beberapa-fungsi-lain1

BEBERAPA DEFINISI FUNGSI

Oleh :

DEFRY PRASETYO, M.PD

Himpunan bilangan riil terdiri dari himpunan bilangan Rasional dan bilangan Irasional, sedangkan bilangan rasional terdiri dari himpunan bilangan rasional negatif dan bilangan rasional positif. Himpunan bilangan rasional positif terdiri dari himpunan bilangan cacah dan bilangan pecahan positif.

PENGERTIAN BILANGAN RIIL

Sistem Bilangan RealSistem Bilangan : himpunan dari bilangan – bilangan

beserta sifat2nya.

Himpunan Bilangan Asli (N) = {1, 2, 3, …} Himpunan Bilangan Cacah = {0, 1, 2, 3, … }

Himpunan Bilangan Bulat (Z) = { …,-3,-2,-1,0,1,2,3, …} Himpunan Bilangan Rasional (Q) : Suatu bilangan yang

dinyatakan p/q dengan p dan q bilangan bulat dan q ≠ 0 Himpunan Bilangan Irrasional : bilangan yang tidak

dapat dinyatakan ke bentuk rasional

Himpunan Bilangan Real : Gabungan himpunan bilangan rasional dengan himpunan bilangan irrasional.

Sistem BilanganBil Real

Bil Rasional

Bil Bulat

Bil Asli

Himpunan bilangan riil terdiri dari himpunan bilangan Rasional dan bilangan Irasional, sedangkan bilangan rasional terdiri dari himpunan bilangan rasional negatif dan bilangan rasional positif. Himpunan bilangan rasional positif terdiri dari himpunan bilangan cacah dan bilangan pecahan positif.

Selang Suatu himpunan bagian dari himpunan bilangan real.

Penulisan Himpunan Selang Grafik

{x| a < x < b} (a,b)

{x| a ≤ x < b } [a, b)

{x | a < x ≤ b } (a, b]

{x| a ≤ x ≤ b } [a, b]

{x | x ≤ b } (-∞, b]

{x | x < b } (-∞, b)

{x | a ≤ x } [a, +∞)

{x | a < x } (a, +∞)

a b

a b

a b

a b

b

b

a

a

Nilai Mutlak

Nilai mutlak dari bilangan real x, ditulis |x|, didefinisikan sebagai berikut :

;|| 0,0,

xbilaxxbilaxx

Sifat-sifat Nilai Mutlak1. Untuk setiap bilangan real x berlaku

a) |x| 0b) |x| = |- x|c) - |x| ≤ x ≤ |x|d) |x|2 = |x2| = x2

2. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku :

a) |x| = |y| ↔ x = ± y ↔ x2 = y2

b) |x – y | = |y – x |

Sifat-sifat Nilai Mutlak3. Jika a 0, maka

a) |x| ≤ a ↔ -a ≤ x ≤ a ↔ x2 ≤ ab) |x| a ↔ x a atau x ≤ - a ↔ x2 a2

4. Ketaksamaan segitiga. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku :

a) |x + y| ≤ |x| + |y| b) |x – y| ≤ |x| + |y|

c) |x| - |y| ≤ |x – y |d) | |x| - |y| | ≤ |x – y |

Sifat – sifat nilai mutlak

5. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku:

a) |xy| = |x| |y|

b) |x/y| = |x| / |y|; y ≠ 0

FUNGSI

DefinisiFungsi f adalah suatu aturan

korespodensi yang menghubungkan tiap obyek x dalam suatu himpunan (daerah asal) dengan sebuah nilai unik (tunggal) f(x) dari himpunan kedua yaitu himpunan nilai yang disebut daerah hasil fungsi tersebut.

Jenis – jenis Fungsi

Fungsi linier Fungsi kuadrat Fungsi trigonometri Fungsi eksponential Fungsi logaritma

Fungsi linier

Fungsi linear memiliki gambar grafik sebagai garis lurus. Notasinya adalah sbb:

y = f(x) = a1x + a0; a1 ≠ 0

contoh : y = 4x + 3

a1 disebut gradien atau koefisien kemiringan

Fungsi kuadrat

Grafik bentuk kuadrat berupa parabola, dimana bentuk rumusnya adalh:

y = f(x) = a2x2 + a1x +a0; a2 ≠ 0

Contoh : y = x2 – 4x + 3

Fungsi Eksponential

Persamaan umum fungsi eksponen :y = f(x) = ax; a > 0, a ≠ 1

Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma didefinisikan dengan persamaan :

y = f(x) = logax , a > 0 , a ≠ 1

Fungsi ini terdefiniskan untuk x > 0, dan merupakan invers dari fungsi eksponen.

Operasi Fungsi

1. Jumlah dan SelisihMisalkan f dan g adalah sebuah fungsi, maka :(f + g) (x) = f(x) + g(x)(f – g) (x) = f(x) – g(x)

catatan :Daerah asal (f + g) dan (f - g) adalah irisan dari daerah asal f dan g

Operasi Fungsi

2. Hasil kali, Hasil Bagi dan Pangkat

Dengan anggapan bahwa f dan g mempunyai daerah asal, maka(f • g) (x) = f(x) • g(x)(f/g) (x) = f(x) / g(x) ; g(x) ≠ 0

Operasi perpangkatan pada dasarnya adalah perkalian berulang. fn artinya f kali f sebanyak n kali.

CONTOH CONTOH ccccSOALSOALcccccccCCCCCCCCcccccccCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

Contoh soal

Diketahui : f(x) = 2x-4 g(x) = -3x+2Ditanya : 1. f+g = 2x-4-3x+2 = -x-2 2. f–g = 2x -4 –(-3x+2) = 5x - 6 3. f · g = (2x – 4)(-3x+2) = -6x² + 16x –

8 4. f/g = (2x-4)/(-3x+2) =

(-6x²+8x+8)/(9x²-4)

FUNGSI KONSTAN Notasinya : f(x) = c Apabila terdapat fungsi f : AB, Fungsi f disebut

fungsi konstan jika setiap anggota A dipetakan ke satu anggota B yang sama

Misalkan : f(x) = 2 dan x bil real Grafik fungsi ini berupa garis lurus sejajar

sumbu x

FUNGSI LINIER

Notasinya : f(x) = mx+n Grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan

gradien m dan melalui titik (0,n)

GRAFIK FUNGSI Diketahui : f(x) = x+1 dimana domain dan kodomain berupa bil

riil Menuliskan fungsi dalam tabel

Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius

GRAFIK FUNGSI Diketahui : f(x) = 2x dimana domain dan kodomain berupa bil

riil Menuliskan fungsi dalam tabel

Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius

FUNGSI KUADRAT

CONTOH FUNGSI KUADRAT

Diketahui : f(x) = 2x² dimana domain dan

kodomain berupa bil riil Menuliskan fungsi dalam tabel

Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius :

X -2 -1 0 1 2

F(X) 8 2 0 2 8

FUNGSI KUBIK Fungsi kubik: .

0,)( 3012

23

3 aaxaxaxaxf

FUNGSI PECAH

FUNGSI IRASIONAL

Fungsi Trigonometri 1. definisi sinus, cosinus, dan tangen

dalam segitiga siku-siku; 2. fungsi sinus; 3. fungsi cosinus; 4. fungsi tangen. 5. fungsi arc sinus; 6. fungsi arc cosinus; 7. fungsi arc tangen.

Fungsi Invers Trigonometri Definisi Jika x = sin y, maka fungsi invers dari sinus didefinisikan dengan y = arc sin x. Dengan cara yang sama, jika: x = cos y maka inversnya adalah y = arc sin x; x = tan y maka inversnya adalah y = arc tan x.

Contoh:

1. Jika sin y = 0,5, hitunglah y, jika y < 90o!

Penyelesaian:

sin y = 0,5

y = arc sin 0,5

y = 30o

Catatan : ingat bahwa sin 30o = 0,5

Contoh soal

2. Jika cos y = 0,7071, hitunglah y jika y < 90o!

Penyelesaian: cos y = 0,7071 y = arc cos 0,7071 y = 45o Catatan : ingat bahwa cos 45o = 0,7071

Contoh soal

3. Jika tan y = 1,7321, hitunglah y, jika y < 90o!

Penyelesaian: tan y = 1,7321 y = arc tan 1,7321 y = 60o Catatan : ingat bahwa tan 60o = 1,7321