View
26
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
152
BAB X
VOLUME BANGUN RUANG
A. Volume Kubus dan Balok
Untuk menyatakan ukuran besarnya suatu bangun ruang kita gunakan volum.
Volum suatu bangun ruang kita tentukan dengan membandingkan terhadap satuan
pokok, misalnya cm3.
1 cm3 adalah volum kubus yang panjang rusuknya 1
cm. Volum kubus di samping adalah 1 cm3.
Hubungan antara satuan volum yang satu dengan satuan volum yang lain
dinyatakan dengan tangga satuan volum berikut ini.
1 liter = 1 dm3
1 ml = 1 cm3 = 1 cc
Balok Panjang Lebar Tinggi Banyak Kubus Volum
3 cm 2 cm 1 cm 6 = 3 x 2 x 1 6 cm3
3 cm 2 cm 2 cm 12 = 3 x 2 x 2 12 cm3
153
4 cm 2 cm 3 cm 24 = 4 x 2 x 3 24 cm3
p cm l cm t cm p x l x t plt cm3
Karena hasil kali panjang dan lebar merupakan luas alas, maka volum balok dapat
juga dinyatakan sebagai berikut.
Volum balok = luas alas x tinggi
Untuk bangun ruang yang berbentuk kubus, karena kubus merupakan balok
khusus yaitu balok yang panjang, lebar, dan tingginya sama, maka volum kubus
diperoleh sebagai berikut.
V = p x l x t
= s x s x s
V = s3
Contoh:
Panjang 2 dm 20
p = 20, 1 9 dan. t = 8
v=pxlxt
= 20 x 9 x 8 .v=1.440
Jadi, volum balok 1.440 cm3
1. Tentukanlah volum balok yang berukuran panjang = 2 dm, lebar = 9 cm, dan
tinggi = 8 cm!
Jawab:
Panjang = 2 dm = 20 cm
p = 20, 1 = 9 dan. t = 8
V = p x l x t
154
= 20 x 9 x 8 .
V = 1.440
Jadi, volum balok 1.440 cm3
2. Sebuah tangki air berbentuk balok volumnya 648 liter. Jika panjangnya 120
cm dan lebarnya 60 cm, berapa cm kah tinggi tangki?
Jawab:
Volume = 648 liter = 648 dm3 = 648.000 cm3
V = 648.000
p = 20
1 =60
V = p x l x t
643.000 = 120 x 60 x t
643.000 = 7200 t
t = 200.7
000.648
t = 90
Jadi, tinggi tangki = 90 cm.
B. Volume Prisma dan Tabung
1. Volume Prisma
Bila balok pada Gambar (i) dipotong tegak sepanjang salah satu
bidang diagonalnya, maka akan terbentuk dua prisma segitiga seperti Gambar
(ii). Kedua prisma segitiga pada Gambar (ii) dapat kita gabungkan sedemikian
rupa sehingga terbentuk sebuah prisma segitiga seperti Gambar (iii). Dengan
155
demikian, prisma pada Gambar (iii) dan balok pada Gambar (i) memiliki
volume yang sama, luas alas yang sama dan tinggi yang sama pula, sehingga
dapat dinyatakan bahwa:
Volum prisma segitiga = luas alas x tinggi atau V = Lt
Untuk menentukan volum prisma yang alasnya bukan segitiga, dapat
kita lakukan dengan cara membagi prisma tersebut menjadi beberapa prisma
segitiga seperti pada gambar berikut.
Gambar (i) adalah prisma segi enam beraturan. Untuk menentukan
volumnya, kita bagi prisma tersebut menjadi 6 buah prisma yang sama seperti
ditunjukkan pada Gambar (ii) dan (iii), sehingga:
Volum prisma segi enam = 6 x volum prisma segitiga
= 6 x luas segitiga x tinggi
= (6 x luas segitiga) x tinggi
= Luas segi enam x tinggi
= Luas alas x tinggi
Oleh karena setiap prisma segi banyak dapat dibagi menjadi beberapa
prisma segitiga, maka dapat kita simpulkan sebagai berikut.
Untuk setiap prisma berlaku rumus V = Lt
dengan V = volum, L = luas alas, dan t = tinggi
156
Contoh:
1. Alas sebuah prisma berbentuk belahketupat dengan panjang diagonal
masing-masing 12 cm dan 8 cm. Bila tinggi prisma 9 cm, hitunglah volum
prisma tersebut!
Jawab:
Oleh karena alas prisma berbentuk belahketupat, maka:
Luas alas = 2
DiagonalDiagonal
Sehingga
V = Lt
= 92
812
= 48 x 9
V = 432
Jadi volume prisma = 432 cm3
2. Alas sebuah prisma berbentuk segitiga sama sisi dengan panjang sisi-
sisinya 6 cm. Hitunglah volum prisma tersebut bila tingginya 8 cm!
Jawab:
Terlebih dahulu kita hitung tinggi segitiga alas dan luas alas, yaitu:
t2 = 62 – 32
= 36 – 9
t2 = 27
t = 27
157
t = 5,20
Tinggi segitiga alas = 5,20 cm
L = 2
1 at
= 2
1 x 6 x 5,20
L = 15,6
Luas alas prisma = 15,6 cm2
Kemudian kita tentukan volum prisma, yaitu:
V = Lt
= 15,6 x 8
V = 124,8
Jadi, volum prisma = 124,8 cm3
3. Suatu kolam renang mempunyai ukuran panjang 20 m dan lebar 5 m.
Kedalaman air pada ujung yang dangkal 1 m dan terus melandai sampai 3
m pada ujung yang paling dalam. Berapa literkah volum air dalam kolam
itu?
Jawab:
Ternyata sketsa kolam renang di atas berbentuk prisma, karena dibatasi
oleh dua sisi berhadapan yang kongruen dan sejajar yang berbentuk
trapesium. Dengan demikian, alas prisma berbentuk trapesium dan sebagai
tinggi prisma adalah lebar kolam.
158
V = Lt
= 52
20)31(
+ ………→ L =
2
Tinggisejajar sisiJumlah
= 40 x 5
V = 20
Jadi, banyak air dalam kolam = 200 m3
= 200.000 dm3
= 200.000 liter
2. Volume Tabung
Gambar (i) adalah prisma dengan alas berbentuk segi enam beraturan.
Jika jumlah rusuk pada sisi alas dan sisi atas ditambah terus menerus, maka
akan diperoleh prisma seperti Gambar (ii) yang sisi alas maupun sisi atasnya
tidak berbeda dengan lingkaran.
Dari keterangan di atas, dapat kita simpulkan bahwa tabung adalah
prisma yang alasnya berbentuk lingkaran, sehingga volum tabung dapat
dinyatakan dengan cara berikut ini.
V = Lt
= r2 x t ……………….. → L = r2 (luas lingkaran)
V = r2t
Untuk setiap tabung (silinder) berlaku rumus
V = r2t
dengan V = volume, r = jari-jari alas, t = tinggi
dan nilai = 3,14 atau = 7
22
159
Contoh:
1. Hitunglah volum tabung yang berdiameter 7 cm, tinggi 4 cm, dan
pendekatan = 7
22
Jawab:
Diameter 7 cm, maka r = 3,5 cm
Tinggi 4 cm, maka t = 4 cm
V = r2t
= 7
22x 3,5 x 3,5 x 4
= 11 x 3,5 x 4
V = 154
Jadi, volum tabung 154 cm3.
Catatan:
Walaupun V = r2t adalah rumus volum tabung, tetapi dapat kita gunakan
untuk menentukan jari-jari alas maupun tinggi tabung.
2. Sebuah tabung berisi 770 cm3 zat cair. Jari-jari alas tabung 7 cm.
Hitunglah tinggi zat cair itu jika = 7
22
Jawab:
Volum = 770 cm3, maka V = 770
Jari-jari alas = 7 cm, maka r = 7
V = r2t
770 = 7
22 x 7 x 7 x t
770 = 22 x 7 x t
t = 722
770
= 22
110
160
T = 5
Jadi, tinggi zat cair = 5 cm.
C. Volum Limas
Rumus untuk volum limas dapat kita buktikan berdasarkan rumus volum
bangun ruang yang telah kita pelajari sebelumnya, yaitu volum kubus atau volum
prisma.
Gambar (i) menunjukkan suatu kubus yang panjang rusuknya sama
dengan keempat diagonal ruangnya saling berpotongan pada satu titik. Dalam
kubus tersebut ternyata terdapat enam buah limas yang sama. Masing-masing
limas tersebut beralaskan sisi kubus dan tingginya setengah panjang rusuk. kubus.
Salah satu limas tersebut ditunjukkan pada Gambar (ii).
Jika volum masing-masing limas pada Gambar (i) adalah V, maka volum
enam buah limas sama dengan volum kubus, sehingga diperoleh rumus berikut
ini.
Volum 6 limas = Volum kubus
6V = s x s x s
= (s x s) x s
= (s x s) x 2
1s x 2 ………….→ s x s = L dan
2
1s = t
= L x t x 2
6V = 2Lt
V = 6
Lt2
161
V = Lt3
1
Untuk setiap limas berlaku rumus V = 3
1Lt
dengan V = volum, L = luas alas dan t = tinggi
Contoh:
1. Alas sebuah limas berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi masing-
masing 6 cm, 8 cm, dan 10 cm. Bila tinggi limas 9 cm, hitunglah volum limas
tersebut!
Jawab:
V = 3
1Lt
= 3
1 x (
2
1 x 6 x 8) x 9
= 3
1 x 24 x 9
= 8 x 9
V = 72
Jadi, volum limas = 72 cm3
2. Alas sebuah limas berbentuk persegi panjang dengan panjang 12 cm dan lebar
8 cm. Bila volumnya 336 cm3 tentukan tinggi limas!
Jawab:
V = 3
1L . t
336 = 3
1 x (12 x 8) x t
336 = 32t
162
t = 32
336
t = 10,5
Jadi, tinggi limas adala 10,5 cm
3. Alas sebuah limas beraturan berbentuk persegi dengan panjang sisi 10 cm jika
tinggi segitiga pada sisi tegaknya adalah 13 cm, hitunglah:
a. Tinggi limas
b. Volum limas
Jawab:
a. Perhatikan segitiga siku-siku yang
panjang sisi-sisinya 5 cm, t cm, dan 13
cm, maka:
t2 = 132 – 52
= 169 – 25
t2 = 144
t = 12
Jadi, tinggi limas = 12 cm.
b. V = 3
1Lt
= 3
1 x (10 x 10) x 12
= 100 x 4
V = 400
Jadi, volum limas = 400 cm3
Catatan:
1. Limas segi-n beraturan adalah limas yang alasnya berbentuk segi-n
beraturan dan sisi-sisi tegaknya merupakan segitiga-segitiga sama kaki
yang kongruen.
163
2. Alas limas yang berbentuk persegi atau persegi panjang, pada gambar
tampak sebagai jajargenjang. Tinggi limas dapat dibuat melalui titik
potong diagonal-diagonal jajargenjang.
3. Sisi pada bangun datar merupakan garis dan sisi pada bangun ruang
merupakan bidang.
D. Volum Kerucut
Oleh karena kerucut dapat dipandang sebagai limas yang alasnya berbentuk
lingkaran, maka rumus volum limas berlaku untuk kerucut, sehingga:
V = 3
1Lt
= 3
1r2 x t ………….→ L = r2
V = 3
1r2t
Pada Gambar di atas, s disebut garis pelukis, yaitu garis yang menghubungkan
titik puncak kerucut dengan titik pada kelilling lingkaran.
Ternyata s, r, dan t merupakan sisi-sisi pada sebuah segitiga siku-siku, sehingga
diperoleh rumus s2 = r2 + t2.
Untuk setiap kerucut berlaku rumus berikut
V = 3
1 r2t dan s2 = r2 + t2
dengan V = volum, r = jari-jar, t = tinggi,
s = garis pelukis dan nilai t = 3,14 atau 7
22
Contoh:
1. Jari-jari alas sebuah kerucut = 3,5 cm dan tingginya = 15 cm. Jika = 7
22,
hitunglah volum kerucut itu!
Jawab:
164
Jari-jari alas 3,5 cm, maka r = 3,5
Tinggi = 15 cm, maka t = 15
V = 3
1 r2t
= 3
1 x
7
22x 3,5 x 3,5 x 15
= 11 x 3,5 x 5
V = 192,5
Jadi volume kerucut = 192,5 cm3
2. Hitunglah volum kerucut dengan jari-jar alas 6 cm, garis pelukis 10 cm, dan
= 3,14.
Jawab:
Jari-jari alas 6 cm, maka r = 6
Garis pelukis 10 cm, maka s = 10
Kita tentukan dulu tinggi kerucut, yaitu:
s2 = r2 + t2
102 = 62 + t2
100 = 36 + t2
t2 = 100 – 36
t2 = 64
t = 8
Atau
t2 = s2 – r2
= 102 – 62
= 100 – 36
t2 = 64
t = 8
Berikutnya kita tentukan volum kerucut:
V = 3
1 r2t
165
= 3
1 x 3,14 x 6 x 6 x 8
= 3,14 x 2 x 6 x 8
= 6,28 x 48
V = 301,44
Jadi, volum kerucut = 301,44 cm3
3. Volum suatu kerucut 462 cm3. Jika tinggi kerucut 9 cm dan = 7
22m
hitunglah panjang jari-jari alas kerucut tersebut!
Jawab:
Volum = 462 cm3, maka V = 462
Tinggi = 9 cm, maka t = 9
V = 3
1 r2t
462 = 3
1x
7
22 x r2 x 9
462 = 7
22 x r2 x 3
462 = 7
66 x r2
r2 = 462 : 7
66
r2 = 462 x 66
7
r2 = 49
r = 7
Jadi jari-jari alas kerucut = 7 cm
E. Volume Bola
Gambar (1) berikut merupakan setengah bola dengan panjang jari-jari r,
dan Gambar (ii) menunjukkan sebuah kerucut dengan panjang jari-jari r dan
166
tinggi r juga. Bila kerucut diisi penuh dengan tepung, kemudian tepung tersebut
kita tuangkan ke dalam setengah bola, ternyata setengah bola dapat memuat tepat
2 kali volum kerucut, sehingga dapat dituliskan sebagai berikut.
Volum bola = 4 x volum kerucut
= 4 x 3
1 r2t
= 4 x 3
1 r2 x r ………………… t = r
Volume bola = 3
4r3
Contoh:
1. Hitunglah volum bola dengan panjang jari-jari 10 cm dan = 3,14
Jawab:
V = 3
4r3
= 3
4x 3,14 x 10 x 10 x 10
= 3
4 x 3,140
V = 4.186,67 (dibulatkan sampai 2 desimal)
2. Apabila volum sebuah vola 1.4373
1, hitunglah panjang jari-jari bola tersebut
dengan = 7
22!
Jawab:
167
V = 3
4r3
1.4373
1 =
3
4 x
7
22 x r3
1.4373
1 =
21
88 x r3
r3 = 1.4373
1 :
21
88
= 88
21
3
312.4
= 49 x 7
r3 = 343
r = 3 343
r = 7
Atau
r3 = 72 x 7
r3 = 73
r = 7
Jadi panjang jari-jari bola adalah 7 cm.
Recommended