Časová propagace vlnové funkce na mřížce I. (práce s momentovou reprezentací)

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Časová propagace vlnové funkce na mřížce I.

(práce s momentovou reprezentací)

(Lekce II)

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Vhodná použití časové propagace:

• 1D modelové problémy

• vícedimenzionální problémy– do 3-4 dimenzí– buď konstrukce vícedimenzionální

mříže– nebo v kombinaci s rozvojem do

bázových funkcí (např. vibrační část diatomika na mřížce, rotační část rozvojem do kulových funkcí)

• nepoužíváme pokud:– potenciál obsahuje singularitu(y)

(Coulombický potenciál)

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Numerické řešení na mříži• Volba intervalu na ose x

– nenulové části vlnové funkce jsou pouze uvnitř intervalu

• Zadání vlnové funkce pomocí hodnot na ekvidistantní mříži bodů:

• předpokládáme periodické okrajové podmínky – jednoduchá diskretizace integrálů– jednoduchý převod do momentové reprezentace

min

, ,

1j j

j

j j

x kde

x x x j

x

1j N

1 1Nx x x

max 1 min

1 1

N

N

x x x x N

x

x1=xmin x2 x3 x4 xmax

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Numerické řešení na mříži

• aplikace potenciálu na funkce na ekvidistantní mříži

– násobení:

• výpočet normy a středních hodnot– definice a výpočet normy:

– definice a výpočet střední hodnoty op. A:

max

min

* *

1

x N

j jjx

N dx x x x

f x V x x j j jf V x

max

min

* *

1

ˆ ,

ˆ

x N

j jjx

j j

A dx x A x x f

kde f x A x a f f x

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Praktická aplikace

Příklad:

Mějme vlnovou funkci zadanou takto:

která představuje počáteční stav časově závislého procesu v Morseho potenciálu:

Vytvořte skript, který:

•definuje tuto funkci na mřížce pro libovolné hodnoty parametrů

•vypočítá normu a střední hodnotu potenciálu

•vykreslí potenciál a zároveň vlnovou funkci

21 4 0

0exp2

x x ix a xpa

21 xV x D e D

sum()

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Momentová reprezentace

• k čemu ji potřebujeme počítat:– kinetický operátor– aproximace evolučního operátoru– neadiabatické interakce…

• definice s normou pro nekonečný interval:

• definice pro periodické okrajové podmínky:

• numerická diskretizace integrálu:

12

ipxp dx e x

max

min

expx

x

ip A dx xp x

1

expN

j jj

ip A x x p

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Momentová reprezentace

• diskretizace p-reprezentace vyplývající z periodické okrajové podmínky:– vlnová funkce je lineární kombinací pouze těch

rovinných vln, které odpovídají dané periodické symetrii

1n

2n

2exp 2 exp i ni n xN x

N x

nprigorózněji…

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Momentová reprezentace

• periodická symetrie funkce:

• nenulové hodnoty transformované funkce pouze pro případ:

• musí platit pro všechna m, nejsilnější je podmínka m=1

• diskrétní mřížka v p odpovídající periodické bázi rovinných vln

,x x m N x m Z

exp exp ,

exp

1 exp

exp 2 exp ,

2

i ixp x m N x p m Z

i ixp m N x p

i m N x p

ii n m N x p n Z

pN

nx m

2,p n p pN x

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Momentová reprezentace

– maximální počet bodů v p-reprezentaci – maximální frekvence, o níž máme numerickou informaci, je dána frekvencí bodů ekvidistantní mřížky

maximální počet bodů je N

1...k N

1n

2n

3n

4n

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Momentová reprezentace

• nastavení počátku momentové osy:

• numerické řešení integrálu

min

max

min 12

max2

Np n p p

Np n p p

-3 -2 -1 0 1 2 3 4N = 8

1

expN

k j k jj

ip A x x p

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Momentová reprezentace

• požadavek zachování normy při přechodu mezi x- a p- reprezentací:– norma v x-reprezentaci

– norma v p-reprezentaci

*

1

N

x j jj

N x

1

expN

k j k jj

ip A x x p

* * *' '

' 1

expN

k j k jj

ip A x x p

2*

1

2 2 *' ' '

1 1 ' 1

exp

N

kk

N N N

j j k j jk j j

p

iA x p x x p

*

1

N

p k kk

N p

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Momentová reprezentace

– přerozdělíme sumu

– poslední suma dává Kr. delta (dokažte!)

– využijeme vztahu

2 2 *' '

1 ' 1 1

expN N N

p j j j j kj j k

iN A x p x x p

' ',1

expN

j j k j jk

i x x p N

22 2

1

2

N

p jj

x

N A x pN

A x pN N

2pN x

2 2p xN A N

12

A

1

1 exp2

N

k j k jj

ip x x p

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Momentová reprezentace

aplikace v Matlabu:

• numerické zadání:– x a Ψ jsou řádkové matice o rozměru N, které

reprezentují vlnovou funkci na mřížce. Chceme vypočítat transformovanou vlnovou funkci v momentové reprezentaci, která je dána řádkovými maticemi p a

• postup řešení:– výpočet vektoru p1 … pN

1. způsob: nahrazení sumy maticovým násobením

2. způsob: přepis sumy jako sumy standardní FFT (později)

Ψ

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Momentová reprezentace

• 1. způsob řešení:– sumu:

– nahradíme maticovým násobením

– kde:

1

1 exp2

N

k j k jj

ip x x p

x Ψ Ψ c

,1 exp

2j k j kic x p

1 2 ... N Ψ

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Příklad:

(Pokračování minulého příkladu.) Vytvořte dvě funkce, které lze používat pro opakovaný převod vlnové funkce do momentové reprezentace.

Účelem první (přípravné) funkce je vytvořit mřížku v p-reprezentaci p na základě mřížky v x-reprezentaci a dále matici Fourierových koeficientů c. Obě matice uložte jako prvky strukturované proměnné PAR, která bude na výstupu funkce.

Účelem druhé funkce je provést samotný převod vlnové funkce do momentové reprezentace. Vstupními parametry jsou matice Ψ a proměnná PAR, výstupním parametrem je matice .

Použijte vytvořené funkce k výpočtu momentové reprezentace zadané vlnové funkce, znázorněte ji v grafu a vypočítejte střední kinetickou energii (tyto kroky připište do minulého skriptu).

Ψ

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Momentová reprezentace

• zpětná transformace z momentové do souřadnicové reprezentace

• proč potřebujeme:– aplikace operátorů definovaných v momentové

reprezentaci:

• obecná definice zpětné transformace

• využití periodické symetrie v p pro výpočet integrálu – viz důkazy dále…

2

1.

2.2

ˆ3.

T

T T

x p

pp p

p x T x

12

ipxx dx e p

1

1 exp2

N

j j k kk

ix p x p

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Momentová reprezentace

• důkaz periodické symetrie v p až na fázi– vyplývá z diskretizace x

1

1

1

1 exp2

1 exp2

1 exp exp2

N

k N j k N jj

N

j k jj

N

j k j jj

ix x p

ix x p N p

i ix x p x N p

min

min

21

2 2 1

ji ix N p x x j N

N x

ix i jx

minexp 2k N kxi

x

pro mink N k

x nx

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Momentová reprezentace

• (1) přepis transformace s využitím periodických vlastností:

• (2) úprava exponentu dosazením za hybnost:

• využití definice mřížky x:

1

min

min

1

1lim exp2 1

exp 2

1lim exp 22 1

M N

j p j k mN k mNMm M k

k mN k

M N

j p j k mN kM m M k

ix A x pM

xmix

xix A x p miM x

min min2 2j k mN j k jx xi i ix p mi x p x p mN mi

x x

k mN kp p p mN

min

minmin 1

2

2

jxi x p mN mi

xxi x p i x p j mmN miN

x

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Momentová reprezentace

• využití vztahu mezi Δx a Δp:

• úprava exponentu z bodu (2)

• dosazení do bodu (1)

2p xN

minmin

minmin

1

12 2 2

1

2

2

p x p

N x

i j mN xi x mN mix

xi x mN mix

i j m

i m

NN

j

minexp 2

exp exp exp2 1

j k mN

j k j k

xi x p mix

i ix p i pm xj

1 1

1lim exp exp2 1

M N N

j p j k k p j k kM m M k k

i ix A x p A x pM

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Příklad:

Dokažte rovnost pravé a levé strany:

Momentová reprezentace

• 1. způsob řešení:– sumu:

– nahradíme maticovým násobením

– kde:

1

1 exp2

N

j j k kk

ix p x p

p p +Ψ Ψ d Ψ c

*, ,

1 exp2k j j k j k

id x p c

1 2 ... N Ψ

p p x + +Ψ Ψ c Ψ c c

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Příklad:

Numerická implementace zpětné transformace z momentové reprezentace do souřadnicové lze řešit analogicky jako přímou transformaci (viz níže). Vytvořte funkci v Matlabu pro zpětnou transformaci vlnové funkce, která využívá matici Fourierových koeficientů c, která byla vytvořena v předchozím příkladu. Ověřte, zda opakované použití přímé a zpětné transformace vede k původní vlnové funkci.

Ukažte, jak lze využít přímé a zpětné transformace k aplikaci kinetického operátoru na vlnovou funkci. Aplikujte kinetický operátor také pomocí Matlabové funkce gradient a porovnejte oba způsoby výpočtu.

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Numerické aplikace kinetického operátoru

• přednostně využíváme Fourierovy transformace• u numerických metod s využitím několika

sousedních bodů vzniká chyba. Tu ilustrujeme pro aplikaci kinetického operátoru na rovinnou vlnu:

– aproximace

– aplikace na rovinnou vlnu:

22 21 1

2 2

22 2

i i i id xdx x

exp iA xp

22 21 1

2 2

2

2

2

2

2

2

22 2

22

22

22

i i i

i

i i i i

i i ip x x px p x x

i i ipx p x p x

i ip x p x

i

d xdx x

A e e ex

A e e ex

e ex

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Numerické aplikace kinetického operátoru

– úprava výsledku…

– porovnání s exaktním výrazem

– závěrem: lze ukázat, že čím větší počet sousedních bodů, tím menší chyba vzniká. Proto využíváme přednostně Fourierovu transformaci, která uvažuje všechny body na mřížce (je „globální“).

2

2

2

2

22

cos 1

i ip x p x

i

i

e ex

p xx

2

2

22

20

222

22

22

22

2

cos 1

11

2 !

111 12 2 !

1!2 2

i

nn

in

nn

in

nn

in

i

p xx

p xx n

p x p

p

xx n

p xx n

chyba.

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Momentová reprezentace

• využití FFT - rychlejší pro praktické účely

• přímá transformace:1. úprava původní funkce v x-reprezentaci

2. FFT – z pomocné funkce g získáme pomocnou funkci f

3. úprava funkce v p-reprezentaci

minexpj j jig p x

1

2exp 1 1 fftN

k jj

if j k g f gN

min min min1 exp exp

2k k ki ix f x p x p

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Momentová reprezentace

• odvození postupu přímé transformace s využitím FFT

1

min min1

min min1

min min

1 exp2

1 exp 1 12

1 exp exp 1 12

exp 1 ex

ex

p 1

2p1

N

k j k jj

N

jj

N

jj

ix x p

ix x x j p p k

i ix x p x p j k

i ix p k p x j

ix

min min min

min

min min min

m

1

in

1

1 exp

exp 1

ex

exp

12

1 1

2exp 1

p exp

exp1

N

j

N

j

j

k

j j

i x p j k

i j

ix p k x p

i p x j

i ix p x p

i pk xN

x

2p xN

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Momentová reprezentace

• zpětná transformace:1. úprava původní funkce v x-reprezentaci

2. FFT – z pomocné funkce f získáme pomocnou funkci g

3. úprava funkce v p-reprezentaci

min min minexp expk k ki if x p x p

1

1 2exp 1 1 g=ifftN

j kk

ig j k f fN N

min1 exp

2j j jiN p g p x

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Momentová reprezentace

• odvození postupu zpětné transformace s použitím FFT:

1

min min1

m

m

in

i

min1

min min

1 exp2

1 exp 1 12

1 exp exp 1 12

exp 1 exp 1

1 exp2

N

j j k kk

N

kk

N

kk

ip x p

ip x x j p p k

i ip x p x p j k

i ix p k p x j

N p i p

n min min

min

min

min min i

1

n

1

m

1

1 12

1 exp

exp 1

ex

exp 1 1

exp

p

exp x

2

p

1 1

e

N

k

N

k

k

kj

k

ix j x p

i x p k

N

N p i p x

i ix p x

i x p j

iN

k

j

p

k

N

TMF0

45

le

tní s

emes

tr 20

05/2

006

I

ITM

F045

letn

í sem

estr

2005

/200

6

II

Momentová reprezentace

Příklad:

Vytvořte 3 funkce v Matlabu pro převod mezi souřadnicovou a momentovou reprezentací funkcí na mřížce využívající zabudovaných funkcí pro FFT. Jedna funkce bude mít úlohu přípravy pomocných funkcí f a g. Další dvě funkce se budou používat pro samotnou přímou resp. zpětnou transformaci. Správnou funkci programů ověřte porovnáním výsledků získaných s programy vytvořenými v předchozích příkladech.

*Zjistěte, jak se liší rychlost opakovaných transformací pro oba probrané způsoby.