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www.ResumosConcursos.hpg.com.br Apostila: Matemática Básica vol. VI – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
99
Apostila de Matemática Básica
Assunto:
MATEMÁTICA BÁSICA
Coleção Fundamental - volume 6/8
Autor:
Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
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100
26. a) – 0,366 + j1,366
b) 1,366 + j0,366
c) 1,366 – j0,366
d) – 0,366 – j1,366
e) – 0,5 + j0,866
f) j2
g) 2 – j
26. a)1,414; b) 4,472; c) 0,849; d) 6,325; e) 8
27. j
28. 16
29. – 1024
30. 86605,0 ,j−
31. 1024
1−
32. 828,2828,2 j−
33. n = 3
34. – 2
35. – j
36. 17
37. a) j+= 30w ; j−−= 31w
x
y
0
0w
1w1−
3−
3º57,161−
º43,18
1
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101
b) 5,0866,00 j +=w ; 5,0866,01 j +−=w ; j−=2w
x
y
0
0w1w
º150º30
2w
c) 10 =w ; j=2w ; 13 −=w ; j−=4w
x
y
00w
1w 1
1−
3w
2w
1−
1
d)
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102
x
y
0
0w
1w
5+
5−
e) 707,0707,00 j+=w ; 707,0707,01 j+−=w ; 707,0707,02 j−−=w ;
707,0707,03 j−=w
x
y
0w1w
707,0−
2w 3w
0
707,0
707,0− 707,0
º135
º45
º45−
º135−
f) 868,0802,10 j+=w ; 950,1445,01 j+=w ; 5641247,12 ,j+−=w ; 23 −=w ;
;564,1247,14 j−−=w 950,1445,05 j−−=w ; 868,0802,16 j+=w
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103
x
y
0w
1w
2w
3w0
º71,25
4w
5w
º43,51
6w
g) 50866,00 ,w j+= ; j=1w ; 50866,02 ,j+−=w ; 50866,03 ,j−−=w ; j−=4w ;
50866,05 ,w j−=
x
y
0w
1w
2w
3w
0
º30
4w
5w
º60
º30−
1−
1
866,0866,0−
5,0
5,0−
h) 7070225,10 ,w j−= ; 7070225,11 ,w j+−=
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104
x
y
0w
1w
0
º150
º30−
2
i) 316,0181,10 j+=w ; 864,0864,01 j+−=w ; 181,1316,02 j+−=w
x
y
0w
1w
0
º135
º105−
º15
2w
122,1
39. a) { }jj −, ;
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b) { }8660,50 ;1 ;86605,0 ,, jj −−+
c) { }707,0707,0 ;707,0707,0 ;707,0707,0 ;707,0707,0 jjjj −−−+−+
d) { }707,0707,0 ;707,0707,0 jj −+−
e) { }86605,0 ;86605,0 ,, jj −−+−
f) { }72 ;72 jj −+
g) { }2-1 ;1 jj+
h) { }2 ;2 ;1 ;1 −−
i) { }2 ;2 ;1 ;1 jj −−
j) {2; – 2; j2; –j2}
41. a) ( ) 93 22=++ yx → circunferência centrada em ( )0 ,3− e raio 3.
0
y
x2− 1−3−
( )0 ,3−
3
b) ( ) 4422 ≤−+ yx → disco fechado centrado em ( )4 ,0 e raio 2.
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0
y
x
1
2
3
( )4 ,04
c) ( ) 1624 22≤+−≤ yx → coroa fechada centrada em ( )0 ,2 , raio interno 2 e raio externo 4.
0
y
x1 2
( )0 ,2
4
2
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d) x = 1 → reta que passa pelo ponto (1, 0) e é paralela ao eixo y.
0
y
x1
e) ( ) 11 22=+− yx → circunferência centrada em (1, 0) e raio 1.
0
y
x1
( )0 ,1
f) 2
1=y → reta que passa pelo ponto ( )2
1 ,0 e é paralela ao eixo x.
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0
y
x
21
g) 2≥y → semiplano situado acima da reta y = 2 e incluindo a mesma.
0
y
x
1
2
h) 1≤xy → região delimitada pela hipérbole equilátera xy = 1 conforme aparece na figura a
seguir
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y
x
( )1,1
0
i) 122 ≤− yx → região entre os ramos da hipérbole 122 =− yx incluindo tais ramos.
y
x
B( ) ( )( ) ( )
( ) ( )0,2 ,0 ,2
0 ,1 ,1 ,0
0 ,1 ,0 ,1
−′
−′
−′
FF
BB
AA
0
B ′
F ′ AA′ F
º45 º45
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j) º45º45 <θ− → região entre as retas xy −= e y = x no 1.º e 4.º quadrantes.
y
x
º45
0 º45−
k)
y
x5− 0 1
l) 122 >+ yx → região exterior à circunferência 122 =+ yx .
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y
x0
1
m) Reta bissetriz do 1.º e 3.º quadrantes.
0
y
x
º45
xy =
n) 2
2
2
3
4
3
5
=+
− yx → circunferência de centro ( )0 ,3
5a e raio 34 .
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0
y
x( )0 ,35
34
a
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113
o) 22
2
2
3
2
5
=
−+ yx → circunferência de centro ( )2
5 ,0a e raio 23 .
0
y
x
( )25 ,0a23
p) y = 0 → eixos dos x.
y
x0
q) x = 0 → eixos dos y.
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y
x0
r) 083 ≥++ yx → que inclui o semiplano e a reta(r) assinalados na figura.
y
38−
08− x
r
s) 3≥x → que inclui o semiplano e a reta r assinalados na figura.
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y
30 x
r
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t) 1−<x → que representa o semiplano assinalado.
y
10 x
u) 2
2
2
2
1
2
1
<+
− yx → disco aberto de centro ( )0 ,2
1a e raio 21 .
y
210 x
21
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v) 1
4
5
4
9
22
=+yx
→ elipse centrada na origem, com eixo maior = 3, eixo menor =
5 , e distância focal = 2.
y
( )25,0
0 x( )0,1− ( )0,1 ( )0,23
( )25,0 −
( )0,23−
F A
B
B ′
F ′A ′
w) As equações que definem o lugar geométrico são y < 0 e 22
2
2
1
2
1
>
++ yx . Logo
temos o todo semiplano a esquerda do eixo y = 0 a menos da parte do disco fechado de
centro
−
2
1 0,a e raio
2
1 situada nesta região.
y
21
0 x2
1−
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118
x) 1259
22
=+yx
→ elipse centrada na origem, com eixo maior = 10, eixo menor = 6, e
distância focal = 8.
y
( )5,0
0 x( )0,3−′B ( )0,3B
( )4,0 −
F
A
F ′
A′ ( )5,0 −
( )4,0
y) 122 =− yx → que é uma hipérbole equilátera, centrada na origem, cujo eixo real = 2, e
eixo imaginário = 2, e a distância focal = 22 .
y
x
F
0
º45º45F ′
B
B
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )0,2 ,0,2
0,1 ,1,0
0,1 ,0,1
−′
−′
−′
FF
BB
AA
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119
z) 21 zzz β+α= → sendo 1=β+α , representa o segmento que une os pontos determinados
por 1z e 2z .
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