View
3
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1.2.3 วธเรยงสบเปลยนเชงวงกลม
วธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมแบบพลกไมได ถามสงของทแตกตางกนจ านวน n สง วธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมของสงของทงหมดแบบพลกไมได ท าไดโดยการใหสงใดสงหนงอยคงท สงของทเหลอ n – 1 สง ใหจดเรยงแบบเชงเสน ซงจะได ( 1) !n - วธ นนคอ จ านวนวธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมแบบพลกไมไดเทากบ ( 1) !n - วธ
ตวอยาง 1.2.17 จดนกเรยน 10 คน ใหนงรอบโตะกลม ซงม 10 ทนง ท าไดกวธ วธท า
ตวอยาง 1.2.18 มนสตชาย 6 คน และนสตหญง 6 คน ตองการจดคนทงหมดใหนงรอบโตะกลม ซงม 12 ทนง โดยทนสตชายกบนสตหญงตองนงสลบกน จะมวธจดทงหมดกวธ
วธท า
ตวอยาง 1.2.19 มนสตชาย 5 คน และนสตหญง 4 คน ตองการจดคนทง 9 คน ยนเปนวงกลม โดยไมมนสตสองคนใดเลยยนตดกน จะมวธจดทงหมดกวธ
วธท า
Note:
ตวอยาง 1.2.20 มคน 8 คน ในจ านวนนมมนส สมภพ และวชญา รวมอยดวย ถาใหคนทงหมดนงรอบโตะกลมตวหนง จะมวธการนงกวธ เมอ
1) มนส สมภพ วชญา นงตดกนเสมอ
2) มนส สมภพ วชญา นงแยกกนเสมอ
3) มนส นงตดกบสมภพ แตไมนงตดกบวชญา วธท า
วธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมแบบพลกได ถามสงของทแตกตางกนจ านวน n สง วธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมของสงของทงหมดแบบพลกได
เทากบ ( 1) !
2
n - วธ
ตวอยาง 1.2.21 รอยกญแจ 7 ดอกทแตกตางกนเขาพวงกญแจ จะมวธรอยทแตกตางกนทงหมดกวธ วธท า
ตวอยาง 1.2.22 ในการรอยพวงมาลยเปนวงกลมพวงหนง ใชดอกไม 9 ดอก แตละดอกไมเหมอนกน และมสขาว 2 ดอก สแดง 3 ดอก ทเหลอมสไมซ ากน อยากทราบวา จะไดพวงมาลยทแตกตางกนกแบบ เมอ
1) ไมมเงอนไขอนเพมเตม 2) สขาวอยตดกน และสแดงอยตดกน วธท า
แบบฝกหด 1.2 ข 1. ตวอกษรทเปนสระในภาษาองกฤษ อยางละ 1 ตว น ามาเรยงสบเปลยนเชงวงกลมไดกวธ เมอ
1) เปนแบบพลกไมได 2) เปนแบบพลกได
2. ในการประชมตวแทนประเทศ ซงประกอบดวย ไทย มาเลเซย สงคโปร อนโดนเซย และฟลปปนส แตละประเทศสงตวแทนเขาประชมประเทศละ 2 คน และในการประชมใหจดทนงเปนวงกลม จะมวธการจดทนงของผแทนชาตตางๆ ไดกวธ เมอตวแทนชาตเดยวกนใหนงตดกน
3. มคน 7 คน ในจ านวนนมสมศกด สมคด และสมชายอยดวย ถาใหคนทงหมดนงบนมานง 7 ตว จะมวธการนงกวธ เมอไมตองการใหสมศกด หรอสมคด นงตดกบสมชาย และ
1) มานงทง 7 ตว วางเรยงเปนแถวยาว 2) มานงทง 7 ตว วางเรยงเปนวงกลม
4. มครอบครว 4 ครอบครว แตละครอบครวประกอบดวย พอ แม และลก 2 คน ถาใหคนทงหมดมานงรอบโตะกลมตวหนง จะมวธการนงทงหมดกวธ เมอ
1) สมาชกในครอบครวเดยวกนอยตดกน
2) สมาชกในครอบครวเดยวกนอยตดกน และพอแมนงตดกน
3) สมาชกในครอบครวเดยวกนอยตดกน โดยมพอแมนงตรงกลาง
5. มเดก 8 คน ในจ านวนนมเดกชาย 3 คน ถาครน าเดกทงหมดมานงลอมรอบเปนวงกลมวงหนง จะมวธการนงทงหมดกวธ เมอ
1) เดกชายทงสามคนนงตดกน 2) เดกชายทงสามคนนงแยกกน 3) เดกหญงนงตดกนทกคน
6. มหนงสอคณตศาสตรทเหมอนกน 4 เลม หนงสอฟสกสทตางกน 3 เลม และหนงสอเคมทตางกน 2 เลม ตองการจดหนงสอทงหมดเปนวงกลม จะมวธการจดกวธ เมอ
1) หนงสอวชาเดยวกนอยตดกน 2) ตองการใหหนงสอคณตศาสตรอยตดกนทง 4 เลม แตหนงสอเคมอยแยกกน
7. มลกปดสแตกตางกนจ านวน 8 ลก ในจ านวนนมสฟาและสเขยวรวมอยดวย ถาน าลกปดเหลานทงหมดมารอยเปนก าไลขอมอ จะไดก าไลทแตกตางกนทงหมดกวง เมอ
1) สฟาอยตดกบสเขยว
2) สฟาอยตรงขามกบสเขยว
3) สฟาไมอยตดกบสเขยว
8. มแทงไมรปปรซม มฐานและดานบนเปนรปสามเหลยมดานเทา (ดงรป) มสทแตกตางกน 5 ส ตองการทาสดานขาง ดานฐาน และดานบนของแทงไมน ดานละส ไมซ ากน จะมวธการทาสทงหมดกวธ
1.3 วธจดหม (Combination)
การหาจ านวนวธจดหมของ n สงทแตกตางกนและน ามาจดหมคราวละ r สง ( nr 0 ) ถามสงของทตางกนทงหมด n สง น ามาจดหม โดยเลอกคราวละ r สง ( nr 0 ) จะมวธจดหมได
ทงหมด !
( ) ! !
n
n r r- วธ
จ านวนวธจดหมของสงของคราวละ r สง จากสงของทแตกตางกน n เขยนแทนดวยสญลกษณ n
rC
หรอ n rC หรอ
,n rC หรอ ( )
n
r (ในทนจะใชสญลกษณ
,n rC และ ( )
n
r)
นนคอ ,
!
( ) ! !( )n r
n nC
r n r r= =
-
ตวอยาง 1.3.1 มหนงสอนวนยายทนาอานอย 10 เลม ถาอนญาตใหนกเรยนคนหนงๆ ยมไดคราวละ 3 เลม นกเรยนคนหนงจะมวธยมหนงสอนวนยายทตางกนกวธ วธท า ตวอยาง 1.3.2 บาสเกตบอลหนงทมจะมผเลน 5 คน จงหาจ านวนวธทจะจดทมบาสเกตบอลจากนกกฬา
บาสเกตบอลจ านวน 11 คน วธท า
สงทนาสนใจ
1. ,
, !
n r
n r
PC
r=
2. , ,n r n n r
C C-
= หรอ ( ) ( )n n
r n r=
-
3. 1 1( ) ( )n n
nn
= =-
4. 10( ) ( )n n
n= =
ตวอยาง 1.3.3 หนวยงานแหงหนงตองการรบสมครคนงานชาย 3 คน และคนงานหญง 2 คน ถามผชายมาสมคร 5 คน และมผหญงมาสมคร 4 คน จงหาจ านวนวธทหนวยงานแหงนนจะเลอกคนงานดงกลาวเขาท างานครบตามตองการ
วธท า
ตวอยาง 1.3.4 มจด 10 จดบนระนาบ โดยไมม 3 จดใดๆ อยบนเสนตรงเดยวกน 1) ถาลากเสนตอจดเหลาน จะลากไดทงหมดกเสน 2) ถาจดทง 10 จดนเปนจดยอดของรปสามเหลยมใดๆ ลากเสนตอจดจะเกดรปสามเหลยม กรป
วธท า
ตวอยาง 1.3.5 ลากเสนขนาน 4 เสนในแนวนอน ตดกบเสนขนาน 3 เสนซงลากในแนวตง จะท าใหเกดรปสเหลยมดานขนานไดกรป
วธท า
ตวอยาง 1.3.6 มกระถางตนไมทแตกตางกน 10 ใบ เมอเลอกกระถางตนไม 7 ใบ แลวน ามาวางเรยงเปนวงกลมรอบเสาธง จะมวธการจดไดตางกนทงหมดกวธ
วธท า
การหาจ านวนวธการแบงของ n สงทแตกตางกนออกเปนกลม
การแบงสงของ n สงทแตกตางกนออกเปน k กลม กลมละ 1
n สง, 2
n สง, 3
n สง, ..., k
n สง
เมอ knnnn 321 (แตละกลมไมเทากน) จะแบงได !!!
!
21 knnn
n
วธ
เมอ 1 2 3
...k
n n n n= = = = (แตละกลมเทากน) จะแบงได !!!!
!
21 knnn
n
k วธ
ตวอยาง 1.3.7 ในการแขงขนแบดมนตนประเภทเยาวชนเดยวอายไมเกน 18 ป มผสมครเขาแขงขนทงหมด 10 คน โดยการแขงขนในรอบแรกจะตองพบกนหมด ถามวา คณะผจดการแขงขนจะจดไดทงสนกวธ
วธท า
ตวอยาง 1.3.8 มนกเรยนทงหมด 10 คน ตองการแบงนกเรยน 10 คนนออกเปน 3 กลม โดยมกลมละ 3 คน อย 2 กลม และอกกลมหนงม 4 คน จะแบงไดกวธ
วธท า
ตวอยาง 1.3.9 จงหาจ านวนวธทจะแบงคน 10 คน ใหเขาพกบานหลงหนงซงม 3 หองนอน คอ หองหนงจได 4 คน สวนอกสองหองจไดหองละ 3 คน
วธท า
ตวอยาง 1.3.10 จงหาจ านวนวธทจะจดคน 10 คน เขาพกบานหลงหนงซงม 2 หองนอน ซงหองหนงจได 6 คน และอกหองหนงจได 5 คน
วธท า
แบบฝกหด 1.3 1. จงหาคาของ n จากสมการตอไปน
1) ,3 ,4
5 24n n
P C× = × 2) ,2 2, 3
4n n
C C+
× =
3) 245( )
n
n
+= 4)
12 8( ) ( )n n
=
2. ถา ,
3, 024n r
P = และ ,
126n r
C = แลว
1) 10
1( )r + 2) 9
1( )r -
3. ถา 18 18
2( ) ( )r r=
+ แลว จงหา
1) ,5r
C 2) 1, 3r
P+
4. กลองใบหนงมลกบอลทแตกตางกน 11 ลก เปนสแดง 5 ลก สขาว 3 ลก และสน าเงน 3 ลก ถาตองการหยบลกบอลออกมา 3 ลก จงหาจ านวนวธการหยบ เมอ
1) ไดครบทกส 2) ไดสแดงอยางนอย 1 ลก 3) ไดสน าเงนอยางนอย 1 ลก แตไมไดสขาว
5. มโจทยคณตศาสตร จ านวน 10 ขอ นายแดงตองการท าขอสอบชดนใหครบ 7 ขอ นายแดงจะมวธเลอกขอสอบทงหมดกวธ เมอ
1) เลอกท า 2 ขอ จาก 3 ขอแรก ทเหลอเลอกจากขอสอบ 7 ขอหลง 2) ตองท า 2 ขอแรก 3) ตองท าอยางนอย 2 ขอ จาก 3 ขอแรก และท าอยางนอย 1 ขอ จาก 2 ขอหลง
6. มจดในระนาบจ านวน 10 จด ในจ านวนนมจด A และ B รวมอยดวย และไมมสามจดใดอยบนเสนตรงเดยวกน จงหาจ านวนรป
1) สามเหลยมซงม A เปนจดมมจดหนง 2) สามเหลยมซงไมม A เปนจดมม 3) สามเหลยมซงม A หรอ B เปนจดมม
7. ในการเลอกตงผแทนราษฎรของจงหวดหนง ซงมผแทนได 3 คน ปรากฏวามพรรคการเมองสงผสมคร 6 พรรค โดยม 3 พรรคเทานนทสงผสมครครบ 3 คน สวนอก 3 พรรค สงผสมครเพยงพรรคละ 2 คน จงหาจ านวนวธเลอกผแทนทง 3 คน โดยทอยตางพรรคกนทง 3 คน
8. ไพส ารบหนงม 52 ใบ แบงเปน 4 ชด (โพด า โพแดง ดอกจก ขาวหลามตด) แตละชดม 13 แตม จงหาจ านวนวธการหยบไพตามเงอนไขตอไปน
1) หยบไพ 4 ใบ โดยไดไพครบทกชด 2) หยบไพ 3 ใบ ไมซ าชดกนเลย 3) หยบไพ 3 ใบ แตมไมซ ากนเลย 4) หยบไพ 4 ใบ ซงไดไพ 2 ชด
9. มตวอกษรภาษาองกฤษทแตกตางกน 10 ตว ในจ านวนนเปนสระ 4 ตว ถาตองการน าตวอกษรเหลานมาสรางค า ซงไมจ าเปนตองมความหมาย ประกอบดวยตวอกษร 6 ตวไมซ ากน จะสรางไดทงหมดกค า เมอ
1) มจ านวนพยญชนะและสระเทากน 2) มจ านวนพยญชนะมากกวาจ านวนสระ 3) มสระ 2 ตว และสระทงสองตวอยแยกจากกน
10. นกเรยนกลมหนงจ านวน 10 คน ในจ านวนนมมานะ ปต และวระ รวมอยดวย ถาตองการน านกเรยนมา 7 คน เพอนงบนเกาอ 7 ตว จะมวธการนงทงหมดกวธ เมอตองการใหในจ านวน 7 คนนน มมานะ ปต และวระรวมอยดวย และคนสามคนนนงตดกนเพยง 2 คน โดยท
1) เกาอวางเรยงเปนแถวยาว 2) เกาอวางเรยงเปนวงกลม
11. ในการสมภาษณผสมครเขาท างานของส านกงานแหงหนง มผสมครชาย 5 คน หญง 5 คน ถาผสมภาษณตดสนใจเรยกผสมครมาสมภาษณเพยง 5 คน โดยเลอกชาย 3 คน หญง 2 คน จากผสมครทงหมดอยางสม เขาจะมวธจดล าดบของการเขาสอบของผสมครทง 5 คนไดกวธ โดยให
1) ผสมครทเปนชายจะเขาสอบตดตอกนทเดยวทงสามคนไมได
๒) ผสมครทเปนหญงจะเขาสอบตดตอกนทเดยวทงสองคนไมได ๓) ผสมครทเปนชายและหญงไดเขาสอบสลบกนทละคน
12. มผชาย 6 คน และผหญง 6 คน ในจ านวนนมสามภรรยา 1 ค ถาเลอกผชาย 4 คน และผหญง 4 คน จากคนทงหมดน เพอไปนงรอบโตะกลมตวหนง จะมวธการนงกวธ เมอ
๑) ชายและหญงนงสลบกนทละคน ๒) ผหญงทกคนนงแยกจากกน ๓) ผหญงทกคนนงตดกน
13. นกกฬาเทนนส 9 คน ถกแบงเปน 3 กลม กลมละ 3 คน เพอไปแขงทสหรฐอเมรกา องกฤษ และฝรงเศส จะแบงไดกวธ
14. นกเรยน 7 คน เขาหองพก 3 หอง ซงมขนาด 3, 2, 2 คน แตละหองถอวาตางกน จะจดไดกวธ 15. นกเรยนหองหนงจ านวน 30 คน ในจ านวนนมพนองฝาแฝดอย 1 ค ตองการเลอกกรรมการหอง 4
ต าแหนงตางๆ กน ต าแหนงละหนงคน โดยทฝาแฝดผพบอกวาถาเขาไดรบเปนกรรมการหอง ฝาแฝดผนองตองไดรบเปนกรรมการดวย และถาเขาไมไดรบเปนกรรมการ ฝาแฝดผนองกตองไมไดรบเปนกรรมการดวย เมอเปนเชนนจะมวธการเลอกกรรมการหองไดกวธ
16. มลกอมทเหมอนกน 9 เมด ตองการแบงใหเดก 3 คน ตามเงอนไขตอไปน จะไดกวธ 1) ทกคนตองไดรบ (อยางนอยคนละ 1 เมด) 2) บางคนอาจจะไมไดรบ
1.4 ทฤษฎบททวนาม (Binomial Theorem)
ทฤษฎบททวนาม ถา x และ y เปนจ านวนจรง และ n เปนจ านวนเตมบวก แลว
1( ) ... ...0 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n r r nn n n n
x y x x y x y yr n
- -+ = + + + + +
Note:
*
จ านวน , , , ..., , ...,0 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n
r n ทเปนสมประสทธของแตละพจนในการกระจาย
( )nx y+ เรยกวา สมประสทธทวนาม ในการกระจาย ( )nx y+ เมอ {0,1,2, ...}n Î สมประสทธของแตละพจนแสดงไดดงน การกระจาย สมประสทธ
0( )x y+ 0
0( )
1( )x y+ 1
0( ) 1
1( )
2( )x y+ 2
0( ) 2
1( ) 2
2( )
3( )x y+ 3
0( ) 3
1( ) 3
2( ) 3
3( )
4( )x y+ 4
0( ) 4
1( ) 4
2( ) 4
3( ) 4
4( )
การเรยงสมประสทธขางตน เรยกวา สามเหลยมปาสคาล (Pascal’s triangle)
ตวอยาง ๑.๔.๑ จงกระจาย 4( 3 )x y+ โดยใชทฤษฎบททวนาม วธท า
แลวสามเหลยมปาสคาลมสงทนาสนใจเพมเตมมากกวานอกไหมนะ
ขอสงเกต เมอ n เปนจ านวนเตมบวก จะพบขอสงเกตจากการกระจาย ( )nx y+ ดงน 1. จ านวนพจนทไดจากการกระจายเทากบ n + 1 พจน
2. พจนแรกอาจเขยนไดวา 0
0( ) nn
x y และพจนสดทายอาจเขยนไดวา 0( ) nn
x yn
3. เลขชก าลงของ x ในแตละพจน จะเรมจากก าลง n และลดลงทละ 1 จนกระทงพจนสดทายจะเปนก าลง 0
4. เลขชก าลงของ y ในแตละพจน จะเรมจากก าลง 0 และเพมขนทละ 1 จนกระทงพจนสดทายจะเปนก าลง n
๕. ในแตละพจนของการกระจาย ผลบวกของเลขชก าลงของ x และ y จะเทากบ
n เสมอ
ตวอยาง 1.4.2 จงกระจาย 2 6(3 2 )a b+ โดยใชทฤษฎบททวนาม วธท า
ตวอยาง 1.4.3 จงกระจาย 3 5( 3 )m n- โดยใชทฤษฎบททวนาม วธท า
ตวอยาง 1.4.4 จงกระจาย 6 6( ) ( )x y x y+ + - โดยใชทฤษฎบททวนาม วธท า
ตวอยาง 1.4.5 จงกระจายและท าใหเปนผลส าเรจ 1) 4 4( ) ( )x y x y+ + -
2) 5 5( ) ( )x y x y+ + -
3) 6 6( ) ( )x y x y+ - -
4) 7 7( ) ( )x y x y+ - -
วธท า
จากตวอยาง ๑.๔.๔ พบวา หลงจากการกระจาย และท าใหเปนผลส าเรจของ ( ) ( )n nx y x y+ + - แลวจะไดผลลพธเทากบสองเทาของผลบวกของพจนทอยในต าแหนงเลขคของการกระจาย ( )nx y+ เทานน
ในท านองเดยวกน ( ) ( )n nx y x y+ - - จะไดผลลพธเทากบสองเทาของผลบวกของพจนทอยในต าแหนงเลขคของการกระจาย ( )nx y+
ในบางครง เราตองการพจนใดพจนหนง เพยงพจนเดยวซงไดจากการกระจาย ( )nx y+ เราไมจ าเปน ตองกระจายกอน แลวจงคอยหาพจนทตองการ เพราะจะท าใหเสยเวลา เรามวธการหาพจนเดยวทตองการได ดงจะกลาวตอไปน
พจารณา 0 1 2 2 0( ) ...0 1 2( ) ( ) ( ) ( )n n n n nn n n n
x y x y x y x y x yn
- -+ = + + + +
พจนท 1 พจนท 2 พจนท 3 พจนท n + 1
ถาให r
T แทนพจนท r จะไดวา
( 1) 1
1( ) n r r
r
nT x y
r
- - -=-
หรอ 1 ( ) n r r
r
nT x y
r
-
+=
ตวอยาง 1.4.6 จงหาพจนท 7 จากการกระจาย 11(2 )x y- วธท า ตวอยาง 1.4.7 จงหาพจนกลางจากการกระจาย 8(2 3 )x y- วธท า
ตวอยาง 1.4.8 จงหาพจนท 9 จากการกระจาย 8
1
2
x
x
วธท า
ตวอยาง 1.4.9 จากการกระจาย 2 11( )p q- จงหา
1) พจนทมตวแปร 10p
2) พจนทมตวแปร 7q วธท า
ตวอยาง 1.4.10 จงหาพจนทไมมตวแปร x จากการกระจาย 9
2 1
xx
วธท า
ตวอยาง 1.4.11 จากการกระจาย 6
2
3
2
1
xx จงหา
1) สมประสทธทวนามของพจน 5x -
2) สมประสทธของพจน 5x - วธท า
ตวอยาง 1.4.12 จากการกระจาย 6(2 3 )x y+ จงหา
1) ผลบวกของสมประสทธทวนามของทกพจน 2) ผลบวกของสมประสทธของทกพจน
วธท า
ตวอยาง 1.4.13 จากการกระจายและท าใหเปนผลส าเรจของ 2 3 4 5(2 ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 )x x x x x- + - + - + - + -
จงหา
1) สมประสทธของพจน x
2) สมประสทธของพจน 3
2x วธท า
Recommended