Ciąg liczbowy

Materiały do nauki / matematykakoniec

Definicja ciąguDefinicja ciągu Definicja ciąguDefinicja ciągu

Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcje określona na zbiorze liczb naturalnych o wartościach w pewnym niepustym zbiorze Y

Ciągiem skończonym n-elementowym nazywamy funkcję określoną na zbiorze n początkowych liczb naturalnych o wartościach w pewnym niepustym zbiorze Y

Ciągiem liczbowym nazywamy ciąg, którego wartościami są liczby rzeczywiste.

Sposoby określania ciąguSposoby określania ciąguSposoby określania ciąguSposoby określania ciągu

1. Poprzez wymienienie jego kolejnych wyrazów

....)10,9,7,6,5,1(

2. Poprzez opis słownyKażdej liczbie naturalnej została przyporządkowana jej odwrotność

3. Poprzez wzór ogólny

224

63

n

nan

Monotoniczność ciąguMonotoniczność ciąguMonotoniczność ciąguMonotoniczność ciągu

Ciąg rosnący

Ciąg malejący

Ciąg stały

Ciąg nierosnący

Ciąg niemalejący

Ciąg rosnącyCiąg rosnącyCiąg rosnącyCiąg rosnący

Ciąg ( ) nazywamy rosnącym wtedy i tylko wtedy gdy dla każdej liczby naturalnej n różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest większa od zera.

na

0

)(

1

nnNn

n

aa

cymrosnąnazywamyaągCi

Ciąg malejącyCiąg malejącyCiąg malejącyCiąg malejący

Ciąg ( ) nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy gdy dla każdej liczby naturalnej n różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest mniejsza od zera.

na

0

)(

1

nnNn

n

aa

cymmalejąnazywamyaągCi

Ciąg stałyCiąg stałyCiąg stałyCiąg stały

0

)(

1

nnNn

n

aa

ymstałnazywamyaągCi

Ciąg ( ) nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy gdy dla każdej liczby naturalnej n różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest równa od zera.

na

Ciąg nierosnącyCiąg nierosnącyCiąg nierosnącyCiąg nierosnący

Ciąg ( ) nazywamy nierosnącym wtedy i tylko wtedy gdy dla każdej liczby naturalnej n różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest większa lub równa zero

na

0

)(

1

nnNn

n

aa

cymnierosnąnazywamyaągCi

Ciąg niemalejącyCiąg niemalejącyCiąg niemalejącyCiąg niemalejący

Ciąg ( ) nazywamy niemalejącym wtedy i tylko wtedy gdy dla każdej liczby naturalnej n różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest mniejsza lub równa zero

na

0

)(

1

nnNn

n

aa

cymniemalejąnazywamyaągCi

Definicja ciągu arytmetycznegoDefinicja ciągu arytmetycznegoDefinicja ciągu arytmetycznegoDefinicja ciągu arytmetycznego

raa

nymartymetycznazywamyaągCi

nnNnRr

n

1

)(

Ciąg ( ) nazywamy arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest on co najmniej trzy wyrazowy, i którego każdy wyraz, począwszy od pierwszego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby rzeczywistej, zwanej różnicą ciągu.

na

ZadanieZadanieZadanieZadanieSprawdź czy podany ciąg jest arytmetyczny 23 nan

Obliczam wyraz 1na

532332)1(31 nnnan

Sprawdzam różnice nn aa 1

Odp. Różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stałą liczbą rzeczywistą dlatego podany ciąg jest arytmetyczny

rnn

nnaa nn

3252353

)23(531

Wzór na n-ty wyraz ciąguWzór na n-ty wyraz ciąguWzór na n-ty wyraz ciąguWzór na n-ty wyraz ciągu

.

.

32

2

)(

1134

1123

12

1

rarraraa

rarraraa

raa

a

an

ciąg arytmetyczny o różnicy r

pierwszy wyraz ciągu

rnaraa nn )1(... 11rnaraa nn )1(... 11

ZadanieZadanieZadanieZadanieDrugi wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 3 a szósty 4. Wyznacz pierwszy wyraz i różnice ciągu

4

3

6

2

a

a

45

)1(/3

1

1

ra

ra

34

14

1

1a

r

4

1

4/14

r

r

45

3

1

1

ra

ra

4

32

4

1

1a

r

Odp. Pierwszy wyraz tego ciągu wynosi 0,25 a różnica 2,75

Suma n-początkowych Suma n-początkowych wyrazów ciąguwyrazów ciąguSuma n-początkowych Suma n-początkowych wyrazów ciąguwyrazów ciągu

nn

n

aaaaS

aaaS

aaS

aS

a

...

.

)(

321

3213

212

11

ciąg arytmetyczny o różnicy r

nrna

naa

S nn

2

)1(2

211 n

rnan

aaS nn

2

)1(2

211

ZadanieZadanieZadanieZadanieOblicz sumę wszystkich liczb naturalnych parzystych mniejszych od 102

2550

25)984(

502

24922

502

492

50,2,2

)100,...8,6,4,2(

50

50

50

150

1

S

S

S

raS

nra

Odp. Suma wszystkich parzystych liczb naturalnych mniejszych od 102 wynosi 2550

Definicja ciągu geometrycznegoDefinicja ciągu geometrycznegoDefinicja ciągu geometrycznegoDefinicja ciągu geometrycznego

qaa

nymgeometrycznazywamyaągCi

nnNnRq

n

1

)(

Ciąg ( ) nazywamy geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest on co najmniej trzy wyrazowy, i którego każdy wyraz, począwszy od pierwszego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę rzeczywistą, zwana ilorazem ciągu.

na

ZadanieZadanieZadanieZadanieSprawdź czy podany ciąg jest geometryczny n

na 3

Obliczam wyraz 1na

333 11

nn

na

Sprawdzam ilorazn

n

a

a 1

Odp. Iloraz dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stałą liczbą rzeczywistą, dlatego podany ciąg jest geometryczny

qa

an

n

n

n

33

331

Wzór na n-ty wyraz ciąguWzór na n-ty wyraz ciąguWzór na n-ty wyraz ciąguWzór na n-ty wyraz ciągu

.

.

)(

31

2134

21123

12

1

qaqqaqaa

qaqqaqaa

qaa

a

an

ciąg geometryczny o ilorazie q

pierwszy wyraz ciągu

111 ...

nnn qaqaa

111 ...

nnn qaqaa

ZadanieZadanieZadanieZadanieMiędzy liczby 3 i 75 wstaw liczbę x, tak aby ciąg (3, x, 45) był geometryczny

75

3

3

1

a

a

75

32

1

1

qa

a

25

32

1

q

a

3/753

32

1

q

a

55

31

qq

a

qaax 12

1515

)5(353

xx

xxOdp.

Suma n-początkowych Suma n-początkowych wyrazów ciąguwyrazów ciąguSuma n-początkowych Suma n-początkowych wyrazów ciąguwyrazów ciągu

nn

n

aaaaS

aaaS

aaS

aS

a

...

.

)(

321

3213

212

11

ciąg geometryczny o ilorazie q

11

1

1

1

1

qgdyq

qa

qgdyna

S nn

11

1

1

1

1

qgdyq

qa

qgdyna

S nn

ZadanieZadanieZadanieZadaniePewien gospodarz wynajął firmę do wykopania studni o głębokości 20m. Za pierwszy metr miał zapłacić 1 grosz a za każdy następny dwa razy tyle co za poprzedni. Ile złotych zapłaci gospodarz za wykopanie całej studni?

20;2

.....4;2;1 321

nq

groszeagroszeagrosza

złgr

q

qaS

75,1048510485751

1048575

21

10485761

21

211

1

1 2020

120

Odp.Za wykopanie studni gospodarz zapłaci 10485,75 zł.