Upload
mary
View
31
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Ciąg liczbowy. Ciąg arytmetyczny. Ciąg geometryczny. Materiały do nauki / matematyka. koniec. Definicja ciągu. Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcje określona na zbiorze liczb naturalnych o wartościach w pewnym niepustym zbiorze Y. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Materiały do nauki / matematykakoniec
Definicja ciąguDefinicja ciągu Definicja ciąguDefinicja ciągu
Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcje określona na zbiorze liczb naturalnych o wartościach w pewnym niepustym zbiorze Y
Ciągiem skończonym n-elementowym nazywamy funkcję określoną na zbiorze n początkowych liczb naturalnych o wartościach w pewnym niepustym zbiorze Y
Ciągiem liczbowym nazywamy ciąg, którego wartościami są liczby rzeczywiste.
Sposoby określania ciąguSposoby określania ciąguSposoby określania ciąguSposoby określania ciągu
1. Poprzez wymienienie jego kolejnych wyrazów
....)10,9,7,6,5,1(
2. Poprzez opis słownyKażdej liczbie naturalnej została przyporządkowana jej odwrotność
3. Poprzez wzór ogólny
224
63
n
nan
Monotoniczność ciąguMonotoniczność ciąguMonotoniczność ciąguMonotoniczność ciągu
Ciąg rosnący
Ciąg malejący
Ciąg stały
Ciąg nierosnący
Ciąg niemalejący
Ciąg rosnącyCiąg rosnącyCiąg rosnącyCiąg rosnący
Ciąg ( ) nazywamy rosnącym wtedy i tylko wtedy gdy dla każdej liczby naturalnej n różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest większa od zera.
na
0
)(
1
nnNn
n
aa
cymrosnąnazywamyaągCi
Ciąg malejącyCiąg malejącyCiąg malejącyCiąg malejący
Ciąg ( ) nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy gdy dla każdej liczby naturalnej n różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest mniejsza od zera.
na
0
)(
1
nnNn
n
aa
cymmalejąnazywamyaągCi
Ciąg stałyCiąg stałyCiąg stałyCiąg stały
0
)(
1
nnNn
n
aa
ymstałnazywamyaągCi
Ciąg ( ) nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy gdy dla każdej liczby naturalnej n różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest równa od zera.
na
Ciąg nierosnącyCiąg nierosnącyCiąg nierosnącyCiąg nierosnący
Ciąg ( ) nazywamy nierosnącym wtedy i tylko wtedy gdy dla każdej liczby naturalnej n różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest większa lub równa zero
na
0
)(
1
nnNn
n
aa
cymnierosnąnazywamyaągCi
Ciąg niemalejącyCiąg niemalejącyCiąg niemalejącyCiąg niemalejący
Ciąg ( ) nazywamy niemalejącym wtedy i tylko wtedy gdy dla każdej liczby naturalnej n różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest mniejsza lub równa zero
na
0
)(
1
nnNn
n
aa
cymniemalejąnazywamyaągCi
Definicja ciągu arytmetycznegoDefinicja ciągu arytmetycznegoDefinicja ciągu arytmetycznegoDefinicja ciągu arytmetycznego
raa
nymartymetycznazywamyaągCi
nnNnRr
n
1
)(
Ciąg ( ) nazywamy arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest on co najmniej trzy wyrazowy, i którego każdy wyraz, począwszy od pierwszego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby rzeczywistej, zwanej różnicą ciągu.
na
ZadanieZadanieZadanieZadanieSprawdź czy podany ciąg jest arytmetyczny 23 nan
Obliczam wyraz 1na
532332)1(31 nnnan
Sprawdzam różnice nn aa 1
Odp. Różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stałą liczbą rzeczywistą dlatego podany ciąg jest arytmetyczny
rnn
nnaa nn
3252353
)23(531
Wzór na n-ty wyraz ciąguWzór na n-ty wyraz ciąguWzór na n-ty wyraz ciąguWzór na n-ty wyraz ciągu
.
.
32
2
)(
1134
1123
12
1
rarraraa
rarraraa
raa
a
an
ciąg arytmetyczny o różnicy r
pierwszy wyraz ciągu
rnaraa nn )1(... 11rnaraa nn )1(... 11
ZadanieZadanieZadanieZadanieDrugi wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 3 a szósty 4. Wyznacz pierwszy wyraz i różnice ciągu
4
3
6
2
a
a
45
)1(/3
1
1
ra
ra
34
14
1
1a
r
4
1
4/14
r
r
45
3
1
1
ra
ra
4
32
4
1
1a
r
Odp. Pierwszy wyraz tego ciągu wynosi 0,25 a różnica 2,75
Suma n-początkowych Suma n-początkowych wyrazów ciąguwyrazów ciąguSuma n-początkowych Suma n-początkowych wyrazów ciąguwyrazów ciągu
nn
n
aaaaS
aaaS
aaS
aS
a
...
.
)(
321
3213
212
11
ciąg arytmetyczny o różnicy r
nrna
naa
S nn
2
)1(2
211 n
rnan
aaS nn
2
)1(2
211
ZadanieZadanieZadanieZadanieOblicz sumę wszystkich liczb naturalnych parzystych mniejszych od 102
2550
25)984(
502
24922
502
492
50,2,2
)100,...8,6,4,2(
50
50
50
150
1
S
S
S
raS
nra
Odp. Suma wszystkich parzystych liczb naturalnych mniejszych od 102 wynosi 2550
Definicja ciągu geometrycznegoDefinicja ciągu geometrycznegoDefinicja ciągu geometrycznegoDefinicja ciągu geometrycznego
qaa
nymgeometrycznazywamyaągCi
nnNnRq
n
1
)(
Ciąg ( ) nazywamy geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest on co najmniej trzy wyrazowy, i którego każdy wyraz, począwszy od pierwszego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę rzeczywistą, zwana ilorazem ciągu.
na
ZadanieZadanieZadanieZadanieSprawdź czy podany ciąg jest geometryczny n
na 3
Obliczam wyraz 1na
333 11
nn
na
Sprawdzam ilorazn
n
a
a 1
Odp. Iloraz dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stałą liczbą rzeczywistą, dlatego podany ciąg jest geometryczny
qa
an
n
n
n
33
331
Wzór na n-ty wyraz ciąguWzór na n-ty wyraz ciąguWzór na n-ty wyraz ciąguWzór na n-ty wyraz ciągu
.
.
)(
31
2134
21123
12
1
qaqqaqaa
qaqqaqaa
qaa
a
an
ciąg geometryczny o ilorazie q
pierwszy wyraz ciągu
111 ...
nnn qaqaa
111 ...
nnn qaqaa
ZadanieZadanieZadanieZadanieMiędzy liczby 3 i 75 wstaw liczbę x, tak aby ciąg (3, x, 45) był geometryczny
75
3
3
1
a
a
75
32
1
1
qa
a
25
32
1
q
a
3/753
32
1
q
a
55
31
a
qaax 12
1515
)5(353
xx
xxOdp.
Suma n-początkowych Suma n-początkowych wyrazów ciąguwyrazów ciąguSuma n-początkowych Suma n-początkowych wyrazów ciąguwyrazów ciągu
nn
n
aaaaS
aaaS
aaS
aS
a
...
.
)(
321
3213
212
11
ciąg geometryczny o ilorazie q
11
1
1
1
1
qgdyq
qa
qgdyna
S nn
11
1
1
1
1
qgdyq
qa
qgdyna
S nn
ZadanieZadanieZadanieZadaniePewien gospodarz wynajął firmę do wykopania studni o głębokości 20m. Za pierwszy metr miał zapłacić 1 grosz a za każdy następny dwa razy tyle co za poprzedni. Ile złotych zapłaci gospodarz za wykopanie całej studni?
20;2
.....4;2;1 321
nq
groszeagroszeagrosza
złgr
q
qaS
75,1048510485751
1048575
21
10485761
21
211
1
1 2020
120
Odp.Za wykopanie studni gospodarz zapłaci 10485,75 zł.