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Complejos
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Ing. Andrés Morocco A.
MATEMÁTICA APLICADA
2
Temario• Números complejos. Corriente alterna.
• Circuitos de corriente alterna sinusoidal en régimen estable.
• Fundamentos de estadística.
• Regresión lineal.
• Aplicaciones de la derivada e integral en Electrotecnia. .
• Ecuaciones diferenciales y su aplicación a circuitos eléctricos.
• Series de Fourier - Aplicación de las series de Fourier en circuitos
eléctricos.
• Transformada de Laplace -Aplicación de las transformadas de
Laplace al análisis de circuitos eléctricos.
3
Resultados
Este curso aporta al logro de los siguientes Resultados de la Carrera:
a. Los estudiantes aplican matemática, ciencia y tecnología en el diseño, instalación, operación y mantenimiento de sistemas eléctricos.
f. Los estudiantes identifican, analizan y solucionan problemas de equipos y sistemas.
4
Objetivos del curso• Objetivos Generales
– Desarrollar criterios para analizar, formular y resolver problemas
de tecnología eléctrica utilizando el cálculo superior.
• Objetivos Específicos
– Aplicar la matemática para el entendimiento de los principios de
electrotecnia.
– Analizar, formular y desarrollar soluciones a problemas de
tecnología eléctrica.
– Interpretar los fundamentos de matemática superior en los
procesos de naturaleza eléctrica.
– Usar herramientas informáticas en el análisis de datos.
5
Sistema de Evaluación: a
Nota Final = 0.70 PA + 0.30 E
Donde: E = ExamenPA = Pruebas de Aula
6
Bibliografía• Edminister Joseph A, "Circuitos eléctricos", McGraw-Hill,
México, 1996.
• Charles, Alexander, “Fundamentos de Circuitos Eléctricos", Ed. McGraw Hill. México, 2002.
NUMEROS COMPLEJOS
8
Resolver la siguiente ecuación de segundo grado.
0522 =++ xx
ℜ∉−±−=−±−=2
162
2
2042x
Los números complejos surgen de la necesidad de resolverecuaciones cuadráticas sin solución en el campo real.
Introducción
9
• Se define la raíz cuadrada de un número negativo.
Unidad imaginaria
• Utilizando esta definición de unidad imaginaria ya sepueden hallar las raíces cuadradas de los númerosnegativos.
• Resolviendo la ecuación anterior se tiene:
jj
x 212
42
2
1612 ±−=±−=−±−=
10
Ejemplo: Encuentre la ecuación cuyas raíces son:
11
Ejemplo: Compruebe que: -4+3i verifica la ecuació n
02582 =++ xx
12
Definición: Número complejo
• Un número complejo z es un par ordenado de números reales x e y, escrito como:
REAL
IMAGINARIA
13
Notación
Notación binómica z = x + j y
14
Representación Gráfica de los números complejos
REAL
IMAGINARIO
Los números complejos se representan en unos ejes coordenados en elplano, que se llama plano de Gauss. La parte real se representa en el eje deabcisas X, que se llama eje real y la parte imaginaria en el eje de ordenadasY, que se llama eje imaginario.
El afijo de un número complejo es el punto que se le hace corresponder en elplano. El afijo del número complejo z=a+bi es el punto P(a,b).
15
Ejemplo: Representar gráficamente
16
Opuesto y Conjugado
Ejemplo: Representar gráficamente el opuesto y conjugado de:
42 jz +=
17
Ejercicio: Determinar el opuesto y el conjugado de:
Z6=4 /_60°
18
Potencias de j
19
Calcule: j323
j435
Para hallar jn , basta dividir n entre 4, el residuo será el nuevo exponente
254j
20
Ejercicio:
21
Operaciones con Complejos
Suma:Para sumar o restar números complejos en forma binómica se su man ose restan las partes reales y las partes imaginarias.
22
Ejemplo:
23
Multiplicación:
Para multiplicar números complejos en forma binómica se mul tiplicancomo binomios teniendo en cuenta que j 2=-1
24
)32)(54( ii +−
Ejercicio:
25
División:
Para dividir dos números complejos en forma binómica se mult iplica elnumerador y el denominador por el conjugado del denominador .
26
Ejercicio: Hallar:
Ejercicio: Hallar el conjugado de:
j
jz
21
1
−+=
=+−+i
i
27
318
27
Módulo
Argumento
Todo número complejo se representa como un vector; por lo tan to ala longitud del vector se le denomina módulo (r) y al ángulo qu eforma con el eje real se le llama argumento ( α).
Números Complejos en forma Polar
28
Ejemplo:
29
Polar a forma Binómico
30
Ejemplo
31
Dado un número complejo existen dos formas adicionales derepresentarlo:
Otras representaciones
32
a) Forma trigonométrica
b) Forma exponencial
Ejemplo
33
Multiplicación:Para multiplicar dos números complejos en forma polar se mul tiplicanlos módulos y se suman los argumentos
Ejemplo
Operaciones con complejos enforma polar
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División:
Para dividir dos números complejos en forma polar, se divide n losmódulos y se restan los argumentos
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Potencia:
Para elevar a una potencia un número complejo en forma polar s e elevael módulo al exponente y se multiplica el argumento por el exp onente
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Fórmula de Moivre:
La fórmula de Moivre es la potencia de un número complejo escr ita enforma trigonométrica.
37
RadicaciónPara hallar las raíces enésimas de unnúmero complejo se hace la raízenésima del módulo y se divide elargumento entre el índice.
38
PROBLEMAS
39
PROBLEMAS
40
PROBLEMAS
41
PROBLEMAS
42
PROBLEMAS
43
PROBLEMAS
44
PROBLEMAS
Encontrar el valor de x para que el producto: (2-5j)(3+xj) se a:
Un número real.Un número imaginario puro.
45
PROBLEMAS
Calcular la impedancia equivalente del circuito mostrado.
46
PROBLEMAS
Calcular la impedancia equivalente del circuito mostrado.
Comandos de Matlab para complejos
complex(a,b) – regresa el complejo a +jb
imag(c) – regresa Im[c]
conj(c) – regresa c*
angle(c) – regresa el angulo de fase
abs(c) – regresa la magnitud de c
real(c) – regresa Re[c]
isreal(c) – regresa 1 si la parte imaginaria de c es 0
EjemplosA = 4 + 5j, B = 3 – 2j, C = -6 – 5j;% a) C - BC - B% b) -3B* +5C-3*conj(B) + 5 * C% c) j 5C2(A + B)*j^5*C^2*conj(A + B)% d) B Re[A] + A Re[B]B*real(A) + A*real(B)% e) (A + B)/(C - B)(A + B)/(C - B)
Resultados-9.0000 - 3.0000i
-39.0000 -31.0000i-3.8700e+002 +2.5700e+002i
24.0000 + 7.0000i-0.8000 - 0.0667i
Ejemplos
A = -18.5 - 26jabs(A)angle(A)*180/piA = 17.9 - 12.2jabs(A)angle(A)*180/piA = -21.6 + 31.2jabs(A)angle(A)*180/picomplex(61.2*cos(-111.1*pi/180),61.2*sin(-111.1*pi/180))complex(-36.2*cos(108*pi/180),-36.2*sin(108*pi/180))complex(5*cos(2.5),5*sin(2.5))
31.9100-125.4333
21.6622-34.2769
37.9473124.6952
-22.0318 -57.0968i11.1864 -34.4282i-4.0057 + 2.9924i
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