
8. ให 1,0,1u
จงหาโคไซนแสดงทศทางเทยบแกน X แกน Y และแกน Z แลวพจารณาวา u ทามมกองศา เมอ
เทยบกบแกนท ง 3 แกน
9. ให 5,10 vu และมมระหวาง u กบ v เปน 3
2 จงหา vu
10. ให kjivkjiu 22,23 จงหา uuuvv
11. จงพจารณาวา u ต งฉากกบ v หรอไม
11.1) u = [1,-2,3], v = [2,1,0]
๒๙
11.2) u = [1,-1,5], v = [2,1,4]
11.3) u = [2,-2,1], v = [3,-1,-8]
12. ให kcjiu 23
kjiv 42
จงหาคา c ททาให vu = 20
13. ให yxu ,,2 และ u ต งฉากกบ v และ u ต งฉากกบ w
โดย v = [2,-1,1], w = [-1,4,1] จงหา yx
๓๐ องคความรวชาคณตศาสตรในการดาเนนการ จดการเรยนร งป.๕๔
เรอง “เวคเตอรสามมต” ชนปท ๒
กองวชาคณตศาสตร สวนการศกษา โรงเรยนเตรยมทหาร
ชอองคความร
ศกษาและฝกทกษะเกยวกบการเขยนปรมาณเวกเตอร เวกเตอรทขนานกน เวกเตอรทเทากน นเสธ
ของเวกเตอร เวกเตอรศนย การบอกทศทางของเวกเตอร การบวกและการลบเวกเตอร การคณเวกเตอร
ดวยสเกลาร การใชเวกเตอรพสจนในทางเรขาคณต เวกเตอรในระบบพกดฉาก ขนาดของเวกเตอร เวกเตอร
หนงหนวย พกดในสามมต โปรเจคชนของสวนของเสนตรงบนระนาบ จดกงกลางของสวนของเสนตรง
ระยะทางระหวางจดสองจด โปรเจคชนของจดบนระนาบ เวกเตอรในสามมต ผลคณเชงสเกลาร โคไซนแสดง
ทศทาง ผลคณเชงเวกเตอร พนทและปรมาตรของสเหลยมดานขนานทรงตนโดยใชเวกเตอร
วตถประสงค
๔. พฒนาองคความรของ นตท. ทมผลระดบคะแนนทตา
๕. เพมทกษะในการแกโจทยปญหาทางคณตศาสตร
๖. สงเสรมเจตคตทดในกลมสาระวชาคณตศาสตร
หลกการและแนวทางในการดาเนนการสอน
๓. กาหนดขอบเขตองคความรท นตท. ตองผานการประเมน
๔. ประเมนความรเดมในเนอหาเวกเตอรหนงหนวย พกดในสามมต โปรเจคชนของสวนของเสนตรง
บนระนาบ จดกงกลางของสวนของเสนตรง ระยะทางระหวางจดสองจด โปรเจคชนของจดบนระนาบ
เวกเตอรในสามมต ผลคณเชงสเกลาร โคไซนแสดงทศทาง
๓.เชอมโยงองคความรเรองผลคณเชงเวกเตอร พนทและปรมาตรของสเหลยมดานขนานทรงตนโดยใช
เวกเตอร
๔. อาจารยอธบายเนอหาในสวนท นตท.ไมเขาใจ อยางละเอยด
๕. อาจารยสอนเนอหาฟงกชนตรโกณมต โดยเนนการแกโจทยปญหาเปนหลก
๖. อาจารยให นตท. ทาแบบฝกหดดวยตนเอง
วธดาเนนการ
สอนวนพธท ๑๗ สงหาคม ๒๕๕๔ เวลา ๑๙๓๐ – ๒๑๓๐
การประเมนผล
ประเมนองคความรดวยโจทยปญหา นตท.ตองสามารถแกโจทยปญหาทอาจารยกาหนดให ๓ ขอขนไปจาก ๕
ขอ
๓๑ แหลงอางอง
๑. เอกสารประกอบการเรยนรการสอนซอมเสรม
๒. แบบเรยนวชาคณตศาสตรเรองเวคเตอรสามมต
ภาคผนวก
๓. ใบงาน
๔. แบบทดสอบเรองเวคเตอรสามมต
รายละเอยดหลกการและแนวทางในการดาเนนการสอน
๑.ขอบเขตองคความรท นตท. ตองผานการประเมน ประกอบดวย
๑. นตท.สามารถหาผลคณเชงเวกเตอร ไดอยางถกตอง
๒.นตท.สามารถหาพนทและปรมาตรของสเหลยมดานขนานทรงตนโดยใชเวกเตอรไดอยาง
ถกตอง
๒.ประเมนความรเดมในเรองเนอหาเวกเตอรหนงหนวย พกดในสามมต โปรเจคชนของสวนของ
เสนตรงบนระนาบ จดกงกลางของสวนของเสนตรง ระยะทางระหวางจดสองจด โปรเจคชนของจดบนระนาบ
เวกเตอรในสามมต ผลคณเชงสเกลาร โคไซนแสดงทศทาง
โดยใหโจทยปญหาดงน
ประเมนเรองเวคเตอรสามมต
๑. กาหนด O เปนจดกาเนด จงหา OA เมอ
1) A(2,7,5) 2) A(2,1,-9)
๒. จงหาเวกเตอร เมอกาหนดจดและ ดงน
1) A(0,2,9) , B(2,0,2)
2) A(-2,5,4) ,B(5,-3,1/4)
ประเมนเรองผลคณเชงสเกลาร
๓ จงหามมระหวางเวกเตอรสองเวกเตอรทกาหนดให
๓.๑ kiu 3 และ kiv 22
๓.๒ 0,4,2u และ 4,1,1 u
ประเมนเรองโคไซนแสดงทศทาง
๔. จงหาโคไซนแสดงเวกเตอร 10,8,6 a เมอเทยบกบแกน X,Y,Z ตามลาดบ
๓.เชอมโยงองคความรเรอง เวกเตอรในสามมต ผลคณเชงสเกลาร โคไซนแสดงทศทาง
อาจารยสอนเชอมโยงเรองเวกเตอรในสามมต
๓๒ เวกเตอรในสามมต
บทนยาม กาหนดให x,y,z เปนจานวนจรง เรยก z,y,x วา เวกเตอรใน 3 มต หรอ เรยกสนๆ วา เวกเตอร
ในทางเรขาคณต เราแทนเวกเตอร z,y,x ดวยสวนของเสนตรง ทกาหนดทศทาง ซงมจดเรมตนทจด
O(0,0,0) และมจดสนสดท(x,y,z) (ดงรป(ก))
ถาสวนของเสนทระบทศทาง ซงมจดเรมตนท )z,y,x(P 1111 และจดสนสดท )z,y,x(P 2222
เวกเตอร 121212 ,, zzyyxx ซงแทนดวย 21PP หมายถง
(ดงรป(ข))
Z
P(x,y,z)
)z,y,x(P 1111
Y
X
(ก)
(ข)
OP = z,y,x 21PP = 121212 ,, zzyyxx
ตวอยางท ๓ กาหนด P(5,3,8) และ Q(6,2,4 ) จงหาเวกเตอร PQ
วธทา PQ = 84,32,56
= 4,1,1
อาจารยสอนเชอมโยงเรองผลคณเชงสเกลาร
ผลคณเชงสเกลาร
บทนยาม ให 321 ,, aaaa , 321 ,, bbbb
ผลคณเชงสเกลาร ระหวางa และ b คอ 332211 babababa
ba อานวาเวกเตอรเอดอตเวกเตอรบ หรออานสนๆ วา เอดอตบ
ตวอยางท ๑ กาหนดให 5,3,1u และ 2,4,0v จงหา vu
วธทา vu = 1(0)+3(4)+5(2)
= 22
)z,y,x(P 1111
)z,y,x(P 2222
๓๓
ตวอยางท ๒ ให kjiu 623 และ kjiv 853 จงหามมระหวาง u และ v
วธทา จาก cosvuvu
49)8)(6()5)(2()3(3 vu
749)6()2(3 222 u
2798)8()5()3( 222 v
ดงนน 49 = 7( 27 ) cos
cos =2
1 ดงนน 45
อาจารยสอนเชอมโยงเรอง โคไซนแสดงทศทาง
โคไซนแสดงทศทาง
ในการกาหนดทศทางของเวกเตอร สามารถทาไดโดยมมทเวกเตอรดงกลาวทากบแกน X แกน Y และ
แกน Z
ให ,, เปนมมทเวกเตอร 321 ,, aaau ทากบแกน X แกน Y และ แกน Z
เรยก ,, วา มมแสดงทศทาง(direction angle)
เรยก cos,cos,cos วาไซนแสดงทศทาง (direction cosine)
บทนยาม โคไซนแสดงทศทาง(dierection cosine) ของเวกเตอร
321 ,, aaaa ซง 0a เทยบกบแกน X,Y,Z ตามลาดบ
คอจานวนสามจานวน ซงเรยงตามลาดบดงน aa
aa
aa 321 ,,
X
Z
Y
๓๔ ตวอยางท ๓ จงหาโคไซนแสดงเวกเตอร 10,8,6 a เมอเทยบกบแกน X,Y,Z ตามลาดบ วธทา
21020010)8(6 222 a
ดงนนโคไซนแสดงทศทางของ a เทยบกบแกน X,Y,Z ตามลาดบ คอ
210
6,
2108
,210
10 หรอ
253
,254
,2
1
บทนยาม
เวกเตอรสองเวกเตอรจะมทศทางเดยวกนกตอเมอ มโคไซนแสดงทศทางชดเดยวกน และจะม
ทศทางตรงกนขามกตอเมอโคไซนแสดงทศทาง เทยบกบแตละแกนของเวกเตอรหนงเปนจานวนตรงขาม
กบโคไซนแสดงทศทางของอกเวกเตอรหนง
๔.อาจารยอธบายเนอหาในสวนท นตท.ไมเขาใจ อยางละเอยดโดยมแผนการสอนดงน
อาจารยสอนเรอง เวคเตอรสามมต ผลคณเชงสเกลารและโคไซนแสดงทศทางแบบประยกต โดยอาจารยอธบาย
วธการอยางละเอยด
๑.จงหาคาคงตว c ททาใหมมระหวาง jciu กบ jiv เทากบ 45 องศา
๒.จงหามมระหวางเวกเตอรสองเวกเตอรทกาหนดให
๒.๑ kiu 3 และ kiv 22
๒.๒ 0,4,2u และ 4,1,1 u
๓. เครองบนอยหางจากสนามบนทางทศตะวนออก 5 กโลเมตร ทางทศใต 4 กโลเมตร และอยเหนอ
พนดน 6 กโลเมตร จงหาโคไซนแสดงทศทางของเครองบนลาน
สนามบ
ใต
เหนอ
ออก
๓๕ ๕.อาจารยสอนเนอหา ผลคณเชงเวกเตอร พนทและปรมาตรของสเหลยมดานขนานทรงตนโดยใชเวกเตอร
เนอหา
ผลคณเชงเวกเตอร
บทนยาม ผลคณเชงเวกเตอรของเวกเตอร 321 ,, aaaa และ เวกเตอร 321 ,, bbbb เขยน
แทนดวย bxa อานวา เอครอสบ หมายถง เวกเตอรซงนยามดงน
kbbaa
jbbaa
ibbaa
bxa21
21
31
31
32
32
หมายเหต ๑. ในทน 323232
32 abbabbaa
คอดเทอรมนนต
๒.เพอความสะดวกเราอาจเขยนสตรสาหรบเวกเตอร โดยอาศยรปดเทอรมนนตดงน
321
321
bbbaaakji
bxa
ใหสงเกตวา สวนทนาหนา I หาไดโดยการปดแถวและหลกทม ทเหลอคอ สวนทนาหนา ดง
รป
321
321
bbbaaakji
การหาสวนทนาหนา j และ k กทาเชนเดยวกน
ทฤษฎบท ใหa ,b และc เปนเวกเตอรใดๆ ในสามมต k เปน เปนจานวนจรง
๑. bxa )( axb
๒. )()()( cxbcxacxba
๓. )()()( cxabxacbxa
๔. )()( bxakbkxa
๕. 0axa
๖. )()( bxakbxak
๗. jixkikxjkjxi ,,
๘. cbxacxaa )()(
๓๖
h
๙.ถาa และb เปนเวกเตอรทไมใชเวกเตอรศนยa จะไดวา sinbabxa
เมอ เปนมมระหวางa และb ในสามมต ซง 1800 และ
nbabxa )sin( โดย n เปนเวกเตอรหนงหนวยทตงฉากกบ a และb
๑๐.ให bxa เปนเวกเตอรในสามมต ซงไมใชเวกเตอรศนย และไมขนานกน จะไดวา bxa ตง
ฉากกบa และb
๑๑. )()()( bacaxcbcxba
ตวอยางท ๑ ให 2,1,0a และ 3,1,1 b จงหา bxa
วธทา จาก kbbaa
jbbaa
ibbaa
bxa21
21
31
31
32
32
kji11
103120
3121
kji ))1(1)1(0())2(1)3(0()2)1()3(1(
kji 25
ความหมายทางเรขาคณต
๑. พนทของรปสเหลยมดานขนาน
พนทสเหลยมดานขนาน เทากบ ความยาวฐานxความสง
จากรป พนทสเหลยมดานขนาน = u xh
= u sinv
= vxu
ดงนนพนทสเหลยมดานขนานทม u และ v เปนดานประชด เทากบ u sinv ซงเทากบ vxu
v
u
๓๗
u
r
h
๒.ปรมาตรของสเหลยมดานขนานทรงตน
จากรป h เปนความยาวของเสนตงฉากทลากจากจดสนสดของ u มายงระนาบทกาหนดดวย v และ
r ดงนน h = cosu
และ rxv เปนพนทของรปสเหลยมดานขนานทมดานประกอบมมเปน v และ r
ดงนนปรมาตรของรปสเหลยมดานขนานทรงตน = cosu rxv
= cosrxvu
= )( rxvu
ตวอยางท ๒ จงหาพนทของรปสเหลยมดานขนาน ABCD เมอ kjiBA 32
และ
jiDA 35
วธทา
iDxABA0313
j0512
+ k35
32
= kji 2153
195475441259 DxABA
ดงนนพนทรปสเหลยมดานขนาน ABCD เทากบ 195 ตารางหนวย
ตวอยางท ๓
กาหนด jiu , kjv และ kir
จงหาปรมาตรรปสเหลยมดานขนานทรงตน
วธทา ปรมาตรของสเหลยมดานขนานทรงตนเทากบ )( rxvu
v
๓๘
101110kji
rxv
= i1011
j1110
k0110
= kjèi )10()10()01(
= kjèi
)( rxvu = )()( kjiji
= 2011)1)(0()1)(1()1)(1(
ดงนนปรมาตรของสเหลยมดานขนานทรงตนคอ 2 ลกบาศกหนวย
กจกรรมการเรยนการสอน
ขนนา
อาจารยชแจงจดประสงคการเรยนรและทบทวนความรเดมโดยใชคาถาม นตท.เกยวกบการหาผลคณ
ของเวกเตอรดวยสเกลารวาทาไดอยางไร หากเราตองการหาผลคณเชงสเกลารระหวางเวกเตอรกบเวกเตอรจะทา
ไดอยางไร
ขนสอน
๑.อาจารยถามถงการคณในเวกเตอรท นตท.ไดเรยนมาวามอะไรบาง (การคณเวกเตอรดวย สเกลาร ,
ผลคณเชงสเกลาร) แลวการคณระหวางเวกเตอรกบเวกเตอรไดเรยนแลวหรอยง
๒.อาจารยบอก นตท.วา นอกจากคาตอบท นตท.ตอบมายงมผลคณอกแบบหนงเรยกวา ผลคณเชง
เวกเตอร แลวอาจารยใหนยามเกยวกบการหาผลคณเชงเวกเตอร โดยเชอมโยงกบการหาดเทอรมแนนตของ
เมตรกซ
๓.อาจารยยกตวยางท ๑ ให นตท.ลองทา แลวอาจารยเฉลยคาตอบพรอมกบการอธบายให นตท.เขาใจ
๔.อาจารยกลาวถงวาเราสามารถนาความรเรองผลคณเชงเวกเตอรไปประยกตใชในการหาพนทและ
ปรมาตรของสเหลยมดานขนานได แลวอาจารยกอธบายการประยกตใชผลคณเชงเวกเตอร
ขนสรป
อาจารยให นตท.ชวยกนสรปเนอหาทเรยนรวมกนอกครงโดยอาจารยอาจจะใชคาถามกระตน แลวให
นตท.ทาใบงาน สงทายคาบ
๓๙ ๖.แบบฝกหด ดงน
อาจารยทดสอบโดยให นตท.ทาแบบฝกหด
๑.ให kjciu 32 และ kjiv 423 จงหาคา c ททาให u และv ตงฉากกน
๒.ให 1,, yxu โดยท ตงฉากกบ 1,1,3 และตงฉากกบ 2,2,3
แลว x2-yมคาเทาใด
๓.จงหาพนทของรปสเหลยมดานขนานโดยม u และv เปนดานประชด
1. ให kju 3 และ kiv 53
2. ให kjiu 22 และ jiv 2
๔๐
องคความรวชาคณตศาสตรในการดาเนนการ จดการเรยนร งป.๕๔
เรอง “เวกเตอรในสามมต” ชนปท ๒
กองวชาคณตศาสตร สวนการศกษา โรงเรยนเตรยมทหาร
ชอองคความร
เวกเตอรในสามมต ศกษาบทนยาม หาเวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกน และทศตรงขามกน
วตถประสงค
๗. พฒนาองคความรของนตท. ทมผลระดบคะแนนทต า
๘. เพมทกษะในการแกโจทยปญหาทางคณตศาสตร
๙. สงเสรมเจตคตทดในกลมสาระวชาคณตศาสตร
หลกการและแนวทางในการดาเนนการสอน
๕. กาหนดขอบเขตองคความรทนตท. ตองผานการประเมน
๖. ประเมนความรเดมในเนอหาเวกเตอรทขนานกนและการหาขนาดเวกเตอร
๓. เชอมโยงองคความรเรองเวกเตอรในสามมต กบการแกโจทยปญหา
๔. อาจารยอธบายเนอหาในสวนท นตท.ไมเขาใจ อยางละเอยด
๕. อาจารยสอนเนอหาเวกเตอรในสามมต โดยเนนการแกโจทยปญหาเปนหลก
๖. อาจารยใหนตท. ทาแบบฝกหดดวยตนเอง
วธดาเนนการ
ทาการสอนวนพธท ๓ สงหาคม ๒๕๕๔ เวลา ๑๙๓๐ – ๒๑๓๐ น
การประเมนผล
ประเมนองคความรดวยโจทยปญหา
แหลงอางอง
๑. เอกสารประกอบการเรยนรการสอนซอมเสรม
๒. แบบเรยนวชาคณตศาสตรเรองเวกเตอรในสามมต
ภาคผนวก
๕. ใบงาน
๖. แบบทดสอบเรองเวกเตอรในสามมต
รายละเอยดหลกการและแนวทางในการดาเนนการสอน
๑. ขอบเขตองคความรท นตท. ตองผานการประเมน ประกอบดวย
๑. นตท. สามารถบอกนยามของเวกเตอรหนงหนวยได
๒. นตท. สามารถหาเวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกน และทศตรงขามกนได
๓. นตท. สามารถแกปญหาโจทยประยกตเวกเตอรหนงหนวยได
๔๑
๒. ประเมนความรเดมในเรองเวกเตอรทขนานกนและการหาขนาดเวกเตอร
๑. ให w เปนเวกเตอรทมจดเรมตนทจด (-1 , -3, 2) และจดสนสดอยทจด (-7, 5, 0)
จงพจารณาวาเวกเตอรตอไปนขนานกบเวกเตอร w หรอไม
๑.๑) 1,4,3 u
๑.๒) 4,16,12v
๑.๓)
32,
38,2s
๒. ให kjvkjiu 32,3 จงหา
๒.๑) ขนาดของ u และขนาดของ v
๒.๒) ขนาดของ vu 2
๓. เชอมโยงองคความรเรองเวกเตอรทขนานกนและการหาขนาดเวกเตอร
๑. เวกเตอรทขนานกน
ให u และ v เปนเวกเตอรใด ๆ ทไมเทากบเวกเตอรศนย u ขนานกบ v กตอเมอมจ านวนจรง
k ทไมเปนศนยททาให vku
ถา k > 0 จะไดวา u มทศทางเดยวกบ v
ถา k < 0 จะไดวา u มทศทางตรงขามกบ v
๒. การหาขนาดเวกเตอร
ก าหนด a = 321 ,, aaa ขนาดของ a เขยนแทนดวย a
หมายถง 23
22
21 aaa
ตวอยาง จงหาขนาดของเวกเตอร 2,5,3a
วธทา ขนาดของ 222 253 a = 6
๔. อาจารยอธบายเนอหาในสวนท นตท.ไมเขาใจ อยางละเอยดโดยมแผนการสอนดงน
การหาเวกเตอรหนงหนวย
๑. ใหเรมตนดวยการหาขนาดของเวกเตอรทโจทยก าหนดโดยใชสตร
ก าหนด a = 321 ,, aaa , a = 23
22
21 aaa
๔๒
๒. หาเวกเตอรหนงหนวยโดยใชสตร
ให 32 ,, aaau
เวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบ u คอ uu
เวกเตอรหนงหนวยทมทศทางตรงขามกบ u คอ uu
๕. อาจารยสอนเนอหาเวกเตอรในสามมตโดยมแผนการสอนดงน
เนอหา
เวกเตอรหนงหนวยของ u
บทนยาม เรยกเวกเตอรมขนาดหนงหนวยวา เวกเตอรหนงหนวย (unit vecter)
ให 32 ,, aaau เวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบ u คอ uu
เวกเตอรหนงหนวยทมทศทางตรงขามกบ u คอ uu
ขอตกลง แทนสญลกษณของเวกเตอรหนงหนวยตามแนวแกน ดงน
i0,0,1 เปนเวกเตอรหนงหนวยบนแกน x
j0,1,0 เปนเวกเตอรหนงหนวยบนแกน y
k1,0,0 เปนเวกเตอรหนงหนวยบนแกน z
เรยก 0,0,0 วาเวกเตอรศนย เขยนแทนดวย 0
หมายเหต ให 321 ,, aaau เปนเวกเตอรใด ๆ สามารถเขยนแทนดวย u ไดอกแบบ
คอ kajaiau 321
ตวอยาง จงหาเวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบ kjiu 22
วธทา เวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบ u คอ uu
กระบวนการจดการเรยนร
กจกรรมนาสการเรยน
1. ขนสรางความสนใจ ( 10 นาท)
1.1 ใหนตท. พจารณาขนาดของเวคเตอรในสามมต
๔๓ 1.2 ใหนตท. รวมกนอภปรายวาขนาดของเวคเตอรในสามมต เปนอยางไร
1.3 ใหนตท. รวมกนต งค าถามเกยวกบสงทตองการร จากเนอหาทเกยวกบเรองขนาดของ
เวคเตอรในสามมต
กจกรรมพฒนาการเรยนร
2. ขนสารวจและคนหา ( 30 นาท)
2.1 แบงนตท. เปนกลมละ 5 คน
2.2 ใหนตท. วเคราะหการหาเวกเตอรหนงหนวยในสามมต
3. ขนอธบายและลงขอสรป ( 20 นาท)
3.1 นตท. แตละกลมนาเสนอการหาเวกเตอรหนงหนวยในสามมต
3.2 ครต งค าถามวา
- นตท. แตละกลมไดผลการศกษาเหมอนกนหรอตางกนอยางไร เพราะเหตใด
3.3 นตท. ท งหมดรวมกนสรปผลการหาเวกเตอรหนงหนวยในสามมต
4. ขนขยายความร ( 30 นาท)
4.1 ใหนตท. รวมกนทาแบบฝกหดการหาเวกเตอรหนงหนวยในสามมตเพมเตม
4.2 ใหนตท. แตละกลมอภปรายถงการนาเวกเตอรหนงหนวยในสามมตไปใชประโยชน
5. ขนประเมนผล ( 30 นาท)
5.1 ใหนตท. ทบทวนคาตอบในใบงาน
5.2 ใหนตท. แตละคนย อนกลบไปอาน สงทตองการร แลวตรวจสอบวาไดเรยนร
ครบถวนหรอไมเพยงใด
5.3 ครใหคะแนนตามผลการเรยนร
สอการสอน
2. แบบเรยนคณตศาสตร
การวดและประเมนผล
การวดผล การประเมนผล
1. การเรยกถามตอบ
2. ตรวจแบบฝกหดจากใน
แบบเรยน
1. นตท. สามารถตอบคาถามไดไมนอยกวารอยละ 75
2. นตท. สามารถทาแบบฝกหดในแบบเรยนได
คะแนนไมนอยกวารอยละ 75
๔๔
๖. แบบฝกหด ดงน
แบบฝกหดท ๑
๑. ก าหนดให = 4i – 3j + 5k และ Q(3, -1, 2) จงหาจด P
๒. ก าหนดให kbjiau 12
kajcIbv 223
ถา vu 2 แลว จงหา a, b, c
๓. จงแสดงวาจด A(4,7,-6),B(2,1,0),C(1,-2,3) อยบนแนวเสนตรงเดยวกนหรอไม
แบบฝกหดท ๒
๑. จงหาเวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบ u และทศทางตรงขามกบ u เมอกาหนดให
kjiu 332
๒. ให kju 34 และ 10 8 5v i j k จงหาเวกเตอรทมขนาดเทากบ v แตมทศทาบงเดยวกบ
u
๓. จงหาเวกเตอร u ซงมทศทางตรงขามกบ v และยาวเปนสองเทาของ v เมอ kjiv 22
๔. จงหาเวกเตอร b โดยท b = 3 และ b ขนานกบ 2,1,2 a แตมทศทางตรงขามกน
๔๕
องคความรวชาคณตศาสตรในการดาเนนการ จดการเรยนร งป.๕๔
เรอง “ฟงกชนลอการทม” ชนปท ๓
กองวชาคณตศาสตร สวนการศกษา โรงเรยนเตรยมทหาร
ชอองคความร
ลอการทม ศกษาบทนยาม สมบต การกลบสมการลอการทมเปนสมการเอกซโพเนนเชยล และ
สามารถนาคณสมบตมาบางขอของลอการทมไปใชทาโจทย
วตถประสงค
๑๐. พฒนาองคความรของนตท. ทมผลระดบคะแนนทต า
๑๑. เพมทกษะในการแกโจทยปญหาทางคณตศาสตร
๑๒. สงเสรมเจตคตทดในกลมสาระวชาคณตศาสตร
หลกการและแนวทางในการดาเนนการสอน
๗. กาหนดขอบเขตองคความรทนตท. ตองผานการประเมน
๘. ประเมนความรเดมในเนอหาฟงกชนเอกซโปเนนเชยล
๓. เชอมโยงองคความรเรองฟงกชนลอการทมกบการแกโจทยปญหา
๔. อาจารยอธบายเนอหาในสวนท นตท.ไมเขาใจ อยางละเอยด
๕. อาจารยสอนเนอหาฟงกชนลอการทมโดยเนนการแกโจทยปญหาเปนหลก
๖. อาจารยใหนตท. ทาแบบฝกหดดวยตนเอง
วธดาเนนการ
ทาการสอนวนพธท ๑๗ สงหาคม ๒๕๕๔ เวลา ๑๙๓๐ – ๒๑๓๐ น
การประเมนผล
ประเมนองคความรดวยโจทยปญหา
แหลงอางอง
๑. เอกสารประกอบการเรยนรการสอนซอมเสรม
๒. แบบเรยนวชาคณตศาสตรเรองฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม
ภาคผนวก
๗. ใบงาน
๘. แบบทดสอบเรองฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม
รายละเอยดหลกการและแนวทางในการดาเนนการสอน
๑. ขอบเขตองคความรท นตท. ตองผานการประเมน ประกอบดวย
๑. นตท. สามารถบอกนยามของฟงกชนลอการทมได
๒. นตท. สามารถบอกสมบตของฟงกชนลอการทมได
๓. นตท. สามารถกลบสมการลอการทมเปนสมการเอกซโพเนนเชยลได
๔. นตท. สามารถนาคณสมบตมาบางขอของลอการทมไปใชทาโจทยได
๔๖
๒. ประเมนความรเดมในเรองฟงกชนเอกซโปเนนเชยล
ทาแบบทดสอบเรองฟงกชนเอกซโปเนนเชยล
จงหาคาตอบของสมการตอไปน
1. x 2x 13 3
2. x 15 1
3. x5 25
4. x(x 1)2 4
5. x(x 4) 43 3
6. x x 1 1 2x3 9 27
7. 2x 1 x 3x5 25 5
เฉลย
1. -1 2. 1 3. -2 4. -1 , 2 5. -2
6. 1 7. 13
๓. เชอมโยงองคความรเรองฟงกชนเอกซโปเนนเชยล
ทาการยกตวอยางฟงกชนเอกซโพเนนเชยล คอ
y = a x ฟงกชนน เปนการสมมตคา X แลวหาคา y ออกมาคอ a ยกกาลง x แลวไดคา
เปนเทาไร เชน y = 2 x
ให x = 0 y = 1
x = 1 y = 2
x = 1 y = 21
แตถากลบกนคอทราบคาy ตองการหาวา a ยกกาลงจงจะไดคาน เชน
32 = 2 x X = 5
0.001 = 10 x X = -3
2 = ( 2 ) x X = 2
๔. อาจารยอธบายเนอหาในสวนท นตท.ไมเขาใจ อยางละเอยดโดยมแผนการสอนดงน
๑. การแปลงฟงกชนจากเอกซโปเนนเชยลเปนลอการทม
ในการเรมแปลงฟงกชนจะตองเขาใจนยามของฟงกชนท งสองกอน คอ
ฟงกชนเอกซโปเนนเชยลจะอยในรปของ xy a เมอ a คอ ฐาน เชน 29 3 อานวา 9 เทากบ 3
ยกกาลง 2 โดยม 3 เปนฐาน และ 2 เปนเลขช ก าลง
๔๗
5log 25 2 225 5
ฟงกชนลอการทมจะอยในรปของ ay log x เมอ a คอ ฐาน เชน 3log 9 2 อานวา ลอก 9 ฐาน
3 เทากบ 2 ซงคา 3log 9 จะมคาเทากบเลขชก าลงของฟงกชนเอกซโปเนนเชยล
เนองจากฟงกชนท งสองเปนฟงกชนผกผนกน ใหเราสงเกตวาฟงกชนท งสองจะมฐานเหมอนกน
คอ ฐาน a ดงน นการแปลงฟงกชนใหทาดงน
๑. ถาตองการแปลง 29 3 อยในรปฟงกชนลอการทม ใหทาการใส log หนาตวทไมมเลขช
ก าลง คอ 9 จะได log 9
๒. เนองจาก 23 ม 3 เปนฐาน ดงน นฟงกชนลอการทมกมฐานเปน 3 เหมอนกน จะได 3log 9
๓. จากน น 3log 9 จะมคาเทากบเลขชก าลงของฟงกชนเอกซโปเนนเชยล น นคอ 2
๔. จะได 3log 9 2
๒. การแปลงฟงกชนจากลอการทมเปนเอกซโปเนนเชยล
การแปลงฟงกชนจากลอการทมเปนเอกซโปเนนเชยล จะมลกษณะคลายกบการแปลงฟงกชนจาก
เอกซโปเนนเชยลเปนลอการทม แตเปนไปในลกษณะทาย อนกลบ เชน 5log 25 2 โดยมข นตอน ดงน
๑. เนองจาก 5log 25 จะมคาเทากบเลขชก าลงของฟงกชนเอกซโปเนนเชยล ดงน น ฟงกชน
เอกซโปเนนเชยลจะมเลขช ก าลงเทากบ 2
๒. เนองจาก 5log 25 มฐานเทากบ 5 ดงนน ฟงกชนเอกซโปเนนเชยลจะมฐานเทากบ 5 ดวย
๓. จะไดฟงกชนเอกซโปเนนเชยล คอ 225 5
๔. แผนภาพแสดงการแปลงฟงกชนจากลอการทมเปนเอกซโปเนนเชยล
๕. อาจารยสอนเนอหาฟงกชนลอการทมโดยมแผนการสอนดงน
๑. ฟงกชนลอการทม
เนอหา
ฟงกชนลอการทม ( LOGARITHMIC FUNCTION )
5 เปนฐาน
5log 25 = เลขช
นา 5 มาเขยนเปนฐานและ
นา 2 มาเขยนเปนเลขช
นา 5 มาใสลาง 2
๔๘
เนองจากฟงกชนเอกซโพเนนเชยล { (x,y) RxR / y = ax , a > 0 ,a 1 } เปนฟงกชน 1-1
จาก R ไปท วถง R+ ดงน นตวผกผนของฟงกชนเอกซโพเนนเชยลจงเปนฟงกชน จาก R+ ไป R
และฟงกชนผกผนของฟงกชนเอกซโพเนนเชยล คอ
{(x,y) R+R / x = ay , a > 0 , a 1 }
จาก x = ay สามารถเขยนใหอยในรป y = f(x) ได โดยกาหนดให
y = logax ซงอานวา “ ลอการทมเอกซฐานเอ” หรอ “ ลอกเอกซฐานเอ” ดงน นฟงกชนผกผนของ
ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลจงเขยนใหมไดเปน { (x,y)R+x R / y = logax , a > 0 , a 1 }
นยาม ฟงกชนลอการทม คอ { (x,y) R+ R / y = logax , a > 0 , a 1 }ซงเปนฟงกชน
ผกผนของฟงกชนเอกซโพเนนเชยล (x,y) R+x R / y = logax , a > 0 , a 1 }
ตวอยางการเขยนสมการของจานวนจรงทเขยนในรปเลขยกกาลงเปนการเขยนในรปลอการทม
ตวอยาง
๑. 9 = 32 เขยนในรปลอการทมไดเปน 2 = log 3 9
๒. 1000 = 103 เขยนในรปลอการทมไดเปน 3 = log 10 1000
๓. 5 =
1
225 เขยนในรปลอการทมไดเปน 1
2 = log 25 5
กจกรรม
ขนนา
1. ครนาดวยเรองสมการเอกซโพเนนเชยล คอ
y = a x ฟงกชนน เปนการสมมตคา X แลวหาคา y ออกมาคอ a ยกกาลง x แลวไดคาเปน
เทาไร เชน y = 2 x
ให x = 0 y = 1
x = 1 y = 2
x = 1 y = 21
แตถากลบกนคอทราบคาy ตองการหาวา a ยกกาลงจงจะไดคาน เชน
32 = 2 x X = 5
0.001 = 10 x X = -3
2 = ( 2 ) x X = 2
ขนสอน
๑. ครใหนยามของลอการทม
๒. เนองจากการเขยนลอการทมของ x ฐาน a ยาว เราจงใชสญลกษณ log a x
๓. เพอดความเขาใจครใหนกเรยนชวยกนทาประโยคเอกซโพเซยลใหเปนประโยคตาม
ตวอยางท 1
๔. ใหนกเรยนชวยกนหาคาโดยใชนยามของ ลอการทม
๔๙
๕. เพอทดสอบความเขาใจจงลองใหนกเรยนกลบประโยคลอการทมใหเปนประโยคเอกซ
โพเนนเชยลตามตวอยางท 2
๖. เมอนกเรยนพอจะเขาใจลอการทมบางแลวลองใหนกเรยนนยามฟงกชนลอการทม โดย
ครแนะนาวา ฟงกชนทกลบกนกบฟงกชนเอกซโพเซยลเนนเชยล
ขนสรป
นกเรยนชวยกนสรปความหมายของสมการน นลกษณะของสมการลอการทมตางๆ
สอการสอน
แบบเรยนคณตศาสตร
การวดและประเมนผล
การวดผล การประเมนผล
๑. การเรยกถามตอบ
๒. ตรวจแบบฝกหดจากใน
แบบเรยน
๑. นตท. สามารถตอบคาถามไดถกตอง ๘๐% ข น
ไป
๒. นตท. สามารถทาแบบฝกหดท ๑ ในแบบเรยน
เสรมไดถกตองมากกวา ๑๐ ขอ จาก ๑๔ ขอ
๒. สมบตลอการทม
เนอหา
สมบตทสาคญของลอการทมมดงตอไปน
เมอ a , b , M , N เปนจานวนจรงบวกท a 1 และ k เปนจานวนจรง
1 . log a MN = log a M + log a N
2 . log a NM
= log a M - log a N
3 . log a Mk = klog a M
4 . log a a = 1
5 . log a 1 = 0
6 . Mkalog = k1
log a M
7 . log b a = balog
1
8 . Maa log
= M *
9 . log a M = aM
b
b
loglog
๕๐
ตวอยาง จงหาคาตอไปน
1. log 7 3 7 = log 7
137 =
31
log 7 7 = 31
2. 16log21 = 16log
21 =
4
21 2
1log
=
21log4
21 = -4
3. log 10 100 =………………………………………………………………………
4. log 10 0.1 =………………………………………………………………………
5. log a a4 = ………………………………………………………………………
6. 32log21 =……………………………………………………………………
7.
21log 22 = …………………………………………………………………
8. 3 52 21632log = …………………………………………………………
เฉลย
3. 2
4. -1
5. 4
6. -5
7. 23
8. 165
๕๑
กจกรรม
ขนนา
๑. ใหนกเรยนชวยกนสรปคณสมบตของลอการทมทเรยนกนไปกอนหนาน
ขนสอน
๑. ครเขยนบทแทรก log g A 1 A 2 …A n = log a A 1 + log a A 2 +…+ log a An
โดยแทนตว A i เปน M ทกตว
๒. สมนกเรยนชวยหาคาตอบในการข นสอนตวอยางท 1
๓. ครสอนคณสมบต 2 – 9 พรอมท งยกตวอยางโดยเฉพาะคณสมบตท 8 บรรทดททา
เครองหมาย คอการtake log ( เทค log ฐาน b ไปท งสองขาง ) และยกตวอยางท 1 ประกอบ
๔. ครใหสงเกตกฎการเปลยนฐานลอการทม พยายามทาฐานทางซายของเครองหมายเทากบโดย
ใชคณสมบตของ log ตางๆทเรยนไปแลว
๕. ครเขยนตวอยางท 2- 3 พรอมท งสมนกเรยนทาโจทยโดยเรยกทละคนทาทละบรรทด
ขนสรป
นกเรยนชวยกนสรปคณสมบตของลอการทมทเรยนไปโดยเรยกถามทละคน
สอการสอน
แบบเรยนคณตศาสตร เรองลอการทม
การวดและประเมนผล
การวดผล การประเมนผล
๑. การเรยกถามตอบ
๒. ตรวจแบบฝกหดจากใน
แบบเรยน
๑. นตท. สามารถตอบคาถามไดถกตอง ๘๐% ข นไป
๒. นตท. สามารถทาแบบฝกหดท ๒ ในแบบเรยน
เสรมไดถกตองมากกวา ๓๐ ขอ จาก ๓๖ ขอ
๕๒
๖. แบบฝกหด ดงน
แบบฝกหดท ๑
1. จงเขยนสมการตอไปนในรปลอการทม
1.1 52 = 25 จะไดวา ………………………………
1.2 31
27 = 3 จะไดวา ………………………………
1.3 2
21
=
41 จะไดวา ………………………………
1.4 10-5 = 0.00001 จะไดวา ………………………………
1.5 5
21
= 32 จะไดวา ………………………………
1.6 3
32
=
827 จะไดวา ………………………………
1.7 3
101
= 1,000 จะไดวา ………………………………
1.8 23
4
= 0.125 จะไดวา ………………………………
2. จงเขยนสมการตอไปนเปนสมการในรปเลขยกกาลง
2.1 log 10 100 = 2 เขยนสมการเลขยกกาลงได ………………………….
2.2 log 2 32 = 5 เขยนสมการเลขยกกาลงได ………………………
2.3 log 7 1 = 0 เขยนสมการเลขยกกาลงได ………………………….
2.4 log 4
641
= -3 เขยนสมการเลขยกกาลงได ………………………….
2.5 log 10 0.001 = -3 เขยนสมการเลขยกกาลงได ……………………….
2.6 log 3 3 9 = 32 เขยนสมการเลขยกกาลงได ………………………….
๕๓
เฉลยแบบฝกหดท ๑
1.1 52 = 25 จะไดวา 52 log 25
1.2 31
27 = 3 จะไดวา 271 log 33
1.3 2
21
=
41 จะไดวา 1
2
12 log4
1.4 10-5 = 0.00001 จะไดวา 105 log 0.00001
1.5 5
21
= 32 จะไดวา 1
2
5 log 32
1.6 3
32
=
827 จะไดวา 2
3
273 log8
1.7 3
101
= 1,000 จะไดวา 103 log 1000
1.8 23
4
= 0.125 จะไดวา 43 log 0.1252
2.1 log 10 100 = 2 เขยนสมการเลขยกกาลงได 210 100
2.2 log 2 32 = 5 เขยนสมการเลขยกกาลงได 52 32
2.3 log 7 1 = 0 เขยนสมการเลขยกกาลงได 07 1
2.4 log 4
641
= -3 เขยนสมการเลขยกกาลงได 3 1464
2.5 log 10 0.001 = -3 เขยนสมการเลขยกกาลงได 310 0.001
2.6 log 3 3 9 = 32 เขยนสมการเลขยกกาลงได
2333 9
๕๔
แบบฝกหดท ๒
1. จงหาคาในแตละขอตอไปน
1.1 log 5 1 = ………………………………..
1.2 log 5 5 = ……………………………….
1.3 log 3 81 = ……………………………….
1.4 log 2 3 2 = ……………………………….
1.5 9log31 = ……………………………….
1.6 64log 22 = ……………………………….
1.7 6log1010 = ……………………………….
1.8 5log2 1313 = ……………………………….
1.9 5log1 28 = ……………………………….
1.10 4log93 = ……………………………….
1.11 10log3
101
= ……………………………….
1.12 log 10 log 3 log 5 125 = ……………………………….
1.13 8log3log 55 38 = ……………………………….
1.14 log 2 3 • log 3 4 • log 4 5 … log 127 128
= …………………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………………
1.15 16log32log21log
81log
81
214 z
= …………………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………………
1.16 4log15log
64log27log125log
77
777
= …………………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………………
๕๕
1.17 log 4 ( log 10 81 ) – log 4 ( log 10 3 )
= …………………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………………
= ……….……………….........................................................................................
1.18 abcabcabc cba log
1log
1log
1 เมอ a , b , c เปนจานวนจรงบวกทไมเทากบ 1
= …………………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………………
= ……….……........................................................................................................
1.19 120log
1120log
1120log
1120log
1
5432
= …………………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………………
= ……….…….......................................................................................................
1.20 ....222log 2
= …………………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………………
= ………………….…….........................................................................................
๕๖
1.21
71log2 7
7
= …………………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………………
= ……….………………….......................................................................................
1.22 7log1 22
= …………………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………………
= ……….………………….......................................................................................
1.23 3log2log2log1 435 16325
= …………………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………………
= ……….………………….......................................................................................
1.24 log 10 2 = 0.3010 จงหาคาของ log 10
…………………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………………
= ……….………………….......................................................................................
๕๗ 1.25 log 2 a = 3 จงหาคาของ log a
= …………………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………………
= ……….………………….......................................................................................
2. กาหนดให 2log 2 a – 3log 2 b = 4 และ 3log 2 a – 4log 2 b = 6
จงหาคา 21
22 log ba ab
………………………………………………………………………………………………
…………………………………….…………………………………………………………
.………………………………......................................................................................
3. จงหาคาของ log atan 10+log atan 20+log atan 30+…+log atan 890
………………………………………………………………………………………………
…………………………………….…………………………………………………………
.………………………………......................................................................................
………………………………………………………………………………………………
4. จงหาคาของ x ในแตละขอตอไปน
4.1 log 5 125 = x
………………………………………………………………………………………………
…………………………………….…………………………………………………………
.……………………………….......................................................................................
๕๘ 4.2 log x 8 = 3
………………………………………………………………………………………………
…………………………………….…………………………………………………………
.……………………………….......................................................................................
4.3 log x 625 = 4
………………………………………………………………………………………………
…………………………………….…………………………………………………………
.……………………………….......................................................................................
4.4 log x (12527
) = - 32
………………………………………………………………………………………………
…………………………………….…………………………………………………………
.……………………………….......................................................................................
4.5 log 32 x = 52
………………………………………………………………………………………………
…………………………………….…………………………………………………………
.……………………………….......................................................................................
๕๙
4.6 log 2 x = 23
………………………………………………………………………………………………
…………………………………….…………………………………………………………
.……………………………….......................................................................................
4.7 x53log = -2
………………………………………………………………………………………………
…………………………………….…………………………………………………………
.……………………………….......................................................................................
4.8 log 4 3 = -3
………………………………………………………………………………………………
…………………………………….…………………………………………………………
.……………………………….......................................................................................
5. ถา (xy)n -1 = a , (xy)m -1 = b และ (xy)k -1 = c แลว จงหา
(m – k)log 10 a + (k – n)log 10 b + (n – m )log 10 c
………………………………………………………………………………………………
…………………………………….…………………………………………………………
…………………………………….…………………………………………………………
๖๐
เฉลยแบบฝกหดท ๒
1.1 0 1.2 1 1.3 4 1.4 13
1.5 -2 1.6 4 1.7 6 1.8 25
1.9 1000 1.10 2 1.11 13
1.12 0
1.13 0 1.14 7 1.15 16
1.16 3
1.17 1 1.18 1 1.19 1 1.20 1
1.21 149
1.22 27
1.23 94
1.24 1.7090
1.25 4 2 4 3 0 4.1 3
4.2 2 4.3 5 4.4 925
4.5 14
4.6 1
2 2 4.7
259
4.8 3
13
5 0
๖๑
องคความรวชาคณตศาสตรในการดาเนนการ จดการเรยนร งป.๕๔
เรอง “เลขยกกาลง” ชนปท ๓
กองวชาคณตศาสตร สวน+การศกษา โรงเรยนเตรยมทหาร
ชอองคความร
เลขยกกาลง เพอใหสามารถบวก ลบ คณ หาร เลขยกกาลงโดยการทาใหแตละจานวนอยในรปเลขยก
กาลงทมฐานเทากน หรอ เลขชก าลงเทากน และแกสมการเลขยกกาลงได
วตถประสงค
๑๓. พฒนาองคความรของนตท. ทมผลระดบคะแนนตา
๑๔. เพมทกษะในการแกโจทยปญหาทางคณตศาสตร ใหกบ นตท.
๑๕. สงเสรมเจตคตทดในกลมสาระวชาคณตศาสตร ใหกบ นตท.
หลกการและแนวทางในการดาเนนการสอน
๙. กาหนดขอบเขตองคความรทนตท. ตองผานการประเมน
๑๐. ประเมนความรเดมในเนอหาเลขยกกาลง
๑๑. เชอมโยงองคความรเรองเลขยกกาลงกบการแกสมการ
๑๒. อาจารยอธบายเนอหาในสวนท นตท.ไมเขาใจ อยางละเอยด
๑๓. อาจารยสอนเนอหาเลขยกกาลง โดยเนนการแกโจทยปญหาเปนหลก
๑๔. อาจารยใหนตท. ทาแบบฝกหดดวยตนเอง
วธดาเนนการ
ทาการสอนวนพฤหสบดท ๓ สงหาคม ๒๕๕๔ เวลา ๑๙๓๐ – ๒๑๓๐ น
การประเมนผล
ประเมนองคความรโดยการทดสอบ โดยใชโจทยปญหา แบบอตนย
แหลงอางอง
๙. เอกสารประกอบการเรยนรการสอนซอมเสรม
๑๐. แบบเรยนวชาคณตศาสตรเรองฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม
ภาคผนวก
๑. ใบงานเรอง “เลขยกกาลง”
๒. แบบทดสอบเรอง “เลขยกกาลง”
รายละเอยด หลกการและแนวทางในการดาเนนการสอน
๑. ขอบเขตองคความรท นตท. ตองผานการประเมน ประกอบดวย
๑. นตท. สามารถบวก ลบ คณ หาร เลขยกกาลงโดยการทาใหแตละจานวนอยในรปเลขยกกาลงทม
ฐานเทากน หรอ เลขช ก าลงเทากน และหาผลลพธได
๒. นตท. สามารถบวก ลบ คณ หาร จ านวนทมเครองหมายกรณฑได
๓. นตท. สามารถแกสมการได
๖๒
๒. ประเมนความรเดมในเรองเลขยกกาลง
เนองจากจาเปนจะตองใชความรจากเรองเลขยกกาลง ซง นตท. ไดเรยนมาแลวต งแตมธยมตน นตท.
โดยมเนอหาเกยวกบเลขยกกาลงซงมเลขช ก าลงเปนจานวนเตมบวกมา ดงน นกอนทจะกลาวถงเลขยกกาลงซง
มเลขช ก าลงเปนจานวนตรรกยะ (อยในรปเศษสวน)และจงจาเปนตองจะขอทบทวนสงท นตท. ไดเรยนมาแลว
พอสงเขป ดงน
เนอหา
เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตม
นยาม n = a• a• a•…•a เมอ a ε R และ n ε I+
เรยก an วา เลขยกกาลง
เรยก a วา ฐานของเลขยกกาลง
เรยก n วา เลขช ก าลง
เชน 24 = 2• 2• 2•2
เรยก 24 วา เลขยกกาลง
เรยก 2 วา ฐานของเลขยกกาลง
เรยก 4 วา เลขช ก าลง
สมบตของเลขยกกาลง
ถา a , b เปนจานวนจรง โดยท a 0 , b 0 และ m , n เปนจานวนเตมแลว
1) am• an = am+n 2) m
m nn
a aa
3) (am)n = amn 4) (ab)n = anbn
5) n
ba
= n
n
ba
6) a0 = 1
7) a n = na1
; n เปนจานวนเตมบวก
หมายเหต 0 0 ไมมการนยาม
ตวอยางสมบตเลขยกกาลง
1) 23• 24 = 23+4 2) 5
5 44
2 22
3) (23)5 = a3x 5 4) (2x3)5 = 2535
5) 52
3
= 5
5
23
6) 20 = 1
7) 55
122
n ตว
4 ตว
๖๓
แบบทดสอบ ๒.๑
จงหาคาของ
1) 2 33 4 2) 2 32 3
3) 5
2
33
4) 5
2
44
5) 2 3(5 ) 6) 2 3( 2 )
7) 3(2 3) 8) 5(4 3)
9) 32
5
10) 53
4
11) 010 12) 0( 5)
13) 212 14) 35
เฉลย
1) 2 33 4 576 2) 2 32 3 108
3) 5
2
3 273
4) 5
2
( 4) 64( 4)
5) 2 3(5 ) 15625 6) 2 3( 2 ) 64
7) 3(2 3) 216 8) 5 5(4 3) 12
9) 32 8
5 125
10) 53 243
4 1024
11) 010 1 12) 0( 5) 0
13) 2 112144
14) 3 15125
a. กจกรรม สาหรบ เพอการทบทวน
ขนนา
๑. ครแจงจดประสงคของการทบทวนในคร งน
ขนสอน
๑. ครบอกนยาม และสาธตการทาโจทยพรอมท งกระตนให นตท.คดโดยให นตท.ท งช น
พดสงทครก าลงจะเขยนบนกระดาน
๒. ครสาธตการทาโจทยตวอยางทขอท ๑ ถง ๗ พรอมท งกระตนให นตท.คดโดยให นตท.
ท งช น พดสงทครก าลงจะเขยนบนกระดาน
๖๔
ขนสรป
๓. ครลบโจทยบนกระดาน ครกระตนและประเมนผล นตท.โดยการสมถาม นตท.ขอละ ๒
นาย โดยในแตละขอครให นตท.ท งช นกลาวขอสรป ทาเชนน จนครบ ๗ ขอ
สอการสอน
๑. แผนการสอนของคร ( แบบทดสอบ ๒.๑ )
๓. เชอมโยงองคความรเรองจานวนตรรกยะและการบวก ลบ คณ หารเศษสวน
๓.๑. จานวนตรรกยะ
จ านวนตรรกยะ คอ จ านวนทสามารถเขยนอยในรปเศษสวนได เชน 51
, 12
, 227
, 299
, 109
เปน
ตน
๓.๒. การบวกเศษสวน
a c ad bcb d bd
เมอ a , b , c , d เปนจานวนเตม และ b , d 0
ข นตอนการบวกเศษสวน เชน 2 43 5
๑. หา ค.ร.น. ของ ตวสวน จะได ค.ร.น. ของ 3 กบ 5 คอ 15
๒. ทาใหสวนท งสองตวเทากน น นคอ 23
ใหทาสวนเปน 15 โดยการนา 55
มาคณ จะได 1015
และ 45
ใหทาสวนเปน 15 โดยการนา 33
มาคณ จะได 1215
๓. นาเศษท งสองตวมาบวกกน จะได 10 12
15
๔. ดงน นผลลพธทได คอ 2215
ตวอยาง ๓.๒.๑ 2 4 2 5 4 33 5 3 5 5 3
10 1215 15
10 12
15
2215
๓.๓. การลบเศษสวน
a c ad bcb d bd
เมอ a , b , c , d เปนจานวนเตม และ b , d 0
ข นตอนการลบเศษสวน เชน 2 43 5
๑. หา ค.ร.น. ของ ตวสวน จะได ค.ร.น. ของ 3 กบ 5 คอ 15
๒. ทาใหสวนท งสองตวเทากน น นคอ 23
ใหทาสวนเปน 15 โดยการนา 55
มาคณ จะได 1015
๖๕
และ 45
ใหทาสวนเปน 15 โดยการนา 33
มาคณ จะได 1215
๓. นาเศษท งสองตวมาบวกกน จะได 10 12
15
๔. ดงน นผลลพธทได คอ 2
15
ตวอยาง ๓.๓.๑ 2 4 2 5 4 33 5 3 5 5 3
10 1215 15
10 12
15
2
15
๓.๔. การคณเศษสวน
a c acb d bd เมอ a , b , c , d เปนจานวนเตม และ b , d 0
ข นตอนการคณเศษสวน เชน 2 43 5
๑. ใหนาตวเศษท งสองตวคณกน จะได 2 4 คอ 8
๒. ใหนาตวสวนท งสองตวคณกน จะได 3 5 คอ 15
๓. ดงน นผลลพธทได คอ 8
15
ตวอยาง ๓.๔.๑ 2 4 2 43 5 3 5
8
15
๓.๕. การหารเศษสวน
a c a db d b c เมอ a , b , c , d เปนจานวนเตม และ b , c , d 0
ข นตอนการคณเศษสวน เชน 2 43 5
๑. ใหทาการกลบเศษเปนสวน และ กลบสวนเปนเศษ ของตวหาร เชน 45
เปน 54
๒. จากน นใหนาตวเศษท งสองตวคณกน จะได 2 5 คอ 10
๓. ใหนาตวสวนทงสองตวคณกน จะได 3 4 คอ 12
๔. ดงน นผลลพธทได คอ 1012
ซงทาเปนเศษสวนอยางต าได คอ 56
๖๖
ตวอยาง ๓.๕.๑ 2 4 2 53 5 3 4
2 53 4
1012
56
๔. กจกรรม สาหรบ เนอหาในสวนท เชอมโยง มดงน
ขนนา
๑. ครถามคาถามนา เชน “การบวก ลบ คณ หรอหารเศษสวน มสงทตองคานงถงเปนพเศษม
หรอไม และถามสงน นคออะไร ”
๒. ครกระตน นตท.โดยสมถาม นตท.จานวน ๕ – ๖ นาย
๓. ครแจงจดประสงคของการเรยน ดวยการเขยนบนกระดาน
ขนสอน
๑. ครใชวธสาธตเรองการบวก เศษสวน โดยใชโจทย ๓.๑.๑ และกระตนใหนตท.คดตาม
โดยให นตท.ท งช นเรยน พดข นตอนตางๆของการทาโจทย
๒. ครใชวธสาธตเรองการลบ เศษสวน โดยใชโจทย ๓.๒.๑ และกระตนใหนตท.คดตาม
โดยให นตท.ท งช นเรยน พดข นตอนตางๆของการทาโจทย
๓. ครใชวธสาธตเรองการคณเศษสวน โดยใชโจทย ๓.๓.๑ และกระตนใหนตท.คดตาม
โดยให นตท.ท งช นเรยน พดข นตอนตางๆของการทาโจทย
๔. ครใชวธสาธตเรองการหาร เศษสวน โดยใชโจทย ๓.๔.๑ และกระตนใหนตท. คดตาม
โดยให นตท.ท งช นเรยน พดข นตอนตางๆของการทาโจทย
ขนสรป
๑. ครกระตน นตท. สรปเรองการบวก การลบ การคณ และการหาร เศษสวน โดยให นตท.
ท งช นเรยนพดขอสรปท นตท. เขาใจ (ครอาจปรบแกเพอให นตท.เขาใจอยางถกตอง)
๒. ครเขยนขอสรปตางๆ บนกระดาน
สอการสอน
เอกสารประกอบการเรยนเสรม , แผนการสอนของคร
๕. อาจารยสอนเนอหาเลขยกกาลง โดยมแผนการสอนดงน
๑. จานวนจรงในรปกรณฑ
เนอหา
๖๗
นยาม ก าหนดให x เปนจานวนจรงทมรากท n จ านวนจรง y จะเปนคาหลกของรากท n ของ
x กตอเมอ
1. y เปนรากท n ของ x
2. xy 0
แทนคาหลกของรากท n ของ x ดวย n x
ขอสงเกต 1. กรณ n เปนจานวนค x เปนจานวนจรงใดๆ จะไดวา n x จะเปนจานวนจรง
ใดๆ
2. กรณ n เปนจานวนค , x เปนจานวนจรงใด ๆ
2.1 x > 0 จะไดวา n x เปนจานวนจรงบวก
2.2 x < 0 จะไดวา n x หาคาไมได
2.3 x = 0 จะไดวา n x = 0
ขอตกลง ก าหนดให n เปนจานวนเตมบวกทมากกวา 1
a เปนจานวนจรงใดๆ และ a มรากท n
1. รากท n ของ a เขยนแทนดวย a n1
น นคอ
n a = n1
a
2. a n1
= n a1
สมบตเกยวกบรากท n
ก าหนด a, b เปนจานวนจรงใดๆ และ n เปนจานวนเตมบวกทมากกวา 1 โดย n a และ n b เปนจานวนใด ๆ
1. nnn abba
2. nn
n
ba
ba , b 0
3. a nm
= n ma
4. nn a = a
a , n เปนจานวนค
5. n na =
a , n เปนจานวนค
6. ถา m เปนจานวนเตมบวกทมากกวา 1
6.1 mnm n aa
6.2 nmn m aa เมอ m เปนจานวนค
6.3 nmn m aa เมอ m เปนจานวนค , a 0
7. baabba 2 เมอ a 0 , b 0
๖๘
8. 2a b ab a b เมอ a 0 , b 0
9. รากทสองของ a + b + ab2 คอ ba เมอ a 0 , b 0
10. รากทสองของ a + b - ab2 คอ ba เมอ a 0 , b 0
ตวอยาง 5
1. จงหาคาของ
1.1 804520
1.2 31
311
2717147
1.3 359
184
73
152
1.4 ba50bab8aba183333
1.5 2x 2 2 23 4 9x a x a x x a , x 0
2. จงทาใหตวสวนไมตดกรณฑ
2.1 25
25
2.2 523
1
3. จงหาคาของ
3.1 13
13
13
13
3.2 25
32
13
25
3.3 22
22
22
22
yxx
yyx
yyx
xyx
4. จงหาคาของ
4.1 1027
4.2 รากท 2 ของ 1027
4.3 2029
4.4 รากท 2 ของ 2029
4.5 288
4.6 รากท 2 ของ 288
๖๙
4.7 รากท 2 ของ 6 4 2
4.8 รากท 2 ของ 3x- 1 + 2x3x22 2
4.9 312211
กจกรรม การสอนเนอหาเลขยกกาลง – นยาม รากท n
ขนนา
1. ครแจงจดประสงคการเรยนร โดยเขยนบนกระดาน
2. ครสมถามนกเรยน ๓-๕ นาย วา “ทาไมเราตองสนใจคาของ n และ x ของนพจน n x ?? ”
3. ครสมถามนกเรยน ๓-๕ นาย วา “เราสามารถใชรปแบบอนไดอกหรอไม นอกจากวธ
จด รป mnnm 2 ”
ขนสอน
1. ครอธบายวธแกปญหา โจทยตวอยางท1 - 4 และกระตนให นตท.บอกสงทครจะเขยน
บนกระดาน และพรอมๆกบอธบายใหนกเรยนเขาใจในแตละข นตอน
2. ครยกตวอยาง 4 444
)5()5( และ 4
444
)5()5( พรอมสมถาม นตท.จานวน ๗
– ๘ นาย วา เหมอนหรอตางกน และอยางไร
3. ครสมถาม นตท.จานวน ๗ – ๘ นาย วา ขอควรคานงถงคออะไร
4. ครเขยนนยาม “รากท n ” บนกระดาน
5. ครยกตวอยาง
ขนสรป
1. ครใหนกเรยนชวยกนบอกขอสรป สรปเนอหา นยาม รากท n
2. ครเขยนสรปบนกระดานอกคร ง
สอการสอน
เอกสารประกอบการเรยนเสรม , แผนการสอนของคร
กจกรรม การสอนเนอหาเลขยกกาลง – คณสมบต ของ รากท n
ขนนา
1. ครสมถามนกเรยน ๓-๕ นาย วา “นตท.คดวาโจทยขอน 804520 สามารถ
จดเปนรปแบบ ทงายกวาน ไดหรอไม หากทาไดใชวธใด??? ”
ขนสอน
1. ครยกโจทยตวอยางท1.1 ,1.4 โดยแนะให นตท.ใชคณสมบตจากเรองเลขยกกาลงมา
แกปญหาโจทย
๗๐
2. ครกระตนนตท. ดวยการให นตท. บอกสงทครจะเขยนบนกระดาน และพรอมๆกบคร
อธบายใหนกเรยนเขาใจในแตละข นตอน
3. ครสม นตท. ๓ – ๕ นาย ออกมาทาขอทเหลอ บนกระดานดา จากน นครอธบายข นการทา
ของ นตท. ในแตละขอ
ขนสรป
1. ครใหนกเรยนชวยกนสรปเนอหา “คณสมบต ของ รากท n”
2. ครเขยนสรปบนกระดานอกคร งหนง
สอการสอน
เอกสารประกอบการเรยนเสรม , แผนการสอนของคร
กจกรรม การสอนเนอหาเลขยกกาลง - รากท 2 ของนพจน abba 2
ขนนา
1. ครสมถามนกเรยน ๓-๕ นาย วา “เราสามารถใชรปแบบอนไดอกหรอไม นอกจากวธจด
รป mnnm 2 ทงายกวาวธน ??? ”
ขนสอน
1. ครยกโจทยตวอยางท4.1 ,4.2 และกระตนนตท. โดยให นตท. บอกสงทครจะเขยนบน
กระดาน และพรอมๆกบอธบายใหนกเรยนเขาใจในแตละข นตอน
2. ครสม นตท. ๓ – ๕ นาย ออกมาทาขอ 4.3 - 4.7 บนกระดานดา จากน นคร
อธบายข นการทาของ นตท. ในแตละขอ
ขนสรป
3. ครใหนกเรยนชวยกนสรปเนอหา เลขยกกาลง (รากท 2 ของนพจน )
4. ครเขยนสรปบนกระดานอกคร งหนง
5. ครส งให นตท.ทาแบบฝกหด 1 สง
สอการสอน
เอกสารประกอบการเรยนเสรม , แผนการสอนของคร
การวดและประเมนผล
การวดผล การประเมนผล
๑. ใชวธการเรยกใหตอบ
๒. ทาแบบฝกหด (แบบฝกหดท ๒)
๑. นตท. สามารถตอบคาถามผดไมเกน
รอยละ ๑๕ ( ๓ คน จากประมาณ ๒๐ คน )
๒. นตท. สามารถทาแบบฝกหด ไดถกตองมากกวา
รอยละ ๘๕ ( ๑๗ จาก ๒๐ ขอ)
๗๑
๒. เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะ
นยาม ก าหนดให x เปนจานวนจรงใดๆ และ m,n เปนจานวนเตมโดย หรม. ของ m และ
n มคาเทากบ 1 จะไดวา
xnm
= mnx )(
1
ตวอยาง
64 32
= (64 31
)2
45
3
= (4 5
1
)3 เปนตน
๓. การแกสมการเกยวกบจานวนตดกรณฑ
เนอหา
การแกสมการเกยวกบจานวนตดกรณฑ หลกการคอพยายามทาใหเครองหมายกรณฑหมด
ไป โดยทวไปมกนยมใชวธการยกกาลง ซงจะทาใหสมการทไดใหม ไมสมมลกบสมการเดม ทา
ใหไดค าตอบเกน ดงน นจะตองนาคาตอบมาตรวจสอบทกคร ง
ตวอยาง จงแกสมการ 2 7x = 3x
วธทา 2 7x = 3x
ยกกาลงสองท งสองขาง 4(x+7) = 9x2
4x+14 = 9x2
9x2- 4x – 14 = 0
(9x+14)(x-2) = 0
X = - 2
14 , 2
ตรวจคาตอบ ถา x = 2 ; 2 72 = 2(3) = 6
3(2) = 6
ดงน น x = 2 เปนคาตอบ
๗๒
ถา X = - 9
14 ;
2 79
14 = 2
9
6314
= 29
49
= 2(3
7)
= 3
14
และ 3(-9
14) = -
3
14
จะเหนวา 3
14
3
14
ดงน น x = - 9
14 ไมเปนคาตอบ
ตวอยาง จงหาคาตอบตอไปน
1. 1x12 = 7
2. 7 5x3 = 28
3. 2 x - 1 = 14 x
4. 11x5x = 16x
5. 8x3 3 - x = 2
6. x2 + 6 522 xx = 11+2x
7. 5x7x230x7x322 = x+5
8. 8 1 2 2x x = 7 4 5x x
๗๓
9. 2x
3x
= 13x3
5x3
10. 9x – 3x2 + 4 5x3x 2 = 11
กจกรรม การสอนเนอหาการแกสมการเกยวกบจานวนตดกรณฑ
ขนนา
1. ครแจงจดประสงคการเรยนร “เพอให นตท.สามารถแกโจทยปญหาเกยวกบจานวนทตด
กรณฑได”
2. ครช ใหนกเรยนเหนวา “หวขอสวนใหญจะเปนการจดรปใหอยในรปอยางงาย หรอหาคา
ในรปแบบตางๆ ทมตวแปรเขามาเกยวของเหมอนกบเลขชก าลงทมท งการทาใหเปนรป
อยางงาย และการแกสมการเลขยกกาลง เชนกนกบเรองน ครอธบายวธการตางๆทใชใน
การแกสมการ
3. ครยกตวอยาง โจทย สมการ 7x = 5 และแสดงวธทาบนกระดาน พรอมท ง
กระตนให นตท.ท งช นบอกวธทาในแตละข นตอนดวย
4. ครยกตวอยาง โจทย สมการ xx และแสดงวธทาบนกระดาน พรอมท งกระตนให
นตท.ท งช นบอกวธทาในแตละข นตอนดวย โดยเนนทการตรวจคาตอบ
ขนสอน
1. ครยกตวอยาง สมการเสรดอยางงายๆ บนกระดาน
เชน 2x
22x
= 4
พรอมกบใหนกเรยนท งช นชวยกนหาคาตอบ โดยวธบอกคร
2. ครใหนกเรยนชวยกนสรปหลกงายๆในการแกสมการเสรด โดยการสมถาม นตท. ๒ –
๓ นาย
3. ครยกตวอยาง สมการเสรดแบบตอไป (ตวอยางท ๒)
เชน จงแกสมการ 2 7x = 3x
วธทา 2 7x = 3x
ยกกาลงสองท งสองขาง 4(x+7) = 9x2
4x+14 = 9x2
9x2- 4x – 14 = 0
(9x+14)(x-2) = 0
X = - 2
14 , 2
๗๔
ตรวจคาตอบ กรณ x = 2 ; 2 72 = 2(3) = 6
3(2) = 6
ดงน น x = 2 เปนคาตอบ
กรณ X = - 9
14 ;
2 79
14 = 2
9
6314
= 29
49
= 2(3
7)
= 3
14
และ 3(-9
14) = -
3
14
จะเหนวา 3
14
3
14
ดงน น x = - 9
14 ไมเปนคาตอบ
4. ครกระตน นตท.ท งช นเรยน ใหชวยกนบอกแตละข นตอน ระหวางทาโจทย
5. ครแสดงการตรวจคาตอบ และใหช ใหเหนผลลพธทไดจากการตรวจคาตอบ
6. ครยกตวอยางท 3 x2 + 6 522 xx = 11+2x และ ตวอยางท 4 .
5723073 22 xxxx = x+5 โดยสม เรยก นตท.ให นตท. แก
สมการโดยถามทละคนและตอบทละข นตอน
7. ครยกตวอยางท 5 8 1 2 2x x = 7 4 5x x จากน น
- แสดงการแกสมการ ดวยวธยกกาลงสองขาง และแสดงให นกเรยน เหนวาไดสมการท
ยงยากซบซอน ยากตอการแกสมการ
8. จากตวอยางท 5 ครซงช ใหนกเรยนด วา ถาเราจดรปสมการโจทยโดยสงเกตจาก
ตวอยางทครแสดงหนากระดาน จากน นคร สรปพรอมกบนกเรยนวา
สมการทอยภายใตเครองหมายราก โดยเราจะย ายพจนทผลบวกของจานวนทอยใน
เครองหมายราก ท งสองเทากนใหอยขางเดยวกน
- แสดงการแกสมการ ดวยวธปรบรปสมการ และแสดงให นกเรยน เหนวาไดสมการท
ยงยากซบซอน ยากตอการแกสมการ
๗๕
9. จากตวอยางท 5 ถาเรายกกาลงสองท งสองขางกจะยงยากเราจงใชวธการต งเอกลกษณ
ใหม โดยพจารณาจากพหนามทอยในเครองหมายรากทง 2 และใหสงเกตพหนามท ง 2
น นวาพจนทมตวแปร x อย มาบวกลบกนแลวหมดไปเหลอแตจ านวนเตม
ขนสรป
1. ครกระตนใหนตท.ชวยกนสรปหลกการงายๆของการแกสมการ วา
ก าจดเสรดใหหมดไปดวยวธการยกกาลง
2. ครเขยนสรปบนกระดานอกคร ง
สอการสอน
เอกสารประกอบการเรยนเสรม , แผนการสอนของคร
การวดและประเมนผล
การวดผล การประเมนผล
1. การเรยกถามตอบ
2. ทาแบบฝกหด (แบบฝกหดท 2)
1. นตท. สามารถตอบคาถามไดถกตองมากกวารอยละ
๘๕ ของจานวนผตอบ
2. นตท. สามารถทาแบบฝกหด ไดถกตองมากกวา
รอยละ ๘๕ ( ๑๗ จาก ๒๐ ขอ)
๖. อาจารยใหนตท. ทาแบบฝกหดดวยตนเอง
กจกรรม
1. ครส งใหนตท.ทาแบบฝกหดครงหนงในหองเรยน
2. ครเดนดการทาแบบฝกหด ใหท วท งช นเรยน
3. ครส งให นตท.ทาเปนการบาน
สอการสอน
เอกสารประกอบการเรยนเสรม
การวดและประเมนผล
การวดผล การประเมนผล
๑. ทาแบบฝกหดทส งในช นเรยน
๒. ทาแบบฝกหดทส งเปนการบาน
๑. นตท. สามารถทาแบบฝกหด ไดถกตองมากกวา
รอยละ ๘๕
๒. นตท. สามารถทาแบบฝกหด ไดถกตองมากกวา
รอยละ ๘๕
๗๖
แบบฝกหดท 1
1) จงทาใหเปนผลสาเรจ
1) 22 3 2
2 3
22a ba b
2)
2
11
3
21
cab
c2ba5
3) 3
73
542
22
45
yxyx
yxyx
4) 2
3
242
3
21
cba
cba
5) 11
33
baba
6) 1
11
abba
)(
7) 1
11
baba
)(
8) (64)n-1 • (32)2-2n • (8)1+n
9) 23 2 4 2
2 2 2
n n
n n
10) 1 2
2 1
9 3 2 33 2 3
n n
n n
11)
1n
2n
n1
3n
521
353
๗๗
12) nm
nm
x1y
x1y
y1x
y1x
13)
1n3n
n22
32781279
14)
n2n23n33n
n21n2n2
2
161
4444
15) 2n
2n23n2
21022422
16) 4n4
1n1n22n
38139
17)
n1n1n
n1nn
42222
18)
52
43
00020100000000720002000060
.,,
.,
19) bcacabcbcaba xx11
xx11
xx11
20) 1 1 1 1
1 1 1 1
1 ax a x axa x xa ax x a
เฉลยแบบฝกหดท 1
1. 6410
ab
2. 53
2
cb5a2
3. 10
1x
4. 10
1a
5. 22
111baba
6. b – a 7.
abba 2
8. n2128
9. – 4 10. 527
11. 1,701 12.nm
yx
13. 9 14. 1 15. 1 16. 243
17. 22n 18. 1.510 6 19. 1 20. x
๗๘
แบบฝกหดท 2
1. จงหาเซตคาตอบตอไปน
1.1 6 = xx34
1.2 2x1x4 = 3x
2. คาของ y จากสมการ 5y232y5y22y = 7 2 มคา
เทาใด จงแสดงวธทา
3. จงแกสมการ xx
xx
11
= 26
1
4. จงหาผลบวกของสมาชกในเซต A = {x R | 2x2 +3 = 7x+3 7x7x2 2 }
5. จงหาคา x จาก 8x5x 2 + 4x5x 2 = 2
6. ถา a เปนคาตอบของสมการ จงหาคาของ
24x8x328x8x4 22 = x+2
7. จงหาคา x จาก 311x3 2 = 0
8. ถา s = {x R | 2x2 - 6x+11+2 5x3x 2 = 25} แลวผลบวกของสมาชกใน s มคาเทาใด
จงแสดงวธทา
9. 11x2x = 0 จงหาคา x
10. จงหาเซตคาตอบของสมการ 55 21x2)3x2()2x( - 3 = 0
จงหาคาตอบของสมการตอไปน
11. x 3
4
- 5x 3
2
+ 4 = 0
๗๙
12. 6x n2
1
- x n
1
- 8 = 0
13. x3
2
- x3
1
- 20 = 0
14. x4
1
- 8x 41
= 2
15. 2 2
x
+ 2 2x
= 2
16. 32x +3x+1 = 4
17. 6· 25x + 11· 23x - 3· 2x = 25x+1
18. 4· 32x + 9· 22x = 13·6x
19. xx
= x
20. 2x+1 + 2x+2 +2x+3 = 8
7
เฉลยแบบฝกหดท 2
1.1 4 1.2 6
2. 15 3. 13
4 หรอ
13
9 4.
29
หรอ -1
5. 1 หรอ 4 6. 2 7. 4 8. 3
9. ไมมค าตอบ 10. -2 , 242 11. 1 , 8 12. 16n , 4n
13. -64 หรอ 125 14. 256 15. 0 16. 0
17. -1 18. 0 หรอ 2 19. 4
1 20. -4
๘๐
องคความรวชาคณตศาสตรในการดาเนนการ จดการเรยนร งป.๕๔
เรอง “ฟงกชนเอกซโปเนนเชยล” ชนปท ๓
กองวชาคณตศาสตร สวนการศกษา โรงเรยนเตรยมทหาร
ชอองคความร
เอกซโปเนนเชยล ศกษาบทนยาม การเขยนกราฟ และสามารถบอกฟงกชนเพมหรอฟงกชนลดได
วตถประสงค
๑๖. พฒนาองคความรของนตท. ทมผลระดบคะแนนทต า
๑๗. เพมทกษะในการแกโจทยปญหาทางคณตศาสตร
๑๘. สงเสรมเจตคตทดในกลมสาระวชาคณตศาสตร
หลกการและแนวทางในการดาเนนการสอน
๑๕. กาหนดขอบเขตองคความรทนตท. ตองผานการประเมน
๑๖. ประเมนความรเดมในเนอหาเลขยกกาลง
๓. เชอมโยงองคความรเรองฟงกชนเอกซโปเนนเชยล กบการแกโจทยปญหา
๔. อาจารยอธบายเนอหาในสวนท นตท.ไมเขาใจ อยางละเอยด
๕. อาจารยสอนเนอหาฟงกชนเอกซโปเนนเชยล โดยเนนการแกโจทยปญหาเปนหลก
๖. อาจารยใหนตท. ทาแบบฝกหดดวยตนเอง
วธดาเนนการ
ทาการสอนวนพธท ๑๐ สงหาคม ๒๕๕๔ เวลา ๑๙๓๐ – ๒๑๓๐ น
การประเมนผล
ประเมนองคความรดวยโจทยปญหา
แหลงอางอง
๑. เอกสารประกอบการเรยนรการสอนซอมเสรม
๒. แบบเรยนวชาคณตศาสตรเรองฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม
ภาคผนวก
๑๑. ใบงาน
๑๒. แบบฝกหดเรองฟงกชนเอกซโพเนนเชยล
รายละเอยดหลกการและแนวทางในการดาเนนการสอน
๑. ขอบเขตองคความรท นตท. ตองผานการประเมน ประกอบดวย
๑. นตท. สามารถบอกนยามของฟงกชนเอกซโปเนนเชยลได
๒. นตท. สามารถเขยนกราฟของฟงกชนเอกซโปเนนเชยลได
๓. นตท. สามารถบอกไดวาฟงกชนใดเปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลด
๘๑
๒. ประเมนความรเดมในเรองเลขยกกาลง
๑. การหาคาของเลขยกกาลง
3
2
1
0
1
2
3
2222222
3
2
1
0
1
2
3
3333333
3
2
1
0
1
2
3
4444444
๒. การเขยนกราฟ
จงเขยนกราฟของ
y = 2x + 1 y = x
x
y
y = 3-2x y = -2x+3
x
y
x
y
x
y
๘๒
เฉลย ประเมนความรเดมในเรองเลขยกกาลง
๑. การหาคาของเลขยกกาลง
3
2
1
0
1
2
3
128124122
2 12 22 42 8
3
2
1
0
1
2
3
1327139133
3 13 33 93 27
3
2
1
0
1
2
3
146414
16144
4 14 44 164 64
๒. การเขยนกราฟ
จงเขยนกราฟของ
y = 2x + 1 y = x
x -2 -1 0 1 2
y -3 -1 1 3 5
y = 3-2x y = -2x+1
x -2 -1 0 1 2
y 7 5 3 1 -1
x -2 -1 0 1 2
y -2 -1 0 1 2
x -2 -1 0 1 2
y 5 3 1 -1 -3
๘๓
๓. เชอมโยงองคความรเรองเลขยกกาลงและการเขยนกราฟ
๑. ทาการยกตวอยางเลขยกกาลง คอ
เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตม
นยาม an = a• a• a•…•a เมอ a ε R และ n ε I+
เรยก an วา เลขยกกาลง
เรยก a วา ฐานของเลขยกกาลง
เรยก n วา เลขช ก าลง
เชน 24 = 2• 2• 2•2
เรยก 24 วา เลขยกกาลง
เรยก 2 วา ฐานของเลขยกกาลง
เรยก 4 วา เลขช ก าลง
๒. การเขยนกราฟ
กราฟเสนตรง y = mx + c เมอ m คอ ความชน และ c คอ คาคงท
เชน y = 2x + 1
ข นตอนการวาดกราฟ คอ
๑. แทนคา x เพอหาคา y ในสมการ y = 2x + 1 เพอหาคอ นดบ 5 ค โดยกาหนดคา x เปน 0 และ
จานวนเตมทใกลเคยง 0 เชน 1 , 2 , -1 ,-2 เปนตน ดงตาราง
๒. ค านวณคา y จากคา x ในข นตอนท ๑ ดงน
เมอ x = -2 จะได y = 2(-2) + 1 = -3
x = -1 จะได y = 2(-1) + 1 = -1
x = 0 จะได y = 2(0) + 1 = 1
x = 1 จะได y = 2(1) + 1 = 3
x = 2 จะได y = 2(2) + 1 = 5
x -2 -1 0 1 2
y
n ตว
4 ตว
๘๔
จะไดคาดงตาราง
๓. จะไดจดทจะนาไปลงบนกราฟได 5 จด คอ (-2,-3) , (-1,-1) , (0,1) , (1,3) และ (2,5)
๔. นาจดท ง 5 จด ทไดในข นตอนท ๓ ไปลงจดบนกราฟ ดงรป
๕. ทาการเชอมจดเปนเสนตรง ดงรป
x -2 -1 0 1 2
y -3 -1 1 3 5
y =2x + 1
๘๕
๔. อาจารยอธบายเนอหาในสวนท นตท.ไมเขาใจ อยางละเอยดโดยมแผนการสอนดงน
การเขยนกราฟฟงกชนเอกซโปเนนเชยล
ในการเขยนกราฟของฟงกชนเอกซโปเนนเชยล จะเรมดวยการสรางตารางคาของฟงกชน เมอ
กาหนดคา x จ านวนหนง (สวนมากจะกาหนด 5 คา) เชน xy 2 โดยมวธการดงน
๑. ก าหนดคา x จ านวน 5 คา ดงตาราง
๒. แทนคา x ท ง 5 คาในสมการ เพอหาคา y ดงน
เมอ x = -2 จะได 2 1y 24
x = -1 จะได 1 1y 22
x = 0 จะได 0y 2 1
x = 1 จะได 1y 2 2
x = 2 จะได 2y 2 4
๓. นาคา y ทไดไปเขยนในตาราง
๔. คา x และ y ทไดท ง 5 ค คอพกดจดบนกราฟของฟงกชนเอกซโปเนนเชยลท ง 5 จด คอ (-2 ,
14
) , (-1, 12
) , (0,1) , (1,2) และ (2,4)
x -2 -1 0 1 2
y
x -2 -1 0 1 2
y 14
12
1 2 4
๘๖
๕. นาจดท ง 5 จดไปเขยนลงบนกราฟ ดงรป
๖. จากน นทาการลากเสนผานจดท ง 5 จด เปนเสนโคง โดยทเสนโคงไมตดแกน x เนองจาก x2 0 เสมอ ดงรป
๘๗
x
๕. อาจารยสอนเนอหาฟงกชนเอกซโปเนนเชยลโดยมแผนการสอนดงน
เนอหา
ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล
เราจะพจารณาเรองเลขยกกาลงทมเลขช ก าลงเปนจานวนจรง และเพอชวยใหสามารถเขาใจไดด
ข นลองพจารณากราฟของฟงกชน xy 2 เมอ x เปนจานวนตรรกยะ
จะเหนวา กราฟ xy 2 เมอ x มคาเพมข น คาของ y จะเพมข นเรวมาก
ฟงกชน xy 2 เปนตวอยางหนงของฟงกชนทมชอวา ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล ซงมนยาม
ดงน
นยาม ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล คอฟงกชน
( , ) | , 0, 1xf x y R R y a a a
ขอสงเกต ๑. xy 1 เปนฟงกชนคงตว เพราะวา 11 x ไมเรยกฟงกชนน วา ฟงกชนเอกซโพเนน
เชยล
๒. โดเมนของฟงกชนเอกซโพเนนเชยลคอ R
x -2 -1 0 1 2
y 14
12
1 2 4
y
๘๘
x
ตวอยาง กราฟของฟงกชน xy 3
จากกราฟจะพบวา เมอคาของ x เปลยนจากนอยไปมากบนแกน x จด ( x, x3 ) จะเปลยนตาแหนง
ควบคตามไปดวย โดยทคาของ x3 เปลยนจากนอยไปมากอยางตอเนองกน เสนกราฟของฟงกชน xy 3 จะเปนกราฟเสนเดยวไมขาดตอน นอกจากนจะเหนวาคาของ x3 เพมเรวมากเมอ x มคาเปน
จานวนบวกมากข น และจะคอยๆ ลดลงเขาใกลศนยเมอ x เปนจานวนลบและนอยลงเรอย ๆ ดวย
เหตน เรนจของฟงกชน xy 3 จงเปนชวงเปด ,0 หรอ R และเนองจากเมอ x มคาเพมข น
จะไดคา y เพมข น ฟงกชน xy 3 จงเปนฟงกชนเพมในโดเมนของฟงกชนซงเปนเซตของจานวน
จรง
x -2 -1 0 1 2
y 19
13
1 3 9
y
๘๙
x
ตวอยาง จงเขยนกราฟของฟงกชน xy )31(
เมอพจารณากราฟทได เมอ x มคาเพมข น y จะมคาลดลง ฟงกชน xy )31( จงเปนฟงกชนลด
ในโดเมนของฟงกชนซงคอเซตของจานวนจรง ในกรณนกจะเรยก xy )31( เปนฟงกชนลด
ขอสงเกต
๑) กราฟของฟงกชน xay , 0a และ 1a จะผานจด (0,1) เสมอ ท งน เพราะ 10 a
๒) ถา 0a แลว xay เปนฟงกชนเพม และกราฟ xay ไมแดแกน x แตเขาใกล
เสนตรง 0y เมอ x มคาลดลงโดยไมมขอบเขต ในกรณนกลาวไดวา เสนตรง 0y หรอ
แกน x เปนเสนกากบแนวนอน
ถา 10 a แลว xay เปนฟงกชนลด และกราฟ xay ไมตดแกน x แตเขาใกลเสนตรง
0y เมอ x มคาเพมข นโดยไมมขอบเขต ในกรณเชนน กลาวไดวา เสนตรง 0y หรอแกน x
เปนเสนกากบ แนวนอน
๓) ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลเปนฟงกชน 1 – 1 จาก R ไปท วถง R+
๔) โดยสมบตของฟงกชน 1 – 1 จะไดวา yx aa กตอเมอ x = y
y
๙๐
กจกรรม
ขนนา
๑. ครยกตวอยางฟงกชนพชคณต ดงน
y = 2x +1
y = x 2
แลวถามนกเรยนวาฟงกชนเหลาน เราเรยกวาอะไร
๒. นกเรยนชวยกนตอบคาถามข นนาท 1
๓. ครเขยนตวอยางบนกระดาน
y = x 2
y = ( 5 ) x
y = ( 31
) x
ถามนกเรยนวาแลวฟงกชนน เรยกวาอะไร
๔. นกเรยนชวยกนตอบแลวถามวานกเรยนสงเกตขอแตกตางระหวางฟงกชน 2 กลมไดอยางไร
ขนสอน
1. ครวาดรปท 1. ในบทนยามของฟงกชนเอกซโปเนนเชยล พรอมท งยกตวอยางท 1
2. ครถามนกเรยนวาทาไมในบทนยามของฟงกชนเอกซโพเนนเชยลตองมฐาน( a )
3. นกเรยนชวยกนตอบ
4. เขยนรปท 2 เนอหาเปนการสรปขอสงเกตในข นนา
5. ครยกตวอยางท 2 ใหนกเรยนชวยเขยนกราฟโดยเรยกนกเรยนทละคนชวยหาคาฟงกชนคา y
ทละตว ตามทกาหนดให เมอครบทกคาตวเปน x ใหนกเรยนกลบไปดทนยาม ฟงกชนเอกซ
โพเนนเชยลซงจะเหนวาเปนเซตของคอ นดบคา x , y ใหนกเรยนลงจดของกราฟ
6. ครยกตวอยางท 3 และมกจกรรมเหมอนข นสอนท 5
7. ครใหนกเรยนสงเกตตวอยางท 2 และ 3 ทละตวอยางดงน ถา x มคาเพมข นเรอยๆคา y แตละ
ตวเปนอยางไร
8. นกเรยนชวยกนสรปขอสงเกตดงกลาวและครบอกวาฟงกชนใดคอ ฟงกชนเพม
9. ครเขยนสรปโดยนกเรยนชวยกนบอก
10. จากตวอยางท 1 ครถามนกเรยนวาฟงกชนเปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลด
๙๑
ขนสรป
๑. ครใหนตท.ชวยกนสรปฟงกชนเอกซโพเนนเชยลคณสมบตตาง ๆ
๒. นกเรยนชวยกนบอกลกษณะของกราฟฟงกชนเอกซโพเนนเชยลท งฟงกชนเพม
และฟงกชนลด
สอการสอน
๑. แบบเรยนเสรมคณตศาสตร
การวดและประเมนผล
การวดผล การประเมนผล
๑. การเรยกถามตอบ
๒. ตรวจแบบฝกหดจากใน
แบบเรยน
๑. นตท. สามารถตอบคาถามไดถกตอง ๘๐% ข นไป
๒. นตท. สามารถทาแบบฝกหดในแบบเรยนเสรมได
ถกตองมากกวา ๑๒ ขอ จาก ๑๕ ขอ
๖. แบบฝกหด ดงน
แบบฝกหดท ๑
จงเขยนกราฟของฟ งกช นตอไปน
1) xy 5 2) x
y
21
๙๒
3) xy 3 4) x
y
43
5) x
y
34
6) x
y
43
แบบฝกหดท ๒
จงพจารณาวาฟ งกช นตอไปนเปนฟ งกช นเพมหรอฟ งกช นลด
1) xy 4
2) xy 5
3) xy 7
4) x
y
32
5) x
y
23
๙๓
6) x
y
54
7) x
y
45
8) x
y2
21
9) 2
94
x
y
เฉลยแบบฝกหดท ๑
1) xy 5 2) x
y
21
3) xy 3 4) x
y
43
๙๔
5) x
y
34
6) x
y
43
เฉลยแบบฝกหดท ๒
1) เพม
2) ลด
3) เพม
4) ลด
5) เพม
6) เพม
7) ลด
8) ลด
9) ลด
Recommended