Chapter 5 隨機變數 Part II

Chapter 5 隨機變數 Part II

結束

設 X 為隨機變數， a 、 b 為實數，則(1) E (aX + b) = aE (X) + b(2) E (g (X) + h (X)) = E (g (X)) + E (h (X))

設隨機變數 X 的期望值為 ，則稱為 X 的變異數。變異數也可用 2 ， V(X) 表示。

5-2

5-6

2 2[( ) ]x E X

5-4 期望值與變異數

結束定理 5-3

2

222

22

22

2222

222

)]([)(

])([])([2)(

))1(25()(2)(

))2(25()()2()(

)2(])[(

)]([)(

2

XEXE

XEXEXE

XEXE

EXEXE

XXEXE

XEXE

由定理

由定理

證明：由定義，

)(XE

結束Ex. 15

設 X 為某產品每天銷售量，其機率函數為

試求 V(X) 及標準差 σ解： E(X)=0(0.1)+1(0.1)+2(0.2)+3(0.3)+4(0.2)+5(0.1)=2.7

X 0 1 2 3 4 5p(x) 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1

42.101.2

01.2)7.2(3.9)]([)()(

3.9)1.0(5)2.0(4)3.0(3)2.0(2)1.0(1)1.0(0)(

222

2222222

XEXEXV

XE

因此

結束Ex. 16

設隨機變數 X 的機率密度函數為

解：)(

,021),1(2)(

XV

xxxf

試求其他

181)

35(

617)(

617)(

35)(

112

2122

122

)(2)1(2)(

2

2

1221

12

2

1

12

1

XV

XE

XE

nnnx

nx

dxxxdxxxXEnnnn

nnnn

因此 22 )]([)()( XEXEXV

結束

設 X 為隨機變數， a 、 b 為實數，則(1) V (X + b) = V (X)(2) V (aX) = a2V (X)(3) V (aX + b) = a2V (X)

5-4

5-4 期望值與變異數

結束

已知隨機變數 X 的期望值為 ，變異數 2 。定義

則由定理 5-4 (3) ，可得

稱 Z 為 標 準 化 隨 機 變 數 (standardized random variable) 。

XZ

( ) 0 ( ) 1E Z V Z ，

5-4 期望值與變異數

結束

在無法獲得 X 機率函數時，若只知 X 的期望值與變異數時，可利用切比雪夫 (Chebyshev’s inequality)求出機率值的上限或下限。

切比雪夫不等式 若隨機變數 X 的期望值為，標準差為，則對於任意實數 k > 0 ，可得

5-5

2

1(| | )P X kk

5-4 期望值與變異數

2

11(k

kXP

結束Ex. 17

在 Ex. 15 中 ， X 的 期 望 值 為 μ=2.7 ， 標 準 差σ=1.42 ，由切比雪夫不等式，可得

要的資訊。切氏不等式提供相當重的計算上，，因此在隨機變數機率而實際的機率值為 8.0

502.0401.2)7.47.0()2|(| XPXP

2

11(k

kXP 2

1(| | )P X kk

結束Ex. 18

設某百貨公司每小時平均顧客人數為 24 人，標準差為 4 人。若以隨機變數 X 表示每小時顧客的人數，是求每小時顧客人數在 16 人與 32 人之間的機率為何 ?

解：43

211)42|24(|)3216( 2 XPXP

結束5-5 常用離散機率分布

伯努利試驗與二項分布 許多隨機試驗只有兩種可能的出象，稱它為伯努利試驗 (Bernoulli trial) 。若伯努利試驗的出象以隨機變數 X 表之，可令 X = 1 表示出象為成功， X = 0 表示出象為失敗，則 X 的機率函數為

其中 0 p 1 ，代表試驗成功的機率。

1( ) (1 ) 0 1x xf x p p x ， 、

結束

設 X 為伯努利隨機變數，則(1) E (X) = p(2) V (X) = p (1 p)

設 X 為二項隨機變數，則(1)E (X) = np(2)V (X) = np (1 p)

5-6

5-7

5-5 常用離散機率分布

結束EX.19

數學科期中考是有十題四選一的選擇題。某生完全以猜答案的方式作答。試問該生能夠及格的機率有多少？解 : 設 X 為答對的題數，則 X 的機率數為

該生及格的機率為

)0.0197(43

41

1010

43

41

910

43

41

810

43

41

710

43

41

k10

k)P(X

010

1928

374610

6k

或由查表求得　 　 　 　 　 　

10,...1,0,43

4110

)(10

kk

kXPkk

結束Ex. 20

某工程試驗非常昂貴，且只有 40% 的成功機率。是問應試驗幾次才能保證至少有一次成功出現的機率路達 95%?解 : 設 X 為試驗成功的次數。試驗者卻決定 n 使得

且

　因

　 　或　 　

nnnXP

XPXP

)6.0()6.0()4.0(0

)0(

)0(0.95-195.0)1(

0

n 4 5 6

0.1296 0.0776 0.04665 n0.6

故知至少須試驗 n=6 次

結束5-5 常用離散機率分布

若一個箱子內含 15 個隨身聽，其中 5 個有缺陷。金隨機選取一個檢查，並記錄其結果。在抽取下一個 之前，若將已驗畢之產品放回箱中，則稱為歸還式 (sampling with replacement) 。此時，每次檢驗皆可視為伯努利試驗，且出現缺陷的機率永遠是p=5/15 。但假設抽取出來隨身聽不在放回箱中，則稱為不歸還式 (sampling without replacement) ，此時，第一次檢驗有缺陷的機率是 5/15 ，第二次檢驗時，有缺陷的機率成為 4/14 。

結束

超幾何分布假設母體含有 N 個元素，其中 S 個為「成功」，

N S 個為「失敗」。今自母體中隨意選取 n 個出來。若隨機變數 X 代表 n 個中是「成功」的個數，則 X 稱為超幾何隨機變數 (hypergeometric random variable) ，其機率函數為

( ) , 0,1, ,min( , )

S N Sk n k

P X k k n sNn

5-5 常用離散機率分布

結束

設 X 為超幾何隨機變數，則 (1)

(2)

5-8

( ) SE X n

N

( ) 11

N n S SV X n

N N N

5-5 常用離散機率分布

結束Ex. 21

已知一箱 5,000 個燈泡內有 1,000 個是壞的，假設某人購買 10 個燈泡，試問其中有 3 個是壞燈泡的機率為多少 ?解 : 因為 N=5000 與 n=10 相較，是非常大。因此可利用二項分布來求得機率的近似值。

)(2013.06778.08791.0

54

5110

54

5110

54

51

310

)3(

102

0

103

0

73

由查表得　 　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　

kk

k

kk

k

k

kXP

結束

在一連串的伯努利試驗中，常關心須等待多久才發生第一次成功。因此設 X 為出現第一次成功的試驗次數，其機率函數為

具有這種機率函數的隨機變數，稱為幾何隨機變數 (geometric random variable) 。

1( ) (1 ) , 1,2,3,0

kP X k p p k

其他。

5-5 常用離散機率分布

結束

設隨機變數 X 呈幾何分布，則(1)

(2)

5-9

1( )E Xp

2( ) , 1qV X q p

p

5-5 常用離散機率分布

結束Ex.22

小美生產冰棒一批每五十枝中有一枝印有「再送一枝」，若每枝售價為五元，試問消費者平均將花費多少，使能獲得贈送一枝？解 : 每購買一枝冰棒，獲得「再送一枝」的機率為　　　。設 X= 至獲贈一枝所需之購買枝數，則

因此平均將花費 5×50=250 元始獲贈一枝。

501

p

501)( p

XE

結束

若 X 為幾何分布，則

證明：( ) ( ) , 1, 2,P X n m X n P X m n m 、

1

1

1

1

( )( )( )

( )

k

k n m

k

k n

n mm

n

pqP X n m

P X n m X nP X n pq

qq P X m

q

5-5 常用離散機率分布

結束5-5 常用離散機率分布

二項分布所描述的是在 n 次伯努利試驗中，某事件或現象發生的次數。但是當 n 很大時，二項分布的機率將無法計算。波瓦松 (Poisson distribution) 不僅在 n 很大時，可做二項分布之近似分布，且可用以描述某段時間、或面積、體積內某機遇現象發生次數。例如波瓦松分佈可描述某辦公大樓電話總機一小時內接到電話的次數、高速公路在一個月內發生車禍的次數、一平方公尺布匹上的線頭數、或一立方公分血液內的白血球數等。

結束

波瓦松分布波瓦松隨機變數所討論的機遇現象須滿足下列假定

在不重疊的時間 ( 或空間 ) 內，現象發生的次數相互獨立。當考慮的時間段落很小時，則現象發生一次的機率與該時間段落的長短成正比。但與時間段落的位置無關。當時間段落很小時，現象發生兩次以上的機率近似於 0 。

5-5 常用離散機率分布

結束

若設 X 為單位時間 ( 或空間 ) 內某現象出現的次數。則可證明 X 的機率函數為

稱參數為 的波瓦松分布，其中 表示單位時間或空間內該現象平均發生的次數。

( ) , 0,1, 2,!

keP X k k

k

5-5 常用離散機率分布

結束

設 X 為參數 的波瓦松隨機變數，則(1) E (X) = (2)V (X) =

5-11

5-5 常用離散機率分布

結束Ex. 23

某工廠平均每兩個月發生一次意外事件，假設意外事件獨立，試求1) 每年發生意外事件平均次數。2) 某月不發生意外事件的機率。解 : (1) 設 X 為每年發生意外事件的次數，則 X 呈波式分佈，其參數(2) 設 Y 每月發生意外事件的次數，則6)( 612

21

XE因此，

21

607.0!0

)5.0(00( 5.005.0

eeYP

若 X為二項分布，其 n值很大， p值很小且 np值適中，則 X近似於一參數為λ=np的波式分布。

結束

負二項分布基本性質5-12

2

( )

(1 )( )

rE X

pr p

V Xp

5-5 常用離散機率分布

結束

設獨立試驗，每次成功的機率是 p ， 0 < p < 1 ，試驗執行直到累計 r 次成功才停止，若 X 表示所需試驗的次數，

任何隨機變數 X 的機率密度函數如上式，稱為負二項 隨 機 變 數 (negative binomial) ， 具 有參數 (r, p) ，記為 X ~ NB (r, p) ，而幾何隨機變數正好是負二項隨機變數的一個特例，其參數為 (1, p) 。

1( ) (1 ) , , 1,

1r n rn

P X n p p n r rr

5-5 常用離散機率分布

結束Ex. 25

• 巴納赫火柴盒問題 (Banach match box problem)某一抽菸斗的數學加在任何時間都帶有 2合火柴，一盒在左邊口袋，一盒在右邊口袋，每次她要火柴，有相同機會可能從任何一口袋去拿。假設起出兩口袋各有 N根火柴， K=0,1,…,N 的機率為多少？解 : 設 E 表示數學家首先發覺右邊的火柴盒是空的，而左邊還有 K根火柴的事件。此事件發生的充要條件是在 N+1+N-K 次試驗中右邊口袋取了 (N+1) 次。因此12

212

)(

12121

KN

NKN

EP

KNnNrP ，，

結束5-6 常用連續機率分布

若隨機變數 X 的機率密度函數為

則 稱 X 為 在區間 [a, b] 的 均勻分 布 (uniform distribution) 並以符號 U [a, b] 表之。

1( ) ,

0

f x a x bb a

其他

結束

圖 5-10 　 U[a,b] 的機率密度函數

5-6 常用連續機率分布

結束

圖 5-11 　 U[a,b] 的累積分布函數

5-6 常用連續機率分布

結束

設 X 為均勻分布 U [a, b] ，則(1)

(2)

5-13

( )2a b

E X

2( )( )12b a

V X

5-6 常用連續機率分布

結束Ex. 26

若再線段 [0,4] 中隨機選取一點，試求此點落在區間[1,2] 內的機率 ?解 : 設 X 為此點的座標，則 X 機率密度函數為

41

0401

0402)1()2()21(

0

4041)(

FFXP

xxf

　 　 其他　 　 　，

結束

若考慮隨機變數 Xt 為 [0, t] 時間內，某現象出現的次數，則在 [0, t] 時間內平均發生的次數應為 t 。因此 Xt 是參數為 t 的波氏分布，其機率函數為

假如所關切的是隨機變數 X = 該現象第一次發生所需的時間。則

( )( ) , 0,1, 2,!

t k

te t

P X k kk

( ) { [0, ] }( 0) 0t

t

P X t P t

P X e t

該現像在 時間內沒有出現

，

5-6 常用連續機率分布

結束

故 X 的累積分布函數為

而 X 的機率函數

稱 X 為一具有參數 的指數分布 (exponential distribution) 。

( ) ( ) 1 00 0

tF t P X t e tt

，

( ) ( ) 0

0 0

tdf t F t e t

dtt

，

5-6 常用連續機率分布

結束

圖 5-12 　指數變數的機率密度函數

5-6 常用連續機率分布

結束

圖 5-13 　指數變數的機率密度函數

5-6 常用連續機率分布

結束

設 X 為一參數 的指數分布，則(1)

(2)

5-14

1( )E X

2

1( )V X

5-6 常用連續機率分布

結束

常態隨機變數的機率密度函數為

其中 、 均為參數。通常以 N ( , 2) 表示常態分布。

21 1( ) exp22X

f x X

，

5-6 常用連續機率分布

結束

圖 5-14 　常態分布

5-6 常用連續機率分布

結束

f (x) 的曲線圖形具有下列特性(1) 呈鐘形分布，且對稱於 X = 。(2) 在 X = 處有兩個反曲點 (point of inflec-

tion) 。(3) 當 X 時， f (x) 0 。(4) 值大時，曲線低平。 值小者，曲線高狹。

5-6 常用連續機率分布

結束

若 X 的分布為 N (, 2) ，隨機變數 Y = aX + b ，則 Y 的分布為 N (a + b, a2 2) 。

5-16

5-6 常用連續機率分布

結束Ex. 29

管數學期的成績近似常態分布，其平均分數為 74 分，標準差為 7.9 分，試求1) 如果成績最低的 10%給 E ，則最低及格分數為多少 ?2) 如果最高的 5%給 A ，則 A 中最低的分數是多少 ?解 : (1) 設 X 為學生學期成績的分數

87.63)9.7)(282.1(74

282.19.774

9.774

9.774

9.774)(0.1

x

x

xZP

xXPxXP

故

查表得

結束Ex. 29

879)(1.645)(7.74x

645.19.774

95.09.774

7.974-xZx)P(X(2)0.05

故

查表得

或

x

xZP

結束Ex. 30

台灣中部某鎮每年三平均雨量為 9.22 公厘，標準差為 2.83 公厘。若雨量成常態分布，試求明年三月該地區將得到下列雨量的機率。1) 小於 1.84 公厘。2) 大於 5 公厘但小於 7 公厘。解 :

1496.00681.02177.0)49.1()78.0()78.049.1(

83.222.97

83.222.95)75()2(

0045.0)607.2(83.2

22.984.1)84.1()1(

ZP

ZPXP

ZP

ZPXP

結束

中央極限定理 若從平均數，變異數 2 的一個無限或大母體中，抽出大小為 n 的隨機樣本。則樣本平均數的抽樣分布將趨近於平均數　　　，標準差　　　　　　　　 的常態分布，因此

為標準常態變數 Z 的一個值。

5-17

XX

X n

XZ

n

5-6 常用連續機率分布

結束中央極限定理 若 n≥30 ，則不論母體分布為何，定理中的常態分佈逼近相當良好；若 n<30 ，則僅在母體與常態母體相去不遠時，逼近方為良好。若已知母體為常態，則不管樣本大小為何， 的抽樣分部已是常態分布。 X

結束Ex. 31

某廠牌燈泡的壽命趨近於平均數 800 小時，標準差40 小時的常態分布，隨機取大小為 16 燈泡的隨機樣本，求其平均壽命小於 775 小時的機率。解 :ｘ的抽樣分布近似於　　　　　　　　　的常態分布，所求機率為圖 5-10 中陰影區域的面積，

101640800 xx ，

062.0

)5.2(775

5.210

800775

　 　 　 　 　ZPXP

Z10X

結束Ex. 31-1

Fast Service卡車公司使用福特 Super Duty F-750 的車型。每輛卡車每年的維護成本將依據行駛的里程數決定，且行駛里程數服從常態分配，平均數為 60,000 英里、標準差為2,000英里。請問：a) 有多少比例的福特 Super Duty F-750卡車去年行駛超過 65,200英里？b) 有多少比例的福特 Super Duty F-750卡車去年行駛超過 $57,060英里但少於 58,280英里？c) 有多少比例的卡車去年行駛少於等於 62,000英里？d) 是否有卡車行駛超過 70,000英里？請解釋之。

Answer: a. z=2.6, 0.5000 – 0.4953 = 0.0047b. z1=-1.47, z2=-0.86, 0.4292 – 0.3051=0.1241 c. 0.8413, 0.5000 + 0.3413d. No, 因為 70,000 60,000 5.0

2000z