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IntroduccionSolucion modelo general
EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Analisis Dinamico: Ecuaciones diferencialeslineales de segundo orden
Jesus Getan y Eva Boj
Facultat d’Economia i EmpresaUniversitat de Barcelona
Marzo de 2014
Jesus Getan y Eva Boj EDO lineales de segundo orden 1 / 57
IntroduccionSolucion modelo general
EjemplosEjemplos de aplicacion economica
IntroduccionSolucion modelo general
Solucion de la ecuacion homgeneaSolucion particular de la ecuacion
EjemplosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6
Ejemplos de aplicacion economicaEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
Jesus Getan y Eva Boj EDO lineales de segundo orden 2 / 57
IntroduccionSolucion modelo general
EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Introduccion
Con objeto de establecer un marco de trabajo adecuado anuestro estudio, primero haremos las siguientes definiciones
DefinicionUna ecuacion diferencial de segundo orden es aquella querelaciona una variable independiente, una funcion suya(incognita) y sus derivadas hasta el segundo orden, ladenotaremos
F(x, y, y′, y′′
)= 0.
i.e. la ecuacion 2x+ 3y + 5y′ − 2y′′ = 0.
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IntroduccionSolucion modelo general
EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Cuando la funcion incognita depende de una variable real sedice que la ecuacion diferencial es ordinaria (EDO) y ladenotaremos
F(x, y, y′, y′′
)= 0.
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IntroduccionSolucion modelo general
EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Recordemos que llamamos orden de una ecuacion diferencialal de la derivada mas elevada que en ella aparece.
i.e. la ecuacion 2x+ 3y + 5y′ − 2y′′ = 0 tiene orden 2.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
I ¿Como distinguir los elementos de las ecuaciones?
y′′ + py′ + qy = g(x)
I Termino de segundo ordenI Termino de primer ordenI Termino de orden ceroI Termino independiente
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IntroduccionSolucion modelo general
EjemplosEjemplos de aplicacion economica
I ¿Como distinguir los elementos de las ecuaciones?
y′′ + py′ + qy = g(x)
I Termino de segundo ordenI Termino de primer ordenI Termino de orden ceroI Termino independiente
Jesus Getan y Eva Boj EDO lineales de segundo orden 6 / 57
IntroduccionSolucion modelo general
EjemplosEjemplos de aplicacion economica
I ¿Como distinguir los elementos de las ecuaciones?
y′′ + py′ + qy = g(x)
I Termino de segundo ordenI Termino de primer ordenI Termino de orden ceroI Termino independiente
Jesus Getan y Eva Boj EDO lineales de segundo orden 6 / 57
IntroduccionSolucion modelo general
EjemplosEjemplos de aplicacion economica
I ¿Como distinguir los elementos de las ecuaciones?
y′′ + py′ + qy = g(x)
I Termino de segundo ordenI Termino de primer ordenI Termino de orden ceroI Termino independiente
Jesus Getan y Eva Boj EDO lineales de segundo orden 6 / 57
IntroduccionSolucion modelo general
EjemplosEjemplos de aplicacion economica
I ¿Como distinguir los elementos de las ecuaciones?
y′′ + py′ + qy = g(x)
I Termino de segundo ordenI Termino de primer ordenI Termino de orden ceroI Termino independiente
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Solucion de la ecuacion homgeneaSolucion particular de la ecuacion
La solucion de la ecuacion general
y′′ + py′ + qy = g(x),
donde p, q ∈ R y g(x) es una funcion diferenciable, es la sumade la solucion de la ecuacion homogenea, yh(x), y unasolucion particular de la completa, yp(x),
y(x) = yh(x) + yp(x).
Tambien se puede indicar como
y = yh + yp.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Solucion de la ecuacion homgeneaSolucion particular de la ecuacion
Ecuacion homogenea asociada
y′′ + py′ + qy = 0.
Ecuacion caracterıstica asociada
w2 + pw1 + qw0 = 0.
Simplificandow2 + pw + q = 0,
que es una ecuacion de segundo grado. La solucionamos ypodemos obtener tres casos
w1 6= w2 o w1 = w2 o w1, w2 complejas.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Solucion de la ecuacion homgeneaSolucion particular de la ecuacion
Para cada caso las soluciones seranI Si las raıces w1, w2 ∈ R y w1 6= w2 ⇒
yh(x) = C1ew1x + C2e
w2x
I Si las raıces w1, w2 ∈ R y w1 = w2 = w ⇒
yh(x) = (C1 + C2x) ewx
I Si las raıces w1, w2 ∈ C y w1 = a+ bi, w2 = a− bi⇒
yh(x) = eax (C1 cos bx+ C2 sin bx)
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Solucion de la ecuacion homgeneaSolucion particular de la ecuacion
Ecuacion completa. Solucion particular.
y′′ + py′ + qy = g(x).
Miraremos el termino independiente y segun su tipoensayaremos una solucion con coeficientes indeterminados acalcular.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Solucion de la ecuacion homgeneaSolucion particular de la ecuacion
Caso 1 g(x) = eaxPn(x) donde a ∈ R y Pn(x) es un polinomiode orden n.
(1.1) Si a no es raız de la ecuacion caracterıstica, la solucion aensayar es:
yp(x) = eaxQn(x)
donde Qn(x) es un polinomio de coeficientes indeterminadosde orden n a determinar.
(1.2) Si a es raız de la ecuacion caracterıstica, la solucion aensayar es:
yp(x) = eaxxrQn(x)
donde Qn(x) es un polinomio de coeficientes indeterminadosde orden n a determinar y r es el grado de multiplicidad de laraız a.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Solucion de la ecuacion homgeneaSolucion particular de la ecuacion
Notese que
Unas posibles variaciones del termino independiente puedenser:
g(x) = Pn(x),
g(x) = eax,
g(x) = b,
donde b es una constante.
El caso en que g(x) = bx se obtiene haciendo Pn(x) = 1 ya = ln b, resultando yp(x) = ex ln b.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Solucion de la ecuacion homgeneaSolucion particular de la ecuacion
Caso 2 g(x) = eax (Pn(x) sin bx+Qm(x) cos bx)donde a, b ∈ R y Pn(x), Qm(x) son polinomios de orden n y mrespectivamente.
(2.1) Si w1 6= a+ bi, w2 6= a− bi⇒yp(x) = eax (SN (x) sin bx+ TN (x) cos bx), donde SN (x) y TN (x)son polinomios de orden N = max{n,m} con coeficientes adeterminar.(2.2) Si w1 = a+ bi, w2 = a− bi⇒yp(x) = xreax (SN (x) sin bx+ TN (x) cos bx), donde r es el gradode multiplicidad de la raız en la ecuacion caracterıstica (en elcaso de EDO orden 2, r = 1).
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6
Ejemplo 1Hallar la solucion general de
y′′ + y′ − 2y = 0.
La ecuacion caracterıstica es:
w2 + w − 2 = 0.
Resolviendo la ecuacion, sus raıces son:
w1 = 1 y w2 = −2.
Por lo tanto, la solucion general es:
y = C1ex + C2e
−2x.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6
Ejemplo 2Hallar la solucion general de
y′′ + 2y′ + 5y = 0.
La ecuacion caracterıstica es:
w2 + 2w + 5 = 0.
Resolviendo la ecuacion, sus raıces son:
w1 = −1 + 2i y w2 = −1− 2i.
Por lo tanto, la solucion general es:
y = (C1 sin 2x+ C2 cos 2x) e−x.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6
Ejemplo 3Hallar la solucion general de
y′′ − 4y′ + 4y = 0.
La ecuacion caracterıstica es:
w2 − 4w + 4 = 0.
Resolviendo la ecuacion, sus raıces son:
w1 = 2 y w2 = 2.
Por lo tanto, la solucion general es:
y = (C1 + C2x) e2x.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6
Ejemplo 4Hallar la solucion general de
y′′ + 4y′ + 3y = x.
Primero, hallaremos la solucion de la ecuacion homogeneaasociada.Seguidamente propondremos una solucion particularadecuada y aplicaremos el metodo de variacion de constantespara determinarla.Finalmente, daremos la solucion general de la ecuacioncompleta.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6
La ecuacion caracterıstica es:
w2 + 4w + 3 = 0.
Resolviendo la ecuacion, sus raıces son:
w1 = −2 y w2 = −3.
Por lo tanto, la solucion general es:
yh = C1e−x + C2e
−3x.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6
Dado que el termino independiente es del tipo del Caso 1.1,proponemos como solucion particular
y = Ax+B.
En este casoy′ = A y y′′ = 0.
Sustituyendo en la ecuacion completa, obtenemos
4A+ 3(Ax+B) = x.
Igualando coeficientes y resolviendo el sistema linealresultante, obtenemos
A =1
3y B =
−49.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6
La solucion particular es
yp =1
3x+−49.
La solucion general es
y = yh + yp = C1e−x + C2e
−3x +1
3x+−49.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6
Ejemplo 5Hallar la solucion general de
y′′ + 9y = xe3x.
Primero, hallaremos la solucion de la ecuacion homogeneaasociada.Seguidamente propondremos una solucion particularadecuada y aplicaremos el metodo de variacion de constantespara determinarla.Finalmente, daremos la solucion general de la ecuacioncompleta.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6
La ecuacion caracterıstica es:
w2 + 9 = 0.
Resolviendo la ecuacion, sus raıces son:
w1 = 3i y w2 = −3i.
Por lo tanto, la solucion general es:
yh = (C1 sin 3x+ C2 cos 3x) e0x.
Simplificandoyh = C1 sin 3x+ C2 cos 3x.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6
Dado que el termino independiente es del tipo del Caso 1.1,proponemos como solucion particular
y = (Ax+B) e3x.
En este casoy′ = A y y′′ = 0.
Sustituyendo en la ecuacion completa, obtenemos
4A+ 3(Ax+B) = x.
Igualando coeficientes y resolviendo el sistema linealresultante, obtenemos
A =1
3y B =
−49.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6
La solucion particular es
yp =
(1
3x+−49
)e3x.
La solucion general es
y = yh + yp = C1 sin 3x+ C2 cos 3x+
(1
3x+−49
)e3x.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6
Ejemplo 6Hallar la solucion general de
y′′ + 2y′ + 5y = 2 cosx.
Primero, hallaremos la solucion de la ecuacion homogeneaasociada.Seguidamente propondremos una solucion particularadecuada y aplicaremos el metodo de variacion de constantespara determinarla.Finalmente, daremos la solucion general de la ecuacioncompleta.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6
La ecuacion caracterıstica es:
w2 + 2w + 5 = 0.
Resolviendo la ecuacion, sus raıces son:
w1 = −1 + 2i y w2 = −1− 2i.
Por lo tanto, la solucion general es:
yh = e−x (C1 sin 2x+ C2 cos 2x) .
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6
Dado que el termino independiente es del tipo del Caso 2.1,proponemos como solucion particular
y = A cosx+B sinx.
En este caso
y′ = −A sinx+B cosx y y′′ = −A cosx−B sinx.
Sustituyendo en la ecuacion completa, obtenemos
−A cosx−B sinx+2(−A sinx+B cosx)+5(A cosx+B sinx) = 2 cosx.
Resolviendo la expresion resultante, obtenemos
A =2
5y B =
1
5.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6
La solucion particular es
yp =2
5cosx+
1
5sinx.
La solucion general es
y = yh + yp = e−x (C1 sin 2x+ C2 cos 2x) +2
5cosx+
1
5sinx.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
Ejemplo 1 Tenemos un mercado en el que la demanda y laoferta estan influenciadas por los precios corrientes y lastendencias de esos precios, que se manifiestan no solo cuandoesos precios aumentan o disminuyen sino cuando conocemoscomo aumentan o disminuyen en unos determinados ratios.Asumimos que:La oferta de un bien es S = −5 + 10p− 3p′ + 6p′′.La demanda de un bien es D = 1− 5p− 11p′ + 5p′′.Calcular la trayectoria temporal del precio y el precio deequilibrio.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
En el equilibrio S = D, por lo tanto
−5 + 10p− 3p′ + 6p′′ = 1− 5p− 11p′ + 5p′′,
simplificandop′′ + 8p′ + 15p = 6.
Es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. Laecuacion caracterıstica asociada a la ecuacion homogenea es:
w2 + 8w + 15 = 0.
Sus raıces sonw1 = −3 y w2 = −5.
La solucion general de la homogenea sera
ph = C1e−3x + C2e
−5x.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
Dado que el termino independiente es del tipo del Caso 1.1,proponemos como solucion particular
y = A.
En este casoy′ = 0 y y′′ = 0.
Sustituyendo en la ecuacion completa, obtenemos
15A = 6.
Resolviendo obtenemos
A =6
15.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
La solucion particular es
pp =6
15.
La solucion general es
p = ph + pp = C1e−3x + C2e
−5x +6
15.
El precio de equilibrio es
pe = limt→∞
p(t) =6
15.
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Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
Ejemplo 2 (Sydsaeter, K. Hammond, P. (1996). Matematicaspara el analisis economico. Ed. Prentice Hall. p. 640) Elmodelo debido F. Dresch nos dice que la tasa de aumento delos precios es proporcional al total acumulado de todos losexcesos de demanda pasados. Modelizado en formula es:
p′(t) = a
∫ t
−∞[D(p(τ))− S(p(τ))] dτ con (a > 0).
Si consideramos que a = 5, D(p(t)) = 6− 3p y S(p(t)) = 8+ 5p.Encontrar la ecuacion diferencial de segundo orden y lasolucion general de la misma.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
Recordemos que:∫f(x)dx = F (x) + C ⇔ F ′(x) = f(x).
∫ b
af(x)dx = F (b)− F (a).
Ademas(∫ t
af(τ)dτ
)′= (F (t)− F (a))′ = F ′(t) = f(t).
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
Sustituyendo en la expresion obtenemos
p′(t) = 5
∫ t
−∞[6− 3p(τ)− 8− 5p(τ)] dτ.
Al derivar con respecto a t resulta
p′′(t) = 5 [6− 3p(t)− 8− 5p(t)] .
Ordenando y simplificando
p′′(t) + 40p(t) = −10.
Ahora resolvemos.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
La ecuacion caracterıstica es
w2 + 40 = 0.
Resolviendo la ecuacion, sus raıces son
w1 = 2√10i y w2 = −2
√10i.
Por lo tanto, la solucion general es
ph =(C1 sin 2
√10t+ C2 cos 2
√10t)e0t.
Simplificando
ph = C1 sin 2√10t+ C2 cos 2
√10t.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
Dado que el termino independiente es del tipo del Caso 1.1,proponemos como solucion particular
p = A.
En este casop′ = 0 y p′′ = 0.
Sustituyendo en la ecuacion completa, obtenemos
40A = −10.
Resolviendo obtenemos
A = −10
40= −1
4.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
La solucion particular es
pp = −1
4.
La solucion general es
p = ph + pp = C1 sin 2√10t+ C2 cos 2
√10t− 1
4.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
Ejemplo 3 Modelo de Phillips. (Chiang, A. C. y Wainwright, K.(2006). Metodos fundamentales de economıa matematica.Cuarta Ed. McGraw-Hill. pp. 532–537) Primero, y con baseempırica, se da una relacion entre la tasa de crecimiento delsalario en dinero y la tasa de desempleo. Esto, en un mercadode trabajo.
W ′
W= f(U) = α− βU donde f ′(U) ≤ 0, (1)
donde W son los salarios y U la tasa de desempleo que, eneste caso, la hemos tomado lineal con α, β ≥ 0.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
SiW ′
W> 0 nos indica que el costo creciente del salario
monetario nos lleva a una situacion inflacionaria, enconsecuencia, tambien nos indica que la tasa de inflacion serauna funcion de U .Sin embargo, la presion inflacionaria puede ser compensadapor un incremento de la productividad laboral, que se suponeexogena y se denota por T .
Por tanto, denotando porP ′
Pcomo la tasa de inflacio (tasa de
crecimiento de los precios), se puede escribir
P ′
P=W ′
W− T. (2)
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
Combinando las formulas (1) y (2) obtenemos
P ′
P= α− βU − T. (3)
Sostiene Friedman que, si una tendencia inflacionaria haestado en vigor por suficiente tiempo, las personas tienden aformar ciertas expectativas de inflacion que luego intentanincorporar a sus demandas de salario monetario. Expresadoen terminos matematicos
W ′
W= f(U) + hπ con 0 ≤ h ≤ 1,
donde π es la tasa esperada de inflacion.
Jesus Getan y Eva Boj EDO lineales de segundo orden 41 / 57
IntroduccionSolucion modelo general
EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
Anadiendolo a la ecuacion (3) obtenemos
P ′
P= α− βU − T + hπ con 0 ≤ h ≤ 1. (4)
Formula que nos da las expectativas aumentadas dePhillips.
Como hemos introducido una nueva variable para denotar latasa de inflacion, se hace necesario formular una hipotesis decomo se forman dichas expectativas. Para ello, buscaremosuna funcion que nos describa el patron de π a traves del tiempoen el caso de que la tasa de crecimiento de los precios (tasade inflacion real) est e relacionada con la tasa esperada π.
Jesus Getan y Eva Boj EDO lineales de segundo orden 42 / 57
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
dπ
dt= j
(P ′
P− π
)con 0 ≤ j ≤ 1. (5)
Formula que nos da las expectativas adaptativas de Phillips.
Lo que nos indica esta formula es la discrepancia entre lainflacion real y la esperada.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
Las ecuacions (4) y (5) tienen tres variables, luegonecesitamos encontrar otra ecuacion. La idea es introducir unaecuacion que nos explique la variable U .
Consideremos una polıtica monetaria, en ecuacion
dU
dt= −k
(M ′
M− P ′
P
)con k ≥ 0. (6)
El parentesis nos da el crecimiento del dinero real yM ′
Mes la
tasa de crecimiento de la masa monetaria.
Jesus Getan y Eva Boj EDO lineales de segundo orden 44 / 57
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
Busquemos la trayectoria temporal de π.
Partimos de las siguientes ecuaciones:(a) expectativas aumentadas de Phillips,
P ′
P= α− βU − T + hπ con 0 ≤ h ≤ 1.
(b) expectativas adaptativas de Phillips,
dπ
dt= j
(P ′
P− π
)con 0 ≤ j ≤ 1.
(c) polıtica monetaria,
dU
dt= −k
(M ′
M− P ′
P
)con k ≥ 0.
Jesus Getan y Eva Boj EDO lineales de segundo orden 45 / 57
IntroduccionSolucion modelo general
EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
Sustituyendo (3) en (5) obtenemos
dπ
dt= j
(P ′
P− π
)= j (α− βU − T )− j (1− h)π,
diferenciando, resulta
d2π
dt2= −jβ dU
dt− j (1− h) dπ
dt,
sustituyendo (7), obtenemos
d2π
dt2= jβk
(M ′
M− P ′
P
)− j (1− h) dπ
dt,
Jesus Getan y Eva Boj EDO lineales de segundo orden 46 / 57
IntroduccionSolucion modelo general
EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
Por otra parte, sabemos que partiendo de (5)
P ′
P=
1
j
dπ
dt+ π,
sustituyendo y reordenando, resulta
d2π
dt2+ (βk + j (1− h)) dπ
dt+ jβkπ = jβk
M ′
M. (7)
Esta es la ecuacion diferencial que tenemos que resolver.
Jesus Getan y Eva Boj EDO lineales de segundo orden 47 / 57
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
Ejemplo 1:En un paıs se han encontrado las siguientes relaciones:Expectativas aumentadas de Phillips,
p =1
6− 3U + π.
Expectativas adaptativas de Phillips,dπ
dt=
3
4(p− π) .
Polıtica monetaria,dU
dt= −1
2(m− p) .
Se pide, encontrar las trayectorias temporales de la tasaesperada de inflacion π(t), tasa de crecimiento de los preciosp(t) y la tasa de desempleo U(t).
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IntroduccionSolucion modelo general
EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
Tenemos que
Datos problema Ecuaciones referencia
p =1
6− 3U + π,
P ′
P= α− βU − T + hπ.
dπ
dt=
3
4(p− π), dπ
dt= j
(P ′
P− π
).
dU
dt= −1
2(m− p), dU
dt= −k
(M ′
M− P ′
P
).
Los parametros correspondientes son:
α =1
6, β = 3, k =
1
2, j =
3
4, T = 0, h = 1.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
La ecuacion a usar es
d2π
dt2+ (βk + j (1− h)) dπ
dt+ jβkπ = jβk
M ′
M.
Sustituyendo los parametros resulta
d2π
dt2+
(31
2+
3
4(1− 1)
)dπ
dt+
3
431
2π =
3
431
2
M ′
M.
Simplificandod2π
dt2+
3
2
dπ
dt+
9
8π =
9
8
M ′
M.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
Es una EDO lineal de orden 2. Escribimos la ecuacioncaracterıstica de la ecuacion homogenea asociada
w2 +3
2w +
9
8= 0.
Sus raıces son
w1 = −3
4+
3
4i, w1 = −
3
4− 3
4i
la solucion general a la ecuacion homogenea es
πh(t) = e−3t
4
(C1 cos
3t
4+ C2 sin
3t
4
).
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
La solucion particular es del tipo g(t) = A, con A pordeterminar.
Sabemos que g′(t) = g′′(t) = 0. Por tanto, al sustituir en laecuacion resulta
0 + 0 +9
8A =
9
8
M ′
M⇒ A =
M ′
M.
La solucion general de la ecuacion es
π(t) = e−3t
4
(C1 cos
3t
4+ C2 sin
3t
4
)+M ′
M.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
Por otra parte sabemos que
dπ
dt=
3
4(p− π) .
Si derivamos la solucion hallada y junto con esa solucion lasustituimos en esta expresion obtenemos
−3e−3t
4
4
(C1 cos
3t
4+ C2 sin
3t
4
)+
e−3t
4
(−3C1
4sin
3t
4+
3C2
4cos
3t
4
)=
3p
4− 3e
−3t
4
4
(C1 cos
3t
4+ C2 sin
3t
4
)− 3
4
M ′
M.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
Resultando
p(t) = e−3t
4
(C2 cos
3t
4− C1 sin
3t
4
)+M ′
M.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
Analogamente, de
p(t) =1
6− 3U(t) + π(t),
obtenemosU(t) =
1
18− p(t)
3+π(t)
3.
Sustituyendo las ecuaciones anteriores y simplificandoobtenemos
U(t) =1
18+e−3t
4
3
[(C1 − C2) cos
3t
4+ (C2 − C1) sin
3t
4
].
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
Ejemplo 2:
Datos problema Ecuaciones referencia
p =1
4− 2U + π,
P ′
P= α− βU − T + hπ.
dπ
dt=
1
2(p− π), dπ
dt= j
(P ′
P− π
).
dU
dt= − (m− p), dU
dt= −k
(M ′
M− P ′
P
).
Los parametros correspondientes son:
α =1
4, β = 2, k = 1, j =
1
2, T = 0, h = 1.
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Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
Al sustituir en (7) obtenemos
d2π
dt2+ 2
dπ
dt+ π =
M ′
M.
Resolviendo la EDO lineal de segundo grado obtenemos
π(t) = C1e−t + C2te
−t +M ′
M.
Analogamente al resultado anterior
p(t) = e−t (−C1 + 2C2 − tC2) +M ′
M.
U(t) =1
8+ e−t (C1 + C2 (t− 1)) .
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