BAB 3 UKURAN PEMUSATAN DAN PENYEBARAN DATA · 2017. 1. 8. · B. UKURAN PENYEBARAN Ukuran...

BAB 3

UKURAN PEMUSATAN DAN

PENYEBARAN DATA

Hikmah Agustin, S.P.,MM

Ukuran Pemusatan

1.Rata-rata (Average)

• rata-rata merupakan nilai yang cukup representative untuk memberikan gambaran tentang nilai-nilai yang terdapat dalam data yang bersangkutan.

• Jenis rata-rata yang lazim digunakan sebagai pengukuran lokasi atau pengukuran pusat adalah rata-rata, median, dan modus.

• RUMUS :

Contoh :Rata-rata data Tunggal

• Jumlah produksi PT Eka Utama selama 5 bulan adalah :

10 ; 15 ; 13 ; 10 ; 12 (dalam ton),

• Maka rata-rata produksinya selama 5 bulan adalah:

Rata Hitung data Kelompok

Rata-rata hitung dari data yang dikelompokkan dapat di cari dengan meggunakan rumus :

mi = titik tengah interval kelas

• fi = frekuensi kelas

• k = jumlah kelas

Contoh

Data produksi roti gandum 100 buah

Hasil produksi mi fi mifi

20 – 34 27 8 216

35 – 49 42 24 1008

50 – 64 57 27 1539

65 – 79 72 20 1440

80 – 94 87 8 696

95 – 109 102 8 816

110 – 124 117 4 468

125 – 139 132 1 132

Jumlah 100 6315

2. Median

• Median merupakan nilai pusat dari sekelompok data. istilah lain adalah nilai tengah dari nilai-nilai pengamatan yang disusun secara teratur menu rut besarnya data.

• Median juga disebut sebagai rata-rata posisi / letak (positional average).

• Pengamatan yang tepat di tengah-tengah apabila banyaknya pengamatan itu ganjil atau rata-rata kedua pengamatan yang di tengah apabila banyaknya pengamatan genap.

• Secara teoritis median membagi seluruh jml observasi yang lebih kecil ke dalam 2 bagian yang sama.

Contoh soalBerat 5 barang (dalam ton) yang dihasilkan oleh PT Sejahtera adalh 86, 98, 81, 94 dan 102. Tentukan median dari berat barang tsb.

Setelah mengurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar mkdiperoleh median 94,karena posisinya ada ditengah

81 86 94 98 102

• Rumus Median data Berkelompok :

B = tepi kelas bawah dari interval dimana median terletak

n = jumlah nilai observasi (frekuensi total)

f = frekuensi dibawah kelas yg berisi median(sebelum nilai median)

fm = frekuensi dari kelas yang mengandung median.

i = besarnya interval kelas

Contoh soal

Hasil produksi f Tepi kelas Frekuensi kumulatif

20 – 34 8 19,5 8

35 – 49 24 34,5 32

50 – 64 27 49,5 59

65 – 79 20 64,5 79

80 – 94 8 79,5 87

95 – 109 8 94,5 95

110 – 124 4 109,5 99

125 – 139 1 124,5 100

jumlah 100

3. Modus

• Nilai yang terjadi dengan frekuensi terbesar, yaitu nilai yang paling banyak.

• Modus mungkin tidak ada dan mungkin tidak unik.

• Modus berguna untuk mengetahui tingkat keseringan kejadian/peristiwa.

Contoh

• Di bawah ini adalah data tentang jumlah karyawan PT Kiat Makmur yang tidak masuk kerja tiap harinya selama 11 hari.

2 ; 2 ; 5 ; 7 ; 9 ; 9 ; 9 ; 10 ; 10 ; 11 ; 12

Maka modusnya adalah 9 orang, karena frekuensi atau jumlah 9 orang adalah yang sering muncul.

Rumus Modus data Berkelompok

Li = tepi kelas bawah dari kelas modus (kelas yang mengandung modus)

∆1 = selisih/kelebihan frekuensi modus dengan frekuensi sebelumnya ( lebih rendah)

∆2 = selisih/kelebihan frekuensi modus dengan frekuensi sesudahnya ( lebih tinggi)

i = besarnya interval kelas

Contoh:Distribusi frekuensi hasil produksi roti gandum (dalambuah)selama 100 hari yang diproduksi oleh PT Miti adalah:

Hasil produksi f Tepi kelas Frekuensi kumulatif

20 – 34 8 19,5 8

35 – 49 24 34,5 32

50 – 64 27 49,5 59

65 – 79 20 64,5 79

80 – 94 8 79,5 87

95 – 109 8 94,5 95

110 – 124 4 109,5 99

125 – 139 1 124,5 100

jumlah 100

Latihan !

Data Frekuensi (fi)

Frekuensi Kumulatif

Tepi Kelas Bawah

Titik Tengah

(mi)

mi.fi

10 – 24 12

25 – 39 20

40 – 54 25

55 – 69 18

70 – 84 25

Jawab :

= 39,5 + 100/2 – 32 x 14 = 49,58 57-32

b. Median :

a. Rata Hitung x=5060 /100 = 50,60

c. Modus :

Mo 1 = 39,5 + ..5... x 14 = 45,335+7

Mo 2 = 69,5 + ..7... x 14 = 72,567+25

B. UKURAN PENYEBARAN

Ukuran penyebaran digunakan untuk mengukur penyim-pangan nilai-nilai data disekitar nilai rata-rata.

Perhitungan deviasi didasarkan pada penyimpangan nilai-nilai data secara individu terhadap rata-ratanya, karenanya deviasi akan semakin besar jika nilai-nilai datanya me-nyebar

1. Variansi

• Ukuran variansi menggambarkan seberapa jauh nilai penyimpangan dari serangkaian nilai observasi.

• Nilai variansi diperoleh lebih kecil apabila nilai-nilai tersebut berkonsen-trasi di sekitar rata-ratanya,atau nilai tunggal yang menunjukkan rata-rata distribusi secara lengkap.

• Nilai ukuran variansi yang kecil menunjukkan tingkat keragaman data yang rendah. tetapi sebaliknya nilai keragaman besar, mk nilai variansi juga besar dan nilai-nilai observasi menyebar jauh dari nilai rata-ratanya atau saling berjauhan.

Variansi dibedakan mjd 2 yaitu :

1. Ukuran variansi absolut, digunakan untuk membandingkan suatu ukuran variasi yang satu dengan yang lain dalam populasi yang sama

contoh: rupiah, kg, ton.

2. Ukuran variansi relatif, biasanya digunakan untuk membandingkan beberapa variansi dari beberapa populasi dengan unit pengukuran yang berbeda .

seperti: range/jangkauan, simpangan,rata-rata, standar deviasi.

Rumus Variansi

• Rumus Karl Pearson biasanya digunakan untuk menghitung variansi dari data populasi,

• Fisher dan Wilk digunakan untuk data sampel.

Contoh • Sebuah industry yang bergerak dalam bidang pemintal mempunyai 6 mesin

pemintal. Berat ke6 mesin pemin tal (dalam ton) tersebut adalah:

6 ; 8 ; 7 ; 9 ; 5 ; 7

Contoh

-

Hasil produksi Xi (Xi – x¯)2 fi (Xi-x)2 fi

20 – 34 27 1306,82 8 10454,58

35 – 49 42 447,32 24 10735,74

50 – 64 57 37,82 27 1021,21

65 – 79 72 78,32 20 1566,45

80 – 94 87 568,82 8 4550,58

95 – 109 102 1509,32 8 12074,58

110 – 124 117 2899,82 4 11599,29

125 – 139 132 4740,32 1 4740,32

Jumlah 100 56742,75

Range/Jangkauan

Jangkauan adalah selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum yang terdapat dalam data.

Jangkauan dapat dihitung dengan rumus:

• R = X maks – X min

Contoh :

Tentukan range dari data : 10,6,8,2,4

Jawab :

R = Xmaks – Xmin = 10 – 2 = 8

3.Simpangan Baku / standar deviasi

Simpangan Baku (S) dari sekumpulan bilangan adalah

akar dari jumlah deviasi kuadrat dari bilangan-bila

ngan tersebut dibagi dengan banyaknya bilangan atau

akar dari rata-rata deviasi kuadrat.

n

xxi 2

a. Data Tunggal

S = S =22

n

x

n

x

atau

Contoh :

Tentukan simpangan baku dari data :

2,3,5,8,7.

Jawab :

=

= 5

x5

78532

x

2

3

5

8

7

xx

- 3

- 2

0

3

2

2xx

9

4

0

9

4

26

n

xxi 2

S =

5

26

2,5

=

=

Simpangan Baku

b. Data berbobot / berkelompok

S =

S =

atau

f

xxf2

22

f

f.x

f

fx

Contoh:

Tentukan standar deviasi dari data berikut

Data Frekw x

3 – 5 2 4

6 – 8 4 7

9 – 11 8 10

12 - 14 6 13

Jumlah 20

Penyelesaian :

Data Frek x

3 – 5 2 4

6 – 8 4 7

9 – 11 8 10

12 - 14 6 13

Jumlah 20

22

f

f.x

f

fx

2

20

194

20

2042

Jawab :

S =

=01,8

x2 f.x f.x2

16 8 32

49 28 196

100 80 800

169 78 1014

194 2042

=

PENYAJIAN DATA1. Diagram batang dan daun

Langkah-langkah membuat diagram batang dan daun:

1. Dari angka-angka yang diteliti pilihlah batang dan daun. Perlu diingat bahwa

batang mencakup angka terkecil dan terbesar.

2. Batang diurutkan dari bagian terkecil di ujung atas dan bagian terbesar di ujung

bawah.

3. Bagian daun diletakkan pada batang yang bersesuaian. Urutkanlah daun dari

terkecil sampai terbesar untuk setiap batang.

4. Buatlah catatan mengenai satuan batang dan daun.

5. Periksa kembali apakah tidak ada angka yang terlewati dengan menghitung

jumlah daun.

Contoh D-Batang Daun

2.Diagram Kotak & Titik

Jawab :

Outlier/Pencilan

KUARTIL

Kuartil adalah nilai yang membagi kelompok data atas empat

bagian yang sama setelah bilangan-bilangan itu diurutkan.

Dengan garis bilangan letak kuartil dapat ditunjukkan sebagai

berikut:Q1 Q2 Q3

Menentukan nilai Kuartil

a. Data tunggal

Letak Qi = data ke

dengan i = 1, 2, 3 dan n = banyaknya data

4

)1( ni

Contoh :

Hasil pendataan usia, dari 12 anak balita (dalam tahun) diketahui sebagai b

erikut : 4, 3, 4, 4, 2, 1, 1, 2,1, 3, 3, 4 , tentukan :

a. Kuartil bawah (Q1)

b. Kuartil tengah (Q2)

c. Kuartil atas (Q3)

Jawab :

Data diurutkan : 1,1,1,2,2,3,3,3,4,4,4,4

a.Letak Q1 = data ke

= data ke 3 ¼

Nilai Q1 = data ke-3 + ¼ (data ke4 – data ke3)

= 1 + ¼ (2 – 1) = 1¼

4

)112(1

b. Letak Q2 = data ke

= data ke 6½

Nilai Q2 = data ke 6 + ½ (data ke7 – data ke6)

= 3 + ½ (3 – 3) = 3

4

)112(2

Lanjutan>>

c. Letak Q3 = data ke

= data ke 9 ¾

Nilai Q3 = data ke 9 + ¾ (data ke10 - data ke 9)

= 4 + ¾ (4 – 4) = 4

4

)112(3

Terima KasihSelamat Menempuh UTS