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TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.11 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
J.
M. P
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r J.
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Bor
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ez B
asco
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Bas
cone
s
ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Análisis DinámicoAnálisis Dinámico� Definición
��La Dinámica es la rama de la Mecánica que se ocupa La Dinámica es la rama de la Mecánica que se ocupa del estudio del movimiento, considerando las causas del estudio del movimiento, considerando las causas que lo producen y sus efectosque lo producen y sus efectos.
� PROBLEMAS DINÁMICOS:�Posición de equilibrio estable.�Dinámica directa o simulación dinámica.�Dinámica inversa.�Linealización de las ecuaciones del movimiento.
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.22 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
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ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Posición de Equilibrio Posición de Equilibrio EstableEstable
� OBJETIVO:��Obtención de la posición de equilibrio del mecanismo Obtención de la posición de equilibrio del mecanismo
sometido a la acción de un conjunto de solicitaciones sometido a la acción de un conjunto de solicitaciones exterioresexteriores.
� PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:�Incógnitas: Vector de coordenadas dependientes q.�Datos: Datos inerciales y geométricos del mecanismo.
Solicitaciones exteriores.Aproximación inicial del vector de coordenadas.
� OBSERVACIONES:�Se trata de un problema no lineal ⇒ MÉTODOS ITERATIVOSMÉTODOS ITERATIVOS
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.33 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
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ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Simulación DinámicaSimulación Dinámica� OBJETIVO:
�� Determinar de la respuesta en el tiempo del mecanismo sometido aDeterminar de la respuesta en el tiempo del mecanismo sometido a la la acción de un conjunto de solicitaciones exteriores.acción de un conjunto de solicitaciones exteriores.
� PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:� Incógnitas: Respuesta en el tiempo del mecanismo (posiciones, velocidades,
aceleraciones, reacciones en los pares, etc.)� Datos: Datos inerciales y geométricos del mecanismo.
Solicitaciones exteriores.Condiciones iniciales de los grados de libertad.
� OBSERVACIONES:�� Requiere la solución de un sistema de ecuaciones diferencialesRequiere la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales.� Las coordenadascoordenadas que definen el mecanismo son dependientes.dependientes.
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.44 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
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ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Problema Dinámico Problema Dinámico InversoInverso
� OBJETIVO:��Obtención de los esfuerzos motores que originan un Obtención de los esfuerzos motores que originan un
movimiento dado en el mecanismo.movimiento dado en el mecanismo.
� PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:�Incógnitas: Esfuerzos motores que originan el movimiento.�Datos: Datos inerciales y geométricos del mecanismo.
Solicitaciones exteriores.Datos cinemáticos del movimiento.
� OBSERVACIONES:��Junto con los esfuerzos motores, es habitual el cálculo de las Junto con los esfuerzos motores, es habitual el cálculo de las
reacciones en los pares reacciones en los pares cinemáticoscinemáticos.
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.55 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
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ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Péndulo Simple (I)Péndulo Simple (I)
� Diagrama del péndulo � Diagrama de sólido libre
θ x
y
m
Rx
Ry
xm &&
mgym +&&
θ
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.66 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
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ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Péndulo Simple (II)Péndulo Simple (II)
� Ecs. de equilibrio dinámico � Cinemática∑ −== xmRF xx
&&0
mgymRF yy −−==∑ &&0
( ) ( )∑ −−−−== xmgymyxmM o&&&&0
θθ
sen
cos
Ly
Lx
==
θθθθ&&
&&
cos
sen
Ly
Lx
=−=
2
2
sencos
cossen
θθθθθθθθ&&&&&
&&&&&
LLy
LLx
−=−−=
0cos2 =+ θθ mLgmL &&
0cos =+ θθL
g&&
� Sustituyendo las ecuaciones de la cinemática en las ecuaciones de equilibrio dinámico
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.77 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
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ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Péndulo Simple (III)Péndulo Simple (III)
� Función Lagrangiana � Cinemática
( )22
2
1yxmT && +=
mgyV =θθ
sen
cos
Ly
Lx
==
θθθθ&&
&&
cos
sen
Ly
Lx
=−=( ) mgyyxmVTL −+=−= 22
2
1&&
� Ecs. de Lagrange
θθ sen2
1 22 mgLmLL −= &
0=
∂∂−
∂∂
θθLL
dt
d&
0cos =+ θθL
g&&
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.88 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
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ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
BielaBiela--manivela (I)manivela (I)
� Diagrama del mecanismo � Diagramas de sólido libre
R1x
R1y
R2y
R2x
1xm &&
mgym +1&&
x
L L
y
A (0,0)C (s,0)
B (x,y)
m
θ
m m(x1,y1) (x2,y2)
R2x
R2y
R3y
2xm &&
mgym +2&&
sm &&
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.99 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
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ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
BielaBiela--manivela (II)manivela (II)� Ecuaciones de equilibrio dinámico
� Ecuaciones de cinemática
=======
xs
yy
xx
yy
xx
LyLx
2
2
23
2
2
sencos
2
2
1
1
θθ
( )( )
=+−−+=+−−
=−−
0
0
0
112112
121
121
gymxxRxmyyR
gymRR
xmRR
yx
yy
xx
&&&&
&&
&&
( )( )
=+−+−=+−+
=−−
0
0
0
212212
232
22
gymxxRxmyyR
gymRR
smxmR
yx
yy
x
&&&&
&&
&&&&
=====
−=−−=
xs
yy
xx
yy
xx
LLyLLx
&&&&
&&&&
&&&&
&&&&
&&&&
&&&&&
&&&&&
2
2
23
2
2
sencos
cossen
2
2
1
1
2
2
θθθθθθθθ
======
−=
xs
yy
xx
yy
xx
LyLx
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&&
2
2
23
2
2
cos
sen
2
2
1
1
θθθθ
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.1010 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
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ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
BielaBiela--manivela (III)manivela (III)
� Operando en las ecuaciones de equilibrio dinámico
� Sustituyendo las ecuaciones de la cinemática en las ecuaciones de equilibrio dinámico
127 xmR x
&&=
( ) ( ) 0222112112
=++−−+ gyymxxxmyyR x&&&&&&&&
0213 =−− xmgyxmxym &&&&
( ) 0cos2cossen12sen12122 =+++ θθθθθθ
L
g&&&
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.1111 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
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ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
BielaBiela--manivela (IV)manivela (IV)
� Función Lagrangiana
� Ecuaciones de Lagrange
� Cinemática
=
+=
θθθθ
sen
sen34
1 22222
mgLV
mLmLT &&
0=
∂∂−
∂∂
θθLL
dt
d&
θθθθ sensen34
1 22222 mgLmLmLL −+= &&
( ) ( )
+=
++++=
21
22
2
2
2
2
1
2
12
1
2
1
2
1
mgymgyV
smyxmyxmT &&&&&
======
−=
xs
yy
xx
yy
xx
LyLx
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&&
2
2
23
2
2
cos
sen
2
2
1
1
θθθθ
( ) 0cos2cossen12sen12122 =+++ θθθθθθ
L
g&&&
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.1212 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
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ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Planteamiento del Planteamiento del problema dinámicoproblema dinámico
1. Definición del modelo matemático� Selección de las coordenadas
2. Resolución de la cinemática3. Planteamiento de las ecuaciones del movimiento
� Fuerzas de inercia� Fuerzas exteriores
4. Integración en el tiempo de las ecs. del movimiento� Ecuaciones diferenciales no lineales de 2º grado
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.1313 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
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ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Ecuaciones del Ecuaciones del Movimiento (I)Movimiento (I)
�� Ecuaciones de NewtonEcuaciones de Newton--EulerEuler:
� DIFICULTADES que plantean:� Conducen a grandes sistemas de ecuacionesgrandes sistemas de ecuaciones.� Incluyen entre las incógnitas las reacciones en los pares cinemáticos.
� En ciertos mecanismos, pueden aparecer más incógnitas que ecuaciones ⇒el problema puede no estar determinado.el problema puede no estar determinado.
( ) 0aF =−∑i
ii m
( ) 0ωJωωJN =×−−∑i
iGiiGi&
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.1414 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
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ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Ecuaciones del Ecuaciones del Movimiento (II)Movimiento (II)
� Ecuaciones de LAGRANGELAGRANGE:
� Principio de los TRABAJOS VIRTUALESTRABAJOS VIRTUALES:
� Principio de las POTENCIAS VIRTUALESPOTENCIAS VIRTUALES:
� Principio de HAMILTONHAMILTON:
� Otros: ecuaciones de Gibbs-Appell,...
ext
TLL
dt
dQλΦ
qqq =+
∂∂−
∂∂&
( ) 0QFq =−in
Tδ
( ) 0QFq =−in
T&~
( ) ( ) 0λΦq =++ ∫∫2
1
2
1
t
t
Tt
text dtdtWL δδ
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.1515 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
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ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Formulación NuméricaFormulación Numérica� Energía cinética:
matriz de masas�Posición del elemento
definida por dos puntos.
� Fuerzas exteriores: fuerzas generalizadas�Fuerzas puntuales.�Resortes y
amortiguadores.
ri
rj
t
n
−−
=ij
ij
yy
xxt
−+−
=ij
ij
xx
yyn
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.1616 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
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ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Matriz de Masas (I)Matriz de Masas (I)�� ENERGÍA CINÉTICAENERGÍA CINÉTICA de un elemento rígido:
�� Posición de un punto genéricoPosición de un punto genérico viene dada por:
∫=V
T
e dmT rr &&
2
1
( ) ( )( ) ( )
−+−+−−−+
=
=
ijnijti
ijnijti
xxcyycy
yycxxcx
y
xr
=
−−
−−=
=
nt
Cnt
rtntn
ntnt
cccc
cccc
y
x
1
1
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.1717 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
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ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Matriz de Masas (IMatriz de Masas (III))
�� Velocidad del puntoVelocidad del punto viene dada por:
� Sustituyendo en la expresión de la energía cinéticaenergía cinética:
( ) ( )( ) ( )
=
−+−+−−−+
=
=
ntCr&
&
&&&&&
&&&&&
&
&&
ijnijti
ijnijti
xxcyycy
yycxxcx
y
x
{ } ( ) ee
T
eV
TT
V
T
e dmdmT qMqnt
CCntrr &&&
&&&&&
2
1
2
1
2
1 =
== ∫∫
∫=V
T
e dmCCM
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.1818 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
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Bor
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ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Matriz de Masas (III)Matriz de Masas (III)
� La matriz de masas se escribe como,
( ) ( )( ) ( )
( )( )
∫
+−−−+−−
−−+−−−−+−
=V
ntnttn
ntnntt
nttnnt
nnttnt
e dm
cccccc
cccccc
cccccc
cccccc
222
222
222
222
01
01
110
101
M
∫=V
T
e dmCCM
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.1919 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
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ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Matriz de Masas (IMatriz de Masas (IVV))
� Los TÉRMINOS DE LA MATRIZ DE MASASTÉRMINOS DE LA MATRIZ DE MASAS se calculan con:
−−=
−−+−−
⇒+=−i
i
n
t
ijij
ijij
nti yy
xx
c
c
xxyy
yyxxcc ntrr
−−=
i
i
n
t
yy
xx
c
cA
eV
mdm =∫
−−=
−−
=
∫∫iG
iGe
Vi
i
Vn
t
yy
xxmdm
yy
xxdm
c
cAA
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.2020 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
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ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Matriz de Masas (Matriz de Masas (VV))
� Los TÉRMINOS DE LA MATRIZ DE MASASTÉRMINOS DE LA MATRIZ DE MASAS se calculan con:
( ) ( )( )( )( ) ( )
T
Viii
iii
Vnnt
ntt dmyyyyxx
yyxxxxdm
ccc
cccAA
−−−−−−
=
∫∫ 2
2
2
2
T
ieiGeyyiieiGeiGeyx
iieiGeiGeyxieiGexx
Vnnt
ntt
ymyymIyxmxymyxmI
yxmxymyxmIxmxxmI
dmccc
ccc
AA
+−+−−+−−+−
=
∫
2
2
2
2
2
2
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.2121 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
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ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Fuerzas PuntualesFuerzas Puntuales�� Potencial virtualPotencial virtual de una fuerza
puntual:
�� Posición y velocidad virtualPosición y velocidad virtual del punto de aplicación:
� Vector FUERZA GENERALIZADAFUERZA GENERALIZADA:
FrT
FW && ~~ =
=n
tCr&
&&
~
~~
=nt
Cr
{ } FCQFCntFrTTTTT
FW =⇒== &&&& ~~~~
ri
rj
t
nF
r
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.2222 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
J.
M. P
into
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M. P
into
r Bor
obia
Bor
obia
J.M
. Jim
énez
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imén
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asco
nes
Bas
cone
s
ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
ResortesResortes�� Posición de los extremosPosición de los extremos del resorte:
� Valor de la fuerza aplicada:fuerza aplicada:
� El caso se reduce a un PROBLEMAPROBLEMADDE FUERZAS PUNTUALES:E FUERZAS PUNTUALES:
=
1
111 n
tCr
=
2
222 n
tCr
( )12
120
1212rr
rrF
−−−= ddkr
r
TFCQ
11= r
TFCQ22
−=
r1
-Fr
t1n1
n2
t2
r2
Fr
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.2323 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
J.
M. P
into
r J.
M. P
into
r Bor
obia
Bor
obia
J.M
. Jim
énez
J.
M. J
imén
ez B
asco
nes
Bas
cone
s
ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
AmortiguadoresAmortiguadores�� Velocidad de los extremosVelocidad de los extremos
del amortiguador:
� Valor de la fuerza aplicadafuerza aplicada:
� El caso se reduce a un PROBLEMAPROBLEMADE FUERZAS PUNTUALES:DE FUERZAS PUNTUALES:
( ) ( )( ) ( ) ( )
12
1212
1212 rrrrrr
rrrrF −
−−−−=
T
T
c c&&
c
TFCQ11
= c
TFCQ22
−=
=
1
111 n
tCr
&
&&
=
2
222 n
tCr
&
&&
r1 t1n1
n2
t2
r2
Fc
-Fc
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.2424 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
J.
M. P
into
r J.
M. P
into
r Bor
obia
Bor
obia
J.M
. Jim
énez
J.
M. J
imén
ez B
asco
nes
Bas
cone
s
ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Ensamblado del sistema Ensamblado del sistema de ecuaciones (I)de ecuaciones (I)
� Diagrama del mecanismo � Diagramas de sólido libre
R1x
R1y
R2y
R2x
1xm &&
mgym +1&&
x
L L
y
m
θ
m m
R2x
R2y
R3y
2xm &&
mgym +2&&
sm &&
A (xa,ya)
B (xb,yb)
C (xc,yc)
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.2525 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
J.
M. P
into
r J.
M. P
into
r Bor
obia
Bor
obia
J.M
. Jim
énez
J.
M. J
imén
ez B
asco
nes
Bas
cone
s
ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Ensamblado del sistema Ensamblado del sistema de ecuaciones (II)de ecuaciones (II)
� Eslabón 1 � Eslabón 2
1xm &&
mgym +1&&
2xm &&
mgym +2&&
sm &&
b
b
a
a
y
x
y
x
&&
&&
&&
&&
yb
xb
ya
xa
q
q
q
q
1
1
1
1
−
−
babba
bbaab
abbaa
baaba
mmm
mmm
mmm
mmm
111
111
111
111
0
0
0
0
c
c
b
b
y
x
y
x
&&
&&
&&
&&
yc
xc
yb
xb
q
q
q
q
2
2
2
2
−
−
cbccb
ccbbc
bccbb
cbbcb
mmm
mmm
mmm
mmm
221
212
212
122
0
0
0
0
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.2626 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
J.
M. P
into
r J.
M. P
into
r Bor
obia
Bor
obia
J.M
. Jim
énez
J.
M. J
imén
ez B
asco
nes
Bas
cone
s
ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Ensamblado del sistema Ensamblado del sistema de ecuaciones (III)de ecuaciones (III)
� Matriz de masas y vector de fuerzas del mecanismo
−
+−−+
−
=
c
c
b
b
a
a
cbccb
ccbbc
bccbbbabba
cbbcbbbaab
abbaa
baaba
in
y
x
y
x
y
x
mmm
mmm
mmmmmm
mmmmmm
mmm
mmm
&&
&&
&&
&&
&&
&&
222
222
222111
222111
111
111
F
−−
−+
−
−
=
+
=
mgmg
mgmg
mg
q
q
q
q
q
q
q
q
yc
xc
yb
xb
yb
xb
ya
xa
20
2000
00
20
20
00
00
2
2
2
2
1
1
1
1
Q
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.2727 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
J.
M. P
into
r J.
M. P
into
r Bor
obia
Bor
obia
J.M
. Jim
énez
J.
M. J
imén
ez B
asco
nes
Bas
cone
s
ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Ensamblado del sistema Ensamblado del sistema de ecuaciones (IV)de ecuaciones (IV)
� Matriz de masas y vector de fuerzas del mecanismo
{ } 0
230
0
~~~~
222
222
2221
2221
=
−
−−
−
+−+
mg
mg
y
x
y
x
mmm
mmm
mmmm
mmmm
yxyx
c
c
b
b
cbccb
ccbbc
bccbbb
cbbcbb
ccbb
&&
&&
&&
&&
&&&&
{ } 0
230
0
20
~~~~~~
222
222
222111
222111
111
111
=
−
−
−
−
−
+−−+
−
mg
mg
mg
y
x
y
x
y
x
mmm
mmm
mmmmmm
mmmmmm
mmm
mmm
yxyxyx
c
c
b
b
a
a
cbccb
ccbbc
bccbbbabba
cbbcbbbaab
abbaa
baaba
ccbbaa
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&&&&&&
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.2828 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
J.
M. P
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r J.
M. P
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obia
Bor
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J.M
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ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Multiplicadores de Multiplicadores de LagrangeLagrange (I)(I)
� Del Principio de las Potencias VirtualesPrincipio de las Potencias Virtuales:
donde el vector de velocidades virtuales está sujeto a las ecuaciones de restricciónecuaciones de restricción formuladas de la forma:
� Las velocidades virtuales se eliminan mediante un vector de incógnitas adicionales ⇒ los MULTIPLICADORES DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGELAGRANGE:
( ) ( ) 0QqMqQFq =−=− &&&& T
in
T ~~
0qq =&~ΦΦΦΦ
QλΦqM q =+ T&&
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.2929 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
J.
M. P
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M. P
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obia
Bor
obia
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s
ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Multiplicadores de Multiplicadores de LagrangeLagrange (II)(II)
� Las ecuaciones dinámicas se completan con las las restricciones derivadas dos vecesrestricciones derivadas dos veces:
� Se llega así a un conjunto de ecuaciones conjunto de ecuaciones diferenciales algebraicasdiferenciales algebraicas que se debe INTEGRAR EN EL TIEMPO:
tΦqq qq&&&&& −−= ΦΦΦΦΦΦΦΦ
−−=
t
T
Φq
Q
λ
q
0Φ
ΦM
q
&&&
&&
ΦΦΦΦ
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.3030 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
J.
M. P
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M. P
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r Bor
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Bor
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J.M
. Jim
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cone
s
ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Ecuaciones del Ecuaciones del MovMov. en. enCoordsCoords. Independientes. Independientes
� Las coordenadas dependientes se expresan como:
� Derivando esta ecuación para las velocidades virtuales y las aceleraciones reales:
� En el PRINCIPIO DE LAS POTENCIAS VIRTUALESPRINCIPIO DE LAS POTENCIAS VIRTUALES:
que es un sistema de ecuaciones diferenciales sistema de ecuaciones diferenciales ordinariasordinarias.
( )zqq =
( )zzRq && ~~ = zRzRq &&&&&& +=
( ) 0QqMq =−&&& T~
( ) 0QqMRz =−&&& TT~
( )( ) 0QzRzRMR =−+ &&&&T
( )zRMQRzMRR &&&& −= TT
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.3131 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
J.
M. P
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M. P
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obia
J.M
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énez
J.
M. J
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Bas
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s
ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Integración Numérica (I)Integración Numérica (I)
� Coord. dependientes�Diferenciales algebraicas�Segundo orden
�No-lineales
� Coord. Independientes�Diferenciales ordinarias�Segundo orden
�No-lineales
−−=
t
T
Φq
Q
λ
q
0Φ
ΦM
q
&&&
&&
ΦΦΦΦ ( )zRMQRzMRR &&&& −= TT
� Características de las ecuaciones del movimiento
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.3232 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
J.
M. P
into
r J.
M. P
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r Bor
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Bor
obia
J.M
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M. J
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Bas
cone
s
ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Integración Numérica (II)Integración Numérica (II)
� Integración de ecuaciones de segundo orden�Integradores de primer orden
�Transformación de las ecuaciones de segundo orden en ecuaciones de primer orden
( )t,yfy =&
=
= t,
q
qf
q
qy
&&&
&&
=q
qy
&
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.3333 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
J.
M. P
into
r J.
M. P
into
r Bor
obia
Bor
obia
J.M
. Jim
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J.
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imén
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s
ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Integración Integración Numérica (III)Numérica (III)
� Integración en coordenadas dependientes
t
q
q&
t
q
q&&
&
∆tt+
q
q&
−−
=
−
t
T
Φq
Q
0Φ
ΦM
λ
q
q
&&&
&&
ΦΦΦΦ
1
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.3434 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
J.
M. P
into
r J.
M. P
into
r Bor
obia
Bor
obia
J.M
. Jim
énez
J.
M. J
imén
ez B
asco
nes
Bas
cone
s
ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Integración Integración Numérica (IV)Numérica (IV)
� Algoritmo de cálculo en coordenadas dependientes1. Posición y velocidad (dependientes) en t
2. Matriz de masas
3. Matriz jacobiana
4. Fuerzas exteriores
5. Término de aceleraciones
6. Derivada
−−
=
−
t
T
Φq
Q
0Φ
ΦM
λ
q
q
&&&
&&
ΦΦΦΦ
1
M
( )qΦΦ qq =
( )t,,qqQQ &=
tΦqq&&& −− ΦΦΦΦ
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.3535 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
J.
M. P
into
r J.
M. P
into
r Bor
obia
Bor
obia
J.M
. Jim
énez
J.
M. J
imén
ez B
asco
nes
Bas
cone
s
ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Integración Integración Numérica (V)Numérica (V)
� Integración en coordenadas independientes
t
z
q&
t
z
q&&
&
∆tt+
z
q&
( ) ( )zRMQRMRRz &&&& −= − TT 1
TEORÍA DE MÁQUINASTEORÍA DE MÁQUINAS -- 4.4.3636 --
TEMA 4Análisis Dinámico de
Mecanismos
TEMA 4TEMA 4Análisis Dinámico de Análisis Dinámico de
MecanismosMecanismos
J.
M. P
into
r J.
M. P
into
r Bor
obia
Bor
obia
J.M
. Jim
énez
J.
M. J
imén
ez B
asco
nes
Bas
cone
s
ANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONALANÁLISIS COMPUTACIONAL
Integración Integración Numérica (VI)Numérica (VI)
� Algoritmo de cálculo en coordenadas independientes1. Posición (dependiente) y velocidad (independiente) en t2. Matriz de transformación3. Velocidades dependientes4. Matriz de masas5. Fuerzas exteriores6. Término de aceleraciones7. Derivada ( ) ( )zRMQRMRRz &&&& −= − TT 1
( )qRR =zRq && =
( )qMMRR =T
( )tT,,qqQQR &=
zRMR &&T
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