Autour d'une inégalité de concentration de la mesureAutour d’une inégalité...

Autour d’une inégalité deconcentration de la mesure

Autour d’une inégalité de

concentration de la mesure

Djalil Chafaï

Paris-Dauphine

Exposé culturelGroupe de travail statistique et imagerie

Lundi 20 janvier 2014

Plan de l’exposé

1 Inégalité de Azuma-Hoeffding

2 Application aux matrices aléatoires

3 Application au voyageur de commerce

Plan de l’exposé

Inégalité de Azuma-Hoeffding

Outline

Théorème (Inégalité de concentration de Azuma-Hoeffding)

Variable aléatoire intégrable Y : (Ω,F ,P)→ R

Filtration interpolation ∅,Ω = F0 ⊂ · · · ⊂ Fn = F Accroissements d1, . . . ,dn de la martingale de Doob :

Y − E(Y) =n∑

E(Y | Fk)− E(Y | Fk−1) =n∑

Alors pour tout r > 0,

P(|Y − E(Y)| > r) 6 2 exp

(− 2r2

osc(d1)2 + · · ·+ osc(dn)2

osc(dk) = supdk − infdk = Diam(support (dk)) 6 2‖dk‖∞

Variable aléatoire intégrable Y : (Ω,F ,P)→ R Filtration interpolation ∅,Ω = F0 ⊂ · · · ⊂ Fn = F

Accroissements d1, . . . ,dn de la martingale de Doob :

Y − E(Y) =n∑

E(Y | Fk)− E(Y | Fk−1) =n∑

P(|Y − E(Y)| > r) 6 2 exp

(− 2r2

osc(d1)2 + · · ·+ osc(dn)2

Variable aléatoire intégrable Y : (Ω,F ,P)→ R Filtration interpolation ∅,Ω = F0 ⊂ · · · ⊂ Fn = F Accroissements d1, . . . ,dn de la martingale de Doob :

Y − E(Y) =n∑

E(Y | Fk)− E(Y | Fk−1) =n∑

P(|Y − E(Y)| > r) 6 2 exp

(− 2r2

osc(d1)2 + · · ·+ osc(dn)2

Y − E(Y) =n∑

E(Y | Fk)− E(Y | Fk−1) =n∑

P(|Y − E(Y)| > r) 6 2 exp

(− 2r2

osc(d1)2 + · · ·+ osc(dn)2

Y − E(Y) =n∑

E(Y | Fk)− E(Y | Fk−1) =n∑

P(|Y − E(Y)| > r) 6 2 exp

(− 2r2

osc(d1)2 + · · ·+ osc(dn)2

Optimalité pour les variables de Bernoulli

Y = F(X1, . . . ,Xn) = n−1/2(X1 + · · ·+ Xn)

X1, . . . ,Xn i.i.d. centrées à valeurs dans [−1,1]

Fk = σ(X1, . . . ,Xk)

dk = E(Y | Fk)− E(Y | Fk−1) = n−1/2Xk

osc(dk) = 2n−1/2 et osc(d1)2 + · · ·+ osc(dn)2 = 4

Azuma-Hoeffding⇒ borne sous-gaussienne exp(−12r

TCL pour plus grande variance possible (Bernoulli) !

Y = F(X1, . . . ,Xn) = n−1/2(X1 + · · ·+ Xn)

Fk = σ(X1, . . . ,Xk)

dk = E(Y | Fk)− E(Y | Fk−1) = n−1/2Xk

Y = F(X1, . . . ,Xn) = n−1/2(X1 + · · ·+ Xn)

Fk = σ(X1, . . . ,Xk)

dk = E(Y | Fk)− E(Y | Fk−1) = n−1/2Xk

Y = F(X1, . . . ,Xn) = n−1/2(X1 + · · ·+ Xn)

Fk = σ(X1, . . . ,Xk)

dk = E(Y | Fk)− E(Y | Fk−1) = n−1/2Xk

Y = F(X1, . . . ,Xn) = n−1/2(X1 + · · ·+ Xn)

Fk = σ(X1, . . . ,Xk)

dk = E(Y | Fk)− E(Y | Fk−1) = n−1/2Xk

Y = F(X1, . . . ,Xn) = n−1/2(X1 + · · ·+ Xn)

Fk = σ(X1, . . . ,Xk)

dk = E(Y | Fk)− E(Y | Fk−1) = n−1/2Xk

Y = F(X1, . . . ,Xn) = n−1/2(X1 + · · ·+ Xn)

Fk = σ(X1, . . . ,Xk)

dk = E(Y | Fk)− E(Y | Fk−1) = n−1/2Xk

Oscillation partielle conditionnelle (McDiarmid)

Bien souvent F n’est pas linéaire

Y = F(X1, . . . ,Xn), Fk = σ(X1, . . . ,Xk), X1, . . . ,Xn i.i.d.

dk = E(F(X1, . . . ,Xn) | Fk)− E(F(X1, . . . ,Xn) | Fk−1)

(X′1, . . . ,X′n) copie indépendante de (X1, . . . ,Xn)

E(F(X1, . . . ,Xk, . . . ,Xn) | Fk−1) = E(F(X1, . . . ,X′k, . . . ,Xn) | Fk)

Oscillation partielle conditionnelle de F

dk = E(F(X1, . . . ,Xk, . . . ,Xn)− F(X1, . . . ,X′k, . . . ,Xn) | Fk)

osc(dk) 6 2‖dk‖∞ 6 2E(‖F‖Lipk(X1, . . . ,Xn) | Fk)

Preuve de Azuma-Hoeffding (1/2)

Idée : Markov, Laplace, conditionement, v.a. bornées

a 6 U 6 b, E(U) = 0 Convexité de u 7→ eu

∀t > 0,∀a 6 u 6 b, etu 6u− a

b− aetb +

b− u

b− aeta

p = −a/(b− a), f(x) = −px + log(1− p + pex),

E(etU) 6b

b− aeta − a

b− aetb

= eta(

(1− p) + pet(b−a))

= ef(t(b−a))

f(0) = f ′(0) = 0 et f ′′(x) 6 14 donc f(x) 6 1

8x2 et

E(etU) 6 et2

8 (b−a)2.

Idée : Markov, Laplace, conditionement, v.a. bornées a 6 U 6 b, E(U) = 0

Convexité de u 7→ eu

∀t > 0,∀a 6 u 6 b, etu 6u− a

b− aetb +

b− u

b− aeta

E(etU) 6b

b− aeta − a

b− aetb

= eta(

(1− p) + pet(b−a))

= ef(t(b−a))

f(0) = f ′(0) = 0 et f ′′(x) 6 14 donc f(x) 6 1

8x2 et

E(etU) 6 et2

8 (b−a)2.

Idée : Markov, Laplace, conditionement, v.a. bornées a 6 U 6 b, E(U) = 0 Convexité de u 7→ eu

∀t > 0, ∀a 6 u 6 b, etu 6u− a

b− aetb +

b− u

b− aeta

E(etU) 6b

b− aeta − a

b− aetb

= eta(

(1− p) + pet(b−a))

= ef(t(b−a))

f(0) = f ′(0) = 0 et f ′′(x) 6 14 donc f(x) 6 1

8x2 et

E(etU) 6 et2

8 (b−a)2.

∀t > 0, ∀a 6 u 6 b, etu 6u− a

b− aetb +

b− u

b− aeta

E(etU) 6b

b− aeta − a

b− aetb

= eta(

(1− p) + pet(b−a))

= ef(t(b−a))

f(0) = f ′(0) = 0 et f ′′(x) 6 14 donc f(x) 6 1

8x2 et

E(etU) 6 et2

8 (b−a)2.

∀t > 0, ∀a 6 u 6 b, etu 6u− a

b− aetb +

b− u

b− aeta

E(etU) 6b

b− aeta − a

b− aetb

= eta(

(1− p) + pet(b−a))

= ef(t(b−a))

f(0) = f ′(0) = 0 et f ′′(x) 6 14 donc f(x) 6 1

8x2 et

E(etU) 6 et2

8 (b−a)2.

U = dk = E(Y | Fk)− E(Y | Fk−1) sachant Fk−1

E(etdk | Fk−1) 6 et2

8 osc(dk)2

c = osc(d1)2 + · · ·+ osc(dn)2

Somme télescopique Y − E(Y) = dn + · · ·+ d1

E(et(Y−E(Y))) = E(et(dn−1+···+d1)E(etdn | Fn−1)) 6 · · · 6 ect2

Inégalité de Markov P(Z > R) = E(1Z>R) 6 R−1E(Z)

P(Y − E(Y) > r) = P(et(Y−E(Y)) > etr)6e−trE(et(Y−E(Y)))

6 e−tr+ct2

8 6 einft>0

(−tr+ ct2

)= e−

Y et −Y donne P(|Y − E(Y)| > r) 6 2e−2r2

8 osc(dk)2

c = osc(d1)2 + · · ·+ osc(dn)2

6 e−tr+ct2

8 6 einft>0

(−tr+ ct2

)= e−

8 osc(dk)2

c = osc(d1)2 + · · ·+ osc(dn)2

6 e−tr+ct2

8 6 einft>0

(−tr+ ct2

)= e−

8 osc(dk)2

c = osc(d1)2 + · · ·+ osc(dn)2

6 e−tr+ct2

8 6 einft>0

(−tr+ ct2

)= e−

8 osc(dk)2

c = osc(d1)2 + · · ·+ osc(dn)2

6 e−tr+ct2

8 6 einft>0

(−tr+ ct2

)= e−

c .8/ 29

Wassily Hoeffding

1914 – 1991

Application aux matrices aléatoires

Outline

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Valeurs singulières

A ∈Mn(C), A∗ = A>

sk = λk(√AA∗), s1(A) > · · · > sn(A) > 0

Singular Value Decomposition (SVD)

A = Vdiag(s1, . . . , sn)U∗ =n∑

sk(A)vku∗k

Empirical spectral distribution (ESD) (sur R+)

νA =1

n∑k=1

δsk(A)

νA(J) = 1ncard1 6 k 6 n : sk(A) ∈ J

∫f dνA =

n(f(s1(A)) + · · ·+ f(sn(A)))

11/ 29

A ∈Mn(C), A∗ = A>

sk = λk(√AA∗), s1(A) > · · · > sn(A) > 0

A = Vdiag(s1, . . . , sn)U∗ =n∑

sk(A)vku∗k

νA =1

n∑k=1

δsk(A)

∫f dνA =

n(f(s1(A)) + · · ·+ f(sn(A)))

11/ 29

A ∈Mn(C), A∗ = A>

sk = λk(√AA∗), s1(A) > · · · > sn(A) > 0

A = Vdiag(s1, . . . , sn)U∗ =n∑

sk(A)vku∗k

νA =1

n∑k=1

δsk(A)

∫f dνA =

n(f(s1(A)) + · · ·+ f(sn(A)))

11/ 29

A ∈Mn(C), A∗ = A>

sk = λk(√AA∗), s1(A) > · · · > sn(A) > 0

A = Vdiag(s1, . . . , sn)U∗ =n∑

sk(A)vku∗k

νA =1

n∑k=1

δsk(A)

∫f dνA =

n(f(s1(A)) + · · ·+ f(sn(A)))

11/ 29

A ∈Mn(C), A∗ = A>

sk = λk(√AA∗), s1(A) > · · · > sn(A) > 0

A = Vdiag(s1, . . . , sn)U∗ =n∑

sk(A)vku∗k

νA =1

n∑k=1

δsk(A)

∫f dνA =

n(f(s1(A)) + · · ·+ f(sn(A)))

11/ 29

A ∈Mn(C), A∗ = A>

sk = λk(√AA∗), s1(A) > · · · > sn(A) > 0

A = Vdiag(s1, . . . , sn)U∗ =n∑

sk(A)vku∗k

νA =1

n∑k=1

δsk(A)

∫f dνA =

n(f(s1(A)) + · · ·+ f(sn(A)))

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Variation d’une fonction

Variation de f : R→ R

V(f) = supx∈S

∑k∈Z|f(xk+1)− f(xk)| ∈ [0,+∞]

Ici S = (xk)k∈Z Si f ′ ∈ L1(R) alors V(f) = ‖f ′‖1 Si f = 1]−∞,s] avec s ∈ R alors V(f) = 1.

12/ 29

V(f) = supx∈S

∑k∈Z|f(xk+1)− f(xk)| ∈ [0,+∞]

Ici S = (xk)k∈Z

Si f ′ ∈ L1(R) alors V(f) = ‖f ′‖1 Si f = 1]−∞,s] avec s ∈ R alors V(f) = 1.

12/ 29

V(f) = supx∈S

∑k∈Z|f(xk+1)− f(xk)| ∈ [0,+∞]

Ici S = (xk)k∈Z Si f ′ ∈ L1(R) alors V(f) = ‖f ′‖1

Si f = 1]−∞,s] avec s ∈ R alors V(f) = 1.

12/ 29

V(f) = supx∈S

∑k∈Z|f(xk+1)− f(xk)| ∈ [0,+∞]

Ici S = (xk)k∈Z Si f ′ ∈ L1(R) alors V(f) = ‖f ′‖1 Si f = 1]−∞,s] avec s ∈ R alors V(f) = 1.

12/ 29

Concentration

Théorème (Concentration pour mesures spectrales)

M matrice aléatoireMn(C) à lignes indépendantes

Alors pour tout f : R→ R mesurable bornée et tout r > 0,

P(∣∣∣∣∫ f dνM − E

∫f dνM

∣∣∣∣ > r

)6 2 exp

(− nr2

2V(f)2

Note : par exemple (Mij)16i,j6n i.i.d.But : ramener analyse asymptotique de νM à sa celle de EνM.

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Concentration

Théorème (Concentration pour mesures spectrales)

M matrice aléatoireMn(C) à lignes indépendantes

Alors pour tout f : R→ R mesurable bornée et tout r > 0,

P(∣∣∣∣∫ f dνM − E

∫f dνM

∣∣∣∣ > r

)6 2 exp

(− nr2

2V(f)2

Note : par exemple (Mij)16i,j6n i.i.d.But : ramener analyse asymptotique de νM à sa celle de EνM.

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Preuve (1/3) Entrelacement

Norme d’opérateur

s1(A) = max‖x‖2=1

‖Ax‖2, sn(A) = min‖x‖2=1

‖Ax‖2

Formule variationnelle de Courant-Fischer

sk(A) = maxV∈Gk

minx∈V‖x‖2=1

‖Ax‖2 = minV∈Gn−k+1

maxx∈V‖x‖2=1

‖Ax‖2

Gk sous-espaces de dimension k

Entrelacement : si r = rang(A− B) alors pour tout k

sk+r(A) 6 sk(B) 6 sk−r(A)

sk = 0 si k > n et sk = +∞ si k < 1

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s1(A) = max‖x‖2=1

‖Ax‖2, sn(A) = min‖x‖2=1

‖Ax‖2

sk(A) = maxV∈Gk

minx∈V‖x‖2=1

maxx∈V‖x‖2=1

‖Ax‖2

sk = 0 si k > n et sk = +∞ si k < 1

14/ 29

s1(A) = max‖x‖2=1

‖Ax‖2, sn(A) = min‖x‖2=1

‖Ax‖2

sk(A) = maxV∈Gk

minx∈V‖x‖2=1

maxx∈V‖x‖2=1

‖Ax‖2

sk = 0 si k > n et sk = +∞ si k < 1

14/ 29

s1(A) = max‖x‖2=1

‖Ax‖2, sn(A) = min‖x‖2=1

‖Ax‖2

sk(A) = maxV∈Gk

minx∈V‖x‖2=1

maxx∈V‖x‖2=1

‖Ax‖2

sk = 0 si k > n et sk = +∞ si k < 1

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s1(A) = max‖x‖2=1

‖Ax‖2, sn(A) = min‖x‖2=1

‖Ax‖2

sk(A) = maxV∈Gk

minx∈V‖x‖2=1

maxx∈V‖x‖2=1

‖Ax‖2

sk = 0 si k > n et sk = +∞ si k < 1

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Preuve (2/3)

FA : R→ [0,1] fonction de répartition de νA

∀t ∈ R, FA(t) =card1 6 k 6 n : sk(A) 6 t

Si rang(A− B) 6 1 alors par entrelacement

supt∈R|FA(t)− FB(t)| 6 1

Si f : R→ R dérivable avec f ′ ∈ L1(R) alors, par IPP∣∣∣∣∫ f dνA −∫f dνB

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫Rf ′(t)(FA(t)− FB(t))dt

∣∣∣∣ 6 1

∫R|f ′(t)|dt.

Approximation : pour tout f : R→ R mesurable bornée∣∣∣∣∫ f dνA −∫f dνB

∣∣∣∣ 6 V(f)

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Preuve (2/3)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫Rf ′(t)(FA(t)− FB(t))dt

∣∣∣∣ 6 1

∫R|f ′(t)|dt.

∣∣∣∣ 6 V(f)

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Preuve (2/3)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫Rf ′(t)(FA(t)− FB(t))dt

∣∣∣∣ 6 1

∫R|f ′(t)|dt.

∣∣∣∣ 6 V(f)

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Preuve (2/3)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫Rf ′(t)(FA(t)− FB(t))dt

∣∣∣∣ 6 1

∫R|f ′(t)|dt.

∣∣∣∣ 6 V(f)

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Preuve (3/3)

Fixons f : R→ R mesurable bornée

Soit A(x1, . . . , xn) ∈Mn avec lignes x1, . . . , xn Soit F : (Cn)n → R définie par

F(x1, . . . , xn) =

∫f dνA(x1,...,xn).

Pour tous x1, . . . , xn et x′1, . . . , x′n et tout 1 6 k 6 n

rangA(x1, . . . , xk, . . . , xn)− A(x1, . . . , x

′k, . . . , xn)

Grâce à l’entrelacement

|F(x1, . . . , xk, . . . , xn)− F(x1, . . . , x′k, . . . , xn)| 6 V(f)

Azuma-Hoeffding : Y = F(R1, . . . ,Rn)

R1, . . . ,Rn lignes de M, Fk = σ(R1, . . . ,Rk), ‖dk‖∞ 6V(f)n .

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Preuve (3/3)

Soit A(x1, . . . , xn) ∈Mn avec lignes x1, . . . , xn

Soit F : (Cn)n → R définie par

F(x1, . . . , xn) =

∫f dνA(x1,...,xn).

rangA(x1, . . . , xk, . . . , xn)− A(x1, . . . , x

′k, . . . , xn)

|F(x1, . . . , xk, . . . , xn)− F(x1, . . . , x′k, . . . , xn)| 6 V(f)

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Preuve (3/3)

F(x1, . . . , xn) =

∫f dνA(x1,...,xn).

rangA(x1, . . . , xk, . . . , xn)− A(x1, . . . , x

′k, . . . , xn)

|F(x1, . . . , xk, . . . , xn)− F(x1, . . . , x′k, . . . , xn)| 6 V(f)

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Preuve (3/3)

F(x1, . . . , xn) =

∫f dνA(x1,...,xn).

rangA(x1, . . . , xk, . . . , xn)− A(x1, . . . , x

′k, . . . , xn)

|F(x1, . . . , xk, . . . , xn)− F(x1, . . . , x′k, . . . , xn)| 6 V(f)

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Preuve (3/3)

F(x1, . . . , xn) =

∫f dνA(x1,...,xn).

rangA(x1, . . . , xk, . . . , xn)− A(x1, . . . , x

′k, . . . , xn)

|F(x1, . . . , xk, . . . , xn)− F(x1, . . . , x′k, . . . , xn)| 6 V(f)

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Preuve (3/3)

F(x1, . . . , xn) =

∫f dνA(x1,...,xn).

rangA(x1, . . . , xk, . . . , xn)− A(x1, . . . , x

′k, . . . , xn)

|F(x1, . . . , xk, . . . , xn)− F(x1, . . . , x′k, . . . , xn)| 6 V(f)

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Preuve (3/3)

F(x1, . . . , xn) =

∫f dνA(x1,...,xn).

rangA(x1, . . . , xk, . . . , xn)− A(x1, . . . , x

′k, . . . , xn)

|F(x1, . . . , xk, . . . , xn)− F(x1, . . . , x′k, . . . , xn)| 6 V(f)

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Application au voyageur de commerce

Outline

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Traveling Salesman Problem (TSP)

X1, . . . ,Xn positions des n villes dans Rd, d > 2

Circuit = tournée = parcours cyclique sans redondance

Circuit codé par une permutation σ ∈ Σn

Longueur du circuit optimal (convention : σ(n+ 1) = σ(1))

Ln = minσ∈Σn

n∑k=1

∥∥Xσ(k) − Xσ(k+1)

∥∥2

Trouver σopt (algorithme stochastique : recuit simulé)

Trouver Ln(X1, . . . ,Xn) (si X1, . . . ,Xn i.i.d., randomisation)

Autres problèmes d’optimisation combinatoire(randomisée) : plus longue sous-suite croissante, arbrecouvrant minimal, appariement (euclidien) minimal.

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Ln = minσ∈Σn

n∑k=1

∥∥Xσ(k) − Xσ(k+1)

∥∥2

18/ 29

Ln = minσ∈Σn

n∑k=1

∥∥Xσ(k) − Xσ(k+1)

∥∥2

18/ 29

Ln = minσ∈Σn

n∑k=1

∥∥Xσ(k) − Xσ(k+1)

∥∥2

18/ 29

Ln = minσ∈Σn

n∑k=1

∥∥Xσ(k) − Xσ(k+1)

∥∥2

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Ln = minσ∈Σn

n∑k=1

∥∥Xσ(k) − Xσ(k+1)

∥∥2

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Ln = minσ∈Σn

n∑k=1

∥∥Xσ(k) − Xσ(k+1)

∥∥2

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Théorème (Bearwood-Halton-Hammersley)

Si X1, . . . ,Xn i.i.d. bornées de densités f sur Rd alors

Lnn(d−1)/d

p.s.−→n→+∞

∫Rdf(x)(d−1)/d dx.

En particulier Ln ≈ c√n si d = 2.

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Théorème (Bearwood-Halton-Hammersley)

Si X1, . . . ,Xn i.i.d. bornées de densités f sur Rd alors

Lnn(d−1)/d

p.s.−→n→+∞

∫Rdf(x)(d−1)/d dx.

En particulier Ln ≈ c√n si d = 2.

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Concentration pour le TSP

Théorème (Réduction à l’espérance)

Si X1, . . . ,Xn i.i.d. uniformes sur [0,1]d alors

P(|Ln − ELn|n(d−1)/d

)6 2 exp

−cdt2 n

log(n) si d = 2

−cdt2n si d > 3

Note : Lemme de Borel-Cantelli

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Théorème (Réduction à l’espérance)

Si X1, . . . ,Xn i.i.d. uniformes sur [0,1]d alors

P(|Ln − ELn| > t) 6 2 exp

−cdt2 1

log(n) si d = 2

−cdt2n(d−2)/d si d > 3

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Preuve (1/3) Un peu de géométrie

Lemme (Géométrie)

∀x ∈ [0,1]d, gk(x) := E(

min16i6k

|Xi − x|)6 cdk

−1/d.

min16i6k

|Xi − x|)

∫ ∞0

min16i6k

|Xi − x| > r

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Si 0 < r 6√d alors

min16i6k

|Xi − x| > r

k∏i=1

P(Xi ∈ B(x, r)c)

=(1− |B(x, r) ∩ [0,1]d|

)k6(1− adr

d)k6 exp

(−adkrd

∫ ∞0

e−brddr = Γ(1/d)/(db1/d)

Si r >√d alors P(min16i6k |Xi − x| > r) = 0

23/ 29

min16i6k

|Xi − x| > r

k∏i=1

P(Xi ∈ B(x, r)c)

=(1− |B(x, r) ∩ [0,1]d|

)k6(1− adr

d)k6 exp

(−adkrd

∫ ∞0

23/ 29

min16i6k

|Xi − x| > r

k∏i=1

P(Xi ∈ B(x, r)c)

=(1− |B(x, r) ∩ [0,1]d|

)k6(1− adr

d)k6 exp

(−adkrd

∫ ∞0

23/ 29

V = minx∈[0,1]d |B(x, r) ∩ [0,1]d|

Minimum atteint sur les coins du cube [0,1]d

Si r 6 1 alors minimum = 2−d|B(0, r)| = 2−d|B(0,1)|rd

Si r >√d alors le volume vaut toujours 1

Si 1 < r 6√d alors minimum > cas r = 1

V>2−d|B(0,1)|(r/√d)d = adr

Fin de la preuve du lemme de géométrie.

24/ 29

V = minx∈[0,1]d |B(x, r) ∩ [0,1]d| Minimum atteint sur les coins du cube [0,1]d

V>2−d|B(0,1)|(r/√d)d = adr

24/ 29

V>2−d|B(0,1)|(r/√d)d = adr

24/ 29

V>2−d|B(0,1)|(r/√d)d = adr

24/ 29

V>2−d|B(0,1)|(r/√d)d = adr

24/ 29

V>2−d|B(0,1)|(r/√d)d = adr

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Preuve (2/3)

Azuma-Hoeffding : Y = Ln(X1, . . . ,Xn) = F(X1, . . . ,Xn) = Ln

S ⊂ Rd 7→ L(S)

L(S) 6 L(S ∪ x) 6 L(S) + 2 miny∈S|x− y|.

S = x1, . . . , xn \ xk et x = xk puis x = x′k,∣∣F(x1, . . . , xk, . . . , xn)− F(x1, . . . , x′k, . . . , xn)

∣∣6 2 min

∣∣x′k − xi∣∣+ 2 min

i 6=k|xk − xi|

6 2 mini>k

∣∣x′k − xi∣∣+ 2 min

i>k|xk − xi|.

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Preuve (2/3)

S ⊂ Rd 7→ L(S)

L(S) 6 L(S ∪ x) 6 L(S) + 2 miny∈S|x− y|.

∣∣6 2 min

∣∣x′k − xi∣∣+ 2 min

i 6=k|xk − xi|

6 2 mini>k

∣∣x′k − xi∣∣+ 2 min

i>k|xk − xi|.

25/ 29

Preuve (2/3)

S ⊂ Rd 7→ L(S)

L(S) 6 L(S ∪ x) 6 L(S) + 2 miny∈S|x− y|.

∣∣6 2 min

∣∣x′k − xi∣∣+ 2 min

i 6=k|xk − xi|

6 2 mini>k

∣∣x′k − xi∣∣+ 2 min

i>k|xk − xi|.

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Preuve (3/3)

Rappel : gk(x) := E(

min16i6k

|Xi − x|)

. Donc pour 1 6 k < n

|dk| 6 2E(

mini>k|Xk − Xi|+ min

∣∣X′k − Xi∣∣ ∣∣∣∣Fk)

= 2gn−k(Xk) + 2E(gn−k(X′k)).

Lemme géométrique⇒ ‖dk‖∞ 6 cd(n− k)−1/d

D’autre part ‖dn‖∞ = Od(1) car Xi bornées

Conclusion :

n∑k=1

‖dk‖2∞ 6

cd log(n) pour d = 2,

cdn(d−2)/d pour d > 2.

26/ 29

Preuve (3/3)

min16i6k

|Xi − x|)

|dk| 6 2E(

∣∣X′k − Xi∣∣ ∣∣∣∣Fk)

= 2gn−k(Xk) + 2E(gn−k(X′k)).

Conclusion :

n∑k=1

‖dk‖2∞ 6

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Preuve (3/3)

min16i6k

|Xi − x|)

|dk| 6 2E(

∣∣X′k − Xi∣∣ ∣∣∣∣Fk)

= 2gn−k(Xk) + 2E(gn−k(X′k)).

Conclusion :

n∑k=1

‖dk‖2∞ 6

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Preuve (3/3)

min16i6k

|Xi − x|)

|dk| 6 2E(

∣∣X′k − Xi∣∣ ∣∣∣∣Fk)

= 2gn−k(Xk) + 2E(gn−k(X′k)).

Conclusion :

n∑k=1

‖dk‖2∞ 6

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John Hammersley

1920 – 2004

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Épilogue

Concentration et grande dimensionMilman, Maurey, McDiarmid, Talagrand, Ledoux,Boucheron-Lugosi-Massart, Guionnet-Zeitouni,Rudelson-Vershynin, Tropp, ...

Superconcentration et concentration non-LipschitzTalagrand, Chatterjee, Adamczak, ...

ContributionsC.-Malrieu, Bordenave-C.-Caputo,C.-Guédon-Lecué-Pajor, ...

28/ 29

Merci pour votre attention !

29/ 29

Autour d'une inégalité de concentration de la mesureAutour d’une inégalité...

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