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Cálculo I1◦ Ciclo em Engenharia Electromecânica
1◦ Ciclo em Engenharia Electrotécnica e de Computadores
António Bento
Departamento de MatemáticaUniversidade da Beira Interior
2010/2011
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 1 / 590
Bibliografia
– Apostol, T.M., Cálculo, Vol. 1, Reverté, 1993
– Dias Agudo, F.R., Análise Real, Vol. I, Escolar Editora, 1989
– Demidovitch, B., Problemas e exercícios de Análise Matemática, McGrawHill,1977
– Lima, E. L., Curso de Análise, Vol. 1, Projecto Euclides, IMPA, 1989
– Lima, E. L., Análise Real, Vol. 1, Colecção Matemática Universitária, IMPA, 2004
– Mann, W. R., Taylor, A. E., Advanced Calculus, John Wiley and Sons, 1983
– Sarrico, C., Análise Matemática – Leituras e exercícios, Gradiva, 3a Ed., 1999
– Stewart, J., Calculus (International Metric Edition), Brooks/Cole PublishingCompany, 2008
– Swokowski, E. W., Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1 e 2, McGrawHill,1983
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 2 / 590
Critérios de Avaliação
A avaliação ao longo das actividades lectivas será periódica, sendo efectuadosdois testes.
Os testes serão nos dias 22 de Novembro de 2010 e 10 de Janeiro de 2011.
Os dois testes serão cotados, cada um deles, para 10 valores.
Designando por T1 a nota do primeiro teste e por T2 a nota do segundo teste,a classificação final será calculada da seguinte forma:
– se T1 + T2 for inferior a 15,5 valores, a classificação final será oarredondamento às unidades de T1 + T2;
– se T1 + T2 for superior ou igual a 15,5 valores, terá de ser feita umaprova oral; nessa prova oral será atribuída uma nota, que designaremospor P O, entre 0 e 20 valores; a classificação final será o arredondamentoàs unidades de
max{
15,T1 + T2 + P O
2
}
.
São aprovados os alunos com classificação final igual ou superior a 10 valores.
Todos os alunos são admitidos a exame.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 3 / 590
Atendimento
O atendimento aos alunos será às quartas-feiras e às quintas-feiras, das 18horas às 19 horas, no gabinete 4.25 do Departamento de Matemática.
Caso este horário não seja conveniente, pode ser combinado outro horário como docente da cadeira através do email
bento@ubi.pt
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 4 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 5 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reaisDefinição e exemplos de funções; função inversa; composição de funçõesFunção exponencial e função logarítmicaFunções trigonométricas e suas inversasFunções hiperbólicas
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 6 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reaisDefinição e exemplos de funções; função inversa; composição de funçõesFunção exponencial e função logarítmicaFunções trigonométricas e suas inversasFunções hiperbólicas
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 7 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
No conjunto dos números reais, que representaremos por R, estãodefinidas duas operações:
– uma adição, que a cada par de números reais (a, b) fazcorresponder um número a + b;
– uma multiplicação, que a cada par (a, b) associa um númerorepresentado por a.b (ou a × b ou simplesmente ab).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 8 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
Propriedades da adição
A1) Para cada a, b, c ∈ R,a + (b + c) = (a + b) + c (associatividade)
A2) Para cada a, b ∈ R,a + b = b + a (comutatividade)
A3) Existe um elemento 0 ∈ R, designado por "zero", tal que para cadaa ∈ R
a + 0 = 0 + a = a (elemento neutro)
A4) Para cada a ∈ R, existe um elemento −a ∈ R tal quea + (−a) = (−a) + a = 0 (simétrico)
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 9 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
Propriedades da multiplicação
M1) Para cada a, b, c ∈ R,a(bc) = (ab)c (associatividade)
M2) Para cada a, b ∈ R,ab = ba (comutatividade)
M3) Existe um elemento 1 ∈ R, diferente de zero e designado por"unidade", tal que para cada a ∈ R
a.1 = 1.a = a (elemento neutro)
M4) Para cada a ∈ R \ {0}, existe um elemento a−1 ∈ R tal queaa−1 = a−1a = 1 (inverso)
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 10 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
Distributividade da multiplicação em relação à adição
D1) Para cada a, b, c ∈ R,a(b + c) = (b + c)a = ab + ac (distributividade)
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 11 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
Associadas a estas operações estão duas outras operações, asubtracção e a divisão. A subtracção entre dois números reais a e brepresenta-se por a − b e é definida por
a − b = a + (−b).
A divisão entre dois números reais a e b com b 6= 0 representa-se pora
b(ou a ÷ b ou a/b) e é definida por
a
b= ab−1.
Aa
b, com b 6= 0, também se chama fracção entre a e b.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 12 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
Operações com fracções
Sejam a, b, c e d números reais tais que b 6= 0 e d 6= 0. Então
• a
b+
c
d=
ad + bc
bd;
• a
b− c
d=
ad − bc
bd;
• a
b
c
d=
ac
bd;
•a
bc
d
=a
b× d
c=
ad
bconde c 6= 0.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 13 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
Lei do corte da adição
Sejam a, b e c números reais. Então
a + c = b + c
se e só sea = b.
Lei do corte da multiplicação
Sejam a, b e c números reais com c 6= 0. Então
ca = cb
se e só sea = b.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 14 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
Lei do anulamento do produto
Dados números reais a e b tem-se
ab = 0
se e só sea = 0 e/ou b = 0.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 15 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
Casos notáveis da multiplicação
Se a e b são números reais, então
i) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2;
ii) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2;
iii) (a + b)(a − b) = a2 − b2.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 16 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
Resolução de equações de primeiro grau
Sejam a e b números reais. Então
i) a + x = b ⇔ x = b − a;
ii) ax = b ⇔ x =b
aonde a 6= 0;
Fórmula resolvente (de equações de segundo grau)
Sejam a, b e c números reais, com a 6= 0. Então
ax2 + bx + c = 0 ⇔ x =−b ±
√b2 − 4ac
2a.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 17 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
Ordem
No conjunto dos números reais está definida uma relação de ordem,relação essa que denotamos por < e que verifica, para quaisquer a, b,c ∈ R, as seguintes propriedades:
O1) apenas uma das seguintes condições é verdadeira:
ou a = b, ou a < b, ou b < a;
O2) se a < b e b < c, então a < c;
O3) se a < b, então a + c < b + c;
O4) se 0 < a e 0 < b, então 0 < ab;
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 18 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
Quando a < b é uma proposição verdadeira, dizemos que a é menordo que b.
Diz-se que a é menor ou igual do que b, e escreve-se
a 6 b, se a < b ou a = b.
Dizemos que a é maior do que b, e escreve-se
a > b, se b < a.
Obviamente, diz-se que a é maior ou igual do que b, e escreve-se
a > b, se b 6 a.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 19 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
Das quatro propriedades de ordem mencionadas atrás é possíveldeduzir as seguintes propriedades:
Propriedades de ordem
Para quaisquer números reais a, b, c e d, tem-se
a) se a 6 b e b 6 a, então a = b;
b) se a 6= 0, então a2 > 0;
c) se a < b e c < d, então a + c < b + d;
d) se a < b e c > 0, então ac < bc;
e) se a < b e c < 0, então ac > bc;
f) se a > 0, então a−1 > 0;
g) se a < 0, então a−1 < 0;
h) se a < b, então a <a + b
2< b;
i) ab > 0 se e só se (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 20 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
A relação de ordem permite-nos representar os números reais numarecta ou num eixo.
−3 −2 −1 0 1 2 33√
2√
3 πe
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 21 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
As relações de ordem que definimos previamente permitem-nos definirvários subconjuntos de R chamados intervalos. Dados dois númerosreais tais que a 6 b, temos os seguintes conjuntos:
]a, b[ = {x ∈ R : a < x < b} ;
]a, b] = {x ∈ R : a < x 6 b} ;
[a, b] = {x ∈ R : a 6 x 6 b} ;
[a, b[ = {x ∈ R : a 6 x < b} ;
]a, +∞[ = {x ∈ R : a < x} ;
[a, +∞[ = {x ∈ R : a 6 x} ;
] − ∞, b[ = {x ∈ R : x < b} ;
] − ∞, b] = {x ∈ R : x 6 b} ;
] − ∞, +∞[ = R
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 22 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
Representação geométrica dos intervalos
]a, b[a b
[a, b]a b
[a, b[a b
]a, b]a b
]a, +∞[a
[a, +∞[a
] − ∞, b[b
] − ∞, b]b
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 23 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
Inequações de segundo grau
Consideremos a inequação
ax2 + bx + c < 0, a 6= 0.
a) Se a > 0 e b2 − 4ac > 0, então o conjunto solução da inequação é ointervalo
]x1, x2[,
onde x1 e x2 são as soluções de ax2 + bx + c = 0 e x1 < x2.
b) Se a > 0 e b2 − 4ac 6 0, então a inequação não tem soluções.
c) Se a < 0 e b2 − 4ac < 0, então o conjunto solução da inequação é R.
d) Se a < 0 e b2 − 4ac > 0, então o conjunto solução da inequação é ointervalo
] − ∞, x1[ ∪ ]x2, +∞[,
onde x1 e x2 são as soluções de ax2 + bx + c = 0 e x1 6 x2.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 24 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
Inequações de segundo grau (continuação)
Consideremos a inequação
ax2 + bx + c 6 0, a 6= 0.
a) Se a > 0 e b2 − 4ac > 0, então o conjunto solução da inequação é ointervalo
[x1, x2],
onde x1 e x2 são as soluções de ax2 + bx + c = 0 e x1 6 x2.
b) Se a > 0 e b2 − 4ac < 0, então a inequação não tem soluções.
c) Se a < 0 e b2 − 4ac 6 0, então o conjunto solução da inequação é R.
d) Se a < 0 e b2 − 4ac > 0, então o conjunto solução da inequação é ointervalo
] − ∞, x1] ∪ [x2, +∞[,
onde x1 e x2 são as soluções de ax2 + bx + c = 0 e x1 < x2.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 25 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
Para as inequações
ax2 + bx + c > 0, a 6= 0,
eax2 + bx + c > 0, a 6= 0,
temos algo semelhante aos dois casos anteriores.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 26 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
Fazendo ∆ = b2 − 4ac, a figura seguinte ajuda-nos a resolver asinequações de segundo grau.
a > 0∆ > 0
a > 0∆ = 0
a > 0∆ < 0
a < 0∆ > 0
a < 0∆ = 0
a < 0∆ < 0
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 27 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
Intuitivamente, poderíamos construir os números naturais daseguinte forma:
1 é um número natural;
1 + 1 que representamos por 2 é um número natural;
1 + 1 + 1 = 2 + 1 = 3 é um número natural;
etc.
Assim,N = {1, 2, 3, 4, 5, . . .} .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 28 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
A partir dos números naturais podemos definir os números inteiros e osnúmeros racionais.
Um número real diz-se um número inteiro se for um número natural,ou se o seu simétrico for um número natural ou se for zero, isto é, oconjunto dos números inteiros é o conjunto
Z = N ∪ {0} ∪ {m ∈ R : −m ∈ N} .
Um número racional é um número real que pode ser representadocomo o quociente entre dois números inteiros, isto é, o conjunto dosnúmeros racionais é o conjunto
Q ={
m
n: m ∈ Z, n ∈ Z \ {0}
}
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 29 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
Os números racionais também podem ser definidos através darepresentação decimal. Um número real é racional se no sistemadecimal tiver uma dízima finita ou uma dízima infinita periódica.
Assim, o número0, 3333333...
é um número racional, que também se representa por
0, 3(3)
Além disso, este número também pode ser representado por
13
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 30 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
Aos números reais que não são racionais chamamos de númerosirracionais.
Os números√
2,√
3, π e e são números irracionais.
As inclusões seguintes são óbvias:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 31 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
Por valor absoluto ou módulo de um elemento x ∈ R entende-se onúmero real |x| definido por
|x| =
{
x se x > 0;
−x se x < 0.
Uma forma equivalente de definir o módulo de um número real x é aseguinte
|x| = max {x, −x} .
Geometricamente, o módulo de um número dá-nos a distância dessenúmero à origem.
0 x
|x|
y
|y|
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 32 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
Propriedades do módulo
Para quaisquer números reais a, b tem-se
a) |a| = 0 se e só se a = 0;
b) |a| > 0;
c) |ab| = |a|.|b|;d) |a + b| 6 |a| + |b|; (desigualdade triangular)
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 33 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
A propriedade d) denomina-se desigualdade triangular pelo facto denum triângulo o comprimento de qualquer lado ser menor do que asoma dos comprimentos dos outros dois lados.
|a + b| 6 |a| + |b|
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 34 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
Propriedades do módulo (continuação)
a) |x| = a ⇔ x = a ∨ x = −a onde a > 0;
b) |x| < a ⇔ x < a ∧ x > −a
c) |x| 6 a ⇔ x 6 a ∧ x > −a
d) |x| > a ⇔ x > a ∨ x < −a
e) |x| > a ⇔ x > a ∨ x 6 −a
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 35 / 590
§1.1 O conjunto dos números reais
Podemos usar o módulo para calcular a distância entre dois númerosreais. A distância entre dois números reais a e b é dada por
|a − b| .
Geometricamente,
a b
|a − b|
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 36 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reaisDefinição e exemplos de funções; função inversa; composição de funçõesFunção exponencial e função logarítmicaFunções trigonométricas e suas inversasFunções hiperbólicas
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 37 / 590
§1.2 Definição e exemplos de funções; função inversa; composição de funções
Uma função f : A → B é definida à custa de três coisas:
• um conjunto A a que se chama domínio da função;
• um conjunto B chamado de conjunto de chegada da função;
• uma regra que a cada elemento de x ∈ A faz corresponder um eum só elemento de B, elemento esse que se representa por f(x).
Referimo-nos a x ∈ A como um objecto e a f(x) ∈ B como a suaimagem por f , respectivamente. Também usamos a expressão valorde f em x para nos referirmos à imagem f(x).
Ao conjunto das imagens chamamos contradomínio de f , ou seja, ocontradomínio é o conjunto
f(A) = {f(x) ∈ B : x ∈ A} .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 38 / 590
§1.2 Definição e exemplos de funções; função inversa; composição de funções
A natureza da regra associada a f : A → B, e que nos permitedeterminar o valor de f(x) quando é dado x ∈ A, é inteiramentearbitrária, tendo apenas que verificar duas condições:
1) não pode haver excepções, isto é, para que o conjunto A seja odomínio de f a regra deve de fornecer f(x) para todo o x ∈ A;
2) não pode haver ambiguidades, ou seja, a cada x ∈ A a regra devefazer corresponder um único f(x) ∈ B.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 39 / 590
§1.2 Definição e exemplos de funções; função inversa; composição de funções
As funções f que nós vamos estudar são funções reais de variávelreal, ou seja, o domínio da função f é um subconjunto de R e oconjunto de chegada é o conjunto dos números reais R. O domíniocostuma representar-se por D ou Df e usa-se a seguinte notação
f : D ⊆ R → R,
ou, de forma mais abreviada,
f : D → R.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 40 / 590
§1.2 Definição e exemplos de funções; função inversa; composição de funções
Exemplo – Primeira Lei de Ohm
A primeira lei de Ohm diz que a intensidade I da corrente eléctrica édada pelo quociente entre a diferença de potencial V e a resistênciaeléctrica R do condutor:
I =V
R.
Assim, num circuito eléctrico a intensidade da corrente pode ser vistacomo uma função da diferença de potencial.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 41 / 590
§1.2 Definição e exemplos de funções; função inversa; composição de funções
Exemplo – Funções afim
As funções dada porf(x) = ax + b,
onde a e b são dois números reais fixos, designam-se por funções afim.Quando b = 0, a expressão reduz-se a
f(x) = ax
e exprime que as variáveis entre x e y = f(x) existe proporcionalidadedirecta, visto que o quociente dos dois valores correspondentes éconstante:
y
x= a.
Dizemos então a função definida é linear. O domínio de uma funçãoafim é sempre o conjunto dos números reais. O contradomínio é oconjunto R dos números reais, excepto no caso em que a = 0. Quandoa = 0 o contradomínio é o conjunto singular {b}.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 42 / 590
§1.2 Definição e exemplos de funções; função inversa; composição de funções
Exemplo – Funções quadráticas
As funções definidas por
f(x) = ax2 + bx + c, a 6= 0
designam-se por funções quadráticas. O seu domínio é o conjunto R
dos números reais e o contradomínio é o intervalo[
f
(
− b
2a
)
, +∞[
=
[
c − b2
4a, +∞
[
se a > 0 e é o intervalo
]
−∞, f
(
− b
2a
)]
=
]
−∞, c − b2
4a
]
se a < 0.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 43 / 590
§1.2 Definição e exemplos de funções; função inversa; composição de funções
Exemplo – Funções polinomiais
As funções funções f : R → R definidas por
f(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0,
onde n ∈ N, a0, a1, . . . , an−1 ∈ R e an ∈ R \ {0} designam-se porfunções polinomiais.
Obviamente, as funções afim e as funções quadráticas são funçõespolinomiais.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 44 / 590
§1.2 Definição e exemplos de funções; função inversa; composição de funções
Exemplo – Funções racionais
As funções racionais são as funções definidas como o quociente entredois polinómios, ou seja, são as funções dadas por
f(x) =anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0
bmxm + bm−1xm−1 + · · · + b1x + b0,
onde m, n ∈ N, a0, a1, . . . , an−1, bm−1, . . . , b1, b0 ∈ R e an, bm ∈ R \ {0}.
O seu domínio é o conjunto
D ={
x ∈ R : bmxm + bm−1xm−1 + · · · + b1x + b0 6= 0}
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 45 / 590
§1.2 Definição e exemplos de funções; função inversa; composição de funções
Dada uma função real de variável real f : D ⊆ R → R, o conjunto
G (f) = {(a, f(a)) : a ∈ D}
designa-se por gráfico de f . Obviamente, este conjunto pode serrepresentado no plano e a essa representação geométrica também sechama gráfico.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 46 / 590
§1.2 Definição e exemplos de funções; função inversa; composição de funções
Exemplo
As funções afim f, g, h : R → R definidas por
f(x) = x, g(x) = 2x + 1 e h(x) = −x − 1
tem os seguintes gráficos:
1−1
1
−1
f(x) = x
g(x) = 2x + 1
h(x) = −x − 1
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 47 / 590
§1.2 Definição e exemplos de funções; função inversa; composição de funções
Exemplo
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Por exemplo, afunção dada por
f(x) = x2 + x + 1
tem o seguinte gráfico
1−1
1
f(x) = x2 + x + 1
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 48 / 590
§1.2 Definição e exemplos de funções; função inversa; composição de funções
Exemplo
As função dada porf(x) = 1/x
cujo domínio é R \ {0} tem o seguinte gráfico
1−1
1
−1
f(x) =1
x
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 49 / 590
§1.2 Definição e exemplos de funções; função inversa; composição de funções
Seja f : D ⊆ R → R uma função real de variável real. Dizemos que f éinjectiva se
para quaisquer a, b ∈ D tais que a 6= b se tem f(a) 6= f(b).
A função f é sobrejectiva se
para cada b ∈ R, existe a ∈ D tal que f(a) = b.
Obviamente, uma função real de variável real é sobrejectiva se o seucontradomínio for o conjunto R dos números reais.
As funções que são injectivas e sobrejectivas dizem-se bijectivas.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 50 / 590
§1.2 Definição e exemplos de funções; função inversa; composição de funções
Exemplo
Seja f : R → R a função definida por
f(x) = 2x + 3.
Como
f(a) = f(b) ⇔ 2a + 3 = 2b + 3
⇔ 2a = 2b
⇔ a = b,
a função f é injectiva. Além disso, dado b ∈ R, fazendo a =b − 3
2temos
f(a) = f
(
b − 32
)
= 2b − 3
2+ 3 = b − 3 + 3 = b,
o que mostra que f é sobrejectiva.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 51 / 590
§1.2 Definição e exemplos de funções; função inversa; composição de funções
Exemplo
A função f : R → R definida por f(x) = x2 não é injectiva porque
f(−1) = f(1).
Além disso, também não é sobrejectiva porque o seu contradomínio é ointervalo [0, +∞[.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 52 / 590
§1.2 Definição e exemplos de funções; função inversa; composição de funções
Seja f : D ⊆ R → R uma função real de variável real injectiva. Recordemosque o conjunto de todas as imagens por f de elementos de D, ou seja, oconjunto
f(D) = {f(x) ∈ R : x ∈ D} ,
se designa por contradomínio de f . Como f é injectiva, dado y ∈ f(D), existeum e um só x ∈ D tal que
f(x) = y.
Nestas condições podemos definir a inversa da função f que a cada y ∈ f(D)faz corresponder x ∈ D tal que f(x) = y. Essa inversa representa-se por f−1 eé a função
f−1 : f(D) → R
definida porf−1(y) = x se e só se f(x) = y.
É evidente que para cada x ∈ D e para cada y ∈ f(D) se tem
f−1(f(x)) = x e f(f−1(y)) = y.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 53 / 590
§1.2 Definição e exemplos de funções; função inversa; composição de funções
Exemplo
A função f : {1, 2, 3, 4} → R definida por
f(1) = 9, f(2) = 8, f(3) = 7 e f(4) = 6
é injectiva e pode ser representada da seguinte forma:
b
b
b
b
1
2
3
4
b
b
b
b
9
8
7
6
f
f−1
e a sua inversa é a função f−1 : {6, 7, 8, 9} → R definida por
f−1(6) = 4, f−1(7) = 3, f−1(8) = 2 e f−1(9) = 1.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 54 / 590
§1.2 Definição e exemplos de funções; função inversa; composição de funções
Exemplo
Consideremos novamente a função f : R → R definida por
f(x) = 2x + 3.
Já vimos que esta função é injectiva e, consequentemente, tem inversa. Alémdisso, o contradomínio de f é R e, portanto,
f−1 : R → R.
Como
y = f(x) ⇔ y = 2x + 3
⇔ −2x = −y + 3
⇔ 2x = y − 3
⇔ x =y
2− 3
2,
f−1 é definida por
f−1(y) =y
2− 3
2ou f−1(x) =
x
2− 3
2.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 55 / 590
§1.2 Definição e exemplos de funções; função inversa; composição de funções
Exemplo (continuação)
1
2
3
−1
−2
−3
−4
1 2 3−1−2−3−4
y = 2x + 3
y =x
2− 3
2
y = x
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 56 / 590
§1.2 Definição e exemplos de funções; função inversa; composição de funções
Exemplo
Seja f : R → R a função definida por
f(x) = x2.
Esta função não é injectiva porque, por exemplo,
f(−1) = f(1) = 1.
Assim, a função f não tem inversa. No entanto, se pensarmos na restriçãodesta função a [0, +∞[, ou seja, se usarmos a função g : [0, +∞[→ R definidapor g(x) = x2, esta função já é injectiva pelo que podemos pensar na suainversa. Como o seu contradomínio é [0, +∞[ e y = x2 ⇒ x =
√y, a função
g−1 : [0, +∞[→ R
é definida porg−1(x) =
√x.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 57 / 590
§1.2 Definição e exemplos de funções; função inversa; composição de funções
Exemplo (continuação)
1
2
3
−1
−2
−3
−4
1 2 3−1−2−3−4
y = x2
y =√
x
y = x
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 58 / 590
§1.2 Definição e exemplos de funções; função inversa; composição de funções
Sejamf : Df ⊆ R → R e g : Dg ⊆ R → R
duas funções reais de variável real. A função composta de g com fé a função
g ◦ f : Dg◦f ⊆ R → R,
de domínioDg◦f = {x ∈ Df : f(x) ∈ Dg} ,
definida por(g ◦ f)(x) = g(f(x)).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 59 / 590
§1.2 Definição e exemplos de funções; função inversa; composição de funções
Exemplo
Sejamf : R → R e g : R \ {0} → R
as funções definidas por
f(x) = x2 − 1 e g(x) =1x
.
Então g ◦ f tem por domínio o conjunto
Dg◦f = {x ∈ Df : f(x) ∈ Dg}={
x ∈ R : x2 − 1 ∈ R \ {0}}
= R \ {−1, 1}e é definida por
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x2 − 1) =1
x2 − 1.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 60 / 590
§1.2 Definição e exemplos de funções; função inversa; composição de funções
Exemplo (continuação)
Se em vez de g ◦ f calcularmos f ◦ g temos
Df◦g = {x ∈ Dg : g(x) ∈ Df }
={
x ∈ R \ {0} :1x
∈ R
}
= R \ {0}
e(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(1/x) =
1x2
− 1.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 61 / 590
§1.2 Definição e exemplos de funções; função inversa; composição de funções
Exemplo (continuação)
1
2
3
−1
−2
−3
1 2 3−1−2−3
y =1
x2 − 1
y =1
x2− 1
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 62 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reaisDefinição e exemplos de funções; função inversa; composição de funçõesFunção exponencial e função logarítmicaFunções trigonométricas e suas inversasFunções hiperbólicas
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 63 / 590
§1.3 Função exponencial e função logarítmica
Dado um número real positivo a > 0, pretendemos estudar a função
f : R → R
definida porf(x) = ax,
que se designa por função exponencial de base a.
Repare-se que quando a = 1 temos a função constante
f(x) = 1x = 1.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 64 / 590
§1.3 Função exponencial e função logarítmica
Propriedades da função exponencial
Sejam x, y ∈ R e a, b ∈ ]0, +∞[. Então
a) a0 = 1
b) ax+y = ax ay
c) a−x =1ax
d) ax−y =ax
ay
e) (ax)y = axy
f) axbx = (ab)x
g) se x > y e a > 1, então ax > ay
h) se x > y e 0 < a < 1, então ax < ay
i) se a ∈ ]0, +∞[ \ {1} a função exponencial é injectiva
j) se a ∈ ]0, +∞[ \ {1} o contradomínio da função exponencial é ]0, +∞[
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 65 / 590
§1.3 Função exponencial e função logarítmica
x
y
a > 10 < a < 1
a = 1
Gráfico da função exponencial
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 66 / 590
§1.3 Função exponencial e função logarítmica
x
y
y = 2x
1
y = exy = 3x
y = 4x
Gráfico de funções exponenciais
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 67 / 590
§1.3 Função exponencial e função logarítmica
x
y
y =(
12
)x
1
y =(
13
)x
y =(
14
)x
Gráfico de funções exponenciais
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 68 / 590
§1.3 Função exponencial e função logarítmica
Quando a ∈]0, 1[ ∪ ]1, +∞[, a função exponencial ax é injectiva e, porconseguinte, tem inversa. Essa inversa chama-se logaritmo na base ae representa-se por loga.
Assim, tendo em conta que o contradomínio da função exponencial é ointervalo ]0, +∞[, temos que
loga : ]0, +∞[→ R
é a função definida por
loga x = y se e só se x = ay.
Obviamente, quando a = e temos a função logaritmo natural querepresentamos por ln.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 69 / 590
§1.3 Função exponencial e função logarítmica
Propriedades da função logarítmica
Sejam x, y ∈ R+ e a, b ∈ ]0, +∞[\ {1}. Então
a) loga (xy) = loga x + loga y
b) loga
1x
= − loga x
c) loga
x
y= loga x − loga y
d) loga (xα) = α loga x
e) loga x = logb x loga b
f) loga 1 = 0
g) se x > y e a > 1, então loga x > loga y
h) se x > y e 0 < a < 1, então loga x < loga y
i) a função logarítmica é injectiva;
j) o contradomínio da função logarítmica é R
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 70 / 590
§1.3 Função exponencial e função logarítmica
x
y
a > 1
1
0 < a < 1
Gráfico da função logaritmo de base a
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 71 / 590
§1.3 Função exponencial e função logarítmica
x
y
log2 x
1
ln x
log4 x
log1/2 x
log1/3 xlog1/4 x
Gráfico de funções logarítmicas
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 72 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reaisDefinição e exemplos de funções; função inversa; composição de funçõesFunção exponencial e função logarítmicaFunções trigonométricas e suas inversasFunções hiperbólicas
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 73 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
A B C
D
E
α
BE
AE=
CD
AD
AB
AE=
AC
AD
• seno:
sen α =comprimento do cateto oposto
comprimento da hipotenusa=
BE
AE=
CD
AD
• coseno:
cos α =comprimento do cateto adjacente
comprimento da hipotenusa=
AB
AE=
AC
AD
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 74 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
1
1
α
α em radianos
sen α
cos α
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 75 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
As funções seno e coseno, cujo domínio é o conjunto dos númerosreais, fazem corresponder a cada x ∈ R
sen x e cos x,
respectivamente. O contradomínio destas duas funções é o intervalo[−1, 1].
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 76 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
x
y
−1
1
π2
π 3π2
2π− π2
−π− 3π2
−2π
Gráfico da função seno
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 77 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
x
y
−1
1
π2
π 3π2
2π− π2
−π− 3π2
−2π
Gráfico da função coseno
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 78 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
Outra função trigonométrica importante é a função tangente, definidapela fórmula
tg x =sen x
cos x,
que está definida para todos os pontos x tais que cos x 6= 0, ou seja, odomínio da função tangente é o conjunto
{
x ∈ R : x 6= π
2+ kπ, k ∈ Z
}
.
O seu contradomínio é o conjunto dos números reais.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 79 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
x
y
π2
π 3π2
2π− π2
−π− 3π2
−2π
Gráfico da função tangente
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 80 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
A função cotangente é dada pela expressão
cotg x =cos x
sen x.
O seu domínio é o conjunto
{x ∈ R : x 6= kπ, k ∈ Z}
e o contradomínio é o conjunto dos números reais.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 81 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
x
y
π2
π
3π2
2π
− π2
−π
− 3π2
−2π
Gráfico da função cotangente
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 82 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
x 1
1
sen x
cos x= tg x
cos x
sen x= cotg x
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 83 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
A função secante é definida por
sec x =1
cos x,
o seu domínio é o conjunto{
x ∈ R : x 6= π
2+ kπ, k ∈ Z
}
e o seu contradomínio é o conjunto
] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 84 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
x
y
π2
π 3π2
2π− π2
−π− 3π2
−2π
1
−1
Gráfico da função secante
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 85 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
A função cosecante é definida por
cosec x =1
sen x,
o seu domínio é o conjunto
{x ∈ R : x 6= kπ, k ∈ R}
e o seu contradomínio é o conjunto
] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 86 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
x
y
π2
π 3π2
2π− π2
−π− 3π2
−2π
1
−1
Gráfico da função cosecante
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 87 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
0π
6π
4π
3π
2π
3π
2
seno 012
√2
2
√3
21 0 -1
coseno 1
√3
2
√2
212
0 -1 0
tangente 0
√3
31
√3 n.d. 0 n.d.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 88 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
Fórmula fundamental da trigonometria
sen2 x + cos2 x = 1
Desta fórmula resultam imediatamente as seguintes fórmulas
1 + tg2 x =1
cos2 xe 1 + cotg2 x =
1sen2 x
,
que podem ser reescritas da seguinte forma
1 + tg2 x = sec2 x e 1 + cotg2 x = cosec2 x.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 89 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
Reduções ao primeiro quadrante
sen(−x) = − sen x
cos(−x) = cos x
sen(π/2 − x) = cos x
cos(π/2 − x) = sen x
sen(π/2 + x) = cos x
cos(π/2 + x) = − sen x
sen(π − x) = sen x
cos(π − x) = − cos x
sen(π + x) = − sen x
cos(π + x) = − cos x
1
1
xx
xx
xx
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 90 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
Reduções ao primeiro quadrante (continuação)
sen(3π/2 − x) = − cos x
cos(3π/2 − x) = − sen x
sen(3π/2 + x) = − cos x
cos(3π/2 + x) = sen x
sen(2π − x) = − sen x
cos(2π − x) = cos x
sen(2π + x) = sen x
cos(2π + x) = cos x
1
1
x
x x
x
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 91 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
Reduções ao primeiro quadrante (continuação)
tg(−x) = − tg(x)
cotg(−x) = − cotg(x)
tg(π/2 − x) = cotg x
cotg(π/2 − x) = tg x
tg(π/2 + x) = − cotg x
cotg(π/2 + x) = − tg x
tg(π − x) = − tg x
cotg(π − x) = − cotg x
tg(π + x) = tg x
cotg(π + x) = cotg x
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 92 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
Resolução de equações trigonométricas
sen x = sen α ⇔ x = α + 2kπ ∨ x = π − α + 2kπ, k ∈ Z
cos x = cos α ⇔ x = α + 2kπ ∨ x = −α + 2kπ, k ∈ Z
tg x = tg α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
cotg x = cotg α ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 93 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
Fórmulas trigonométricas
sen(x + y) = sen x cos y + sen y cos x
sen(x − y) = sen x cos y − sen y cos x
cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y
cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y
sen(2x) = 2 sen x cos x
cos(2x) = cos2 x − sen2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sen2 x
sen x + sen y = 2 senx + y
2cos
x − y
2
sen x − sen y = 2 senx − y
2cos
x + y
2
cos x − cos y = −2 senx + y
2sen
x − y
2
cos x + cos y = 2 cosx + y
2cos
x − y
2
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 94 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
A função seno não é injectiva pelo que não tem inversa. No entanto,
considerando a restrição da função seno ao intervalo[
−π
2,π
2
]
, a que se
chama restrição principal, ou seja, considerando a função
f :[
−π
2,π
2
]
→ R,
definida porf(x) = sen x,
tem-se que a função f é injectiva. À inversa desta função chama-searco seno e representa-se por arc sen. Assim,
arc sen : [−1, 1] → R
e é definida da seguinte forma
arc sen x = y se e só se x = sen y e y ∈[
−π
2,π
2
]
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 95 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
x arc sen x
0 0
1 π/2
−1 −π/2
1/2 π/6
−1/2 −π/6√
2/2 π/4
−√
2/2 −π/4√
3/2 π/3
−√
3/2 −π/3
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 96 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
x
y
b
b
π2
− π2
1
−1
b
b
Gráfico da função arco seno
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 97 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
Considerando a restrição da função coseno ao intervalo [0, π], ou seja, afunção
g : [0, π] → [−1, 1]
definida porg(x) = cos x,
tem-se que g é uma função injectiva. A inversa desta funçãorepresenta-se por arccos e chama-se arco coseno. Assim,
arccos : [−1, 1] → R
é a função definida por
arccosx = y se e só se x = cos y e y ∈ [0, π] .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 98 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
x arccosx
0 π/2
1 0
−1 π
1/2 π/3
−1/2 2π/3√
2/2 π/4
−√
2/2 3π/4√
3/2 π/6
−√
3/2 5π/6
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 99 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
x
y
b
b
π2
π
1−1
b
b
Gráfico da função arco coseno
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 100 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
Seja
h :]
−π
2,
π
2
[
→ R
a função definida porh(x) = tg x.
A função h é injectiva, pelo que h tem inversa. A inversa desta funçãorepresenta-se por arc tg e chama-se arco tangente. Assim
arc tg : R → R
é a função definida por
arc tg x = y se e só se x = tg y e y ∈]
−π
2,
π
2
[
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 101 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
x arc tg x
0 0
1π
4
−1 −π
4√
33
π
6
−√
33
−π
6√
3π
3
−√
3 −π
3
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 102 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
x
y
π2
− π2
Gráfico da função arco tangente
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 103 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
À inversa da restrição ao intervalo ]0, π[ da função cotangentechamamos arco cotangente e representamos essa função por arccotg.Assim,
arccotg : R → R
é a função definida por
arccotg x = y se e só se x = cotg y e y ∈ ]0, π[ .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 104 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
x arccotg x
0π
2
1π
4
−13π
4√
33
π
3
−√
33
2π
3√
3π
6
−√
35π
6
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 105 / 590
§1.4 Funções trigonométricas e suas inversas
x
y
π2
π
Gráfico da função arco cotangente
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 106 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplosO conjunto dos números reaisDefinição e exemplos de funções; função inversa; composição de funçõesFunção exponencial e função logarítmicaFunções trigonométricas e suas inversasFunções hiperbólicas
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 107 / 590
§1.5 Funções hiperbólicas
As funçõessenh : R → R e cosh : R → R
definidas por
senh x =ex − e−x
2e cosh x =
ex + e−x
2
designam-se por seno hiperbólico e por coseno hiperbólico,respectivamente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 108 / 590
§1.5 Funções hiperbólicas
senh x = y ⇔ ex − e−x
2= y
⇔ ex − e−x = 2y
⇔ ex − e−x −2y = 0
⇔ e2x −2y ex −1 = 0
⇔ ex =2y +
√
4y2 + 42
∨����������X
XXXXXXXXX
ex =2y −
√
4y2 + 42
⇔ ex = y +√
y2 + 1
⇔ x = ln(
y +√
y2 + 1)
Logo o contradomínio do seno hiperbólico é R.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 109 / 590
§1.5 Funções hiperbólicas
cosh x = y ⇔ ex + e−x
2= y
⇔ ex + e−x = 2y
⇔ ex + e−x −2y = 0
⇔ e2x −2y ex +1 = 0
⇔ ex =2y +
√
4y2 − 42
∨ ex =2y −
√
4y2 − 42
⇔ ex = y +√
y2 − 1 ∨ ex = y −√
y2 − 1
⇔ x = ln(y +√
y2 − 1) ∨ x = ln(
y −√
y2 − 1)
Assim, o contradomínio do coseno hiperbólico é o intervalo [1, +∞[.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 110 / 590
§1.5 Funções hiperbólicas
x
y
1
y = cosh x
y = senh x
Gráfico das funções seno e coseno hiperbólico
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 111 / 590
§1.5 Funções hiperbólicas
Associada a estas funções está a função tangente hiperbólica. Atangente hiperbólica é a função
tgh : R → R
definida por
tgh x =senh x
cosh x=
ex − e−x
ex + e−x=
e2x −1e2x +1
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 112 / 590
§1.5 Funções hiperbólicas
tgh x = y ⇔ e2x −1e2x +1
= y
⇔ e2x −1 = y e2x +y
⇔ (1 − y) e2x = y + 1
⇔ e2x =y + 11 − y
⇔ x =12
ln(
y + 11 − y
)
Assim, temos de tery + 11 − y
> 0, o que é equivalente a −1 < y < 1. Logo
o contradomínio da tangente hiperbólica é o intervalo ] − 1, 1[.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 113 / 590
§1.5 Funções hiperbólicas
x
y
1
−1
Gráfico da função tangente hiperbólica
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 114 / 590
§1.5 Funções hiperbólicas
É fácil mostrar que as seguintes igualdades são válidas:
a) cosh2 x − senh2 x = 1
b) 1 − tgh2 x =1
cosh2 x
c) senh(x + y) = senh x cosh y + senh y cosh x
d) cosh(x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 115 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidadeBreves noções de topologia em R
Limites: definição, propriedades e exemplosLimites infinitos e limites no infinitoLimites lateraisAssímptotasFunções contínuas: definição, propriedades e exemplosPropriedades fundamentais das funções contínuas
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 116 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidadeBreves noções de topologia em R
Limites: definição, propriedades e exemplosLimites infinitos e limites no infinitoLimites lateraisAssímptotasFunções contínuas: definição, propriedades e exemplosPropriedades fundamentais das funções contínuas
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 117 / 590
§2.1 Breves noções de topologia em R
Seja A um subconjunto de R. Um ponto a ∈ R diz-se interior a A
se existir ε > 0 tal que ]a − ε, a + ε[ ⊆ A.
O ponto a diz-se exterior a A
se existir ε > 0 tal que ]a − ε, a + ε[ ∩ A = ∅
(ou seja, ]a − ε, a + ε[ ⊆ R \ A).
Um ponto diz-se fronteiro a A se não for interior, nem exterior, isto é,a é um ponto fronteiro de A
se para cada ε > 0, ]a − ε, a + ε[ ∩ A 6= ∅ e ]a − ε, a + ε[ ∩ (R \ A) 6= ∅.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 118 / 590
§2.1 Breves noções de topologia em R
0 11/2 2-1
Seja A o conjunto ]0, 1]. Então12
é um ponto interior a A,
2 é um ponto exterior a A,
−1 é um ponto exterior a A,
0 é um ponto fronteiro a A e
1 é um ponto fronteiro a A.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 119 / 590
§2.1 Breves noções de topologia em R
O conjunto dos pontos interiores a A designa-se por interior de A erepresenta-se por
int A ou A◦,
o conjunto dos pontos exteriores a A chama-se exterior de A erepresenta-se por
ext A
e o conjunto dos pontos fronteiros a A diz-se a fronteira de A erepresenta-se por
fr A.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 120 / 590
§2.1 Breves noções de topologia em R
Exemplos
a) Para o intervalo A =]0, 1] temos
int A =]0, 1[, ext A =] − ∞, 0[ ∪ ]1, +∞[ e fr A = {0, 1} .
b) Considerando o intervalo I =]a, b[, com a < b, verifica-seimediatamente que
int I =]a, b[, ext I =] − ∞, a[ ∪ ]b, +∞[ e fr I = {a, b} .
c) Os intervalos ]a, b], [a, b[ e [a, b], onde a < b, têm o mesmo interior,o mesmo exterior e a mesma fronteira que o intervalo ]a, b[.
d) intR = R, extR = ∅, frR = ∅.
e) int∅ = ∅, ext∅ = R, fr∅ = ∅.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 121 / 590
§2.1 Breves noções de topologia em R
a) Da definição resulta imediatamente que int A, ext A e fr A sãoconjuntos disjuntos dois a dois e que
R = int A ∪ ext A ∪ fr A.
b) Outra consequência imediata da definição é o seguinte
ext A = int (R \ A) e fr A = fr (R \ A) .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 122 / 590
§2.1 Breves noções de topologia em R
Um ponto a ∈ R diz-se aderente a um subconjunto A ⊆ R
se para cada ε > 0, ]a − ε, a + ε[ ∩ A 6= ∅.
O conjuntos dos pontos aderentes de um conjunto A designa-se poraderência ou fecho de A e representa-se por
A.
Das definições resulta que
A = int A ∪ fr A
eint A ⊆ A ⊆ A.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 123 / 590
§2.1 Breves noções de topologia em R
Exemplos
a) Se A =]0, 1[, então A = [0, 1].
b) Dado I = [a, b], com a < b, temos
I = [a, b].
c) Os intervalos ]a, b[, [a, b[ e ]a, b], onde a < b, têm a mesma aderênciaque o intervalo [a, b].
d) Seja A = [1, 2[ ∪ {3, 4}. Então
A = [1, 2] ∪ {3, 4} .
e) Obviamente, R = R e ∅ = ∅.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 124 / 590
§2.1 Breves noções de topologia em R
Sejam A um subconjunto de R e a um número real. Diz-se que a é umponto de acumulação de A
se para cada ε > 0, ]a − ε, a + ε[ ∩ (A \ {a}) 6= ∅.
O conjunto dos pontos de acumulação de um conjunto A representa-sepor
A′
e designa-se por derivado. Os pontos de A que não são pontos deacumulação de A designam-se por pontos isolados.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 125 / 590
§2.1 Breves noções de topologia em R
Exemplos
a) O derivado do intervalo I = [a, b[, com a < b, é o conjuntoI ′ = [a, b].
b) Os intervalos ]a, b[, ]a, b] e [a, b], onde a < b, têm o mesmo derivadoque o intervalo [a, b[.
c) Seja A =]0, 2] ∪ {3}. Então
int A =]0, 2[,
ext A =] − ∞, 0[ ∪ ]2, 3[ ∪ ]3, +∞[,
fr A = {0, 2, 3},
A = [0, 2] ∪ {3} e
A′ = [0, 2].
d) R′ = R e ∅′ = ∅.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 126 / 590
§2.1 Breves noções de topologia em R
Um subconjunto A de R diz-se aberto se
A = int A
e diz-se fechado seA = A.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 127 / 590
§2.1 Breves noções de topologia em R
Exemplos
a) Comoint ]0, 1[=]0, 1[,
temos que ]0, 1[ é um conjunto aberto. Por outro lado,
]0, 1[ = [0, 1]
e, por conseguinte, ]0, 1[ não é fechado.
b) O intervalo [0, 1] é um conjunto fechado porque
[0, 1] = [0, 1]
e não é um conjunto aberto porque
int [0, 1] =]0, 1[.
c) Os conjuntos ∅ e R são simultaneamente abertos e fechados.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 128 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidadeBreves noções de topologia em R
Limites: definição, propriedades e exemplosLimites infinitos e limites no infinitoLimites lateraisAssímptotasFunções contínuas: definição, propriedades e exemplosPropriedades fundamentais das funções contínuas
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 129 / 590
§2.2 Limites: definição, propriedades e exemplos
Sejam D um subconjunto de R, f : D → R uma função, a um ponto deacumulação de D e b ∈ R. Diz-se que b é o limite (de f) quando xtende para a, e escreve-se
limx→a
f(x) = b,
se para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que
|f(x) − b| < ε para qualquer x ∈ D tal que 0 < |x − a| < δ.
Simbolicamente, tem-se o seguinte
limx→a
f(x) = b ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − b| < ε)
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 130 / 590
§2.2 Limites: definição, propriedades e exemplos
Tendo em conta que
0 < |x − a| < δ ⇔ x ∈ ]a − δ, a + δ[\ {a}
e que|f(x) − b| < ε ⇔ f(x) ∈ ]b − ε, b + ε[,
tem-se o seguinte
limx→a
f(x) = b
⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (x ∈ ]a − δ, a + δ[ \ {a} ⇒ f(x) ∈ ]b − ε, b + ε[) .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 131 / 590
§2.2 Limites: definição, propriedades e exemplos
x
y
bb
a
b
f(a)
b−ε
b+ε
b
b
a−δ a+δ
b
a−δ a a+δ
b
a−δ a a+δ
b
xa
b−ε
b+ε
b
b
a−δ a a+δ
b
a−δ a a+δ
b
a−δaa+δ
b
a−δ a a+δ
b−ε
b
b+ε
b
Interpretação geométrica do conceito de limite de uma função
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 132 / 590
§2.2 Limites: definição, propriedades e exemplos
Propriedades dos limites
Sejam D ⊆ R, f, g : D → R e a um ponto de acumulação de D. Suponhamosque existem lim
x→af(x) e lim
x→ag(x). Então
a) existe limx→a
[f(x) + g(x)] e
limx→a
[f(x) + g(x)] = limx→a
f(x) + limx→a
g(x);
b) existe limx→a
[f(x)g(x)] e
limx→a
[f(x)g(x)] =[
limx→a
f(x)]
.[
limx→a
g(x)]
;
c) se limx→a
g(x) 6= 0, existe limx→a
f(x)g(x)
e
limx→a
f(x)g(x)
=limx→a
f(x)
limx→a
g(x).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 133 / 590
§2.2 Limites: definição, propriedades e exemplos
Propriedades dos limites (continuação)
Sejam D ⊆ R, f, g : D ⊆ R → R e a um ponto de acumulação de D.Suponhamos que
limx→a
f(x) = 0
e que g é uma função limitada em D ∩ ]a − δ, a + δ[ para algum δ > 0,isto é, existe c > 0 tal que
|g(x)| 6 c para qualquer x ∈ ]a − δ, a + δ[ ∩ D.
Entãolimx→a
[f(x).g(x)] = 0.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 134 / 590
§2.2 Limites: definição, propriedades e exemplos
Propriedades dos limites (continuação)
Sejam f : Df ⊆ R → R, g : Dg ⊆ R → R duas funções reais de variávelreal. Suponhamos que a ∈ R é um ponto de acumulação de Df e queb ∈ Dg é um ponto de acumulação de Dg. Se
limx→a
f(x) = b e limx→b
g(x) = g(b),
entãolimx→a
(g ◦ f)(x) = limx→a
g(f(x)) = g(b).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 135 / 590
§2.2 Limites: definição, propriedades e exemplos
Um dos limites mais conhecidos é o seguinte
limx→0
ex −1x
= 1.
A partir deste limite podemos calcular limx→0
ln(1 + x)x
. Fazendo a
mudança de variável ln(1 + x) = y, tem-se x = ey −1 e quando x → 0
tem-se y → 0. Assim,
limx→0
ln(1 + x)x
= limy→0
y
ey −1= lim
y→0
1ey −1
y
=11
= 1.
Logo
limx→0
ln(1 + x)x
= 1.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 136 / 590
§2.2 Limites: definição, propriedades e exemplos
Outro limite bastante importante é o seguinte:
limx→0
sen x
x= 1.
Usando este limite podemos calcular vários outros limites. Porexemplo,
limx→0
tg x
x= lim
x→0
sen xcos x
x= lim
x→0
1cos x
sen x
x=
11
1 = 1.
Portanto
limx→0
tg x
x= 1.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 137 / 590
§2.2 Limites: definição, propriedades e exemplos
Vejamos que
limx→0
1 − cos x
x2=
12
.
De facto,
limx→0
1 − cos x
x2= lim
x→0
(1 − cos x)(1 + cos x)x2(1 + cos x)
= limx→0
1 − cos2 x
x2
1(1 + cos x)
= limx→0
sen2 x
x2
1(1 + cos x)
= limx→0
(
sen x
x
)2 1(1 + cos x)
= 12 12
=12
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 138 / 590
§2.2 Limites: definição, propriedades e exemplos
Provemos que
limx→0
arc sen x
x= 1 e lim
x→0
arc tg x
x= 1 .
No primeiro limite fazemos a mudança de variável arc sen x = y eobtemos
limx→0
arc sen x
x= lim
y→0
y
sen y= lim
y→0
1sen y
y
=11
= 1.
Para o segundo limite fazemos a mudança de variável y = arctg x e vem
limx→0
arc tg x
x= lim
y→0
y
tg y= lim
y→0
1tg yy
=11
= 1.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 139 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidadeBreves noções de topologia em R
Limites: definição, propriedades e exemplosLimites infinitos e limites no infinitoLimites lateraisAssímptotasFunções contínuas: definição, propriedades e exemplosPropriedades fundamentais das funções contínuas
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 140 / 590
§2.3 Limites infinitos e limites no infinito
Sejam D um subconjunto de R, f : D → R uma função e a um pontode acumulação de D. Diz-se que
f tende para +∞ quando x tende para a,
e escreve-selimx→a
f(x) = +∞,
se para cada L > 0, existe δ > 0 tal que
f(x) > L para qualquer x ∈ D tal que 0 < |x − a| < δ.
Simbolicamente,
limx→a
f(x) = +∞ ⇔ ∀L > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) > L) .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 141 / 590
§2.3 Limites infinitos e limites no infinito
Sejam D um subconjunto de R não majorado, f : D → R uma função eb ∈ R. Dizemos que
f tende para b quando x tende para +∞,
e escreve-selim
x→+∞f(x) = b,
se para cada ε > 0, existe M > 0 tal que
|f(x) − b| < ε para qualquer x ∈ D tal que x > M .
Simbolicamente,
limx→+∞
f(x) = b ⇔ ∀ε > 0 ∃M > 0 ∀x ∈ D (x > M ⇒ |f(x) − b| < ε) .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 142 / 590
§2.3 Limites infinitos e limites no infinito
Sejam D um subconjunto de R não majorado e f : D → R uma função.Diz-se que
f tende para +∞ quando x tende para +∞,
e escreve-selim
x→+∞f(x) = +∞,
se para cada L > 0, existe M > 0 tal que
f(x) > L para qualquer x ∈ D tal que x > M .
Formalmente,
limx→+∞
f(x) = +∞ ⇔ ∀L > 0 ∃M > 0 ∀x ∈ D (x > M ⇒ f(x) > L) .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 143 / 590
§2.3 Limites infinitos e limites no infinito
A partir dos três limites anteriores podemos definir os restantes casos.Assim,
• limx→a
f(x) = −∞ se limx→a
−f(x) = +∞
• limx→−∞
f(x) = b se limx→+∞
f(−x) = b
• limx→+∞
f(x) = −∞ se limx→+∞
−f(x) = +∞
• limx→−∞
f(x) = +∞ se limx→+∞
f(−x) = +∞
• limx→−∞
f(x) = −∞ se limx→+∞
−f(−x) = +∞
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 144 / 590
§2.3 Limites infinitos e limites no infinito
Nos limites infinitos podemos usar a regra do limite da soma desde quese adoptem as convenções
(+∞) + a = +∞ = a + (+∞)
(−∞) + a = −∞ = a + (−∞)
(+∞) + (+∞) = +∞(−∞) + (−∞) = −∞
onde a é um número real qualquer.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 145 / 590
§2.3 Limites infinitos e limites no infinito
Adoptando as convenções que se seguem, podemos usar a regra dolimite do produto:
(+∞) × a = +∞ = a × (+∞) onde a ∈ R+
(−∞) × a = −∞ = a × (−∞) onde a ∈ R+
(+∞) × a = −∞ = a × (+∞) onde a ∈ R−
(−∞) × a = +∞ = a × (−∞) onde a ∈ R−
(+∞) × (+∞) = +∞ = (−∞) × (−∞)
(+∞) × (−∞) = −∞ = (−∞) × (+∞)
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 146 / 590
§2.3 Limites infinitos e limites no infinito
A regra do limite do quociente mantém-se se se adoptarem as seguintesconvenções
a
+∞ =a
−∞ = 0, a ∈ R
a
0+= +∞, a > 0
a
0+= −∞, a < 0
a
0−= −∞, a > 0
a
0−= +∞, a < 0
onde 0+ significa que
f(x) → 0 e f(x) > 0 na intersecção do domínio com um intervalo aberto quecontém o ponto em que estamos a calcular o limite
e 0− significa que
f(x) → 0 e f(x) < 0 na intersecção do domínio com um intervalo aberto quecontém o ponto em que estamos a calcular o limite.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 147 / 590
§2.3 Limites infinitos e limites no infinito
Não se faz nenhuma convenção para os símbolos
(+∞) + (−∞),
0 × (+∞), 0 × (−∞),
+∞+∞ ,
+∞−∞ ,
−∞+∞ ,
−∞−∞
00
pois são símbolos de indeterminação.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 148 / 590
§2.3 Limites infinitos e limites no infinito
Exemplos
a) É óbvio quelim
x→+∞x = +∞
elim
x→−∞x = −∞.
b) Seja f : R \ {0} → R a função definida por f(x) =1x
. Então
limx→+∞
1x
=1
+∞ = 0
e= lim
x→−∞1x
=1
−∞ = 0.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 149 / 590
§2.3 Limites infinitos e limites no infinito
Exemplos (continuação)
c) Seja f : R → R definida por
f(x) =
x − 1
2x + 1se x > 0,
−2x2 + 3
3x2 + 8se x < 0.
Então
limx→+∞
f(x) = limx→+∞
x − 1
2x + 1= lim
x→+∞
x(
1 −1
x
)
x(
2 +1
x
) = limx→+∞
1 −1
x
2 +1
x
=1
2
e
limx→−∞
f(x) = limx→−∞
−2x2 + 3
3x2 + 8= lim
x→−∞
x2(
−2 +3
x2
)
x2
(
3 +8
x2
) = limx→−∞
−2 +3
x2
3 +8
x2
= −2
3.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 150 / 590
§2.3 Limites infinitos e limites no infinito
Vejamos
limx→+∞
(
1 +1x
)x
= e .
Comecemos por observar que
limx→+∞
ln[(
1 +1x
)x]
= limx→+∞
x ln(
1 +1x
)
= limx→+∞
ln(
1 + 1x
)
1/x
e que fazendo a mudança de variável y = 1/x temos
limx→+∞
ln[(
1 +1x
)x]
= limy→0
ln (1 + y)y
= 1.
Assim,
limx→+∞
(
1 +1x
)x
= limx→+∞
eln[(1+ 1x )x] = e
limx→+∞
ln[(1+ 1x)x]
= e1 = e .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 151 / 590
§2.3 Limites infinitos e limites no infinito
Outros limites importantes são os seguintes
limx→+∞
ax =
+∞ se a > 1
0 se 0 < a < 1
e
limx→−∞
ax =
0 se a > 1
+ ∞ se 0 < a < 1.
Destes limites resulta que
limx→+∞
ln x = +∞ e limx→0
ln x = −∞ .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 152 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidadeBreves noções de topologia em R
Limites: definição, propriedades e exemplosLimites infinitos e limites no infinitoLimites lateraisAssímptotasFunções contínuas: definição, propriedades e exemplosPropriedades fundamentais das funções contínuas
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 153 / 590
§2.4 Limites laterais
Sejam A um subconjunto de D ⊆ R, a um ponto de acumulação de A e
f : D → R.
Chama-se limite de f no ponto a relativo a A (ou limite quandox tende para a no conjunto A) ao limite em a (quando exista) darestrição de f a A e usa-se a notação
limx→ax∈A
f(x).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 154 / 590
§2.4 Limites laterais
É evidente que se existelimx→a
f(x),
então também existelimx→ax∈A
f(x)
para qualquer subconjunto A de D do qual a é ponto de acumulação deA e
limx→ax∈A
f(x) = limx→a
f(x).
Assim, se existirem dois limites relativos distintos, o limite não existe.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 155 / 590
§2.4 Limites laterais
Exemplo
Consideremos a função f : R → R definida por
f(x) =
{
1 se x ∈ Q,
0 se x ∈ R \ Q.
Entãolimx→ax∈Q
f(x) = 1
elimx→a
x∈R\Qf(x) = 0
qualquer que seja a ∈ R. Logo não existe
limx→a
f(x).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 156 / 590
§2.4 Limites laterais
Seja f : D ⊆ R → R e consideremos os conjuntos
D+a = {x ∈ D : x > a} = D∩ ]a, +∞[
eD−
a = {x ∈ D : x < a} = D∩ ] − ∞, a[.
Definem-se, respectivamente, os limites laterais à direita e àesquerda da seguinte forma
limx→a+
f(x) = limx→a
x∈D+a
f(x)
elim
x→a−
f(x) = limx→a
x∈D−
a
f(x),
desde que a seja ponto de acumulação de D+a e de D−
a , respectivamente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 157 / 590
§2.4 Limites laterais
Exemplo
Seja f : R → R a função dada por
f(x) =
{
1 se x > 0,
0 se x < 0.
Esta função é conhecida por função de Heaviside. É óbvio que
limx→0
x∈]0,+∞[
f(x) = limx→0+
f(x) = 1
elimx→0
x∈]−∞,0[
f(x) = limx→0−
f(x) = 0.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 158 / 590
§2.4 Limites laterais
Observações
a) É óbvio que limx→ax∈A
f(x) = b é equivalente a
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ A (0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − b| < ε) .
b) Comox ∈ D−
a e 0 < |x − a| < δ
é equivalente ax ∈ D e − δ < x − a < 0
e, portanto, limx→a−
f(x) = b é equivalente a
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (−δ < x − a < 0 ⇒ |f(x) − b| < ε) .
Analogamente, limx→a+
f(x) = b é equivalente a
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (0 < x − a < δ ⇒ |f(x) − b| < ε) .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 159 / 590
§2.4 Limites laterais
Também existem limites laterais para limites infinitos:
limx→a−
f(x) = +∞
⇔ ∀L > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (−δ < x − a < 0 ⇒ f(x) > L)
caso a seja um ponto da acumulação de D−a e
limx→a+
f(x) = +∞
⇔ ∀L > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (0 < x − a < δ ⇒ f(x) > L)
quando a é um ponto de acumulação de D+a .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 160 / 590
§2.4 Limites laterais
Usando os limites anteriores podemos definir os seguintes limites:
• limx→a−
f(x) = −∞ se limx→a−
−f(x) = +∞;
• limx→a+
f(x) = −∞ se limx→a+
−f(x) = +∞.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 161 / 590
§2.4 Limites laterais
Propriedade dos limites laterais
Sejam D ⊆ R, f : D → R e a um ponto de acumulação de D+a e D−
a .Então
limx→a
f(x) = b,
onde b ∈ R ou b = +∞ ou b = −∞, se e só se existem e são iguais a bos limites laterais, ou seja,
limx→a−
f(x) = limx→a+
f(x) = b.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 162 / 590
§2.4 Limites laterais
Exemplos
a) É evidente que
limx→0+
1x
=1
0+= +∞
e que
limx→0−
1x
=1
0− = −∞.
b) Também se tem
limx→0+
1x2
=1
(0+)2=
10+
= +∞
elim
x→0−
1x2
=1
(0−)2=
10+
= +∞.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 163 / 590
§2.4 Limites laterais
Vejamos que
limx→ π
2−
tg x = +∞ e limx→ π
2+
tg x = −∞ .
De facto,
limx→ π
2−
tg x = limx→ π
2−
sen x
cos x=
10+
= +∞
elim
x→ π2
+tg x = lim
x→ π2
+
sen x
cos x=
10− = −∞.
De forma análoga temos
limx→− π
2+
tg x = −∞ e limx→− π
2−
tg x = +∞ .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 164 / 590
§2.4 Limites laterais
Delim
x→ π2
−
tg x = +∞ e limx→− π
2+
tg x = −∞
conclui-se imediatamente que
limx→+∞
arc tg x =π
2
e
limx→−∞
arc tg x = −π
2.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 165 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidadeBreves noções de topologia em R
Limites: definição, propriedades e exemplosLimites infinitos e limites no infinitoLimites lateraisAssímptotasFunções contínuas: definição, propriedades e exemplosPropriedades fundamentais das funções contínuas
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 166 / 590
§2.5 Assímptotas
y = f(x)
y = mx + bd
d = f(x) − (mx + b)
limx→+∞
[f(x) − (mx + b)] = 0
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 167 / 590
§2.5 Assímptotas
Sejam D um subconjunto não majorado e f : D → R uma função. Arecta de equação y = mx + b diz-se uma assímptota não vertical àdireita do gráfico de f se
limx→+∞
[f(x) − (mx + b)] = 0.
Se D é um subconjunto não minorado e f : D → R é uma função,diz-se que a recta de equação y = mx + b é uma assímptota nãovertical à esquerda do gráfico de f se
limx→−∞
[f(x) − (mx + b)] = 0.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 168 / 590
§2.5 Assímptotas
Assímptotas não verticais à direita
Sejam D um subconjunto de R não majorado e f : D → R uma função.Para que o gráfico de f tenha uma assímptota não vertical à direita énecessário e suficiente que existam e sejam finitos os limites
a) limx→+∞
f(x)x
(que designaremos por m),
b) limx→+∞
[f(x) − mx].
Verificadas estas condições, e designando por b o segundo limite,assímptota à direita do gráfico de f tem a equação
y = mx + b.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 169 / 590
§2.5 Assímptotas
Assímptotas não verticais à esquerda
Sejam D um subconjunto de R não minorado e f : D → R uma função.Para que o gráfico de f tenha uma assímptota não vertical à esquerda énecessário e suficiente que existam e sejam finitos os limites
a) limx→−∞
f(x)x
(que designaremos por m),
b) limx→−∞
[f(x) − mx].
Verificadas estas condições, e designando por b o segundo limite,assímptota à esquerda do gráfico de f tem a equação
y = mx + b.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 170 / 590
§2.5 Assímptotas
Assim, para calcularmos uma assímptota não vertical à direita temosde calcular os seguintes limites
m = limx→+∞
f(x)x
e b = limx→+∞
[f(x) − mx]
e se estes limites existirem e forem finitos, a assímptota é a recta deequação y = mx + b. Para as assímptotas não verticais à esquerdatemos de calcular os limites
m = limx→−∞
f(x)x
e b = limx→−∞
[f(x) − mx]
e caso existam e sejam finitos ambos os limites, a assímptota é a rectade equação y = mx + b.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 171 / 590
§2.5 Assímptotas
Diz-se que a recta de equação x = a é uma assímptota vertical aográfico de f se pelo menos umas das seguintes condições se verificar:
limx→a+
f(x) = +∞, limx→a+
f(x) = −∞,
limx→a−
f(x) = +∞ ou limx→a−
f(x) = −∞.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 172 / 590
§2.5 Assímptotas
y = f(x)
a
A recta de equação x = a é uma assímptota vertical ao gráfico de f
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 173 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidadeBreves noções de topologia em R
Limites: definição, propriedades e exemplosLimites infinitos e limites no infinitoLimites lateraisAssímptotasFunções contínuas: definição, propriedades e exemplosPropriedades fundamentais das funções contínuas
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 174 / 590
§2.6 Funções contínuas: definição, propriedades e exemplos
Sejam D um subconjunto de R, f : D → R uma função e a ∈ D. Diz-seque f é contínua no ponto a se para cada ε > 0, existir δ > 0 tal que
|f(x) − f(a)| < ε para qualquer x ∈ D tal que |x − a| < δ.
Simbolicamente,
f é contínua em a
⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (|x − a| < δ ⇒ |f(x) − f(a)| < ε) .
Dizemos que a ∈ D é um ponto de descontinuidade de f se f não écontínua em a.
Uma função f : D → R é contínua se for contínua em todos os pontosde D.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 175 / 590
§2.6 Funções contínuas: definição, propriedades e exemplos
x
y
a
f(a)
f(a)−ε
f(a)+ε
f(a)
a−δ a+δa−δ a a+δa−δ a a+δ xa
f(a)−ε
f(a)+ε
f(a)
a−δ a a+δa−δ a a+δa−δaa+δa−δ a a+δ
f(a)−ε
f(a)
f(a)+ε
Interpretação geométrica do conceito de função contínua num ponto
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 176 / 590
§2.6 Funções contínuas: definição, propriedades e exemplos
Observações
a) Ao contrário do que acontece na definição de limite, só faz sentidoconsiderar pontos do domínio D quando estamos a investigar acontinuidade de uma função.
b) Se a é um ponto isolado de D, então a função f : D → R é contínuaem a. De facto, dado ε > 0, basta escolher δ > 0 tal que
]a − δ, a + δ[ ∩ D = {a} .
Assim, a condição x ∈ D ∧ |x − a| < δ é equivalente a x = a e, porconseguinte,
|f(x) − f(a)| = 0 < ε.
c) Se a ∈ D é um ponto de acumulação de D, então f : D → R écontínua em a se e só se
limx→a
f(x) = f(a).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 177 / 590
§2.6 Funções contínuas: definição, propriedades e exemplos
Propriedades da continuidade
a) Sejam f, g : D ⊆ R → R duas funções contínuas em a ∈ D. Então
f + g, f − g e fg são contínuas em a
e se g(a) 6= 0 entãof
gé contínua em a.
b) Sejam f : Df ⊆ R → R e g : Dg ⊆ R → R duas funções. Se f écontínua em a ∈ Df e g é contínua em f(a) ∈ Dg, então
g ◦ f é contínua em a.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 178 / 590
§2.6 Funções contínuas: definição, propriedades e exemplos
Exemplos
a) As funções constante são contínuas.
b) A função f : R → R definida por f(x) = x é contínua. Esta funçãodesigna-se por identidade.
c) As funções polinomiais, ou seja, as funções f : R → R definidas por
f(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0,
onde n ∈ N e a0, a1, . . . , an−1, an ∈ R, são funções contínuas.
d) As funções racionais, ou seja, as funções dadas por
f(x) =anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0
bmxm + bm−1xm−1 + · · · + b1x + b0,
onde m, n ∈ N, a0, a1, . . . , an−1, b0, b1, . . . , bm−1 ∈ R e an, bm ∈ R \ {0},são funções contínuas.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 179 / 590
§2.6 Funções contínuas: definição, propriedades e exemplos
Exemplos (continuação)
e) A função f : R → R dada por f(x) = |x| é contínua.
f) A função f : [0, +∞[→ R dada por f(x) =√
x é contínua.
g) As funções exponencial e logarítmica são funções contínuas.
h) As funções trigonométricas são funções contínuas.
i) As inversas das funções trigonométricas são funções contínuas.
j) As funções hiperbólicas são funções contínuas.
k) A função definida por
f(x) = sen(
ex2−x +
ln(x − 2)arc tg(x − 5)
)
é uma função contínua pois é a composição de funções contínuas.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 180 / 590
§2.6 Funções contínuas: definição, propriedades e exemplos
Exemplos (continuação)
k) A função f : R → R definida por
f(x) =
{
1 se x > 00 se x < 0
não é contínua em x = 0 porque não existe limx→0
f(x). Obviamente, a
função é contínua em para qualquer x ∈ R \ {0}.
l) Seja f : R → R a função definida por
f(x) =
{ sen x
xse x 6= 0
0 se x = 0
Então f não é contínua em x = 0 porque
limx→0
f(x) = limx→0
sen x
x= 1 6= f(0) = 0.
É claro que a função é contínua em para qualquer x ∈ R \ {0}.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 181 / 590
§2.6 Funções contínuas: definição, propriedades e exemplos
Sejam f : D → R e a ∈ D. Diz-se que a função f é contínua em a àdireita se
a restrição de f a D ∩ [a, +∞[ é contínua em a.
A função diz-se contínua em a à esquerda se
a restrição de f a D ∩ ] − ∞, a] é contínua em a.
Assim, f é contínua à direita em a se e só se
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (0 6 x − a < δ ⇒ |f(x) − f(a)| < ε) ,
e é contínua à esquerda em a se e só se
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (−δ < x − a 6 0 ⇒ |f(x) − f(a)| < ε) .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 182 / 590
§2.6 Funções contínuas: definição, propriedades e exemplos
Obviamente, se a é um ponto de acumulação de D ∩ ]a, +∞[, então
f é contínua à direita em a ⇔ limx→a+
f(x) = f(a)
e caso a seja um ponto de acumulação de D ∩ ] − ∞, a[ temos
f é contínua à esquerda em a ⇔ limx→a−
f(x) = f(a).
Propriedade
Sejam f : D ⊆ R → R e a ∈ D. Então f é contínua em a se e só se écontínua à esquerda e à direita em a.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 183 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidadeBreves noções de topologia em R
Limites: definição, propriedades e exemplosLimites infinitos e limites no infinitoLimites lateraisAssímptotasFunções contínuas: definição, propriedades e exemplosPropriedades fundamentais das funções contínuas
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 184 / 590
§2.7 Propriedades fundamentais das funções contínuas
Teorema de Bolzano ou dos valores intermédios
Sejam a e b números reais tais que a < b e
f : [a, b] → R
uma função contínua tal que
f(a) 6= f(b).
Então para qualquer valor k entre f(a) e f(b), existe um pontoc ∈ [a, b] tal que
f(c) = k.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 185 / 590
§2.7 Propriedades fundamentais das funções contínuas
x
y
b
b
b
b
a
f(a)
b
f(b)
k b
c
Interpretação geométrica do Teorema de Bolzano
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 186 / 590
§2.7 Propriedades fundamentais das funções contínuas
Corolário dos valores intermédios ou de Bolzano
Sejam a e b números reais tais que a < b e seja
f : [a, b] → R
uma função contínua tal que
f(a).f(b) < 0.
Então existec ∈]a, b[
tal quef(c) = 0.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 187 / 590
§2.7 Propriedades fundamentais das funções contínuas
x
y
b
b
b
b
a
f(a)
b
f(b)
bc1
bc2
bc3
Interpretação geométrica do Corolário do Teorema de Bolzano
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 188 / 590
§2.7 Propriedades fundamentais das funções contínuas
Exemplos
Provemos que a função f : [0, 1] → R definida por
f(x) = cos(
πx
2
)
− x2
tem (pelo menos) um zero em [0, 1]. Obviamente, esta função écontínua pois é a composição de funções contínuas. Como
f(0)f(1) =(
cos (0) − 02)
(
cos(
π
2
)
− 12)
= 1(−1) = −1,
pelo (Corolário do) Teorema de Bolzano, f tem de ter pelo menos umzero no intervalo ]0, 1[.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 189 / 590
§2.7 Propriedades fundamentais das funções contínuas
Exemplos (continuação)
Consideremos uma função polinomial
p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0,
an 6= 0, de grau ímpar, ou seja, n é um número natural ímpar. Como
limx→+∞
p(x) = limx→+∞
xn(
an +an−1
x+ · · · +
a1
xn−1+
a0
xn
)
=
{
+∞ se an > 0,
− ∞ se an < 0,
e
limx→−∞
p(x) = limx→−∞
xn(
an +an−1
x+ · · · +
a1
xn−1+
a0
xn
)
=
{
−∞ se an > 0,
+ ∞ se an < 0,
existem números reais a e b tais que p(a) < 0 e p(b) > 0. Acontinuidade de p implica, pelo Teorema de Bolzano, que p tem de terum zero entre a e b. Assim, todos os polinómios de grau ímpar têmpelo menos um zero (real)!
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 190 / 590
§2.7 Propriedades fundamentais das funções contínuas
Seja f : D ⊆ R → R uma função definida num subconjunto não vazioD.
Dizemos que f tem um máximo (absoluto) no ponto a ∈ D ou quef(a) é um máximo (absoluto) de f se
f(x) 6 f(a) para todo o x ∈ D.
Quandof(x) > f(a) para todo o x ∈ D,
dizemos que f tem um mínimo (absoluto) no ponto a ∈ D ou quef(a) é um mínimo (absoluto) de f .
Os máximos e mínimos (absolutos) de f dizem-se extremosabsolutos de f .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 191 / 590
§2.7 Propriedades fundamentais das funções contínuas
Teorema de Weierstrass
Sejam D ⊆ R um conjunto não vazio, fechado e limitado e
f : D → R
uma função contínua. Então f tem máximo e mínimo absolutos.
Corolário
Sejam a e b números reais tais que a < b e
f : [a, b] → R
uma função contínua. Então f tem máximo e mínimo absolutos.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 192 / 590
§2.7 Propriedades fundamentais das funções contínuas
Exemplo
Seja f : [1, 5] → R a função definida por
f(x) =
x − 1 se x ∈ [1, 3],
e2x−6 −1x − 3
se x ∈]3, 5].
Comolim
x→3−
f(x) = limx→3−
x − 1 = 2
e
limx→3+
f(x) = limx→3+
e2x−6 −1x − 3
= limx→3+
e2(x−3) −12(x − 3)
2 = 1.2 = 2,
temos limx→3
f(x) = 2 = f(3). Assim, f é contínua no ponto x = 3. Além disso,
em [1, 5] \ {3} a função é contínua pois é a composição de funções contínuas.Pelo Teorema de Weierstrass, f tem máximo e mínimo absolutos em [1, 5].
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 193 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
Derivadas: definição, regras de derivação e exemplosTeoremas de Rolle, de Lagrange e de CauchyDerivadas de ordem superior e fórmula de TaylorAplicações do cálculo diferencial
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 194 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
Derivadas: definição, regras de derivação e exemplosTeoremas de Rolle, de Lagrange e de CauchyDerivadas de ordem superior e fórmula de TaylorAplicações do cálculo diferencial
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 195 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Sejam D um subconjunto não vazio de R, f : D → R e a ∈ D umponto de acumulação de D. Diz-se que f é derivável oudiferenciável em a se existe (e é finito) o limite:
limx→a
f(x) − f(a)x − a
.
Tal limite (quando existe) diz-se a derivada de f no ponto a e
representa-se por f ′(a), Df(a) ou ainda pordf
dx(a). Fazendo a
mudança de variável x = a + h, temos
f ′(a) = limh→0
f(a + h) − f(a)h
.
Aqui têm apenas de se considerar os valores de h tais que a + h ∈ D.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 196 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Diz-se que a função f : D → R é derivável ou diferenciável em D sefor derivável em todo o ponto de D e à nova função
f ′ : D → R,
que a cada ponto x ∈ D faz corresponder f ′(x), chama-se derivada de
f e representa-se também por Df oudf
dx.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 197 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
O quocientef(a + h) − f(a)
hrepresenta o declive da recta que passa pelos pontos
(a, f(a)) e (a + h, f(a + h)) .
Fazendo h tender para zero, a recta que passa nos pontos
(a, f(a)) e (a + h, f(a + h)) ,
vai tender para a recta tangente ao gráfico de f e que passa no ponto(a, f(a)). Assim, geometricamente, a derivada de uma função numponto do domínio é o declive da recta tangente ao gráfico da função noponto considerado. Portanto, a recta tangente ao gráfico de umafunção f no ponto (a, f(a)) é a recta de equação
y = f(a) + f ′(a)(x − a).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 198 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
b
a
f(a)
b
a + h
f(a + h)
b
b
a
f(a)
b
b
bb
a + h
f(a + h)
b
b
a
f(a) b
bb
b
a + h
f(a + h)
b
b
a
f(a) b
bb
b
b
a + h
f(a + h)
b
b
b
y = f(a) + f ′(a)(x − a)
α
f ′(a) = tg α
Interpretação geométrica do conceito de derivada
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 199 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Exemplos – funções constante
Seja f : R → R a função definida por
f(x) = c,
onde c é um número real. Então
f ′(x) = limh→0
f(x + h) − f(x)h
= limh→0
c − c
h= lim
h→0
0h
= limh→0
0 = 0
para cada x ∈ R. Assim, f ′ é a função identicamente nula.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 200 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Exemplos – função identidade
Consideremos a função f : R → R definida por
f(x) = x.
Então, para cada x ∈ R, temos
f ′(x) = limh→0
f(x + h) − f(x)h
= limh→0
x + h − x
h= lim
h→0
h
h= lim
h→01 = 1
e, portanto, f ′ : R → R é dada por
f ′(x) = 1.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 201 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Exemplos – função exponencial
Seja f : R → R a função dada por
f(x) = ex .
Então
f ′(x) = limh→0
f(x + h) − f(x)h
= limh→0
ex+h − ex
h
= limh→0
ex eh −1h
= ex .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 202 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Exemplos – função logaritmo natural
Seja f : ]0, +∞[ → R a função dada por f(x) = ln x. Então
f ′(x) = limh→0
f(x + h) − f(x)h
= limh→0
ln(x + h) − ln x
h
= limh→0
lnx + h
xh
= limh→0
ln(
1 +h
x
)
h/x
1x
=1x
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 203 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Exemplos
A função f : R → R definida por f(x) = sen x é derivável paraqualquer x ∈ R. De facto,
f ′(x) = limh→0
f(x + h) − f(x)h
= limh→0
sen (x + h) − sen x
h
= limh→0
2 senx + h − x
2cos
x + h + x
2h
= limh→0
sen h/2h/2
cos2x + h
2= cos x,
o que mostra que (sen x)′ = cos x.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 204 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Exemplos
Consideremos a função f : R → R dada por f(x) = cos x. Atendendo aque
f ′(x) = limh→0
f(x + h) − f(x)h
= limh→0
cos (x + h) − cos x
h
= limh→0
−2 senx + h + x
2sen
x + h − x
2h
= limh→0
− sen2x + h
2sen h/2
h/2= − sen x,
temos que (cos x)′ = − sen x.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 205 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Sejam f : D → R e a ∈ D tal que a é ponto de acumulação de
D−a = {x ∈ D : x < a} = D ∩ ] − ∞, a[.
Diz-se que f é derivável (ou diferenciável) à esquerda em a seexiste e é finito o limite
limx→a−
f(x) − f(a)x − a
= limh→0−
f(a + h) − f(a)h
= f ′e(a).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 206 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Se f : D → R e a ∈ D é um ponto de acumulação de
D+a = {x ∈ D : x > a} = D ∩ ]a, +∞[,
então diz-se que f é derivável (ou diferenciável) à direita em a seexiste e é finito o limite
limx→a+
f(x) − f(a)x − a
= limh→0+
f(a + h) − f(a)h
= f ′d(a).
Tendo em conta as propriedades dos limites, resulta imediatamente,para pontos a ∈ D que são pontos de acumulação de D−
a e de D+a , que
f é derivável em a se e só se f é derivável à esquerda e à direita em a e
f ′e(a) = f ′
d(a).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 207 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Exemplos
Seja f : R → R a função definida por
f(x) = |x| .
Então
f ′e(0) = lim
x→0−
f(x) − f(0)x − 0
= limx→0−
|x|x
= limx→0−
−x
x= −1
e
f ′d(0) = lim
x→0+
f(x) − f(0)x − 0
= limx→0+
|x|x
= limx→0+
x
x= 1,
o que mostra que f não é derivável no ponto 0.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 208 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Exemplos
Consideremos a função f : R → R definida por
f(x) =
x sen1x
se x 6= 0,
0 se x = 0.
Esta função não é diferenciável à direita, nem à esquerda do ponto 0,pois não existe
limx→0+
x sen (1/x)x
= limx→0+
sen1x
,
nem
limx→0−
x sen (1/x)x
= limx→0−
sen1x
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 209 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Propriedades
Se f : D → R é uma função derivável em a ∈ D, então f é contínuanesse ponto.
Observação
O recíproco desta propriedade é falso. A função
f : R → R
dada porf(x) = |x|
é contínua no ponto 0, mas não é derivável nesse ponto.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 210 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Regras de derivação
Sejam f, g : D → R funções deriváveis em a ∈ D e k ∈ R. Então
i) f + g é derivável em a e
(f + g)′ (a) = f ′(a) + g′(a);
ii) kf é derivável em a e
(kf)′ (a) = kf ′(a);
iii) f.g é derivável em a e
(f.g)′ (a) = f ′(a) g(a) + g′(a) f(a);
iv) se g(a) 6= 0,f
gé derivável em a e(
f
g
)′(a) =
f ′(a) g(a) − g′(a) f(a)g2(a)
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 211 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Demonstração das regras de derivação
i) Basta observar que
limx→a
(f + g)(x) − (f + g)(a)x − a
= limx→a
[
f(x) − f(a)x − a
+g(x) − g(a)
x − a
]
= f ′(a) + g′(a).
ii) Basta ter em conta que
limx→a
(kf)(x) − (kf)(a)x − a
= limx→a
kf(x) − f(a)
x − a
= k f ′(a).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 212 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Demonstração das regras de derivação (continuação)
iii) Basta atender a que
limx→a
(fg)(x) − (fg)(a)x − a
= limx→a
f(x)g(x) − f(a)g(a)x − a
= limx→a
f(x)g(x) − f(a)g(x) + f(a)g(x) − f(a)g(a)x − a
= limx→a
[
f(x) − f(a)x − a
g(x) + f(a)g(x) − g(a)
x − a
]
= f ′(a)g(a) + f(a)g′(a).
Na última igualdade foi usado o facto de g ser contínua em a.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 213 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Demonstração das regras de derivação (continuação).
iv) Do mesmo modo temos
limx→a
(
f
g
)
(x) −(
f
g
)
(a)
x − a= lim
x→a
f(x)
g(x)− f(a)
g(a)
x − a
= limx→a
f(x)g(a) − f(a)g(x)
g(x)g(a)
x − a
= limx→a
[
1
g(x)g(a)
f(x)g(a) − f(a)g(x)
x − a
]
= limx→a
[
1
g(x)g(a)
f(x)g(a) − f(a)g(a) + f(a)g(a) − f(a)g(x)
x − a
]
= limx→a
[
1
g(x)g(a)
(
f(x) − f(a)
x − ag(a) − f(a)
g(x) − g(a)
x − a
)]
=f ′(a) g(a) − g′(a) f(a)
g2(a).
Na última igualdade usou-se o facto de g ser contínua em a.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 214 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Exemplos – funções polinomiais
A função f : R → R definida por
f(x) = xn
derivável em todos os pontos de R e
f ′(x) = nxn−1.
Usando esta última igualdade, tem-se que a derivada da funçãodefinida por
p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a2x2 + a1x + a0
é dada por
p′(x) = nanxn−1 + (n − 1) an−1xn−2 + · · · + 2a2x + a1.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 215 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Exemplos – tangente
A derivada da tangente pode ser calculada da seguinte forma:
(tg x)′ =(
sen x
cos x
)′
=(sen x)′ cos x − (cos x)′ sen x
cos2 x
=cos x. cos x − (− sen x) sen x
cos2 x
=cos2 x + sen2 x
cos2 x
=1
cos2 x= sec2 x.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 216 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Exemplos – cotangente
Do mesmo modo temos
(cotg x)′ =(
cos x
sen x
)′
=(cos x)′ sen x − (sen x)′ cos x
sen2 x
=− sen x. sen x − (cos x) cos x
sen2 x
= −sen2 x + cos2 x
sen2 x
= − 1sen2 x
= − cosec2 x.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 217 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Exemplos – seno e coseno hiperbólicos
Atendendo a que
(
e−x)′ =(
1ex
)′=
1′ ex −(ex)′ 1
(ex)2 =− ex
(ex)2 = − 1ex
= − e−x,
tem-se
(senh x)′ =
(
ex − e−x
2
)′=
(ex)′ − (e−x)′
2=
ex + e−x
2= cosh x
e
(cosh x)′ =
(
ex + e−x
2
)′=
(ex)′ + (e−x)′
2=
ex − e−x
2= senh x.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 218 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Derivada da função composta
Sejam Df e Dg dois subconjuntos não vazios de R e
f : Df → R e g : Dg → R
funções tais quef(Df ) ⊆ Dg.
Suponhamos que a ∈ Df é um ponto de acumulação de Df e b = f(a) éum ponto de acumulação de Dg. Se f é derivável em a e g é derivávelem b, então g ◦ f é derivável em a e
(g ◦ f)′ (a) = g′(f(a)) f ′(a) = g′(b) f ′(a).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 219 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Exemplos
Seja f : R → R a função definida por f(x) =(
2x2 + 5)100. Então,
usando a derivada da função composta, temos
f ′(x) = 100(
2x2 + 5)99 (
2x2 + 5)′
= 100(
2x2 + 5)99
4x
= 400x(
2x2 + 5)99
.
Consideremos a função g : R → R dada por g(x) = sen (ex +1). A suaderivada é dada por
g′(x) = cos (ex +1) (ex +1)′ = cos (ex +1) ex = ex cos (ex +1) .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 220 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Exemplos
A função h : R → R definida por h(x) = e3 cos x2tem derivada em todos
os pontos de R e
h′(x) = e3 cos x2(
3 cos x2)′
= e3 cos x2(
−3 sen x2)(
x2)′
= e3 cos x2(
−3 sen x2)
2x
= −6x sen x2 e3 cos x2.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 221 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Exemplos – função exponencial e função logarítmica
Para a função exponencial temos
(ax)′ =(
eln(ax))′
=(
ex ln a)′
= ex ln a ln a = ax ln a.
Para a função logarítmica usando a igualdade
loge x = loga x loge a
temos
(loga x)′ =(
ln x
ln a
)′=
(ln x)′
ln a=
1/x
ln a=
1x ln a
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 222 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Exemplos
Se f é uma função real de variável real diferenciável, então[
ef(x)]′
= f ′(x) ef(x),
[sen (f(x))]′ = f ′(x) cos (f(x))
e[cos (f(x))]′ = −f ′(x) sen (f(x)) .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 223 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Derivada da função inversa
Sejam f uma função diferenciável e injectiva definida num intervaloI ⊆ R e a ∈ I. Se
f ′(a) 6= 0,
então f−1 é diferenciável em b = f(a) e
(
f−1)′
(b) =1
f ′(f−1(b))=
1f ′(a)
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 224 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Exemplos – raízes
A função g :]0, +∞[→]0, +∞[ definida por
g(x) = n√
x
é a função inversa da função f :]0, +∞[→]0, +∞[ definida por
f(y) = yn.
Como f ′(y) = nyn−1 6= 0 para qualquer y ∈ ]0, +∞[ temos, fazendoy = g(x),
g′(x) =(
f−1)′
(x) =1
f ′(y)=
1nyn−1
=1
nn√
xn−1.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 225 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Exemplos – logaritmo natural
Do mesmo modo, a função g : ]0, +∞[→ R definida por
g(x) = ln x
é a inversa da função f : R →]0, +∞[ definida por
f(y) = ey .
Como f ′(y) = ey 6= 0 para qualquer y ∈ R e y = ln x temos
g′(x) =(
f−1)′
(x) =1
f ′(y)=
1ey
=1x
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 226 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Exemplos – arco seno
Consideremos a função g : [−1, 1] → [−π/2, π/2] definida por
g(x) = arc sen x.
A função g é a função inversa da função f : [−π/2, π/2] → [−1, 1] dada por
f(y) = sen y.
Além disso, f ′(y) = cos y 6= 0 para y ∈ ]−π/2, π/2[. Assim, escrevendoy = arc sen x, ou seja, x = sen y, temos
g′(x) =(
f−1)′
(x) =1
(sen y)′=
1cos y
.
Tendo em conta que sen2 y + cos2 y = 1 e que y ∈ ]−π/2, π/2[, obtemoscos y =
√1 − x2 e, por conseguinte, para x ∈ ]−π/2, π/2[ temos
(arc sen x)′ =1√
1 − x2.
Nos pontos x = −1 e x = 1 a função não tem derivada lateral à direita, nemderivada lateral à esquerda, respectivamente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 227 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Exemplos – arco coseno
A função g : [−1, 1] → [0, π] definida por
g(x) = arccosx
é a inversa da função f : [0, π] → [−1, 1] definida por
f(y) = cos y.
Atendendo a que f ′(y) = − sen y 6= 0 para cada y ∈]0, π[ vem
(arccosx)′ =1
− sen y
e, como sen2 y + cos2 y = 1 e y ∈]0, π[, temos sen y =√
1 − cos2 y o queimplica
(arccosx)′ = − 1√
1 − cos2 y= − 1√
1 − x2.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 228 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Exemplos – arco tangente
A função g : ]−π/2, π/2[ → R definida por
g(x) = arc tg x
é a inversa da função f : R → ]−π/2, π/2[ definida por
g(y) = tg y.
Como g′(y) =1
cos2 y6= 0 para y ∈ ]−π/2, π/2[ temos
(arc tg x)′ =11
cos2 y
=1
1 + tg2 y=
11 + x2
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 229 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Exemplos – arco cotangente
Do mesmo modo tem-se
(arccotg x)′ = − 11 + x2
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 230 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Tabela de derivadas
[αu(x)]′ = α u′(x), α ∈ R [u(x) + v(x)]′ = u′(x) + v′(x)
[u(x) v(x)]′ = u′(x) v(x) + u(x) v′(x)[
u(x)v(x)
]′
=u′(x) v(x) − u(x) v′(x)
[v(x)]2
[(u(x))α]′ = α u′(x) [u(x)]α−1, α ∈ R[
√
u(x)]′
=u′(x)
2√
u(x)
[
eu(x)]′
= u′(x) eu(x) [ln (u(x))]′ =u′(x)u(x)
[
au(x)]′
= u′(x)au(x) ln a [loga (u(x))]′ =u′(x)
u(x) ln a
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 231 / 590
§3.1 Derivadas: definição, regras de derivação e exemplos
Tabela de derivadas (continuação)
[sen (u(x))]′ = u′(x) cos [u(x)] [cos (u(x))]′ = −u′(x) sen [u(x)]
[tg (u(x))]′ =u′(x)
cos2 [u(x)][cotg (u(x))]′ = − u′(x)
sen2 [u(x)]
[arc sen (u(x))]′ =u′(x)
√
1 − [u(x)]2[arc cos (u(x))]′ = − u′(x)
√
1 − [u(x)]2
[arc tg (u(x))]′ =u′(x)
1 + [u(x)]2[arc cotg (u(x))]′ = − u′(x)
1 + [u(x)]2
[senh (u(x))]′ = u′(x) cosh [u(x)] [cosh (u(x))]′ = u′(x) senh [u(x)]
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 232 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
Derivadas: definição, regras de derivação e exemplosTeoremas de Rolle, de Lagrange e de CauchyDerivadas de ordem superior e fórmula de TaylorAplicações do cálculo diferencial
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 233 / 590
§3.2 Teoremas de Rolle, de Lagrange e de Cauchy
Teorema de Rolle
Sejam a e b números reais tais que a < b e seja
f : [a, b] → R
uma função contínua em [a, b] e diferenciável em ]a, b[. Se
f(a) = f(b),
então existec ∈ ]a, b[
tal quef ′(c) = 0.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 234 / 590
§3.2 Teoremas de Rolle, de Lagrange e de Cauchy
A interpretação geométrica de f ′(c) = 0 corresponde a que a rectatangente ao gráfico de f no ponto (c, f(c)) é horizontal. Tendo isto emconta, podemos interpretar geometricamente o Teorema de Rolle daseguinte forma.
x
y
a b
f(a) = f(b) b b
c
b
c′
b
Interpretação geométrica do Teorema de Rolle
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 235 / 590
§3.2 Teoremas de Rolle, de Lagrange e de Cauchy
Corolários do Teorema de Rolle
Sejam I um intervalo ef : I → R
uma função diferenciável em I. Então
a) entre dois zeros de f existe pelo menos um zero da derivada;
b) entre dois zeros consecutivos da derivada de f existe, quandomuito, um zero da função.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 236 / 590
§3.2 Teoremas de Rolle, de Lagrange e de Cauchy
Teorema do valor médio de Lagrange
Sejam a e b números reais tais que a < b e
f : [a, b] → R
uma função contínua em [a, b] e diferenciável em ]a, b[. Então existe
c ∈ ]a, b[
tal quef(b) − f(a) = f ′(c) (b − a) ,
ou seja,f(b) − f(a)
b − a= f ′(c).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 237 / 590
§3.2 Teoremas de Rolle, de Lagrange e de Cauchy
Geometricamente, o quocientef(b) − f(a)
b − aé o declive da recta que
passa nos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). O que o Teorema de Lagrangenos diz é que existe uma recta tangente ao gráfico de f paralela à rectaque passa nos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)).
x
y
a b
f(a)
f(b)
b
b
c
b
b
b
b
b
b
Interpretação geométrica do Teorema de Lagrange
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 238 / 590
§3.2 Teoremas de Rolle, de Lagrange e de Cauchy
Corolários do Teorema de Lagrange
Sejam I um intervalo de R e f, g : I → R funções diferenciáveis em I.
a) Sef ′(x) = 0 para qualquer x ∈ I,
então f é constante.
b) Sef ′(x) = g′(x) para qualquer x ∈ I,
então a diferença f − g é constante em I.
c) Se f ′(x) > 0 para qualquer x ∈ I, então f é estritamente crescente emI, ou seja, para quaisquer x, y ∈ I,
se x > y, então f(x) > f(y).
d) Se f ′(x) < 0 para qualquer x ∈ I, então f é estritamente decrescenteem I, ou seja, para quaisquer x, y ∈ I,
se x > y, então f(x) < f(y).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 239 / 590
§3.2 Teoremas de Rolle, de Lagrange e de Cauchy
Teorema de Cauchy
Sejam a e b números reais tais que a < b e
f, g : [a, b] → R
funções contínuas em [a, b] e diferenciáveis em ]a, b[. Se
g′(x) 6= 0 para qualquer x ∈ ]a, b[,
então existec ∈ ]a, b[
tal quef(b) − f(a)g(b) − g(a)
=f ′(c)g′(c)
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 240 / 590
§3.2 Teoremas de Rolle, de Lagrange e de Cauchy
Regra de Cauchy
Sejam a e b números reais tais que a < b e f, g : ]a, b[→ R funçõesdiferenciáveis em ]a, b[ tais que
g′(x) 6= 0 para cada x ∈ ]a, b[.
Suponhamos quelim
x→a+f(x) = lim
x→a+g(x) = 0
ou quelim
x→a+|f(x)| = lim
x→a+|g(x)| = +∞.
Se limx→a+
f ′(x)g′(x)
= L, então
limx→a+
f(x)g(x)
= L.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 241 / 590
§3.2 Teoremas de Rolle, de Lagrange e de Cauchy
Observações
a) O resultado continua válido se substituirmos
limx→a+
porlim
x→b−
.
b) O resultado também é válido quando calculamos o limite em pontosinteriores do domínio das funções.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 242 / 590
§3.2 Teoremas de Rolle, de Lagrange e de Cauchy
Regra de Cauchy quando x → +∞Sejam a um número real e f, g : ]a, +∞[→ R funções diferenciáveis em]a, +∞[ e tais que
g′(x) 6= 0 para cada x ∈]a, +∞[.
Suponhamos que
limx→+∞
f(x) = limx→+∞
g(x) = 0
ou que
limx→+∞
|f(x)| = limx→+∞
|g(x)| = +∞.
Se limx→+∞
f ′(x)g′(x)
= L, então
limx→+∞
f(x)g(x)
= L.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 243 / 590
§3.2 Teoremas de Rolle, de Lagrange e de Cauchy
Observação
O resultado continua válido se substituirmos
limx→+∞
porlim
x→−∞,
sendo neste caso o domínio das funções um intervalo do tipo ] − ∞, a[.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 244 / 590
§3.2 Teoremas de Rolle, de Lagrange e de Cauchy
Exemplos de aplicação da regra de Cauchy
1) Como
limx→0
cos x − 1x2
=00
,
temos pela regra de Cauchy
limx→0
cos x − 1x2
= limx→0
(cos x − 1)′
(x2)′
= limx→0
− sen x
2x
= limx→0
−12
sen x
x
= −12
.1
= −12
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 245 / 590
§3.2 Teoremas de Rolle, de Lagrange e de Cauchy
Exemplos de aplicação da regra de Cauchy (continuação)
2) Como limx→0
esen x − ex
sen x − x=
00
, usando a regra de Cauchy temos
limx→0
esen x − ex
sen x − x= lim
x→0
(esen x − ex)′
(sen x − x)′ = limx→0
cos x esen x − ex
cos x − 1=
00
.
Aplicando novamente a regra de Cauchy vem
limx→0
esen x − ex
sen x − x= lim
x→0
(cos x esen x − ex)′
(cos x − 1)′
= limx→0
− sen x esen x + cos2 x esen x − ex
− sen x
=00
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 246 / 590
§3.2 Teoremas de Rolle, de Lagrange e de Cauchy
Exemplos de aplicação da regra de Cauchy (continuação)
2) (continuação) Temos de aplicar novamente a regra de Cauchy
limx→0
esen x − ex
sen x − x
= limx→0
[(
cos2 x − sen x)
esen x − ex]′
[− sen x]′
= limx→0
(−2 sen x cos x − cos x) esen x +(
cos2 x − sen x)
cos x esen x − ex
− cos x
=−1 + 1 − 1
−1= 1
Este limite podia ter sido calculado mais facilmente da seguinteforma
limx→0
esen x − ex
sen x − x= lim
x→0ex esen x−x −1
sen x − x= e0 .1 = 1.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 247 / 590
§3.2 Teoremas de Rolle, de Lagrange e de Cauchy
Exemplos de aplicação da regra de Cauchy (continuação)
3) Vejamos que
limx→+∞
ln x
xa= 0, a > 0.
Como
limx→+∞
ln x
xa=
+∞+∞ ,
aplicando a regra de Cauchy temos
limx→+∞
ln x
xa= lim
x→+∞(ln x)′
(xa)′ = limx→+∞
1x
axa−1= lim
x→+∞1
axa=
1+∞ = 0.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 248 / 590
§3.2 Teoremas de Rolle, de Lagrange e de Cauchy
Exemplos de aplicação da regra de Cauchy (continuação)
4) Vejamos como calcular limx→1+
√x − 1 ln (ln x) = 0 × (−∞). Como
limx→1+
√x − 1 ln (ln x) = lim
x→1+
ln (ln x)
(x − 1)−1/2=
∞∞ ,
podemos usar a regra de Cauchy e temos
limx→1+
√x − 1 ln (ln x) = lim
x→1+
[ln (ln x)]′[
(x − 1)−1/2]′
= limx→1+
1/x
ln x
− (x − 1)−3/2
2
= limx→1+
−2 (x − 1)3/2
x ln x=
00
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 249 / 590
§3.2 Teoremas de Rolle, de Lagrange e de Cauchy
Exemplos de aplicação da regra de Cauchy (continuação)
4) (continuação) Atendendo a que limx→1+
(x − 1)3/2
ln x=
00
, aplicando
novamente a regra de Cauchy temos
limx→1+
(x − 1)3/2
ln x= lim
x→1+
(
(x − 1)3/2)′
(ln x)′= lim
x→1+
3 (x − 1)1/2
21x
= limx→1+
3x (x − 1)1/2
2= 0,
pelo que
limx→1+
√x − 1 ln (ln x) = lim
x→1+−2 (x − 1)3/2
x ln x
= limx→1+
− 2x
(x − 1)3/2
ln x= 0.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 250 / 590
§3.2 Teoremas de Rolle, de Lagrange e de Cauchy
Exemplos de aplicação da regra de Cauchy (continuação)
5) Calculemos agora limx→0
1x
− cotg x = ∞ − ∞. Transformando esta
indeterminação na seguinte
limx→0
1x
− cotg x = limx→0
1x
− cos x
sen x= lim
x→0
sen x − x cos x
x sen x=
00
,
podemos aplicar a regra de Cauchy. Assim,
limx→0
sen x − x cos x
x sen x= lim
x→0
(sen x − x cos x)′
(x sen x)′
= limx→0
cos x − cos x + x sen x
sen x + x cos x
= limx→0
x sen x
sen x + x cos x
=00
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 251 / 590
§3.2 Teoremas de Rolle, de Lagrange e de Cauchy
Exemplos de aplicação da regra de Cauchy (continuação)
5) (continuação) Aplicando novamente a regra de Cauchy temos
limx→0
sen x − x cos x
x sen x= lim
x→0
(x sen x)′
(sen x + x cos x)′
= limx→0
sen x + x cos x
cos x + cos x − x sen x
=02
= 0
o que implica
limx→0
1x
− cotg x = 0.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 252 / 590
§3.2 Teoremas de Rolle, de Lagrange e de Cauchy
Exemplos de aplicação da regra de Cauchy (continuação)
6) Calculemos agoralim
x→0+(sen x)x .
Neste caso temos uma indeterminação do tipo 00. Atendendo a que
limx→0+
(sen x)x = limx→0+
eln[(sen x)x] = limx→0+
ex ln(sen x),
basta calcular limx→0+
x ln (sen x). Como
limx→0+
x ln (sen x) = limx→0+
ln (sen x)1x
=00
,
podemos aplicar a regra de Cauchy.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 253 / 590
§3.2 Teoremas de Rolle, de Lagrange e de Cauchy
Exemplos de aplicação da regra de Cauchy (continuação)
6) (continuação) Assim,
limx→0+
x ln (sen x) = limx→0+
(ln (sen x))′(
1x
)′ = limx→0+
cos x
sen x
− 1x2
= limx→0+
x
sen x(−x cos x) = 1.0 = 0
e, portanto,
limx→0+
(sen x)x = limx→0+
ex ln(sen x) = e0 = 1.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 254 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
Derivadas: definição, regras de derivação e exemplosTeoremas de Rolle, de Lagrange e de CauchyDerivadas de ordem superior e fórmula de TaylorAplicações do cálculo diferencial
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 255 / 590
§3.3 Derivadas de ordem superior e fórmula de Taylor
Sejam D um subconjunto não vazio de R e
f : D → R
uma função diferenciável em D. Se f ′ é diferenciável em a ∈ D, entãodiz-se que f é duas vezes diferenciável em a e a derivada de f ′ em adesigna-se por segunda derivada de f em a e representa-se por
f ′′(a) oud2f
dx2(a) ou ainda D2f(a)
e é dada por
f ′′(a) =(
f ′)′ (a) = limx→a
f ′(x) − f ′(a)x − a
= limh→0
f ′(a + h) − f ′(a)h
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 256 / 590
§3.3 Derivadas de ordem superior e fórmula de Taylor
Mais geralmente, se existirem as derivadas de f até à ordem n − 1 e asrepresentarmos por
f ′, f ′′, . . . , f (n−1)
e f (n−1) é derivável em a, então diz-se que f tem derivada de ordemn em a e
f (n)(a) = limx→a
f (n−1)(x) − f (n−1)(a)x − a
= limh→0
f (n−1)(a + h) − f (n−1)(a)h
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 257 / 590
§3.3 Derivadas de ordem superior e fórmula de Taylor
Uma função f : D → R diz-se de classe Cn, e escreve-se
f ∈ Cn(D),
se f é n vezes diferenciável em D e a derivada de ordem n, f (n) écontínua em D.
Por extensão, escreve-se
f ∈ C0(D) ou f ∈ C(D)
para designar que f é contínua em D.
Se f admite derivadas de todas as ordens em D, então dizemos que f éindefinidamente diferenciável ou de classe C∞ e usa-se a notação
f ∈ C∞(D).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 258 / 590
§3.3 Derivadas de ordem superior e fórmula de Taylor
Exemplos
a) A função f : R → R definida por
f(x) = xm,
m ∈ N, é uma função de classe C∞. De facto
f (n)(x) =
m (m − 1) . . . (m − (n − 1)) xm−n se n < m;
m! se n = m;
0 se n > m.
Mais geralmente, qualquer polinómio p : R → R dado por
p(x) = amxm + am−1xm−1 + · · · + a2x2 + a1x + a0
é de classe C∞.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 259 / 590
§3.3 Derivadas de ordem superior e fórmula de Taylor
Exemplos (continuação)
b) Sep, q : R → R
são dois polinómios, então fazendo
D = {x ∈ R : q(x) 6= 0}
tem-se que a função f : D → R definida por
f(x) =p(x)q(x)
e, portanto,f ∈ C∞(D).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 260 / 590
§3.3 Derivadas de ordem superior e fórmula de Taylor
Exemplos (continuação)
c) A função exponencial é de classe C∞ pois fazendo
f(x) = ex
temosf (n)(x) = ex .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 261 / 590
§3.3 Derivadas de ordem superior e fórmula de Taylor
Exemplos (continuação)
d) A função seno é uma função de classe C∞. De facto, fazendo
f(x) = sen x,
temos
f (n)(x) =
cos x se n = 4k − 3, k ∈ N;
− sen x se n = 4k − 2, k ∈ N;
− cos x se n = 4k − 1, k ∈ N;
sen x se n = 4k, k ∈ N;
o que mostra que a função seno pertence a C∞(R).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 262 / 590
§3.3 Derivadas de ordem superior e fórmula de Taylor
Exemplos (continuação)
e) Do mesmo modo, a função coseno é uma função de classe C∞. Defacto, se
f(x) = cos x,
temos
f (n)(x) =
− sen x se n = 4k − 3, k ∈ N;
− cos x se n = 4k − 2, k ∈ N;
sen x se n = 4k − 1, k ∈ N;
cos x se n = 4k, k ∈ N.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 263 / 590
§3.3 Derivadas de ordem superior e fórmula de Taylor
Exemplos (continuação)
f) A função f1 : R → R definida por
f1(x) =
x2 sen1x
se x 6= 0;
0 se x = 0;
é diferenciável, mas a primeira derivada não é contínua. Como(
x2 sen1x
)′
= 2x sen1x
+ x2
(
− 1x2
)
cos1x
= 2x sen1x
− cos1x
e
f ′
1(0) = limx→0
f1(x) − f1(0)x − 0
= limx→0
x2 sen1x
− 0
x − 0= lim
x→0x sen
1x
= 0,
temos
f ′
1(x) =
2x sen1x
− cos1x
se x 6= 0;
0 se x = 0.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 264 / 590
§3.3 Derivadas de ordem superior e fórmula de Taylor
Exemplos (continuação)
f) (continuação) Vimos que
f ′1(x) =
2x sen1x
− cos1x
se x 6= 0;
0 se x = 0.
Como não existe
limx→0
cos1x
,
a função f ′1 não é contínua. Assim, f1 é diferenciável, mas não é de
classe C1. Mais geral, a função fk : R → R definida por
fk(x) =
x2k sen1x
se x 6= 0;
0 se x = 0;
tem derivadas até à ordem k, mas não é de classe Ck.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 265 / 590
§3.3 Derivadas de ordem superior e fórmula de Taylor
Exemplos (continuação)
g) Sef, g : D ⊆ R → R
têm derivada até à ordem n, então os mesmo acontece com
f + g e fg
e(f + g)(n) (x) = f (n)(x) + g(n)(x)
e
(fg)(n) (x) =n∑
j=0
(
n
j
)
f (j)(x)g(n−j)(x),
onde f (0) = f e g(0) = g. Esta igualdade é conhecida por fórmulade Leibnitz.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 266 / 590
§3.3 Derivadas de ordem superior e fórmula de Taylor
Fórmula de Taylor (com resto de Lagrange)
Sejam I um intervalo,f : I → R
uma função de classe Cn, n + 1 vezes diferenciável em int I e a umponto de I. Para cada x ∈ I \ {a}, existe c estritamente entre a e x talque
f(x) = f(a)+f ′(a) (x − a)+f ′′(a)
2!(x − a)2 + · · ·+ f(n)(a)
n!(x − a)n +
f(n+1)(c)
(n + 1)!(x − a)n+1 .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 267 / 590
§3.3 Derivadas de ordem superior e fórmula de Taylor
A
pn(x) = f(a) + f ′(a) (x − a) +f ′′(a)
2!(x − a)2 + · · · +
f (n)(a)n!
(x − a)n
chamamos polinómio de Taylor de grau n da função f em torno dex = a e a
Rn(x) =f (n+1)(c)(n + 1)!
(x − a)n+1
resto Lagrange de ordem n da função f em torno de x = a.
Se a = 0 a fórmula de Taylor designa-se por fórmula de Mac-Laurine o polinómio de Taylor designa-se por polinómio de Mac-Laurin.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 268 / 590
§3.3 Derivadas de ordem superior e fórmula de Taylor
Ao polinómio de Taylor de grau um de uma função f em torno de achamamos linearização ou aproximação linear de f em torno de x = a, ouseja, a função dada por
L(x) = f(a) + f ′(a)(x − a)
é a linearização de f em torno de x = a. Nestas condições escrevemos
f(x) ≈ f(a) + f ′(a)(x − a).
Ao polinómio de Taylor de grau dois de uma função f em torno de x = a, istoé, à função dada por
Q(x) = f(a) + f ′(a)(x − a) +f ′′(a)
2(x − a)2,
chamamos aproximação quadrática de f em torno de x = a e escrevemos
f(x) ≈ f(a) + f ′(a)(x − a) +f ′′(a)
2(x − a)2.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 269 / 590
§3.3 Derivadas de ordem superior e fórmula de Taylor
Exemplos
1) Seja f a função exponencial. Atendendo a que f (n)(x) = ex para cadan ∈ N e, portanto, f (n)(0) = e0 = 1, o polinómio de Mac-Laurin de grau né dado por
pn(x) = f(0) + f ′(0) x +f ′′(0)
2!x2 + · · · +
f (n−1)(0)(n − 1)!
xn−1 +f (n)(0)
n!xn
= 1 + x +x2
2!+ · · · +
xn−1
(n − 1)!+
xn
n!
e, por conseguinte, temos a seguinte aproximação linear
ex ≈ 1 + x
e a seguinte aproximação quadrática
ex ≈ 1 + x +x2
2.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 270 / 590
§3.3 Derivadas de ordem superior e fórmula de Taylor
Exemplos (continuação)
2) Seja f a função seno. Então
f (n)(0) =
{
(−1)k+1 se n = 2k − 1, k ∈ N;
0 se n = 2k, k ∈ N;
e, portanto,
sen x = x − x3
3!+
x5
5!+ · · · + (−1)n x2n+1
(2n + 1)!+ R2n+1(x).
Assim, neste exemplos as aproximações linear e quadrática sãoiguais:
sen x ≈ x.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 271 / 590
§3.3 Derivadas de ordem superior e fórmula de Taylor
Exemplos (continuação)
3) Se f é a função coseno, então
f (n)(0) =
{
(−1)k se n = 2k, k ∈ N;
0 se n = 2k − 1, k ∈ N;
e, consequentemente,
cos x = 1 − x2
2!+
x4
4!+ · · · + (−1)n x2n
(2n)!+ R2n(x)
e temos
cos x ≈ 1 e cos x ≈ 1 − x2
2como aproximações linear e quadrática, respectivamente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 272 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
Derivadas: definição, regras de derivação e exemplosTeoremas de Rolle, de Lagrange e de CauchyDerivadas de ordem superior e fórmula de TaylorAplicações do cálculo diferencial
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 273 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
Nesta secção vamos ver aplicações das derivadas em termos de
• monotonia de uma função;
• extremos locais de uma função;
• convexidade e pontos de inflexão de uma função.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 274 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
Já vimos que para estudar a monotonia de uma função basta estudar osinal da primeira derivada. Isso é consequência de corolários doTeorema de Lagrange:
Corolários do Teorema de Lagrange
Sejam I um intervalo de R e f : I → R uma função diferenciável em I.
a) Se f ′(x) > 0 para qualquer x ∈ I, então f é estritamentecrescente em I, ou seja, para quaisquer x, y ∈ I,
se x > y, então f(x) > f(y).
b) Se f ′(x) < 0 para qualquer x ∈ I, então f é estritamentedecrescente em I, ou seja, para quaisquer x, y ∈ I,
se x > y, então f(x) < f(y).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 275 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
Sejam D um subconjunto não vazio de R, f : D → R uma função ea ∈ D. Diz-se que a função f tem um máximo local ou relativo noponto a ou que f(a) é um máximo local ou relativo da função f seexistir um ε > 0 tal que
f(x) 6 f(a) qualquer que seja x ∈ ]a − ε, a + ε[ ∩ D.
Do mesmo modo, diz-se que a função f tem um mínimo local ourelativo no ponto a ou que f(a) é um mínimo local ou relativo dafunção f se existir um ε > 0 tal que
f(x) > f(a) qualquer que seja x ∈ ]a − ε, a + ε[ ∩ D.
Diz-se que f tem um extremo local ou relativo no ponto a ou quef(a) é um extremo local ou relativo da função f se f tiver ummáximo ou um mínimo local no ponto a.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 276 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
x
y
x0 x2 x4
b
bb
x1 x3 x5
b
bb
Os pontos x0, x2 e x4 são pontos onde a função tem mínimos locais,enquanto que a função tem máximos locais nos pontos x1, x3 e x5.
A figura sugere que nos pontos x1, x2, x3, x4 a derivada da função énula.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 277 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
x
y
b
b
b b
b
b
x0 x1 x2 x3 x4 x5
b
b
b b
b
b
Para a função representada na figura anterior vê-se facilmente que nospontos x0, x2 e x4 a função tem mínimos locais e que nos pontos x1, x3
e x5 a função tem máximos locais. Além disso, em qualquer a ∈ ]x2, x3[a função tem um máximo e um mínimo local.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 278 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
Teorema de Fermat
Sejaf : D ⊆ R → R
uma função diferenciável num ponto a interior a D. Se f(a) é umextremo local de f , então
f ′(a) = 0.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 279 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
A condiçãof ′(a) = 0
não é suficiente para a existência de extremo. Por exemplo a função
f : R → R,
definida porf(x) = x3,
tem derivada nula no ponto x = 0, mas f(0) não é extremo local.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 280 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
Sejam I um intervalo de R e
f : I → R
uma função m vezes diferenciável, m > 1, num ponto a interior aointervalo I. Suponhamos que
f ′(a) = · · · = f (m−1)(a) = 0 e f (m)(a) 6= 0.
Então
i) se m é ímpar, f não tem qualquer extremo local no ponto a;
ii) se m é par, f tem em a um ponto de máximo local ou um ponto demínimo local, consoante
f (m)(a) < 0 ou f (m)(a) > 0.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 281 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
Sejam I um intervalo de R e
f : I → R
uma função duas vezes diferenciável num ponto a interior a I com
f ′(a) = 0.
Então
i) se f ′′(a) > 0, a é um ponto de mínimo local;
ii) se f ′′(a) < 0, a é um ponto de máximo local.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 282 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
Exemplo
Uma bateria de voltagem fixa V e resistência interna fixa r está ligadaa um circuito de resistência variável R. Pela lei de Ohm, a corrente Ino circuito é
I =V
R + r.
Se a potência resultante é dada por P = I2R, mostre que a potênciamáxima ocorre se R = r.
De P = I2R, temos P =(
V
R + r
)2
R =V 2R
(R + r)2 . Assim, o que temos
de fazer é calcular os extremos locais da função
P (R) =V 2R
(R + r)2 .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 283 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
Exemplo (continuação)
Derivando a função P (R) =V 2R
(R + r)2 temos
P ′(R) =V 2 (R + r)2 − 2 (R + r) V 2R
(R + r)4
=V 2 (R + r) − 2V 2R
(R + r)3
=V 2r − V 2R
(R + r)3
=V 2 (r − R)
(R + r)3
e, portanto,P ′(R) = 0 ⇔ R = r.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 284 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
Exemplo (continuação)
Para verificarmos que R = r é um ponto de máximo local, atendendo aque
P ′(R) =V 2 (r − R)
(R + r)3 ,
podemos fazer o seguinte quadro
R r
P ′(R) + 0 −P (R) ր M ց
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 285 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
b
b
(a, f(a))
(b, f(b))
função convexa
Sejam I um intervalo de R e f : I → R uma função. Dizemos que f éconvexa ou que tem a concavidade voltada para cima em I separa quaisquer a, b ∈ I, com a < b, o gráfico de f em [a, b] está abaixoda secante que une os ponto (a, f(a)) e (b, f(b)), isto é,
f(x) 6 f(a) +f(b) − f(a)
b − a(x − a)
para qualquer x ∈ [a, b].António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 286 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
b
b
(a, f(a))
(b, f(b))
função côncava
A função f diz-se côncava ou que tem a concavidade voltada parabaixo em I se para quaisquer a, b ∈ I, com a < b, o gráfico de f em[a, b] está acima da secante que une os ponto (a, f(a)) e (b, f(b)), isto é,
f(x) > f(a) +f(b) − f(a)
b − a(x − a)
para qualquer x ∈ [a, b].
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 287 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
Fazendo x = (1 − t)a + tb, t ∈ [0, 1], nas desigualdades que caracterizamas definições de função convexa e de função côncava temos as seguintesdefinições alternativas:
A função f é convexa em I se para cada a, b ∈ I e para cada t ∈ [0, 1],
f ((1 − t)a + tb) 6 (1 − t)f(a) + tf(b).
A função f diz-se côncava em I se, para cada a, b ∈ I e para cadat ∈ [0, 1],
f ((1 − t)a + tb) > (1 − t)f(a) + tf(b).
Obviamente, uma função f é côncava se e só se −f é convexa.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 288 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
Sejam I um intervalo de R e f : I → R uma função diferenciável.Então as seguintes afirmações são equivalentes:
a) f é convexa;
b) a derivada de f é monótona crescente;
c) para quaisquer a, x ∈ I temos
f(x) > f(a) + f ′(a) (x − a) ,
ou seja, o gráfico de f está acima das suas rectas tangentes.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 289 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
bb
b b
bb
Função convexa
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 290 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
Sejam I um intervalo de R e f : I → R uma função diferenciável.Então as seguintes afirmações são equivalentes:
a) f é côncava;
b) a derivada de f é monótona decrescente;
c) para quaisquer a, x ∈ I temos
f(x) 6 f(a) + f ′(a) (x − a) ,
ou seja, o gráfico de f está abaixo das suas rectas tangentes.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 291 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
bb
bb
bb
Função côncava
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 292 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
Sejam I um intervalo de R e f : I → R uma função duas vezesdiferenciável em I. Então
a) f é convexa em I se e só se
f ′′(x) > 0
para qualquer x ∈ I;
b) f é côncava em I se e só se
f ′′(x) 6 0
para qualquer x ∈ I.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 293 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
Sejam I um intervalo, a um ponto interior a I e f : I → R. Diz-se quea é um ponto de inflexão de f se existe ε > 0 tal que num dosconjuntos ]a − ε, a[ ou ]a, a + ε[ a função é convexa e no outro é côncava.
x
y
bb
b
a1a0 a2
bb
bb
b
b
Na figura anterior vemos que a função f é côncava à esquerda de a1 e éconvexa à direita de a1. Logo a1 é um ponto de inflexão.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 294 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
Sejam I um intervalo de R e
f : I → R
uma função duas vezes diferenciável. Se a ∈ I é um ponto de inflexãode f , então
f ′′(a) = 0.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 295 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
Assim, podemos usar a informação que as derivadas nos fornecem parafazer o esboço do gráfico de uma função. Para tal devemos estudar
• o domínio da função;
• os zeros da função;
• a continuidade da função;
• a paridade da função;
• os intervalos de monotonia da função;
• os extremos relativos da função;
• as concavidades da função;
• os pontos de inflexão da função;
• as assímptotas da função.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 296 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
Exemplo – estudo da função f(x) = x2/(x − 1)
Seja f a função real de variável real definida por
f(x) =x2
x − 1.
Vamos fazer um estudo completo desta função. Esta função tem comodomínio a seguinte função
Df = {x ∈ R : x − 1 6= 0} = R \ {1}
e como
f(x) = 0 ⇔ x2
x − 1= 0 ⇔ x = 0 ∧ x 6= 1,
f tem apenas um zero no ponto x = 0. Além disso, a função é contínuapois é o quociente de duas funções polinomiais.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 297 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
Exemplo – estudo da função f(x) = x2/(x − 1) (continuação)
Obviamente, esta função não é par nem é ímpar. A função édiferenciável em todo o domínio e primeira derivada é dada por
f ′(x) =(x2)′ (x − 1) − x2 (x − 1)′
(x − 1)2
=2x (x − 1) − x2
(x − 1)2
=2x2 − 2x − x2
(x − 1)2
=x2 − 2x
(x − 1)2
=x(x − 2)
(x − 1)2 .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 298 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
Exemplo – estudo da função f(x) = x2/(x − 1) (continuação)
Calculemos os zeros da primeira derivada
f ′(x) = 0 ⇔ x(x − 2)
(x − 1)2 = 0
⇔ x(x − 2) = 0 ∧ (x − 1)2 6= 0
⇔ (x = 0 ∨ x = 2) ∧ x 6= 1.
Atendendo a que o denominador de f ′ é sempre positivo, temos oseguinte quadro de sinal
x 0 1 2
f ′(x) + 0 − ND − 0 +
f(x) ր M ց ND ց m ր
Além disso, f(0) = 0 e f(2) = 4.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 299 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
Exemplo – estudo da função f(x) = x2/(x − 1) (continuação)
A segunda derivada de f é dada por
f ′′(x) =
(
x2 − 2x
(x − 1)2
)′
=
(
x2 − 2x)′
(x − 1)2 −[
(x − 1)2]′(
x2 − 2x)
(x − 1)4
=(2x − 2) (x − 1)2 − 2 (x − 1)
(
x2 − 2x)
(x − 1)4 =2 (x − 1)2 − 2
(
x2 − 2x)
(x − 1)3
=2x2 − 4x + 2 − 2x2 + 4x
(x − 1)3 =2
(x − 1)3
e, portanto, f não tem pontos de inflexão já que a segunda derivada não temzeros.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 300 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
Exemplo – estudo da função f(x) = x2/(x − 1) (continuação)
Fazendo um quadro temos
x 1
f ′′(x) − ND +
f(x) ∩ ND ∪
o que nos permite concluir que f tem a concavidade voltada para baixoem ] − ∞, 1[ e tem a concavidade voltada para cima em ]1, +∞[.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 301 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
Exemplo – estudo da função f(x) = x2/(x − 1) (continuação)
Quanto a assímptotas, uma vez que
limx→+∞
f(x)x
= limx→+∞
x2
x2 − x= lim
x→+∞x2
x2(1 − 1/x)= lim
x→+∞1
1 − 1/x= 1
e
limx→+∞
f(x) − x = limx→+∞
x2
x − 1− x = lim
x→+∞x2 − x2 + x
x − 1
= limx→+∞
x
x(1 − 1/x)= lim
x→+∞1
1 − 1/x= 1
a recta de equação y = x + 1 é uma assímptota não vertical à direita dográfico de f . Do mesmo modo se conclui que esta recta também éassímptota não vertical à esquerda do gráfico de f .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 302 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
Exemplo – estudo da função f(x) = x2/(x − 1) (continuação)
Por outro lado, tendo em conta que o domínio de f é R \ {1} e que f éuma função contínua, a única possibilidade para assímptota vertical aográfico de f é a recta de equação x = 1. Como
limx→1+
f(x) = limx→1+
x2
x − 1=
10+
= +∞
e
limx→1−
f(x) = limx→1−
x2
x − 1=
10− = −∞,
a recta de equação x = 1 é de facto uma assímptota vertical ao gráficode f .
Estamos em condições de esboçar o gráfico de f .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 303 / 590
§3.4 Aplicações do cálculo diferencial
Exemplo – estudo da função f(x) = x2/(x − 1) (continuação)
2
4
1
−1
1
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 304 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 PrimitivasPrimitivas imediatasPrimitivação por partesPrimitivação por substituiçãoPrimitivas de funções racionais
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 305 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 PrimitivasPrimitivas imediatasPrimitivação por partesPrimitivação por substituiçãoPrimitivas de funções racionais
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 306 / 590
§4.1 Primitivas imediatas
Sejam I um intervalo ef : I → R
uma função. Chama-se primitiva de f em I a toda a função
F : I → R
tal queF ′(x) = f(x) para qualquer x ∈ I.
Diz-se que f é primitivável em I quando f possui pelo menos umaprimitiva.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 307 / 590
§4.1 Primitivas imediatas
Exemplos
a) Uma primitiva da função f : R → R dada por
f(x) = x
é a função F : R → R definida por
F (x) =x2
2.
b) Dum modo mais geral, dado n ∈ N, uma primitiva da funçãof : R → R definida por
f(x) = xn
é a função F : R → R definida por
F (x) =xn+1
n + 1.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 308 / 590
§4.1 Primitivas imediatas
Sejam I um intervalo eF : I → R
uma primitiva de uma função
f : I → R.
Então, para qualquer c ∈ R, a função
F + c
é também uma primitiva de f .
Reciprocamente, qualquer outra primitiva de f é da forma
F + c, c ∈ R.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 309 / 590
§4.1 Primitivas imediatas
O conjunto das primitivas de uma função f : I → R representa-se por∫
f(x) dx.
Tendo em conta o que vimos anteriormente, se F : I → R é uma primitiva def temos
∫
f(x) dx = {F (x) + c : c ∈ R} .
Por uma questão de simplicidade de escrita escrevemos apenas∫
f(x) dx = F (x) + c.
Assim,∫
x dx =x2
2+ c
e de um modo mais geral∫
xn dx =xn+1
n + 1+ c.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 310 / 590
§4.1 Primitivas imediatas
Se f e g são duas funções primitiváveis num intervalo I e k ∈ R, então
∫
f(x) + g(x) dx =∫
f(x) dx +∫
g(x) dx
e∫
kf(x) dx = k
∫
f(x) dx.
Assim,∫
anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 dx
= anxn+1
n + 1+ an−1
xn
n+ · · · + a1
x2
2+ a0x + c.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 311 / 590
§4.1 Primitivas imediatas
Nem todas as funções são primitiváveis. Por exemplo, a funçãof : R → R definida por
f(x) =
{
1 se x > 0,
0 se x < 0,
não é primitivável em R, pois se F fosse uma primitiva de f , arestrição de F ao intervalo ]0, +∞[ seria uma função da forma x + c e arestrição de F ao intervalo ] − ∞, 0[ seria da forma d. Assim a restriçãode F a R \ {0} seria
F (x) =
{
x + c se x > 0;
d se x < 0;
e independentemente do valor que se dê a F (0), a função F não éderivável em x = 0, o que contradiz o facto de F ser uma primitiva def .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 312 / 590
§4.1 Primitivas imediatas
Já sabemos que para qualquer x > 0 se tem
(ln x)′ =1x
e se x < 0 tem-se
[ln (−x)]′ =(−x)′
−x=
−1−x
=1x
.
Assim, uma primitiva da função f(x) =1x
em R \ {0} é a função ln |x|. No
entanto, as funções do tipoln |x| + c
não nos dão todas as primitivas de f(x) =1x
. Para obtermos todas as
primitivas de f temos de considerar todas as funções da forma{
ln x + c1 se x > 0;ln (−x) + c2 se x < 0.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 313 / 590
§4.1 Primitivas imediatas
Por uma questão de simplicidade passamos a representar todas asfunções da forma
{
ln x + c1 se x > 0;
ln (−x) + c2 se x < 0.
porln |x| + c,
ou seja,∫
1x
dx = ln |x| + c.
O que foi feito relativamente à função
f(x) =1x
será feito relativamente a todas as funções cujo domínio é a reunião deintervalos disjuntos dois a dois.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 314 / 590
§4.1 Primitivas imediatas
∫
xα dx =xα+1
α + 1+ c
α 6= −1
∫
u′(x) [u(x)]α dx =[u(x)]α+1
α + 1+ c
α 6= −1
∫
1x
dx = ln |x| + c
∫
u′(x)u(x)
dx = ln |u(x)| + c
∫
ex dx = ex +c
∫
u′(x) eu(x) dx = eu(x) +c
∫
sen x dx = − cos x + c
∫
u′(x) sen [u(x)] dx = − cos [u(x)] + c
∫
cos x dx = sen x + c
∫
u′(x) cos [u(x)] dx = sen [u(x)] + c
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 315 / 590
§4.1 Primitivas imediatas
∫
1cos2 x
dx = tg x + c
∫
u′(x)cos2 [u(x)]
dx = tg [u(x)] + c
∫
1sen2 x
dx = − cotg x + c
∫
u′(x)sen2 [u(x)]
dx = − cotg [u(x)] + c
∫
senh x dx = cosh x + c
∫
u′(x) senh [u(x)] dx = cosh [u(x)]+c
∫
cosh x dx = senh x + c
∫
u′(x) cosh [u(x)] dx = senh [u(x)]+c
∫
1√1 − x2
dx = arc sen x + c
∫
u′(x)√
1 − [u(x)]2dx = arc sen [u(x)] + c
∫
11 + x2
dx = arc tg x + c
∫
u′(x)
1 + [u(x)]2dx = arc tg [u(x)] + c
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 316 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 PrimitivasPrimitivas imediatasPrimitivação por partesPrimitivação por substituiçãoPrimitivas de funções racionais
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 317 / 590
§4.2 Primitivação por partes
Sejam I um intervalo ef, g : I → R
duas funções diferenciáveis em I. Como
[f(x) g(x)]′ = f ′(x) g(x) + f(x) g′(x)
tem-sef ′(x) g(x) = [f(x) g(x)]′ − f(x) g′(x).
Assim, f ′ g é primitivável se e só se f g′ o é e∫
f ′(x) g(x) dx =∫
[f(x) g(x)]′ dx −∫
f(x) g′(x) dx,
ou seja,∫
f ′(x) g(x) dx = f(x) g(x) −∫
f(x) g′(x) dx
que é a fórmula de primitivação por partes.António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 318 / 590
§4.2 Primitivação por partes
Exemplos de primitivação por partes
a) Calculemos por partes∫
x sen x dx:∫
x sen x dx =x2
2sen x −
∫
x2
2(sen x)′
dx
=x2
2sen x −
∫
x2
2cos x dx.
A primitiva que agora temos de calcular é mais complicada do que ainicial. No entanto, trocando os papeis das funções temos
∫
x sen x dx = (− cos x) x −∫
(− cos x) x′ dx
= −x cos x −∫
(− cos x) dx
= −x cos x +∫
cos x dx
= −x cos x + sen x + c.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 319 / 590
§4.2 Primitivação por partes
Exemplos de primitivação por partes (continuação)
b) Para primitivarmos a função ln x temos de primitivar por partes:∫
ln x dx =∫
1 . ln x dx
= x ln x −∫
x (ln x)′ dx
= x ln x −∫
x1x
dx
= x ln x −∫
1 dx
= x ln x − x + c
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 320 / 590
§4.2 Primitivação por partes
Exemplos de primitivação por partes (continuação)
c) Vejamos como primitivar a função arc tg x:∫
arc tg x dx =∫
1. arc tg x dx
= x arc tg x −∫
x (arc tg x)′ dx
= x arc tg x −∫
x1
1 + x2dx
= x arc tg x −∫
x
1 + x2dx
= x arc tg x − 12
∫
2x
1 + x2dx
= x arc tg x − 12
ln∣
∣
∣1 + x2∣
∣
∣+ c
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 321 / 590
§4.2 Primitivação por partes
Exemplos de primitivação por partes (continuação)
d) A primitiva de arc sen x calcula-se de forma semelhante:∫
arc sen x dx =∫
1 . arc sen x dx
= x arc sen x −∫
x (arc sen x)′ dx
= x arc sen x −∫
x1√
1 − x2dx
= x arc sen x −∫
x√1 − x2
dx
= x arc sen x +∫ −2x
2√
1 − x2dx
= x arc sen x +√
1 − x2 + c
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 322 / 590
§4.2 Primitivação por partes
Exemplos de primitivação por partes (continuação)
e) Primitivando por partes a função sen2 x temos∫
sen2 x dx =∫
sen x sen x dx
= − cos x sen x −∫
− cos x (sen x)′ dx
= − cos x sen x −∫
− cos x cos x dx
= − sen x cos x +∫
cos2 x dx
= − sen x cos x +∫
1 − sen2 x dx
= − sen x cos x + x −∫
sen2 x dx.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 323 / 590
§4.2 Primitivação por partes
Exemplos de primitivação por partes (continuação)
e) (continuação) Fazendo I =∫
sen2 x dx em∫
sen2 x dx = − sen x cos x + x −∫
sen2 x dx
tem-seI = − sen x cos x + x − I
o que implica2I = − sen x cos x + x
e, portanto,I = −sen x cos x
2+
x
2.
Assim,∫
sen2 x dx = −sen x cos x
2+
x
2+ c.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 324 / 590
§4.2 Primitivação por partes
Exemplos de primitivação por partes (continuação)
f) Primitivemos por partes a função ex sen x:∫
ex sen x dx = ex sen x −∫
ex(sen x)′ dx
= ex sen x −∫
ex cos x dx
= ex sen x −(
ex cos x −∫
ex(cos x)′ dx
)
= ex sen x − ex cos x +∫
ex(− sen x) dx
= ex sen x − ex cos x −∫
ex sen x dx
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 325 / 590
§4.2 Primitivação por partes
Exemplos de primitivação por partes (continuação)
f) (continuação) De∫
ex sen x dx = ex sen x − ex cos x −∫
ex sen x dx
concluímos que
2∫
ex sen x dx = ex sen x − ex cos x
e, portanto,∫
ex sen x dx =ex
2(sen x − cos x) + c.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 326 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 PrimitivasPrimitivas imediatasPrimitivação por partesPrimitivação por substituiçãoPrimitivas de funções racionais
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 327 / 590
§4.3 Primitivação por substituição
Sejam I e J dois intervalos de R, f : I → R uma função primitivável eϕ : J → I uma função bijectiva e diferenciável e tal que ϕ′(t) 6= 0 paracada t ∈ J . Suponhamos que F : I → R é uma primitiva de f . Como
(F ◦ ϕ)′ (t) = F ′ (ϕ(t)) ϕ′(t) = f (ϕ(t)) ϕ′(t)
F ◦ ϕ é uma primitiva de (f ◦ ϕ) ϕ′. Assim, para calcularmos asprimitivas de f(x) basta calcularmos as primitivas de f (ϕ(t)) ϕ′(t) edepois fazer a mudança de variável t = ϕ−1(x), ou seja,
∫
f(x) dx =∫
f(ϕ(t)) ϕ′(t) dt
∣
∣
∣
∣t=ϕ−1(x).
Para primitivarmos por substituição usamos a notação
dx = ϕ′(t)dt.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 328 / 590
§4.3 Primitivação por substituição
Exemplos de primitivação por substituição
a) Para calcularmos∫
√
a2 − x2 dx, a > 0, fazemos a substituição
x = a sen t
e, portanto,dx = (a sen t)′ dt = a cos t dt
o que dá∫
√
a2 − x2 dx =∫
√
a2 − a2 sen2 t a cos t dt
=∫
√
a2(1 − sen2 t) a cos t dt
=∫ √
a2 cos2 t a cos t dt
=∫
a cos t a cos t dt
= a2
∫
cos2 t dt.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 329 / 590
§4.3 Primitivação por substituição
Exemplos de primitivação por substituição (continuação)
a) (continuação) Primitivando por partes∫
cos2 t dt temos∫
cos2 t dt =∫
cos t cos t dt
= sen t cos t −∫
sen t (− sen t) dt
= sen t cos t +∫
1 − cos2 t dt
= sen t cos t + t −∫
cos2 t dt
e, portanto,
2∫
cos2 t dt = sen t cos t + t
o que implica∫
cos2 t dt =sen t cos t
2+
t
2+ c
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 330 / 590
§4.3 Primitivação por substituição
Exemplos de primitivação por substituição (continuação)
a) (continuação) Assim,∫
√
a2 − x2 dx = a2∫
cos2 t dt
= a2 sen t cos t
2+ a2 t
2+ c
e atendendo a quex = a sen t,
resultat = arcsen
x
a
o que dá∫
√
a2 − x2 dx =ax
2cos
(
arc senx
a
)
+a2
2arc sen
x
a+ c
=x
2
√
a2 − x2 +a2
2arc sen
x
a+ c
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 331 / 590
§4.3 Primitivação por substituição
Exemplos de primitivação por substituição (continuação)
b) Para calcularmos a primitiva∫
1
x2√
1 − x2dx
fazemos a substituiçãox = sen t
o que dá
dx = (sen t)′ dt
= cos t dt.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 332 / 590
§4.3 Primitivação por substituição
Exemplos de primitivação por substituição (continuação)
b) (continuação) Assim,∫
1
x2√
1 − x2dx =
∫
1
sen2 t√
1 − sen2 tcos t dt
=∫
1sen2 t cos t
cos t dt
=∫
1sen2 t
dt
= − cotg t + c
= − cotg(arc sen x) + c
= −√
1 − x2
x+ c
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 333 / 590
§4.3 Primitivação por substituição
Exemplos de primitivação por substituição (continuação)
c) Se quisermos calcular a primitiva∫
1
(1 + x2)√
1 + x2dx
fazemos a substituição x = tg t e, portanto, dx =1
cos2 tdt, o que dá
∫
1
(1 + x2)√
1 + x2dx =
∫
1(
1 + tg2 t)
√
1 + tg2 t
1cos2 t
dt
=∫
11
cos2 t
√
1cos2 t
1cos2 t
dt
=∫
cos t dt = sen t + c
= sen (arc tg x) + c =x√
1 + x2+ c
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 334 / 590
§4.3 Primitivação por substituição
Exemplos de primitivação por substituição (continuação)
d) Calculemos∫
1
x2√
x2 + 4dx,
usando a substituiçãox = 2 tg t.
Entãodx = (2 tg t)′ dt =
2cos2 t
dt.
Além disso,
√
x2 + 4 =√
(2 tg t)2 + 4 =√
4 tg2 t + 4
=√
4(
tg2 t + 1)
= 2
√
1cos2 t
=2
cos t
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 335 / 590
§4.3 Primitivação por substituição
Exemplos de primitivação por substituição (continuação)
d) (continuação) Assim,∫
1
x2√
x2 + 4dx =
∫
1
4 tg2 t2
cos t
2cos2 t
dt =14
∫
1sen2 t
cos2 t
1cos t
dt
=14
∫
cos t sen−2 t dt =14
sen−1 t
−1+ c
= − 14 sen t
+ c = − 14 sen (arc tg x/2)
+ c
= −√
x2 + 44x
+ c
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 336 / 590
§4.3 Primitivação por substituição
Exemplos de primitivação por substituição (continuação)
e) Calculemos a seguinte primitiva∫
1
x2√
x2 − 1dx,
fazendo a substituição
x = sec t =1
cos t
e, portanto,
dx =(
1cos t
)′dt =
sen t
cos2 tdt.
Além disso,
√
x2 − 1 =
√
1cos2 t
− 1 =√
tg2 t = tg t.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 337 / 590
§4.3 Primitivação por substituição
Exemplos de primitivação por substituição (continuação)
e) (continuação) Assim,∫
1
x2√
x2 − 1dx =
∫
11
cos2 ttg t
sen t
cos2 tdt
=∫
cos t dt
= sen t + c
= sen(
arccos1x
)
+ c
=
√x2 − 1
x+ c
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 338 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 PrimitivasPrimitivas imediatasPrimitivação por partesPrimitivação por substituiçãoPrimitivas de funções racionais
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 339 / 590
§4.4 Primitivas de funções racionais
Uma função racional é uma função f : D → R definida por
f(x) =P (x)Q(x)
onde P e Q são polinómios e D = {x ∈ R : Q(x) 6= 0}. Assumimos queP e Q não têm zeros (reais ou complexos) comuns. Se o grau de P émaior ou igual do que o grau de Q, então fazendo a divisão de P por Qtemos
P (x) = D(x)Q(x) + R(x)
e, portanto,P (x)Q(x)
= D(x) +R(x)Q(x)
onde D e R são polinómios e o grau de R é menor do que o grau de Q.Assim, para primitivarmos as funções racionais basta sabermosprimitivar as funções racionais onde o grau do numerador é menor doque o grau do denominador.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 340 / 590
§4.4 Primitivas de funções racionais
Sejam P e Q dois polinómios com o grau de P menor do que o grau deQ e sem zeros (reais ou complexos) em comum. Então
Q(x) = (x − a1)n1 . . . (x − ak)nk
[
(x − α1)2 + β21
]m1
. . .[
(x − αl)2 + β2
l
]ml
onde os zeros reais de Q são
a1, . . . , ak com multiplicidades n1, . . . , nk,
respectivamente, e os zeros complexos de Q são
α1 + β1i, . . . , αl + βli com multiplicidades m1, . . . , ml,
respectivamente, e
α1 − β1i, . . . , αl − βli com multiplicidades m1, . . . , ml,
respectivamente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 341 / 590
§4.4 Primitivas de funções racionais
Além disso, existem números reais A′s, B′s e C ′s tais que
P (x)Q(x)
=A1,1
x − a1+ · · · +
A1,n1
(x − a1)n1+
+ · · · +Ak,1
x − ak+ · · · +
Ak,nk
(x − ak)nk+
+B1,1x + C1,1
(x − α1)2 + β21
+ · · · +B1,m1x + C1,m1
[
(x − α1)2 + β21
]m1+
+ · · · +Bl,1x + Cl,1
(x − αl)2 + β2
l
+ · · · +Bl,m1x + Cl,ml
[
(x − αl)2 + β2
l
]ml,
ou seja,
P (x)Q(x)
=k∑
i=1
ni∑
j=1
Ai,j
(x − ai)j +
l∑
i=1
ml∑
j=1
Bi,jx + Ci,j[
(x − αi)2 + β2
i
]j .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 342 / 590
§4.4 Primitivas de funções racionais
Exemplos de primitivação de funções racionais
a) Calculemos∫
x2
x2 − 1dx.
Fazendo a divisão de x2 por x2 − 1 temosx2 +0x +0 | x2 +0x −1
−x2 −0x +1 1
+0x +1e, portanto,
x2
x2 − 1= 1 +
1x2 − 1
.
Agora precisamos de factorizar o denominador. Para isso basta terem conta que zeros do denominador que são 1 e −1.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 343 / 590
§4.4 Primitivas de funções racionais
Exemplos de primitivação de funções racionais (continuação)
a) (continuação) Então existem números reais A e B tais que
1x2 − 1
=1
(x − 1)(x + 1)=
A
x − 1+
B
x + 1
e, portanto,1
x2 − 1=
A(x + 1) + B(x − 1)(x − 1) (x + 1)
,
pelo queA(x + 1) + B(x − 1) = 1.
Fazendo x = −1 resulta que B = − 1/2 e fazendo x = 1 tem-seA = 1/2, ou seja,
1x2 − 1
=1/2
x − 1− 1/2
x + 1.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 344 / 590
§4.4 Primitivas de funções racionais
Exemplos de primitivação de funções racionais (continuação)
a) (continuação) Assim,
∫
x2
x2 − 1dx =
∫
1 +1
x2 − 1dx
=∫
1 +1/2
x − 1+
−1/2x + 1
dx
=∫
1 dx +12
∫
1x − 1
dx − 12
∫
1x + 1
dx
= x +12
ln |x − 1| − 12
ln |x + 1| + c.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 345 / 590
§4.4 Primitivas de funções racionais
Exemplos de primitivação de funções racionais (continuação)
b) Consideremos a função f definida por
f(x) =x + 1
x3 (x2 + 1).
Então temos de ter
f(x) =x + 1
x3 (x2 + 1)=
A
x3+
B
x2+
C
x+
Dx + E
x2 + 1
e, portanto,
A(
x2 + 1)
+ Bx(
x2 + 1)
+ Cx2(
x2 + 1)
+ (Dx + E) x3
x3 (x2 + 1)=
x + 1x3 (x2 + 1)
,
o que implica
A(
x2 + 1)
+ Bx(
x2 + 1)
+ Cx2(
x2 + 1)
+ (Dx + E) x3 = x + 1.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 346 / 590
§4.4 Primitivas de funções racionais
Exemplos de primitivação de funções racionais (continuação)
b) (continuação) Fazendo x = 0 em
A(
x2 + 1)
+ Bx(
x2 + 1)
+ Cx2(
x2 + 1)
+ (Dx + E) x3 = x + 1.
temos A = 1 e fazendo x = i tem-se
(Di + E) i3 = i + 1 ⇔ (Di + E) (−i) = 1 + i ⇔ D − Ei = 1 + i
o que implica D = 1 e E = −1. Fazendo x = 1 obtemos
2A + 2B + 2C + D + E = 2 ⇔ 2 + 2B + 2C + 1 − 1 = 2 ⇔ B + C = 0
e fazendo x = −1 resulta
2A − 2B + 2C + D − E = 0 ⇔ 2 − 2B + 2C + 1 − (−1) = 0
⇔ −2B + 2C = −4
⇔ −B + C = −2,
o que dá o sistema{
B + C = 0
−B + C = −2⇔
{
B = −C
C + C = −2⇔
{
B = 1
C = −1
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 347 / 590
§4.4 Primitivas de funções racionais
Exemplos de primitivação de funções racionais (continuação)
b) (continuação) Assim,x + 1
x3 (x2 + 1)=
1x3
+1x2
− 1x
+x − 1x2 + 1
pelo que∫
x + 1x3 (x2 + 1)
dx
=∫
1x3
dx +∫
1x2
dx −∫
1x
dx +∫
x − 1x2 + 1
dx
=∫
x−3 dx +∫
x−2 dx −∫
1x
dx +12
∫
2x
x2 + 1dx −
∫
1x2 + 1
dx
=x−2
−2+
x−1
−1− ln |x| +
12
ln(
x2 + 1)
− arc tg x + c
= − 12x2
− 1x
− ln |x| +12
ln(
x2 + 1)
− arc tg x + c
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 348 / 590
§4.4 Primitivas de funções racionais
Tendo em conta a decomposição que obtivemos, para primitivarmosfunções racionais basta sabermos calcular as seguintes primitivas
∫
A
(x − a)kdx
e∫
Bx + C[
(x − α)2 + β2]k
dx,
onde A, B, C, a, α ∈ R, β ∈ R \ {0} e k ∈ N.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 349 / 590
§4.4 Primitivas de funções racionais
A primeira primitiva é bastante simples de calcular pois quando k = 1temos
∫
A
x − adx = A
∫
1x − a
dx = A ln |x − a| + c
e quando k > 1 vem∫
A
(x − a)kdx = A
∫
(x − a)−k dx
= A(x − a)−k+1
−k + 1+ c
= − A
k − 11
(x − a)k−1+ c.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 350 / 590
§4.4 Primitivas de funções racionais
Para as funções do tipoBx + C
(x − α)2 + β2
fazendo a mudança de variável x = α + βt tem-se dx = βdt e
∫
Bx + C
(x − α)2 + β2dx =
∫
B (α + βt) + C
β2t2 + β2β dt
=∫
βBt + αB + C
β2 (t2 + 1)β dt
=B
2
∫
2t
t2 + 1dt +
αB + C
β
∫
1t2 + 1
dt
=B
2ln∣
∣
∣t2 + 1∣
∣
∣+αB + C
βarc tg t + c
=B
2ln
∣
∣
∣
∣
∣
(
x − α
β
)2
+ 1
∣
∣
∣
∣
∣
+αB + C
βarc tg
x − α
β+ c
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 351 / 590
§4.4 Primitivas de funções racionais
Usando a mesma mudança de variável x = α + βt, pelo que dx = βdt, vem∫
Bx + C[
(x − α)2 + β2]k
dx =∫
B (α + βt) + C
(β2t2 + β2)kβ dt
=∫
βBt + αB + C
β2k (t2 + 1)kβ dt
=B
2β2k−2
∫
2t
(t2 + 1)kdt +
αB + C
β2k−1
∫
1
(t2 + 1)kdt
=B
2β2k−2
∫
2t(
t2 + 1)−k
dt +αB + C
β2k−1
∫
1
(t2 + 1)kdt
=B
2β2k−2
(
t2 + 1)−k+1
−k + 1+
αB + C
β2k−1
∫
1
(t2 + 1)kdt
e, portanto, temos de saber calcular
Ik =∫
1
(t2 + 1)kdt.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 352 / 590
§4.4 Primitivas de funções racionais
Para isso temos
Ik =
∫
1
(t2 + 1)kdt =
∫
t2 + 1 − t2
(t2 + 1)kdt =
∫
1
(t2 + 1)k−1dt −
∫
t2
(t2 + 1)kdt
= Ik−1 −1
2
∫
2t(
t2 + 1)
−kt dt
= Ik−1 −1
2
[
(
t2 + 1)
−k+1
−k + 1t −
∫
(
t2 + 1)
−k+1
−k + 11 dt
]
= Ik−1 −1
2
[
1
1 − k
t
(t2 + 1)k−1−
1
1 − k
∫
1
(t2 + 1)k−1dt
]
= Ik−1 +1
2k − 2
t
(t2 + 1)k−1+
1
2 − 2kIk−1
=3 − 2k
2 − 2kIk−1 +
1
2k − 2
t
(t2 + 1)k−1
o que dá uma fórmula por recorrência para calcular primitivas do tipo∫
1
(t2 + 1)kdt.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 353 / 590
§4.4 Primitivas de funções racionais
Primitivação de funções racionais – resumo
Para primitivarmos uma função racionalP (x)Q(x)
, com P e Q polinómios sem
zeros (reais ou complexos) comuns, devemos fazer o seguinte:
1) se o grau de P é maior ou igual do que o grau de Q, fazemos a divisão de
P por Q. Deste modoP (x)Q(x)
é igual à soma de um polinómio com uma
função racional em que o grau do numerador é menor do que o grau dodenominador;
2) factorizar Q(x) como o produto de factores da forma
x − a ou (x − α)2 + β2,
agrupando os factores repetidos de modo que fiquemos com factoresdiferentes da forma
(x − a)n ou[
(x − α)2 + β2]m
,
com n, m ∈ N;
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 354 / 590
§4.4 Primitivas de funções racionais
Primitivação de funções racionais – resumo (continuação)
3) decompor a função racional (a que obtivemos na divisão ou a inical, casonão tenha sido necessário fazer a divisão) numa soma de parcelas da forma
A1
(x − a)n+
A2
(x − a)n−1+ · · · +
An−1
(x − a)2+
An
(x − a),
por cada factor
(x − a)n, n ∈ N
que aparece na factorização de Q(x), e da forma
B1x + C1
[(x − α)2 + β2]m+
B2x + C2
[(x − α)2 + β2]m−1+ · · ·+
Bm−1x + Cm−1
[(x − α)2 + β2]2+
Bmx + Cm
(x − α)2 + β2,
por cada factor[
(x − α)2 + β2]m
, m ∈ N
que aparece na factorização de Q(x) e onde cada Ak, cada Bk e cada Ck éum número real;
4) primitivar cada uma das parcelas obtidas na decomposição.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 355 / 590
§4.4 Primitivas de funções racionais
Exemplo de primitivação de uma função racional
Calculemos a primitiva∫
3x5 + 3x4 + 6x3 + 6x2 + x + 2
x2(x2 + 1)2dx.
Pelo que vimos anteriormente temos de fazer a seguinte decomposição
3x5 + 3x4 + 6x3 + 6x2 + x + 2
x2(x2 + 1)2=
A
x2+
B
x+
Cx + D
(x2 + 1)2+
Ex + F
x2 + 1.
Assim, temos
A(x2 + 1)2 + Bx(x2 + 1)2 + (Cx + D)x2 + (Ex + F )x2(x2 + 1)
= 3x5 + 3x4 + 6x3 + 6x2 + x + 2
donde
A(x4 + 2x2 + 1) + B(x5 + 2x3 + x) + Cx3 + Dx2 + E(x5 + x3) + F (x4 + x2)
= 3x5 + 3x4 + 6x3 + 6x2 + x + 2
e, portanto,
(B + E)x5 + (A + F )x4 + (2B + C + E)x3 + (2A + D + F )x2 + Bx + A
= 3x5 + 3x4 + 6x3 + 6x2 + x + 2.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 356 / 590
§4.4 Primitivas de funções racionais
Exemplo de primitivação de uma função racional (continuação)
Assim, de
(B + E)x5 + (A + F )x4 + (2B + C + E)x3 + (2A + D + F )x2 + Bx + A
= 3x5 + 3x4 + 6x3 + 6x2 + x + 2
resulta
B + E = 3
A + F = 3
2B + C + E = 6
2A + D + F = 6
B = 1
A = 2
⇔
E = 2
F = 1
C = 2
D = 1
B = 1
A = 2
pelo que
3x5 + 3x4 + 6x3 + 6x2 + x + 2
x2(x2 + 1)2=
2
x2+
1
x+
2x + 1
(x2 + 1)2+
2x + 1
x2 + 1.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 357 / 590
§4.4 Primitivas de funções racionais
Exemplo de primitivação de uma função racional (continuação)
Deste modo∫
3x5 + 3x4 + 6x3 + 6x2 + x + 2
x2(x2 + 1)2dx
=
∫
2
x2+
1
x+
2x + 1
(x2 + 1)2+
2x + 1
x2 + 1dx
= 2
∫
x−2 dx +
∫
1
xdx +
∫
2x(x2 + 1)−2 dx +
∫
1
(x2 + 1)2dx
+
∫
2x
x2 + 1dx +
∫
1
x2 + 1dx
= 2x−1
−1+ ln |x| +
(x2 + 1)−1
−1+
∫
1
(x2 + 1)2dx + ln |x2 + 1| + arc tg x
= −2
x+ ln |x| −
1
x2 + 1+
∫
1
(x2 + 1)2dx + ln |x2 + 1| + arc tg x.
Falta calcular∫
1
(x2 + 1)2dx.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 358 / 590
§4.4 Primitivas de funções racionais
Exemplo de primitivação de uma função racional (continuação)∫
1
(x2 + 1)2 dx =∫
x2 + 1 − x2
(x2 + 1)2 dx
=∫
x2 + 1
(x2 + 1)2 dx −∫
x2
(x2 + 1)2 dx
=∫
1x2 + 1
dx − 12
∫
2x(
x2 + 1)−2
x dx
= arc tg x − 12
[
(
x2 + 1)−1
−1x −
∫
(
x2 + 1)−1
−11 dx
]
= arc tg x − 12
[
− x
x2 + 1+∫
1x2 + 1
dx
]
= arc tg x +12
x
x2 + 1− 1
2arc tg x + c
=12
arc tg x +12
x
x2 + 1+ c
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 359 / 590
§4.4 Primitivas de funções racionais
Exemplo de primitivação de uma função racional (continuação)
Tendo em conta que∫
1
(x2 + 1)2 dx =12
arc tg x +12
x
x2 + 1+ c,
tem-se∫
3x5 + 3x4 + 6x3 + 6x2 + x + 2x2(x2 + 1)2
dx
= − 2x
+ ln |x| − 1x2 + 1
+∫
1(x2 + 1)2
dx + ln |x2 + 1| + arc tg x
= − 2x
+ ln |x| − 1x2 + 1
+12
arc tg x +12
x
x2 + 1+ ln |x2 + 1| + arc tg x + c
= − 2x
+ ln |x| − 1x2 + 1
+12
x
x2 + 1+ ln |x2 + 1| +
32
arc tg x + c
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 360 / 590
§4.4 Primitivas de funções racionais
Exemplo de primitivação de uma função racional (continuação)
Fazendo a substituição x = tg t, podemos calcular∫
1(x2 + 1)2
dx de outro
modo. Assim, tendo em conta que dx =1
cos2 tdt, temos
∫
1(x2 + 1)2
dx =∫
1(tg2 t + 1)2
1cos2 t
dt =∫
1(1/ cos2 t)2
1cos2 t
dt
=∫
cos2 t dt =∫
cos(2t) + 12
dt =14
∫
2 cos(2t) dt +12
∫
1 dt
=14
sen(2t) +t
2+ c =
sen t cos t
2+
t
2+ c
=sen(arc tg x) cos(arc tg x)
2+
arc tg x
2+ c
=12
x
x2 + 1+
12
arc tg x + c
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 361 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplosTeorema Fundamental do CálculoIntegração por partes e integração por substituiçãoAplicações do cálculo integralIntegrais impróprios
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 362 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplosTeorema Fundamental do CálculoIntegração por partes e integração por substituiçãoAplicações do cálculo integralIntegrais impróprios
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 363 / 590
§5.1 Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplos
Seja [a, b] um intervalo de R com mais do que um ponto, ou seja, a < b.Chama-se partição de [a, b] a todo o subconjunto
P = {x0, x1, . . . , xn−1, xn}
coma = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 364 / 590
§5.1 Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplos
Sejaf : [a, b] → R
uma função limitada. Para cada partição
P = {x0, x1, . . . , xn−1, xn}
de [a, b], usa-se a notação
mi = mi(f, P ) = inf {f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}
eMi = Mi(f, P ) = sup {f(x) : x ∈ [xi−1, xi]} ,
i = 1, . . . , n.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 365 / 590
§5.1 Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplos
Designa-se por soma inferior da função f relativa à partição P aonúmero
s(f, P ) =n∑
i=1
mi(f, P ) (xi − xi−1) .
Do mesmo modo, chamamos soma superior da função f relativa àpartição P ao número
S(f, P ) =n∑
i=1
Mi(f, P ) (xi − xi−1) .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 366 / 590
§5.1 Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplos
x
y
a b
b
b
qx0
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7q
x8
m1 b
bm2=m4=m8
b
b
m3
m5
m6
m7
b
b
Interpretação geométrica das somas inferioresde uma função f : [a, b] → R
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 367 / 590
§5.1 Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplos
x
y
a b
b
b
qx0
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7q
x8
b
b
Interpretação geométrica das somas superioresde uma função f : [a, b] → R
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 368 / 590
§5.1 Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplos
Exemplos de somas superiores e de somas inferiores
a) Consideremos a função f : [a, b] → R a função definida por f(x) = c,c ∈ R. Dada uma partição P = {x0, x1, . . . , xn−1, xn} de [a, b], temos
mi(f, P ) = c e Mi(f, P ) = c
e, portanto,
s(f, P ) =n∑
i=1
mi(f, P ) (xi − xi−1) =n∑
i=1
c (xi − xi−1)
= c
n∑
i=1
(xi − xi−1) = c (b − a)
e
S(f, P ) =n∑
i=1
Mi(f, P ) (xi − xi−1) =n∑
i=1
c (xi − xi−1)
= c
n∑
i=1
(xi − xi−1) = c (b − a).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 369 / 590
§5.1 Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplos
Exemplos de somas superiores e de somas inferiores (continuação)
b) Seja f : [0, 1] → R a função definida por
f(x) =
{
0 se x ∈ [0, 1] ∩ Q,
1 se x ∈ [0, 1] ∩ (R \ Q) .
Dada uma partição P de [0, 1], atendendo a que
mi(f, P ) = 0 e Mi(f, P ) = 1,
temos ques(f, P ) = 0 e S(f, P ) = 1.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 370 / 590
§5.1 Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplos
Uma função f : [a, b] → R diz-se integrável à Riemann em [a, b] se esó se existir um e um só número A tal que
s(f, P ) 6 A 6 S(f, P ) para qualquer partição P de [a, b].
O único número A que verifica a desigualdade anterior designa-se porintegral de Riemann de f em [a, b] e representa-se por
∫ b
af(x) dx.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 371 / 590
§5.1 Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplos
Exemplos do integral de Riemann
a) Consideremos novamente a função f : [a, b] → R definida porf(x) = c. Já vimos que para qualquer partição P de [a, b] tem-se
s(f, P ) = c (b − a) = S(f, P ).
Assim,
s(f, P ) 6 c (b − a) 6 S(f, P ) para qualquer partição P de [a, b]
e
c (b − a)
é o único número real que verifica as estas desigualdades. Logo f éintegrável à Riemann em [a, b] e
∫ b
af(x) dx = c (b − a).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 372 / 590
§5.1 Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplos
Exemplos do integral de Riemann (continuação)
b) Já vimos que para a função f : [0, 1] → R, definida por
f(x) =
{
0 se x ∈ [0, 1] ∩ Q,
1 se x ∈ [0, 1] ∩ (R \ Q) ,
se tems(f, P ) = 0 e S(f, P ) = 1
qualquer que seja a partição P de [0, 1]. Portanto, se A ∈ [0, 1]tem-se
0 = s(f, P ) 6 A 6 S(f, P ) = 1
para qualquer partição P de [0, 1], o que mostra que f não éintegrável à Riemann em [0, 1].
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 373 / 590
§5.1 Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplos
Propriedades dos integrais
Sejam a e b números reais tais que a < b.
a) Sef, g : [a, b] → R
são funções integráveis em [a, b], então f + g é integrável em [a, b] e∫ b
a[f(x) + g(x)] dx =
∫ b
af(x) dx +
∫ b
ag(x) dx.
b) Se λ é um número real e
f : [a, b] → R
é uma função integrável em [a, b], então λ f é integrável em [a, b] e∫ b
aλ f(x) dx = λ
∫ b
af(x) dx.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 374 / 590
§5.1 Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplos
Propriedades dos integrais (continuação)
c) Se a, b e c são números reais tais que a < c < b e
f : [a, b] → R
uma função limitada, então f é integrável em [a, b] se e só se f é integrávelem [a, c] e em [c, b]. Além disso,
∫ b
a
f(x) dx =∫ c
a
f(x) dx +∫ b
c
f(x) dx.
d) Se
f, g : [a, b] → R
são duas funções integráveis em [a, b] tais que
f(x) 6 g(x) para cada x ∈ [a, b],
então∫ b
a
f(x) dx 6
∫ b
a
g(x) dx.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 375 / 590
§5.1 Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplos
Propriedades dos integrais (continuação)
e) Sejaf : [a, b] → R
uma função integrável. Então |f | é integrável em [a, b] e∣
∣
∣
∣
∣
∫ b
af(x) dx
∣
∣
∣
∣
∣
6
∫ b
a|f(x)| dx.
f) Toda a função contínua f : [a, b] → R é integrável em [a, b].
g) Toda a função monótona f : [a, b] → R é integrável em [a, b].
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 376 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplosTeorema Fundamental do CálculoIntegração por partes e integração por substituiçãoAplicações do cálculo integralIntegrais impróprios
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 377 / 590
§5.2 Teorema Fundamental do Cálculo
No que se segue vamos fazer as seguintes convenções∫ a
af(x) dx = 0
e∫ a
bf(x) dx = −
∫ b
af(x) dx.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 378 / 590
§5.2 Teorema Fundamental do Cálculo
Teorema Fundamental do Cálculo
Sejam a, b ∈ R tais que a < b e
f : [a, b] → R
uma função integrável. Então a função
F : [a, b] → R
definida por
F (x) =∫ x
af(t) dt
é contínua em [a, b]. Além disso, se f é contínua num ponto c ∈ [a, b],então F é diferenciável em c e
F ′(c) = f(c).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 379 / 590
§5.2 Teorema Fundamental do Cálculo
Corolário do Teorema Fundamental do Cálculo
Se a e b são números reais tais que a < b e
f : [a, b] → R
é uma função contínua, então f é primitivável. Além disso, se
F : [a, b] → R
é uma primitiva de f , então
∫ b
af(x) dx = F (b) − F (a).
Esta última igualdade designa-se por fórmula de Barrow.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 380 / 590
§5.2 Teorema Fundamental do Cálculo
A fórmula de Barrow costuma usar-se a seguinte notação
[
F (x)]b
a= F (b) − F (a).
Vejamos que a fórmula de Barrow é válida em condições mais gerais:
Fórmula de Barrow
Sejam a e b números reais tais que a < b e
f : [a, b] → R
uma função integrável à Riemann em [a, b] e primitivável em [a, b].Então, representando por F uma primitiva de f , tem-se
∫ b
af(x) dx =
[
F (x)]b
a= F (b) − F (a).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 381 / 590
§5.2 Teorema Fundamental do Cálculo
Exemplos
a) Calculemos∫ 1
0x2 dx.
Pelo que vimos anteriormente, para calcularmos o integral dado,basta termos uma primitiva da função
f(x) = x2.
Como uma primitiva de f é a função dada por
F (x) =x3
3,
temos∫ 1
0x2 dx =
[
x3
3
]1
0
=13
3− 03
3=
13
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 382 / 590
§5.2 Teorema Fundamental do Cálculo
Exemplos (continuação)
b) Calculemos agora∫ π/2
0
sen x dx. Então∫ π/2
0
sen x dx =[
− cos x]π/2
0
= − cosπ
2− (− cos 0)
= 0 − (−1)
= 1.
c) Obviamente também se tem∫ π/2
0
cos x dx =[
sen x]π/2
0
= senπ
2− sen 0
= 1 − 0
= 1.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 383 / 590
§5.2 Teorema Fundamental do Cálculo
Exemplos (continuação)
d) ∫ 2
1
1x3
dx =∫ 2
1x−3 dx
=
[
x−2
−2
]2
1
=[
− 12x2
]2
1
= − 12 . 22
−(
− 12 . 12
)
= −18
+12
=38
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 384 / 590
§5.2 Teorema Fundamental do Cálculo
Exemplos (continuação)
e) ∫
√3
0
1√4 − x2
dx =12
∫
√3
0
1√
1 − x2/4dx
=12
∫
√3
0
1√
1 − (x/2)2dx
=∫
√3
0
1/2√
1 − (x/2)2dx
=[
arc senx
2
]
√3
0
= arcsen
√3
2− arc sen
02
=π
3− 0 =
π
3
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 385 / 590
§5.2 Teorema Fundamental do Cálculo
Exemplos (continuação)
f) ∫3√2
0
x2
4 + x6dx =
14
∫3√2
0
x2
1 + x6/4dx =
14
∫3√2
0
x2
1 + (x3/2)2dx
=14
23
∫3√2
0
3x2/21 + (x3/2)2
dx =16
[
arc tgx3
2
]
3√2
0
=16
[
arc tg( 3√
2)3
2− arc tg
03
2
]
=16
[arc tg 1 − arc tg 0]
=16
(
π
4− 0
)
=π
24
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 386 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplosTeorema Fundamental do CálculoIntegração por partes e integração por substituiçãoAplicações do cálculo integralIntegrais impróprios
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 387 / 590
§5.3 Integração por partes e integração por substituição
Integração por partes
Sejam a e b números reais tais a < b e
f, g : [a, b] → R
funções diferenciáveis com derivadas integráveis. Então
∫ b
af ′(x)g(x) dx =
[
f(x)g(x)]b
a−∫ b
af(x)g′(x) dx.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 388 / 590
§5.3 Integração por partes e integração por substituição
Exemplos de integração por partes
a) Calculemos∫ e
1ln x dx. Então
∫ e
1ln x dx =
∫ e
11 . ln x dx
=[
x ln x]e
1−∫ e
1x . (ln x)′ dx
= e . ln e −1 . ln 1 −∫ e
1x .
1x
dx
= e −0 −∫ e
11 dx
= e −[
x]e
1
= e − (e −1)
= 1.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 389 / 590
§5.3 Integração por partes e integração por substituição
Exemplos de integração por partes (continuação)
b) ∫ π
0x cos x dx =
∫ π
0(cos x) x dx
=[
(sen x) x]π
0−∫ π
0(sen x) x′ dx
= (sen π) π − (sen 0) 0 −∫ π
0sen x dx
=∫ π
0− sen x dx
=[
cos x]π
0
= cos π − cos 0
= −1 − 1 = −2.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 390 / 590
§5.3 Integração por partes e integração por substituição
Exemplos de integração por partes (continuação)
c) ∫ 2
0x2 ex dx =
∫ 2
0ex x2 dx
=[
ex x2]2
0−∫ 2
0ex (x2)′ dx
= e2 22 − e0 02 − 2∫ 2
0ex x dx
= 4 e2 −2(
[
ex x]2
0−∫ 2
0ex x′ dx
)
= 4 e2 −2(
e2 2 − e0 0 −∫ 2
0ex dx
)
= 2[
ex]2
0= 2
(
e2 − e0)
= 2 e2 −2
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 391 / 590
§5.3 Integração por partes e integração por substituição
Exemplos de integração por partes (continuação)
d) Calculemos∫ π/2
0cos x ex dx:
∫ π/2
0
cos x ex dx =[
sen x ex]π/2
0−∫ π/2
0
sen x (ex)′dx
= senπ
2eπ/2 − sen 0 e0 −
∫ π/2
0
sen x ex dx
= eπ/2 −[
[
− cos x ex]π/2
0−∫ π/2
0
− cos x (ex)′dx
]
= eπ/2 −[
− cosπ
2eπ/2 −
(
− cos 0 e0)
]
−∫ π/2
0
cos x ex dx
= eπ/2 −1 −∫ π/2
0
cos x ex dx.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 392 / 590
§5.3 Integração por partes e integração por substituição
Exemplos de integração por partes (continuação)
d) (continuação) Acabámos de ver que
∫ π/2
0cos x ex dx = eπ/2 −1 −
∫ π/2
0cos x ex dx,
e, portanto,
2∫ π/2
0cos x ex dx = eπ/2 −1,
o que implica∫ π/2
0cos x ex dx =
eπ/2 −12
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 393 / 590
§5.3 Integração por partes e integração por substituição
Integração por substituição
Sejam a, b, c e d números reais tais que a < b e c < d,
f : [a, b] → R
uma função contínua eg : [c, d] → R
uma função diferenciável com derivada integrável e tal que
g([c, d]) ⊆ [a, b].
Então∫ g(d)
g(c)f(x) dx =
∫ d
cf(g(t))g′(t) dt.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 394 / 590
§5.3 Integração por partes e integração por substituição
Exemplos de integração por substituição
a) Calculemos∫ 4
0
11 +
√x
dx fazendo a substituição t =√
x. Então
x = t2, pelo que dx = (t2)′ dt = 2t dt.
Além disso, quando x = 0 temos t = 0 e quando x = 4 vem t = 2. Assim,
∫ 4
0
11 +
√x
dx =∫ 2
0
11 + t
2t dt = 2∫ 2
0
t
1 + tdt
= 2∫ 2
0
1 + t − 11 + t
dt = 2∫ 2
0
1 + t
1 + t− 1
1 + tdt
= 2(∫ 2
0
1 dt −∫ 2
0
11 + t
dt
)
= 2(
[
t]2
0−[
ln |1 + t|]2
0
)
= 2 (2 − 0 − (ln 3 − ln 1)) = 4 − 2 ln 3.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 395 / 590
§5.3 Integração por partes e integração por substituição
Exemplos de integração por substituição (continuação)
b) Calculemos∫ 6
1
x√x + 3
dx. Para isso fazemos a substituição
t =√
x + 3,
isto é,x = t2 − 3
e, portanto,
dx =(
t2 − 3)′
dt = 2t dt.
Além disso,quando x = 1 vem t = 2
equando x = 6 temos t = 3.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 396 / 590
§5.3 Integração por partes e integração por substituição
Exemplos de integração por substituição (continuação)
b) (continuação) Assim,
∫ 6
1
x√x + 3
dx =∫ 3
2
t2 − 3t
2t dt
= 2∫ 3
2t2 − 3 dt
= 2
[
t3
3− 3t
]3
2
= 2(
273
− 9 −(
83
− 6))
= 2(
6 − 83
)
=203
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 397 / 590
§5.3 Integração por partes e integração por substituição
Exemplos de integração por substituição (continuação)
c) Para calcularmos∫ 1
0
1ex +1
dx fazemos a substituição
ex = t,
o que implica
x = ln t
e, portanto,
dx = (ln t)′ dt =1t
dt.
Além disso,
quando x = 0 temos t = 1 e quando x = 1 vem t = e.
Assim,
∫ 1
0
1ex +1
dx =∫ e
1
1t + 1
1t
dt =∫ e
1
1t(t + 1)
dt.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 398 / 590
§5.3 Integração por partes e integração por substituição
Exemplos de integração por substituição (continuação)
c) (continuação) Para calcularmos∫ e
1
1t(t + 1)
dt
temos de determinar os números A e B tais que
1t(t + 1)
=A
t+
B
t + 1.
EntãoA(t + 1) + Bt = 1,
pelo que quando t = 0 temos A = 1 e quando t = −1 vem B = −1e, por conseguinte,
1t(t + 1)
=1t
− 1t + 1
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 399 / 590
§5.3 Integração por partes e integração por substituição
Exemplos de integração por substituição (continuação)
c) (continuação) Assim,
∫ 1
0
1ex +1
dx =∫ e
1
1t(t + 1)
dt
=∫ e
1
1t
− 1t + 1
dt
=[
ln |t| − ln |t + 1|]e
1
= ln e − ln(e +1) − (ln 1 − ln 2)
= 1 − lne +1
2.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 400 / 590
§5.3 Integração por partes e integração por substituição
Exemplos de integração por substituição (continuação)
d) Calculemos∫ 1
−1
1(1 + x2)2
dx. Para isso usamos a substituição
x = tg t, o que implica dx = (tg t)′dt =
1cos2 t
dt.
Obviamente, atendendo a que t = arc tg x,
quando x = −1 tem-se t = arc tg(−1) = − π
4
equando x = 1 vem t = arc tg(1) =
π
4.
Repare-se que
(1 + x2)2 = (1 + tg2 t)2 =(
1cos2 t
)2
=1
cos4 t.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 401 / 590
§5.3 Integração por partes e integração por substituição
Exemplos de integração por substituição (continuação)
d) (continuação) Assim,
∫ 1
−1
1(1 + x2)2
dx =∫ π/4
−π/4
11/ cos4 t
1cos2 t
dt =∫ π/4
−π/4
cos2 t dt
=∫ π/4
−π/4
cos(2t) + 12
dt =12
∫ π/4
−π/4
cos(2t) + 1 dt
=12
[
sen(2t)2
+ t
]π/4
−π/4
=12
(
sen(π/2)2
+π
4−(
sen(−π/2)2
− π
4
))
=12
(
12
+π
4−(
−12
− π
4
))
=π + 2
4
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 402 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplosTeorema Fundamental do CálculoIntegração por partes e integração por substituiçãoAplicações do cálculo integralIntegrais impróprios
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 403 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Nesta secção veremos como aplicar o cálculo integral para
• calcular a área de regiões planas;
• calcular o comprimento de curvas planas;
• calcular a área de superfície e o volume de um sólido de revolução.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 404 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Seja f : [a, b] → R uma função integrável tal que f(x) > 0 paraqualquer x ∈ [a, b].
x
y
b
bf(x)
a b
b
b
b
b
A =∫ b
af(x) dx
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 405 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Seja f : [a, b] → R uma função integrável tal que f(x) 6 0 paraqualquer x ∈ [a, b].
x
y
f(x)
b
b
a b
b
b
b
b
A = −∫ b
af(x) dx
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 406 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Seja f : [a, b] → R uma função integrável tal que existe c ∈]a, b[ tal quef(x) > 0 para qualquer x ∈ [a, c] e f(x) 6 0 para qualquer x ∈ [c, b].
x
y
b
b
a
b
b
b
b
b
c
A =∫ c
af(x) dx −
∫ b
cf(x) dx
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 407 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Sejam f, g : [a, b] → R uma funções integráveis tal que f(x) > g(x) paraqualquer x ∈ [a, b].
x
y
b
b
f(x)
b b
g(x)
a b
b
b
b b
b
b
b b
A =∫ b
af(x) − g(x) dx
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 408 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Sejam f, g : [a, b] → R funções integráveis tal que existe c ∈]a, b[ tal quef(x) > g(x) para qualquer x ∈ [a, c] e f(x) 6 g(x) para qualquerx ∈ [c, b].
x
y
f(x)
b
b
g(x)
b
b
a b
b
b
b
bb
b
b
b
c
A =∫ c
af(x) − g(x) dx +
∫ b
cg(x) − f(x) dx
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 409 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Exemplos do cálculo da área de figuras planas
a) Calculemos a área da região plana limitada pelas rectas de equação
y = x, y = 2 − x e x = 0.
Como nenhuma destas rectas é paralela às outras duas, a região plana deque queremos calcular a área é um triângulo. Calculemos os vértices dessetriângulo. Para isso temos de resolver os seguintes sistemas:
{
y = x
y = 2 − x⇔{
2 − x = x
——⇔{
2 = 2x
——⇔{
x = 1y = 1
{
y = x
x = 0⇔{
y = 0x = 0
{
y = 2 − x
x = 0⇔{
y = 2x = 0
Assim, a região plana de que queremos calcular a área é o triângulo devértices (1, 1), (0, 0) e (0, 2).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 410 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Exemplos do cálculo da área de figuras planas
a) (continuação) Façamos a representação geométrica da região ecalculemos a sua área.
x
y
b
1
1
b
b2
y = x
b
b
b
y = 2 − x
b
b
b
b
b
b
Assim, a área do triângulo é
A =∫ 1
02 − x − x dx
=∫ 1
02 − 2x dx
=[
2x − x2]1
0
= 2 . 1 − 12 − (2 . 0 − 02)
= 1.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 411 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Exemplos do cálculo da área de figuras planas (continuação)
b) Calculemos a área da região plana limitada pela recta de equação
y = x + 2
e pela parábola de equaçãoy = x2.
Comecemos por calcular os pontos de intersecção das duas curvas:{
y = x + 2y = x2
⇔{
x2 = x + 2——
⇔{
x2 − x − 2 = 0——
Como
x2 − x − 2 = 0 ⇔ x =1 ±
√1 + 8
2⇔ x =
1 ± 32
⇔ x = 2 ∨ x = −1,
os pontos de intersecção são (2, 4) e (−1, 1).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 412 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Exemplos do cálculo da área de figuras planas
b) (continuação) Representemos geometricamente a região do plano de quequeremos calcular a área.
x
y
b
2
4
b
-1
1
y = x2b
by = x + 2
b
bb
b
1
Assim, a área é
A =∫ 2
−1
x + 2 − x2 dx
=[
x2
2+ 2x − x3
3
]2
−1
=22
2+ 2 . 2 − 23
3
−(
(−1)2
2+ 2(−1) − (−1)3
3
)
= 2 + 4 − 83
− 12
+ 2 − 13
=92
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 413 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Exemplos do cálculo da área de figuras planas (continuação)
c) Calculemos a área da região plana limitada pelas rectas de equação
y = 2x, y =x
2e y = −x + 3.
A região do plano de que queremos calcular a área é um triângulo pois élimitada por três rectas. Calculemos os seus vértices.{
y = 2x
y = x/2⇔
{
x/2 = 2x
——⇔
{
x = 4x
——⇔
{
−3x = 0
——⇔
{
x = 0
y = 0
{
y = 2x
y = −x + 3⇔
{
−x + 3 = 2x
——⇔
{
−3x = −3
——⇔
{
x = 1
y = 2
{
y = x/2
y = −x + 3⇔
{
−x + 3 = x/2
——⇔
{
−2x + 6 = x
——⇔
{
−3x = −6
——⇔
{
x = 2
y = 1
Assim, os vértices do triângulo são (0, 0), (1, 2) e (2, 1).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 414 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Exemplos do cálculo da área de figuras planas (continuação)
c) (continuação) Representemos geometricamente o triângulo e calculemos asua área.
x
y
b
b
1
2
b
2
1
y = 2x
b
b
b
y =x
2
b
b
b
y = −x + 3
b
b
b
b
b
b
A =
∫ 1
0
2x −x
2dx +
∫ 2
1
−x + 3 −x
2dx
=
∫ 1
0
3x
2dx +
∫ 2
1
−3x
2+ 3 dx
=3
2
∫ 1
0
x dx −3
2
∫ 2
1
x dx + 3
∫ 2
1
1 dx
=3
2
[
x2
2
]1
0
−3
2
[
x2
2
]2
1
+ 3[
x]2
1
=3
2
(
1
2− 0)
−3
2
(
4
2−
1
2
)
+ 3 (2 − 1)
=3
4−
9
4+ 3
=3
2.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 415 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Exemplos do cálculo da área de figuras planas (continuação)
d) Calculemos a área de um círculo de raio r. Por uma questão de simplicidadevamos considerar o centro do círculo a origem. Obviamente, basta calcular aárea da parte do círculo que está no primeira quadrante e multiplicar esse valorpor quatro. Para isso temos encontrar a equação da curva que limitasuperiormente a zona sombreada da figura. Da equação da circunferência temos
x
y
r
r
x2 + y2 = r2 ⇔ y2 = r2 − x2
⇔ y = ±√
r2 − x2
e, portanto, a curva que limita superior-mente a zona sombreada é
y =√
r2 − x2.
Assim, a área do círculo de raio r é dadapor
A = 4
∫ r
0
√
r2 − x2 dx.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 416 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Exemplos do cálculo da área de figuras planas (continuação)
d) (continuação) Para calcularmos A = 4∫ r
0
√
r2 − x2 dx temos de fazer a
substituiçãox = r sen t
e, portanto,dx = (r sen t)′
dt = r cos t dt.
Além disso, comot = arc sen
x
r
resulta que
quando x = 0 temos t = arc sen 0 = 0
e
quando x = r temos t = arc sen 1 =π
2.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 417 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Exemplos do cálculo da área de figuras planas (continuação)
d) (continuação) Assim,
A = 4
∫ r
0
√
r2 − x2 dx = 4
∫ π/2
0
√
r2 − (r sen t)2 r cos t dt
= 4r
∫ π/2
0
√
r2 (1 − sen2 t) cos t dt = 4r
∫ π/2
0
r cos t cos t dt
= 4r2
∫ π/2
0
cos2 t dt = 4r2
∫ π/2
0
cos(2t) + 1
2dt
= 2r2
∫ π/2
0
cos(2t) + 1 dt = 2r2[
sen(2t)
2+ t
]π/2
0
= 2r2(
sen π
2+
π
2−(
sen 0
2+ 0))
= 2r2 π
2
= πr2.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 418 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Seja f : [a, b] → R uma função com derivada contínua.
x
y
a b
y = f(x)
b
b
O comprimento do gráfico de f é dado por
ℓ =∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2 dx .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 419 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Exemplos do cálculo do comprimento de curvas planas
a) Calculemos o perímetro de uma circunferência de raio r. Para issoconsideremos como centro da circunferência a origem. Obviamentebasta considerar a parte da circunferência situada no primeiroquadrante.
x
y
r
r
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 420 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Exemplos do cálculo do comprimento de curvas planas (continuação)
a) (continuação) Da equação da circunferência x2 + y2 = r2, resultay = ±
√r2 − x2. Como
(
√
r2 − x2)′
= − x√r2 − x2
,
temos
ℓ = 4∫ r
0
√
1 +(
− x√r2 − x2
)2
dx = 4∫ r
0
√
1 +x2
r2 − x2dx
= 4∫ r
0
√
r2 − x2 + x2
r2 − x2dx = 4r
∫ r
0
1√r2 − x2
dx,
só que a função1√
r2 − x2não está definida em x = r. Para
ultrapassarmos este problema vamos calcular o integral entre 0 e r − εonde ε é tal que 0 < ε < r e em seguida fazer ε tender para 0+.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 421 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Exemplos do cálculo do comprimento de curvas planas (continuação)
a) (continuação) Assim,
ℓ = limε→0+
4∫ r−ε
0
√
1 +(
− x√r2 − x2
)2
dx
= limε→0+
4r
∫ r−ε
0
1√r2 − x2
dx
= limε→0+
4r
∫ r−ε
0
1/r√
1 − (x/r)2dx
= limε→0+
4r[
arc senx
r
]r−ε
0
= limε→0+
4r
(
arc senr − ε
r− arc sen 0
)
= 4r (arc sen 1 − 0) = 4rπ
2= 2πr
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 422 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Exemplos do cálculo do comprimentos de curvas planas (continuação)
b) Calculemos o comprimento da curva y = x3/2 entre x = 0 e x = 1. Como
(
x3/2)′
=32
x1/2 =32
√x,
temos
ℓ =∫ 1
0
√
1 +(
3√
x/2)2
dx =∫ 1
0
√
1 + 9x/4 dx
=49
∫ 1
0
94
(1 + 9x/4)1/2dx =
49
[
(1 + 9x/4)3/2
3/2
]1
0
=49
(
23
(
134
)3/2
− 23
13/2
)
=49
(
23
13√
13
4√
4− 2
3
)
=13
√13
27− 8
27.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 423 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Seja f : [a, b] → R uma função contínua.
x
y
b
by = f(x)
a b
b
b
b
b
a b
O volume do sólido de revolução que se obtém rodando em torno doeixo dos xx a região situada entre o gráfico de f e o eixo dos xx é dadopor
V = π
∫ b
a[f(x)]2 dx .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 424 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Se f : [a, b] → R é uma função não negativa e com derivada contínua,então a área de superfície do sólido de revolução que se obtém rodandoem torno do eixo dos xx a região situada entre o gráfico de f e o eixodos xx é dada por
AS = 2π
∫ b
af(x)
√
1 + [f ′(x)]2 dx .
x
y
b
by = f(x)
a b
b
b
b
b
a b
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 425 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Volume e área de superfície de um sólido de revolução
a) Calculemos o volume e a área de superfície de uma esfera de raio r. Comohabitualmente vamos centrar a esfera na origem. Uma esfera de raio rcentrada na origem obtém-se rodando em torno do eixo dos xx umsemicírculo de centro na origem e de raio r.
x
y
r−r
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 426 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Volume e área de superfície de um sólido de revolução (continuação)
a) (continuação) Já sabemos que temos de a equação da semicircunferência éy =
√r2 − x2, donde o volume da esfera de raio r é igual a
V = π
∫ r
−r
(
√
r2 − x2)2
dx
= π
∫ r
−r
r2 − x2 dx
= π
[
r2x − x3
3
]r
−r
= π
(
r3 − r3
3−(
r2(−r) − (−r)3
3
))
= π
(
2r3 − 2r3
3
)
=43
πr3.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 427 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Volume e área de superfície de um sólido de revolução (continuação)
a) (continuação) Quanto à área da superfície esférica, atendendo a que
(
√
r2 − x2)′
= − x√r2 − x2
temos novamente o mesmo problema que tivemos no cálculo doperímetro de uma circunferência de raio r pois a derivada não estádefinida em x = r e em x = −r. Este problema será resolvido damesma forma que o fizemos anteriormente, ou seja, vamos calcularo integral entre −r + ε e r − ε e depois fazer ε tender para 0+.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 428 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Volume e área de superfície de um sólido de revolução (continuação)
a) (continuação) Assim,
AS = limε→0+
2π
∫ r−ε
−r+ε
√
r2 − x2
√
1 +(
− x√r2 − x2
)2
dx
= limε→0+
2π
∫ r−ε
−r+ε
√
r2 − x2
√
1 +x2
r2 − x2dx
= limε→0+
2π
∫ r−ε
−r+ε
√
r2 − x2
√
r2 − x2 + x2
r2 − x2dx
= limε→0+
2π
∫ r−ε
−r+ε
r dx = limε→0+
2πr
∫ r−ε
−r+ε
1 dx
= limε→0+
2πr[
x]r−ε
−r+ε= lim
ε→0+2πr (r − ε − (−r + ε))
= limε→0+
2πr (2r − 2ε) = 4πr2.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 429 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Volume e área de superfície de um sólido de revolução (continuação)
b) Calculemos o volume e a área de superfície de um cone de altura h e raioda base r. Para obtermos este cone basta pormos a rodar em torno doeixo dos xx o segmento de recta que une os pontos (0, 0) e (h, r):
x
y
h
r
É óbvio que a equação do segmento é y =r
hx com x ∈ [0, h]
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 430 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Volume e área de superfície de um sólido de revolução (continuação)
b) (continuação) O volume é do cone é
V = π
∫ h
0
( r
hx)2
dx
=πr2
h2
∫ h
0
x2 dx
=πr2
h2
[
x3
3
]h
0
=πr2
h2
(
h3
3− 03
3
)
=πr2h
3
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 431 / 590
§5.4 Aplicações do cálculo integral
Volume e área de superfície de um sólido de revolução (continuação)
b) (continuação) A área de superfície do cone é
AS = 2π
∫ h
0
r
hx
√
1 +[
( r
hx)′]2
dx =2πr
h
∫ h
0
x
√
1 +( r
h
)2
dx
=2πr
h
∫ h
0
x
√
1 +r2
h2dx =
2πr
h
∫ h
0
x
√
h2 + r2
h2dx
=2πr
h2
√
h2 + r2
∫ h
0
x dx =2πr
h2
√
h2 + r2
[
x2
2
]h
0
=2πr
h2
√
h2 + r2
(
h2
2− 02
2
)
= πr√
h2 + r2
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 432 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
Integral de Riemann: definição, propriedades e exemplosTeorema Fundamental do CálculoIntegração por partes e integração por substituiçãoAplicações do cálculo integralIntegrais impróprios
6 Sucessões e séries
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 433 / 590
§5.5 Integrais impróprios
Na definição do integral de Riemann de uma função
f : [a, b] → R
exigimos que o intervalo
[a, b] fosse fechado e limitado
e que a funçãof fosse limitada.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 434 / 590
§5.5 Integrais impróprios
Suponha-se, no entanto, que
i) f está definida em [a, +∞[ e existe∫ u
a
f(x) dx para cada u ∈ [a, +∞[; ou
ii) f está definida em ] − ∞, b] e existe∫ b
t
f(x) dx para cada t ∈ ] − ∞, b]; ou
ainda
iii) f está definida em ] − ∞, +∞[ e existe∫ u
t
f(x) dx para cada t, u ∈ R.
Nestas condições, temos, para cada uma das três situações consideradas, asseguintes definições
i)∫ +∞
a
f(x) dx = limu→+∞
∫ u
a
f(x) dx
ii)∫ b
−∞
f(x) dx = limt→−∞
∫ b
t
f(x) dx
iii)∫ +∞
−∞
f(x) dx = limt→−∞
∫ c
t
f(x) dx + limu→+∞
∫ u
c
f(x) dx
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 435 / 590
§5.5 Integrais impróprios
Dizemos que os integrais
∫ +∞
af(x) dx,
∫ b
−∞f(x) dx e
∫ +∞
−∞f(x) dx
existem ou que são convergentes quando existirem (finitos) oslimites indicados; se o limites não existirem dizemos que o respectivointegral é divergente.
Os integrais considerados designam-se por integrais impróprios deprimeira espécie.
Na definição iii) não há dependência do ponto c escolhido. Na práticapode-se fazer
∫ +∞
−∞f(x) dx = lim
u→+∞t→−∞
∫ u
tf(x) dx.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 436 / 590
§5.5 Integrais impróprios
Exemplos de integrais impróprios de primeira espécie
a) Calculemos∫ +∞
0e−x dx:
∫ +∞
0e−x dx = lim
u→+∞
∫ u
0e−x dx
= limu→+∞
[
− e−x]u
0
= limu→+∞
(
− e−u −(− e0))
= limu→+∞
1 − e−u
= 1 − e−∞
= 1 − 0
= 1.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 437 / 590
§5.5 Integrais impróprios
Exemplos de integrais impróprios de primeira espécie (continuação)
a) (continuação) Assim, o integral∫ +∞
0e−x dx é convergente. O valor
deste integral pode ser interpretado como sendo a área da regiãosombreada da figura seguinte.
x
y
1
y = e−x
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 438 / 590
§5.5 Integrais impróprios
Exemplos de integrais impróprios de primeira espécie (continuação)
b) Estudemos a natureza do integral∫ +∞
1
1xα
dx, ou seja, determinemos se
o integral é convergente ou divergente. Comecemos por supor α 6= 1.Então
∫ +∞
1
1xα
dx = limu→+∞
∫ u
1
x−α dx
= limu→+∞
[
x−α+1
−α + 1
]u
1
= limu→+∞
(
u−α+1
−α + 1− 1
−α + 1
)
=
1α − 1
se α > 1
+ ∞ se α < 1
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 439 / 590
§5.5 Integrais impróprios
Exemplos de integrais impróprios de primeira espécie (continuação)
b) (continuação) Se α = 1, então
∫ +∞
1
1x
dx = limu→+∞
∫ u
1
1x
dx
= limu→+∞
[
ln |x|]u
1
= limu→+∞
(ln |u| − ln |1|)
= ln (+∞) − 0
= +∞
Assim, o integral∫ +∞
1
1xα
dx é convergente apenas quando α > 1. Neste
exemplo também podemos interpretar o integral como uma área.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 440 / 590
§5.5 Integrais impróprios
Exemplos de integrais impróprios de primeira espécie (continuação)
c) Calculemos∫ +∞
−∞
11 + x2
dx:
∫ +∞
−∞
11 + x2
dx = limu→+∞t→−∞
∫ u
t
11 + x2
dx
= limu→+∞
[
arc tg x]u
t
= limu→+∞t→−∞
(arc tg u − arc tg t)
=π
2−(
−π
2
)
= π.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 441 / 590
§5.5 Integrais impróprios
Exemplos de integrais impróprios de primeira espécie (continuação)
c) (continuação) A igualdade
∫ +∞
−∞
11 + x2
dx = π
significa que a área da região sombreada na figura seguinte é π.
x
y
1 y =1
1 + x2
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 442 / 590
§5.5 Integrais impróprios
Critério de comparação
Sejam f, g : [a, +∞[→ R duas funções tais que existe c ∈ [a, +∞[ tal que
0 6 f(x) 6 g(x) para qualquer x > c.
Entãoi) se
∫ +∞
a
g(x) dx é convergente,
então∫ +∞
a
f(x) dx também é convergente;
ii) se∫ +∞
a
f(x) dx é divergente,
então∫ +∞
a
g(x) dx também é divergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 443 / 590
§5.5 Integrais impróprios
Exemplos
a) Consideremos o integral impróprio
∫ +∞
1
1√1 + x3
dx.
Atendendo a que
0 61√
1 + x36
1√x3
=1
x3/2
para qualquer x > 1 e que
∫ +∞
1
1x3/2
dx é convergente,
pelo critério de comparação, alínea i), o integral
∫ +∞
1
1√1 + x3
dx também é convergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 444 / 590
§5.5 Integrais impróprios
Exemplos (continuação)
b) Consideremos agora o integral impróprio
∫ +∞
1
1√1 + x2
dx.
Como0 6
11 + x
=1
√
(1 + x)2=
1√1 + 2x + x2
61√
1 + x2
para qualquer x > 1 e usando o facto de que
∫ +∞
1
11 + x
dx é divergente,
pelo critério de comparação, alínea ii), o integral
∫ +∞
1
1√1 + x2
dx também é divergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 445 / 590
§5.5 Integrais impróprios
Exemplos (continuação)
b) (continuação) Vejamos que de facto o integral impróprio
∫ +∞
1
11 + x
dx é divergente.
Para isso basta usarmos a definição:
∫ +∞
1
11 + x
dx = limu→+∞
∫ u
1
11 + x
dx
= limu→+∞
[
ln |1 + x|]u
1
= limu→+∞
[ln |1 + u| − ln |1 + 1|]
= +∞ − ln 2
= +∞.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 446 / 590
§5.5 Integrais impróprios
Observação
Também existem critérios de comparação para os integrais imprópriosda forma
∫ b
−∞f(x) dx
e∫ +∞
−∞f(x) dx.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 447 / 590
§5.5 Integrais impróprios
Suponhamos agora que f está definida em [a, b[ e que é integrável emqualquer intervalo [a, u] com u ∈ [a, b[. Nesta condições define-se
∫ b
a
f(x) dx = limu→b−
∫ u
a
f(x) dx.
De forma análoga define-se∫ b
a
f(x) dx = limt→a+
∫ b
t
f(x) dx
quando f é está definida em ]a, b] e f é integrável em qualquer intervalo [t, b]com t ∈ ]a, b].
Quando f está definida em [a, c[ ∪ ]c, b] para algum c ∈]a, b[ e f é integrávelem [a, u] e [t, b] para quaisquer u ∈ [a, c[ e t ∈ ]c, b], define-se
∫ b
a
f(x) dx = limu→c−
∫ u
a
f(x) dx + limt→c+
∫ b
t
f(x) dx.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 448 / 590
§5.5 Integrais impróprios
Nos três casos considerados anteriormente o integral
∫ b
af(x) dx
designa-se por integral impróprio de segunda espécie. O integraldiz-se convergente se existem e são finitos os limites indicados ediz-se divergente quando tal não se verifica.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 449 / 590
§5.5 Integrais impróprios
Exemplos de integrais impróprios de segunda espécie
a) Calculemos∫ b
a
1(x − a)α
dx. Comecemos por supor que α 6= 1. Então
∫ b
a
1(x − a)α
dx = limt→a+
∫ b
t
(x − a)−α dx
= limt→a+
[
(x − a)−α+1
−α + 1
]b
t
= limt→a+
(
(b − a)−α+1
−α + 1− (t − a)−α+1
−α + 1
)
=
(b − a)1−α
1 − αse α < 1
+ ∞ se α > 1
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 450 / 590
§5.5 Integrais impróprios
Exemplos de integrais impróprios de segunda espécie (continuação)
a) (continuação) Quando α = 1 temos
∫ b
a
1x − a
dx = limt→a+
∫ b
t
1x − a
dx
= limt→a+
[
ln(x − a)]b
t
= limt→a+
(ln(b − a) − ln(t − a))
= ln(b − a) − ln(0+)
= ln(b − a) − (−∞)
= +∞
Assim,∫ b
a
1(x − a)α
dx é
{
convergente se α < 1;divergente se α > 1.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 451 / 590
§5.5 Integrais impróprios
Exemplos de integrais impróprios de segunda espécie (continuação)
b) Determinemos a natureza de∫ b
a
1(b − x)α
dx. Comecemos por fazer
α 6= 1. Então
∫ b
a
1(b − x)α
dx = limu→b−
−∫ u
a
−(b − x)−α dx
= limu→b−
−[
(b − x)−α+1
−α + 1
]u
a
= limu→b−
−(
(b − u)−α+1
−α + 1− (b − a)−α+1
−α + 1
)
=
(b − a)1−α
1 − αse α < 1;
+ ∞ se α > 1
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 452 / 590
§5.5 Integrais impróprios
Exemplos de integrais impróprios de segunda espécie (continuação)
b) (continuação) Para α = 1 vem
∫ b
a
1b − x
dx = limu→b−
−∫ u
a
− 1b − x
dx
= limu→b−
−[
ln(b − x)]u
a
= limu→b−
− (ln(b − u) − ln(b − a))
= −(
ln(0+) − ln(b − a))
= − (−∞ − ln(b − a))
= +∞Portanto,
∫ b
a
1(b − x)α
dx é
{
convergente se α < 1;divergente se α > 1.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 453 / 590
§5.5 Integrais impróprios
Observação
Também existem critérios de comparação para os integrais imprópriosde segunda espécie.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 454 / 590
§5.5 Integrais impróprios
Exercícios
Calcule
a)∫ +∞
0
xe−x2
dx b)∫ +∞
0
arc tg x
1 + x2dx
c)∫ 0
−∞
11 + x2
dx d)∫ 1
0
x ln2 x dx
e)∫ 2
0
1√
|x − 1|dx f)
∫ +∞
−∞
x
1 + x2dx
g)∫ π
2
0
sen x
1 − cos xdx h)
∫ 1
0
1x(1 − ln x)
dx
i)∫ 0
−∞
x
1 + x4dx j)
∫ 1
−∞
x5ex6
dx
k)∫ +∞
1
1(1 + x2) arc tg x
dx l)∫ +∞
e
1
x√
ln x − 1dx
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 455 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e sériesSucessões de números reaisSéries de números reaisSéries de potências
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 456 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e sériesSucessões de números reais
Definição e exemplosSucessões limitadas e sucessões monótonasSucessões convergentesSubsucessõesInfinitamente grandes
Séries de números reaisSéries de potências
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 457 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e sériesSucessões de números reais
Definição e exemplosSucessões limitadas e sucessões monótonasSucessões convergentesSubsucessõesInfinitamente grandes
Séries de números reaisSéries de potências
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 458 / 590
§6.1.1 Definição e exemplos
Uma sucessão é uma correspondência que a cada número natural nfaz corresponder um e um só número real.
Assim, uma sucessão é uma função real de variável natural, ou seja,uma sucessão é uma função
u : N → R.
Para designarmos o valor da função em n costuma usar-se a notação
un em vez de u(n).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 459 / 590
§6.1.1 Definição e exemplos
Aos valoresu1, u2, . . . , un, . . .
chamamos termos da sucessão e
ao valor u1 chamamos termo de ordem 1 ou primeiro termoda sucessão;
ao valor u2 chamamos termo de ordem 2 ou segundo termoda sucessão;
ao valor u3 chamamos termo de ordem 3 ou terceiro termo dasucessão;
etc
À expressão un chamamos termo geral da sucessão.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 460 / 590
§6.1.1 Definição e exemplos
Escreveremos(u1, u2, . . . , un, . . .),
ou(un)n∈N,
ou simplesmente(un)
para indicar a sucessão u.
O conjuntou(N) = {un : n ∈ N}
designa-se por conjunto dos termos da sucessão (un)n∈N.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 461 / 590
§6.1.1 Definição e exemplos
Exemplos de sucessões
a) Façamosun = 1 para todo o n ∈ N,
isto é,(1, 1, . . . , 1, . . .)
é a sucessão constante e igual a 1. Mais geralmente, dado c ∈ R efazendo
vn = c para qualquer n ∈ N,
temos a sucessão constante e igual a c. Neste caso
v(N) = {c} .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 462 / 590
§6.1.1 Definição e exemplos
Exemplos de sucessões (continuação)
b) Consideremos a sucessão de termo geral un = (−1)n.
O primeiro termo desta sucessão é u1 = (−1)1 = −1.
O segundo termo desta sucessão é u2 = (−1)2 = 1.
O terceiro termo desta sucessão é u3 = (−1)3 = −1.
O quarto termo desta sucessão é u4 = (−1)4 = 1.
E assim sucessivamente.
Podemos concluir que os termos de ordem par são todos iguais a 1 eque os termos de ordem ímpar são todos iguais a −1. Assim, a listaque se segue dá-nos todos os termos da sucessão
−1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, . . .
e o conjunto dos termos desta sucessão é
u(N) = {−1, 1} .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 463 / 590
§6.1.1 Definição e exemplos
Exemplos de sucessões (continuação)
c) Seja u a sucessão definida por
un = n.
Entãou(N) = N.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 464 / 590
§6.1.1 Definição e exemplos
Exemplos de sucessões (continuação)
d) Seja
un =1n
para todo o n ∈ N.
Podemos escrever esta sucessão das seguintes formas:(
1,12
,13
,14
, . . . ,1n
, . . .
)
,
ou(
1n
)
n∈N
,
ou(
1n
)
.
Neste exemplo temos u(N) ={
1n
: n ∈ N
}
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 465 / 590
§6.1.1 Definição e exemplos
Observação
O exemplo a) mostra que(un)n∈N
eu(N)
são coisas diferentes e que, por conseguinte, não devem serconfundidas. Neste exemplo tem-se
(un) = (1, 1, 1, . . . , 1, . . .),
enquanto queu(N) = {1} .
Algo de semelhante acontece no exemplo b).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 466 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e sériesSucessões de números reais
Definição e exemplosSucessões limitadas e sucessões monótonasSucessões convergentesSubsucessõesInfinitamente grandes
Séries de números reaisSéries de potências
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 467 / 590
§6.1.2 Sucessões limitadas e sucessões monótonas
Uma sucessão (un)n∈N diz-se limitada se existirem números reais a e btais que
a 6 un 6 b para todo o n ∈ N;
ou ainda, se existirem números reais a e b tais que
un ∈ [a, b] para todo o n ∈ N.
Como todo o intervalo [a, b] está contido num intervalo da forma[−c, c], para algum c ∈ R, uma sucessão (un) é limitada se existir umnúmero real c > 0 tal que
un ∈ [−c, c] para todo o n ∈ N,
o que é equivalente a existe c > 0 tal que
|un| 6 c para todo o n ∈ N.
As sucessões que não são limitadas dizem-se ilimitadas.António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 468 / 590
§6.1.2 Sucessões limitadas e sucessões monótonas
Exemplos
a) A sucessão de termo geral
un = 4 + (−1)n =
{
3 se n é ímpar;
5 se n é par;
é limitada pois
3 6 un 6 5 para qualquer número natural n.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 469 / 590
§6.1.2 Sucessões limitadas e sucessões monótonas
Exemplos (continuação)
b) Consideremos a sucessão de termo geral
un =n + 2
n.
Comon + 2
n=
n
n+
2n
= 1 +2n
podemos concluir que
1 6 un 6 3 para cada número natural n.
Assim, esta sucessão é limitada.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 470 / 590
§6.1.2 Sucessões limitadas e sucessões monótonas
Exemplos (continuação)
c) A sucessão un = n2 não é limitada. De facto,
u1 = 1; u2 = 4; u3 = 9; u4 = 16; . . .
pelo que a sucessão não é limitada superiormente.
d) A sucessão de termo geral vn = −n também não é limitada pois
v1 = −1; v2 = −2; v3 = −3; . . .
ou seja, esta sucessão não é limitada inferiormente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 471 / 590
§6.1.2 Sucessões limitadas e sucessões monótonas
Uma sucessão (un)n∈N diz-se crescente se
un+1 > un para todo o n ∈ N
e diz-se decrescente se
un+1 6 un para todo o n ∈ N.
Equivalentemente, (un)n∈N é crescente se
un+1 − un > 0 para todo o n ∈ N
e é decrescente se
un+1 − un 6 0 para todo o n ∈ N.
Uma sucessão diz-se monótona se for crescente ou se for decrescente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 472 / 590
§6.1.2 Sucessões limitadas e sucessões monótonas
Exemplos de sucessões monótonas
a) Consideremos a sucessão de termo geral un =2n − 1
n + 1. Como
un+1 − un =2(n + 1) − 1
(n + 1) + 1−
2n − 1
n + 1
=2n + 1
n + 2−
2n − 1
n + 1
=(2n + 1)(n + 1) − (2n − 1)(n + 2)
(n + 1)(n + 2)
=2n2 + 2n + n + 1 − (2n2 + 4n − n − 2)
(n + 1)(n + 2)
=2n2 + 3n + 1 − 2n2 − 3n + 2
(n + 1)(n + 2)
=3
(n + 1)(n + 2)> 0
para qualquer número natural n, a sucessão é crescente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 473 / 590
§6.1.2 Sucessões limitadas e sucessões monótonas
Exemplos de sucessões monótonas (continuação)
b) Para a sucessão de termo geral un =2n + 1
n, temos
un+1 − un =2(n + 1) + 1
n + 1−
2n + 1
n
=2n + 3
n + 1−
2n + 1
n
=(2n + 3)n − (2n + 1)(n + 1)
n(n + 1)
=2n2 + 3n − (2n2 + 2n + n + 1)
n(n + 1)
=2n2 + 3n − 2n2 − 3n − 1
n(n + 1)
=−1
n(n + 1)6 0
para qualquer número natural n. Logo a sucessão é decrescente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 474 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e sériesSucessões de números reais
Definição e exemplosSucessões limitadas e sucessões monótonasSucessões convergentesSubsucessõesInfinitamente grandes
Séries de números reaisSéries de potências
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 475 / 590
§6.1.3 Sucessões convergentes
Dados uma sucessão (un)n∈N e um número real a, dizemos que (un)converge ou tende para a se para qualquer ε > 0, existe N ∈ N talque
|un − a| < ε para todo o número natural n > N .
A condição|un − a| < ε
é equivalente às condições
−ε < un − a < ε, a − ε < un < a + ε e un ∈ ]a − ε, a + ε[.
Assim, uma sucessão (un) converge ou tende para um número real ase para qualquer ε > 0, existe N ∈ N tal que
a − ε < un < a + ε para cada número natural n > N ;
ou se para qualquer ε > 0, existe N ∈ N tal que
un ∈ ]a − ε, a + ε[ para cada número natural n > N .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 476 / 590
§6.1.3 Sucessões convergentes
Geometricamente, uma sucessão un tende para a se dado ε > 0 todosos termos da sucessão estão na “faixa” limitada pela rectas y = a − ε ey = a + ε a partir de determinada ordem. A figura seguinte ilustra essefacto.
1 2 3 4 N N + 1 N + 2 N + 3 N + 4
a
a − ε
a + ε
b
b
b
b
b
b
b
bb
Interpretação geométrica do limite de uma sucessão
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 477 / 590
§6.1.3 Sucessões convergentes
Qualquer uma das notações
limn→∞
un = a,
limn→∞un = a,
limn
un = a,
lim un = a,
un → a
é usada para exprimir o facto de que a sucessão (un) converge para a.
Uma sucessão (un)n∈N diz-se convergente se existe um número real atal que un → a.
As sucessões que não são convergentes dizem-se divergentes.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 478 / 590
§6.1.3 Sucessões convergentes
As sucessões constantes são convergentes. Se un = c para qualquernúmero natural n, temos |un − c|=0 para cada n ∈ N, pelo que, dadoε > 0, tomando N = 1 vem
|un − c| < ε para qualquer n > N .
Logo (un) converge para c.
A sucessão de termo geral un =1n
converge para zero. De facto, dado
ε > 0, basta escolher um número natural N tal que Nε > 1 e, porconseguinte, 1/N < ε. Assim, para n > N , temos
|un − 0| = 1/n < 1/N < ε,
o que prova que un → 0.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 479 / 590
§6.1.3 Sucessões convergentes
Unicidade do limite
Sejam (un) uma sucessão e a e b dois números reais. Se
un → a e un → b,
entãoa = b.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 480 / 590
§6.1.3 Sucessões convergentes
Dadas duas sucessões u = (un)n∈N e v = (vn)n∈N de números reais,define-se a soma de u e v, e designa-se por u + v, a sucessão cujotermo de ordem n é un + vn, isto é,
(u + v)n = un + vn.
De modo análogo se define a diferença, o produto e o quociente deu e v (este último apenas na hipótese de se ter vn 6= 0 para todo on ∈ N):
(u − v)n = un − vn, (uv)n = unvn
e, na hipótese de vn 6= 0 para todo o n ∈ N,(
u
v
)
n=
un
vn.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 481 / 590
§6.1.3 Sucessões convergentes
Assim, se u e v são as sucessões dadas por
(
1, 4, 9, . . . , n2, . . .)
e(
1,12
,13
, . . . ,1n
, . . .
)
,
respectivamente, então u + v é a sucessão dada por
(
1 + 1, 4 +12
, 9 +13
, . . . , n2 +1n
, . . .
)
=
(
2,92
,283
, . . . ,n3 + 1
n, . . .
)
e a diferença de u e v, u − v, é a sucessão
(
1 − 1, 4 − 12
, 9 − 13
, . . . , n2 − 1n
, . . .
)
=
(
0,72
,263
, . . . ,n3 − 1
n, . . .
)
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 482 / 590
§6.1.3 Sucessões convergentes
Continuando a usar as sucessões u e v dadas por
(
1, 4, 9, . . . , n2, . . .)
e(
1,12
,13
, . . . ,1n
, . . .
)
,
o produto uv é a sucessão(
1.1, 4.12
, 9.13
, . . . , n2.1n
, . . .
)
= (1, 2, 3, . . . , n, . . .)
e o quocienteu
vé a sucessão
(
11
,4
1/2,
91/3
, . . . ,n2
1/n, . . .
)
=(
1, 8, 27, . . . , n3, . . .)
.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 483 / 590
§6.1.3 Sucessões convergentes
As sucessões que convergem para zero designam-se por infinitésimos.
O produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada é uminfinitésimo.
Exemplo
Para todo o x ∈ R, temos limn→∞
sen(nx)n
= 0. De facto,
sen(nx)n
=1n
sen(nx)
é o produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada e, portanto,converge para zero.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 484 / 590
§6.1.3 Sucessões convergentes
Álgebra dos limites
Sejam (un) e (vn) sucessões tais que lim un = a e lim vn = b. Então
a) (un + vn)n∈N é convergente e
lim(un + vn) = lim un + lim vn = a + b;
b) (un − vn)n∈N é convergente e
lim(un − vn) = lim un − lim vn = a − b;
c) (un . vn)n∈N é convergente e
lim(un . vn) = lim un . lim vn = a . b;
d) se b 6= 0 e vn 6= 0 para todo o n ∈ N,(
un
vn
)
n∈N
é convergente e
lim(
un
vn
)
=lim un
lim vn=
a
b.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 485 / 590
§6.1.3 Sucessões convergentes
Suponhamos queun → a
e que todos os termos un pertencem ao domínio de uma função f . Se fé contínua em a, então
f(un) → f(a).
Como consequência imediata temos a seguinte propriedade.
Seja (un) uma sucessão convergente para a ∈ R e p > 0. Então
a) se un → a, então (un)p → ap;
b) se un > 0 para todo o n ∈ N e un → a, então p√
un → p√
a.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 486 / 590
§6.1.3 Sucessões convergentes
Seja f é um função com domínio contendo o conjunto dos númerosnaturais. Se
limx→+∞
f(x) = a,
entãolim
n→+∞f(n) = a.
Exemplo
Como
limx→+∞
(
1 +1x
)x
= e,
temos
limn→+∞
(
1 +1n
)n
= e .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 487 / 590
§6.1.3 Sucessões convergentes
Teorema da sucessão enquadrada
Sejam (un), (vn) e (wn) sucessões e suponha-se que existe uma ordemp ∈ N tal que
un 6 vn 6 wn para todo o número natural n > p.
Se un → a e wn → a, entãovn → a.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 488 / 590
§6.1.3 Sucessões convergentes
Exemplo de aplicação do teorema da sucessão enquadrada
Vejamos que√
4 +1n2
→ 2.
Como
2 6
√
4 +1n2
6
√
4 + 41n
+(
1n
)2
=
√
(
2 +1n
)2
= 2 +1n
e2 +
1n
→ 2,
pelo teorema da sucessão enquadrada temos de ter√
4 +1n2
→ 2.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 489 / 590
§6.1.3 Sucessões convergentes
Toda a sucessão convergente é limitada.
Observação
O recíproco não é verdadeiro. A sucessão de termo geral un = (−1)n élimitada, mas não é convergente.
Todas as sucessões ilimitadas são divergentes.
Exemplo
Já vimos que a sucessão de termo geral un = n2 não é limitada. Logonão é convergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 490 / 590
§6.1.3 Sucessões convergentes
As sucessões monótonas e limitadas são convergentes.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 491 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e sériesSucessões de números reais
Definição e exemplosSucessões limitadas e sucessões monótonasSucessões convergentesSubsucessõesInfinitamente grandes
Séries de números reaisSéries de potências
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 492 / 590
§6.1.4 Subsucessões
Se (un) é uma sucessão e (nk) é uma sucessão de números naturaisestritamente crescente, isto é,
n1 < n2 < . . . < nk < nk+1 < . . . ,
a sucessão(unk
) = (un1 , un2 , . . . , unk, . . .)
diz-se uma subsucessão de (un).
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 493 / 590
§6.1.4 Subsucessões
As subsucessões de uma sucessão convergente são convergentes para omesmo limite da sucessão.
Exemplo
A sucessão de termo geral
un = (−1)n
é divergente pois tem duas subsucessões que convergem para valoresdiferentes.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 494 / 590
§6.1.4 Subsucessões
Teorema de Bolzano-Weierstrass
Todas as sucessões limitadas têm subsucessões convergentes.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 495 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e sériesSucessões de números reais
Definição e exemplosSucessões limitadas e sucessões monótonasSucessões convergentesSubsucessõesInfinitamente grandes
Séries de números reaisSéries de potências
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 496 / 590
§6.1.5 Infinitamente grandes
Existem sucessões divergentes que, pelas propriedades de que gozam,merecem ser estudadas. Essas sucessões designam-se por infinitamentegrandes.
Diz-se que uma sucessão (un) tende para mais infinito ou que é uminfinitamente grande positivo, e escreve-se
un → +∞, ou lim un = +∞,
se para cada L > 0, existe N ∈ N tal que
un > L para qualquer natural n > N .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 497 / 590
§6.1.5 Infinitamente grandes
Se −un → +∞ diz-se que (un) tende para menos infinito ou que asucessão (un) é um infinitamente grande negativo e escreve-se
un → −∞, ou lim un = −∞.
Diz-se ainda que (un) tende para infinito ou que (un) é uminfinitamente grande se |un| → +∞ e escreve-se
un → ∞ ou lim un = ∞.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 498 / 590
§6.1.5 Infinitamente grandes
Exemplos
A sucessão de termo geralun = n
tende para mais infinito, a sucessão de termo geral
vn = −n
tende para menos infinito e a sucessão de termo geral
wn = (−1)nn
tende para infinito. A sucessão (wn) é um exemplo de um infinitamentegrande que não é nem um infinitamente grande positivo, nem uminfinitamente grande negativo.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 499 / 590
§6.1.5 Infinitamente grandes
Observações
a) Os infinitamente grandes positivos e os infinitamente grandesnegativos, são infinitamente grandes. A sucessão de termo geral
wn = (−1)nn
mostra que o contrário nem sempre se verifica.
b) Resulta imediatamente da definição que se un → +∞, então (un) élimitada inferiormente.
c) Da definição resulta imediatamente que se (un) e (vn) são duassucessões tais que
un 6 vn a partir de certa ordem e un → +∞,
entãovn → +∞.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 500 / 590
§6.1.5 Infinitamente grandes
Sejam (un) e (vn) duas sucessões de números reais.
a) Se un → +∞ e (vn) tende para a ∈ R ou para +∞, então
(un + vn) → +∞.
b) Se un → −∞ e (vn) tende para a ∈ R ou para −∞, então
(un + vn) → −∞.
c) Se un → ∞ e (vn) tende para a ∈ R, então
(un + vn) → ∞.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 501 / 590
§6.1.5 Infinitamente grandes
Vê-se assim que pode usar-se a regra do limite da soma desde que seadoptem as convenções
(+∞) + a = +∞ = a + (+∞)
(−∞) + a = −∞ = a + (−∞)
∞ + a = ∞ = a + ∞(+∞) + (+∞) = +∞(−∞) + (−∞) = −∞
onde a é um número real qualquer.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 502 / 590
§6.1.5 Infinitamente grandes
Observação
Seun → +∞ e vn → −∞,
então nada se pode dizer sobre (un + vn) pois em alguns casos(un + vn) é convergente, noutros é divergente. Por isso, não fazemosnenhuma convenção para o símbolo
(+∞) + (−∞);
este símbolo designa-se por símbolo de indeterminação. Algo desemelhante acontece com
∞ − ∞.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 503 / 590
§6.1.5 Infinitamente grandes
Sejam (un) e (vn) duas sucessões de números reais.
a) Se un → +∞ e se (vn) tende para a > 0 ou tende para +∞, então
un.vn → +∞.
b) Se un → +∞ e se (vn) tende para a < 0 ou tende para −∞, então
un.vn → −∞.
c) Se un → −∞ e se (vn) tende para a > 0 ou tende para +∞, então
un.vn → −∞.
d) Se un → −∞ e se (vn) tende para a < 0 ou tende para −∞, então
un.vn → +∞.
e) Se un → ∞ e (vn) tende para a ∈ R \ {0} ou tende para ∞, então
un.vn → ∞.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 504 / 590
§6.1.5 Infinitamente grandes
Adoptando as convenções que se seguem, vê-se que se pode usar aregra do limite do produto:
(+∞) × a = +∞ = a × (+∞) onde a ∈ R+
(−∞) × a = −∞ = a × (−∞) onde a ∈ R+
(+∞) × a = −∞ = a × (+∞) onde a ∈ R−
(−∞) × a = +∞ = a × (−∞) onde a ∈ R−
∞ × a = ∞ = a × ∞ onde a ∈ R \ {0}(+∞) × (+∞) = +∞ = (−∞) × (−∞)
(+∞) × (−∞) = −∞ = (−∞) × (+∞)
∞ × ∞ = ∞
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 505 / 590
§6.1.5 Infinitamente grandes
Observação
Não se faz nenhuma convenção para os símbolos
0 × (+∞),
0 × (−∞)
e0 × ∞,
pois são símbolos de indeterminação.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 506 / 590
§6.1.5 Infinitamente grandes
Seja (un) uma sucessão de termos não nulos.
a) Se un → ∞, então1
un→ 0.
b) Se un → 0, então1
un→ ∞.
c) Se un → 0 e un > 0 a partir de certa ordem, então
1un
→ +∞.
d) Se un → 0 e un < 0 a partir de certa ordem, então
1un
→ −∞.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 507 / 590
§6.1.5 Infinitamente grandes
A regra do limite quociente pode manter-se desde que se adoptem asseguintes convenções
1∞ = 0
10
= ∞ 10+
= +∞ 10− = −∞
onde 0+ significa que
un → 0 e un > 0 a partir de certa ordem
e 0− significa que
un → 0 e un < 0 a partir de certa ordem.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 508 / 590
§6.1.5 Infinitamente grandes
Observação
Os símbolos ∞∞
e00
são símbolos de indeterminação.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 509 / 590
§6.1.5 Infinitamente grandes
Exemplo
a) Dado a ∈ R, consideremos a sucessão de termo geral un = an.
Se a > 1, então temos an → +∞.
Quando a = 1, então un = 1n = 1 pelo que a sucessão tende para 1.
Se a < −1, então an → ∞.
Para a = −1 obtemos a sucessão (−1)n que já vimos anteriormente.Esta sucessão é divergente.
Se −1 < a < 1, então an → 0.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 510 / 590
§6.1.5 Infinitamente grandes
Exemplo (continuação)
a) (continuação) Assim,
lim an =
+∞ se a > 1
1 se a = 1
0 se −1 < a < 1
não existe se a = −1
∞ se a < −1
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 511 / 590
§6.1.5 Infinitamente grandes
Exemplo (continuação)
b) Calculemos lim (3n − 2n). Como lim 3n = +∞ e lim 2n = +∞,temos uma indeterminação do tipo
∞ − ∞.
No entanto, pondo em evidência 3n temos
lim (3n − 2n) = lim[
3n(
1 − 2n
3n
)]
= lim[
3n(
1 −(
23
)n)]
= +∞ × (1 − 0)
= +∞ × 1
= +∞
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 512 / 590
§6.1.5 Infinitamente grandes
Exemplo (continuação)
c) Calculemos lim2n + 5n+1
2n+1 + 5n. Temos uma indeterminação pois
lim2n + 5n+1
2n+1 + 5n=
+∞ + (+∞)+∞ + (+∞)
=+∞+∞ .
Podemos levantar a indeterminação da seguinte forma
lim2n + 5n+1
2n+1 + 5n= lim
2n + 5n × 52n × 2 + 5n
= lim
2n
5n+
5n × 55n
2n × 25n
+5n
5n
= lim
(
25
)n
+ 5(
25
)n
× 2 + 1=
0 + 50 × 2 + 1
= 5
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 513 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e sériesSucessões de números reaisSéries de números reais
Definição, exemplos e primeiras propriedadesSéries de termos não negativosSéries de termos sem sinal fixo
Séries de potências
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 514 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e sériesSucessões de números reaisSéries de números reais
Definição, exemplos e primeiras propriedadesSéries de termos não negativosSéries de termos sem sinal fixo
Séries de potências
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 515 / 590
§6.2.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades
Paradoxo de Aquiles
Numa corrida entre um atleta velocista (Aquiles) e uma tartaruga édada uma vantagem inicial em termos de distância à tartaruga. Zenãodefende que Aquiles jamais alcançará a tartaruga porque quandochegar ao ponto onde a tartaruga partiu, ela já terá percorrido umanova distância; e quando Aquiles percorrer essa nova distância, atartaruga já terá percorrido uma nova distância e assim sucessivamente.Este famoso paradoxo foi proposto por Zenão da Elea no século V a.c..
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 516 / 590
§6.2.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades
200 m 40 m 8 m
Suponhamos que a vantagem inicial que Aquiles dá à tartaruga é200 m, que a velocidade de Aquiles é 5 m/s e que a velocidade da
tartaruga é 1 m/s. Aquiles demora2005
= 40 s para chegar ao ponto deonde a tartaruga partiu. Entretanto, a tartaruga percorreu
1 × 40 = 40 m. Em seguida, Aquiles demorou405
= 8 s para chegar ondea tartaruga estava e a tartaruga andou 1 × 8 = 8 m e assimsucessivamente...
Será que Aquiles consegue alcançar a tartaruga?
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 517 / 590
§6.2.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades
No primeiro ponto, o ponto inicial da tartaruga, Aquiles percorreu
200
metros; no ponto seguinte Aquiles percorreu (no total)
200 +2005
metros; no terceiro ponto Aquiles percorreu
200 +2005
+200/5
5= 200 +
2005
+20052
metros; no quarto ponto Aquiles percorreu
200 +2005
+20052
+20053
metros; e assim sucessivamente. O paradoxo de Aquiles tem por detrásaquela que, provavelmente, foi a primeira série da história!
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 518 / 590
§6.2.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades
Se (an) é uma sucessão de números reais, chamaremos série gerada por(an) à expressão
a1 + a2 + · · · + an + · · ·obtida por adição (formal) dos termos da sucessão.
A cada série fica associada uma sucessão (sn), a que se chamasucessão das somas parciais de (an), definida por
s1 = a1
s2 = a1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3
...
sn = a1 + a2 + · · · + an
...
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 519 / 590
§6.2.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades
A série diz-se convergente ou divergente conforme seja convergenteou divergente a sucessão das somas parciais (sn). Quando a série éconvergente, o limite da sucessão (sn) designa-se por soma ou valorda série.
Para representarmos a série (ou a sua soma, quando exista) usam-se ossímbolos
a1 + a2 + · · · + an + · · · ;∞∑
n=1
an;∑
an
e o contexto onde se usam estes símbolos indicará se estão arepresentar a série ou a sua soma.
Dizemos que duas séries são da mesma natureza se são ambasconvergentes ou ambas divergentes.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 520 / 590
§6.2.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades
Observação
Em certos casos pode haver vantagem em que o primeiro valor que oíndice n toma seja um inteiro diferente de um, o que não traz nenhumadificuldade na teoria que irá ser exposta. Assim,
∞∑
n=2
1n − 1
e∞∑
n=0
1n + 1
designam a mesma série, enquanto que
∞∑
n=6
1n
designa uma série diferente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 521 / 590
§6.2.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades
Exemplo
Para a série∞∑
n=1
2n(n + 1)
, representamos abaixo os primeiros termos da
sucessão de termo geral an =2
n(n + 1)e da sucessão (sn) das somas parciais
1
ba1b s1
2
ba2
b s2
3
ba3
b s3
4
ba4
b s4
5
ba5
b s5
6
ba6
b s6
7
ba7
b s7
8
ba8
b s8
9
ba9
b s9
10
ba10
b s102
Aparentemente a sucessão das somas parciais aproxima-se de 2...
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 522 / 590
§6.2.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades
Exemplo (continuação)
De facto, atendendo a que2
k(k + 1)=
2k
− 2k + 1
conclui-se que
sn =n∑
k=1
2k(k + 1)
=n∑
k=1
2k
− 2k + 1
= 2 − 22
+22
− 23
+23
− 24
+ · · · +2n
− 2n + 1
= 2 − 2n + 1
e portanto
s = lim sn = lim(
2 − 2n + 1
)
= 2.
Conclui-se que a série converge e tem soma s = 2.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 523 / 590
§6.2.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades
Série harmónica
A série∞∑
n=1
1n
designa-se por série harmónica. Consideremos ainda a respectiva sucessãodas somas parciais e tomemos a subsucessão dessa com termos com índice daforma 2k, ou seja, a subsucessão (s2k ):
s2 = 1 +12
>12
s22 = s2 +13
+14
>12
+ 2 × 14
= 2 × 12
s23 = s22 +15
+16
+17
+18
> 2 × 12
+ 4 × 18
= 3 × 12
Em geral temos s2k >k
2. Como lim
k
2= +∞, concluímos que lim sn = +∞ e,
consequentemente, a série harmónica é divergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 524 / 590
§6.2.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades
Série geométrica
Dado r ∈ R, consideremos a série∞∑
n=0rn que habitualmente se designa
por série geométrica. A sucessão (sn)n∈N0 das somas parciais será,neste exemplo, dada por
sn = 1 + r + · · · + rn =
1 − rn+1
1 − rse r 6= 1
n + 1 se r = 1.
Isto permite-nos concluir que
a série geométrica é
{
convergente se |r| < 1,
divergente se |r| > 1.
Além disso, quando |r| < 1 a sua soma é igual a1
1 − r.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 525 / 590
§6.2.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades
Sejam∑
an e∑
bn duas séries convergentes cujas somas são A e B,respectivamente. Então a série
∑
(an + bn)
é convergente e a sua soma é A + B.
Seja∑
an uma série convergente cuja soma é A e seja λ um númeroreal. Então a série
∑
(λan)
é convergente e a sua soma é λA.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 526 / 590
§6.2.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades
Se∑
an é uma série convergente e∑
bn é uma série divergente, então
∑
(an + bn)
é uma série divergente.
Note-se no entanto que, se∑
an e∑
bn são duas séries divergentes, asérie
∑
(an + bn)
pode ser convergente ou divergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 527 / 590
§6.2.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades
Exemplos
a) A série
+∞∑
n=1
(
1
n(n + 1)+
1
5n−1
)
é convergente porque as séries
+∞∑
n=1
1
n(n + 1)e
+∞∑
n=1
1
5n−1
também são convergentes. Além disso, como+∞∑
n=1
1
n(n + 1)=
+∞∑
n=1
1
2
2
n(n + 1),
podemos concluir que a sua soma é 1 pois já sabemos que soma da série+∞∑
n=1
2
n(n + 1)é 2. Quanto à série
+∞∑
n=1
1
5n−1=
+∞∑
n=0
1
5né uma série geométrica
de razão1
5e a sua soma é
1
1 − 1/5=
5
4. Assim, a soma da série
+∞∑
n=1
(
1
n(n + 1)+
1
5n−1
)
é 1 +5
4=
9
4.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 528 / 590
§6.2.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades
Exemplos (continuação)
b) A série+∞∑
n=1
(
73n−1
+1n
)
é divergente porque a série
+∞∑
n=1
73n−1
=+∞∑
n=1
7(
13
)n−1
é convergente e a série+∞∑
n=1
1n
é divergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 529 / 590
§6.2.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades
Voltemos ao exemplo inicial de Aquiles e da tartaruga. A sérieenvolvida neste exemplo é
+∞∑
n=0
2005n
=+∞∑
n=0
[
200(
15
)n]
.
Como série geométrica de razão15
é convergente pois∣
∣
∣
∣
15
∣
∣
∣
∣
< 1 e a sua
soma é1
1 − 1/5=
54
, o ponto onde Aquiles ultrapassa a tartaruga é
200 × 54
= 250 m.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 530 / 590
§6.2.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades
Nem sempre é fácil calcular a soma de uma série convergente, não seconhecendo mesmo uma expressão para a soma de algumas sériesbastante simples. Assim, no que se segue, vamos estudar critérios quenos permitem saber se uma série é ou não convergente, sem estarmospreocupados com a soma no caso da série ser convergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 531 / 590
§6.2.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades
Se∑
an é uma série convergente, então lim an = 0.
Assim, se (an) não converge para 0, a série∑
an é divergente. Porexemplo, a série
∑ n
n + 1
é divergente porque a sucessão(
n
n + 1
)
n∈N
converge para um.
No entanto, o recíproco deste teorema não é válido pois a sérieharmónica
∑ 1n
é divergente apesar da sucessão(
1n
)
n∈N
convergir para zero.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 532 / 590
§6.2.1 Definição, exemplos e primeiras propriedades
Sejam∑
an e∑
bn duas séries. Suponhamos que existe N ∈ N tal que
an = bn para qualquer número natural n > N.
Então∑
an e∑
bn
são da mesma natureza.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 533 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e sériesSucessões de números reaisSéries de números reais
Definição, exemplos e primeiras propriedadesSéries de termos não negativosSéries de termos sem sinal fixo
Séries de potências
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 534 / 590
§6.2.2 Séries de termos não negativos
Nesta secção vamos estudar séries de números reais não negativos, ouseja, séries
∑
an tais que
an > 0 para cada n ∈ N.
Obviamente, pelo que já vimos anteriormente, a teoria que vamosapresentar mantém-se válida se
an > 0 a partir de certa ordem.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 535 / 590
§6.2.2 Séries de termos não negativos
Critério geral de comparação
Sejam∑
an e∑
bn séries de termos não negativos tais que
0 6 an 6 bn a partir de certa ordem.
a) Se∑
bn é convergente, então∑
an também é convergente.
b) Se∑
an é divergente, então∑
bn também é divergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 536 / 590
§6.2.2 Séries de termos não negativos
Exemplos de aplicação do critério geral de comparação
a) Consideremos a série∞∑
n=1
1n2
. Uma vez que
0 61n2
=2
n(2n)6
2n(n + 1)
para qualquer número natural n
e, como vimos anteriormente, a série
∞∑
n=1
2n(n + 1)
é convergente, podemos afirmar que a série
∞∑
n=1
1n2
é convergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 537 / 590
§6.2.2 Séries de termos não negativos
Exemplos de aplicação do critério geral de comparação (continuação)
b) Estudemos a série∞∑
n=1
1nα
, α > 2.
Como
0 61
nα6
1n2
para qualquer n ∈ N e qualquer α > 2
e a série∑ 1
n2é convergente, a série
∑ 1nα
também é convergente quando α > 2.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 538 / 590
§6.2.2 Séries de termos não negativos
Exemplos de aplicação do critério geral de comparação (continuação)
c) A série∞∑
n=1
1nα
é divergente para α 6 1
pois
0 61n6
1nα
para cada n ∈ N e para cada α 6 1
e a série∑ 1
n
é divergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 539 / 590
§6.2.2 Séries de termos não negativos
Séries de Dirichlet
As séries ∞∑
n=1
1nα
,
com α ∈ R, designam-se por séries de Dirichlet. Nos exemplosanteriores já estudámos a natureza destas séries quando α 6 1 e α > 2.Quando 1 < α < 2, a série é convergente. Assim,
+∞∑
n=1
1nα
é
{
convergente se α > 1,
divergente se α 6 1.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 540 / 590
§6.2.2 Séries de termos não negativos
Critério do limite
Sejam∑
an e∑
bn séries de termos não negativos com bn 6= 0 paracada n ∈ N.
a) Se liman
bn= ℓ com ℓ 6= 0 e ℓ 6= +∞, então as séries
∑
an e∑
bn são da mesma natureza.
b) Se liman
bn= 0 e a série
∑
bn é convergente, então a série
∑
an também é convergente.
c) Se liman
bn= +∞ e a série
∑
bn é divergente, então a série
∑
an também é divergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 541 / 590
§6.2.2 Séries de termos não negativos
Exemplos de aplicação do critério do limite
a) A série∞∑
n=1
3n2 + 42n4 + 3n + 1
é convergente porque
3n2 + 42n4 + 3n + 1
> 0 e1n2
> 0 para qualquer n ∈ N,
lim
3n2 + 42n4 + 3n + 1
1n2
= lim3n4 + 4n2
2n4 + 3n + 1=
32
e ∞∑
n=1
1n2
é convergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 542 / 590
§6.2.2 Séries de termos não negativos
Exemplos de aplicação do critério do limite (continuação)
b) Consideremos a série∞∑
n=1
sen1n
. É óbvio que
sen1n> 0 e
1n> 0 para cada n ∈ N.
Como
limsen
1n
1n
= 1
e∞∑
n=1
1n
é divergente,∞∑
n=1
sen1n
também é divergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 543 / 590
§6.2.2 Séries de termos não negativos
Critério de D’Alembert (para séries de termos positivos)
Seja∑
an uma série de termos positivos tal que
liman+1
an= λ.
a) Se λ < 1, então∑
an é convergente.
b) Se λ > 1, então∑
an é divergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 544 / 590
§6.2.2 Séries de termos não negativos
Exemplos de aplicação do critério de D’Alembert
a) Provemos que a série∑ 2nn!
nné convergente. É óbvio que
2nn!nn
> 0 qualquer que seja n ∈ N.
Como
liman+1
an= lim
2n+1(n + 1)!(n + 1)n+1
2nn!nn
= lim2n+1 (n + 1)! nn
2n n! (n + 1)n+1= lim
2(n + 1)nn
(n + 1)n+1
= lim2nn
(n + 1)n= lim
2(n + 1)n/nn
= lim2
(1 + 1/n)n =2e
< 1,
pelo critério de D’Alembert, a série∑ 2nn!
nné convergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 545 / 590
§6.2.2 Séries de termos não negativos
Exemplos de aplicação do critério de D’Alembert (continuação)
b) A série∑
n3n
é divergente. Como
n3n > 0 para cada n ∈ N
e
liman+1
an= lim
(n + 1) 3n+1
n 3n= lim 3
n + 1n
= lim 3(
1 +1n
)
= 3 > 1,
pelo critério de D’Alembert a série∑
n3n
é divergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 546 / 590
§6.2.2 Séries de termos não negativos
Critério de Cauchy (para séries de termos não negativos)
Seja∑
an uma série de termos não negativos tal que
lim n√
an = λ.
a) Se λ < 1, então∑
an é convergente.
b) Se λ > 1, então∑
an é divergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 547 / 590
§6.2.2 Séries de termos não negativos
Exemplos de aplicação do critério de Cauchy
a) Vejamos que a série∑
(
n + 1n
)n2
é divergente. Como
(
n + 1n
)n2
> 0 qualquer que seja n ∈ N
e
lim n√
an = limn
√
(
n + 1n
)n2
= lim(
n + 1n
)n
= lim(
1 +1n
)n
= e > 1,
pelo critério de Cauchy, a série∑
(
n + 1n
)n2
é divergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 548 / 590
§6.2.2 Séries de termos não negativos
Exemplos de aplicação do critério de Cauchy (continuação)
b) À série∑
n 3n
também podemos aplicar o critério de Cauchy. Como
n 3n> 0 para cada n ∈ N
elim n
√an = lim n
√n 3n = lim 3 n
√n = 3 · 1 = 3,
o critério de Cauchy garante-nos que∑
n 3n
é divergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 549 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e sériesSucessões de números reaisSéries de números reais
Definição, exemplos e primeiras propriedadesSéries de termos não negativosSéries de termos sem sinal fixo
Séries de potências
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 550 / 590
§6.2.3 Séries de termos sem sinal fixo
Critério de Leibniz
Se (an) é uma sucessão decrescente convergente para zero, então a série
+∞∑
n=1
(−1)nan
é convergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 551 / 590
§6.2.3 Séries de termos sem sinal fixo
Observações
a) Se (an) é uma sucessão decrescente convergente para zero, então
an > 0 para qualquer n ∈ N.
b) As séries da forma+∞∑
n=1
(−1)nan
designam-se por séries alternadas.
c) O critério de Leibniz também é válido para séries da forma
+∞∑
n=1
(−1)n+1an ou da forma+∞∑
n=k
(−1)nan.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 552 / 590
§6.2.3 Séries de termos sem sinal fixo
Exemplos
a) A sucessão de termo geral an =1n
é decrescente pois
an+1 − an =1
n + 1− 1
n=
n − (n + 1)n(n + 1)
=−1
n(n + 1)6 0
para qualquer n ∈ N. Além disso,
limn→+∞
an = limn→+∞
1n
=1
+∞ = 0.
Pelo critério de Leibniz, a série
+∞∑
n=1
(−1)n
n
é convergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 553 / 590
§6.2.3 Séries de termos sem sinal fixo
Exemplos (continuação)
b) Estudemos a natureza da série+∞∑
n=1
(−1)n
n2. Como
1(n + 1)2
− 1n2
=n2 − (n + 1)2
n2(n + 1)2=
n2 − (n2 + 2n + 1)n2(n + 1)2
=−2n − 1
n2(n + 1)26 0
para qualquer n ∈ N, ou seja, a sucessão de termo geral an =1n2
é
decrescente, e
limn→+∞
1n2
=1
(+∞)2=
1+∞ = 0,
o critério de Leibniz garante-nos que a série
+∞∑
n=1
(−1)n
n2
é convergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 554 / 590
§6.2.3 Séries de termos sem sinal fixo
Exemplos (continuação)
c) Estudemos a natureza da série+∞∑
n=1
(−1)nan com an =n + 1
n. A
sucessão (an) é decrescente pois
an+1 − an =n + 2n + 1
− n + 1n
=(n + 2)n − (n + 1)2
n(n + 1)
=n2 + 2n − (n2 + 2n + 1)
n(n + 1)
=−1
n(n + 1)6 0
para qualquer n ∈ N.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 555 / 590
§6.2.3 Séries de termos sem sinal fixo
Exemplos (continuação)
c) (continuação) No entanto, como
limn→+∞
an = limn→+∞
n + 1n
= limn→+∞
n
n+
1n
= limn→+∞
1 +1n
= 1,
não podemos aplicar o critério de Leibniz pois
lim an 6= 0.
Mas se lim an = 1, a sucessão de termo geral (−1)nan é divergentepois a subsucessão dos termos de ordem par converge para 1 e asubsucessão dos termos de ordem ímpar converge para −1. Assim,a série
+∞∑
n=1
(−1)nan =+∞∑
n=1
(−1)n n + 1n
é divergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 556 / 590
§6.2.3 Séries de termos sem sinal fixo
Uma série+∞∑
n=1
an diz-se absolutamente convergente se a série dos
módulos+∞∑
n=1
|an| é convergente.
As séries absolutamente convergentes são convergentes, ou seja, se
+∞∑
n=1
|an| é convergente,
então+∞∑
n=1
an também é convergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 557 / 590
§6.2.3 Séries de termos sem sinal fixo
Observação
O recíproco do resultado anterior não se verifica. A série
+∞∑
n=1
(−1)n
n
é convergente, mas a sua série dos módulos
+∞∑
n=1
∣
∣
∣
∣
(−1)n
n
∣
∣
∣
∣
=+∞∑
n=1
1n
é a série harmónica que já vimos ser divergente.
As séries convergentes cuja série dos módulos é divergente dizem-sesimplesmente convergentes, semi-convergentes oucondicionalmente convergentes.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 558 / 590
§6.2.3 Séries de termos sem sinal fixo
Exemplos
a) Através do critério de Leibniz concluímos que a série+∞∑
n=1
(−1)n
n2é
convergente. Uma outra forma de vermos que é convergente é através dasérie do módulos:
+∞∑
n=1
∣
∣
∣
∣
(−1)n
n2
∣
∣
∣
∣
=+∞∑
n=1
1n2
.
Ora a série+∞∑
n=1
1n2
é uma série de Dirichlet com α = 2 e, portanto, é
convergente. Logo
+∞∑
n=1
(−1)n
n2
é absolutamente convergente e, portanto, é convergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 559 / 590
§6.2.3 Séries de termos sem sinal fixo
Exemplos (continuação)
b) Estudemos a natureza da série+∞∑
n=1
cos n
n2 + 2n + 3. Como, para qualquer
n ∈ N, se tem
0 6
∣
∣
∣
∣
cos n
n2 + 2n + 3
∣
∣
∣
∣
=|cos n|
n2 + 2n + 36
1n2 + 2n + 3
61n2
e a série+∞∑
n=1
1n2
é convergente, pelo critério geral de comparação, a série
+∞∑
n=1
∣
∣
∣
∣
cos n
n2 + 2n + 3
∣
∣
∣
∣
é convergente. Logo
+∞∑
n=1
cos n
n2 + 2n + 3
é absolutamente convergente e, por conseguinte, é convergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 560 / 590
§6.2.3 Séries de termos sem sinal fixo
Exemplos (continuação)
c) Consideremos a série
+∞∑
n=1
(−1)n n + 1
n2 + 2. A sua série dos módulos é
+∞∑
n=1
∣
∣
∣(−1)n n + 1
n2 + 2
∣
∣
∣=
+∞∑
n=1
n + 1
n2 + 2
e, como
limn→+∞
n + 1
n2 + 21
n
= limn→+∞
n2 + n
n2 + 2= lim
n→+∞
n2(1 + 1/n)
n2(1 + 2/n)= lim
n→+∞
1 + 1/n
1 + 2/n= 1,
pelo critério do limite, as séries
+∞∑
n=1
n + 1
n2 + 2e
+∞∑
n=1
1
n, por serem séries de termos
positivos, são da mesma natureza. Como a série harmónica é divergente, a série+∞∑
n=1
n + 1
n2 + 2também é divergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 561 / 590
§6.2.3 Séries de termos sem sinal fixo
Exemplos (continuação)
c) (continuação) Acabámos de ver que a série dos módulos de
+∞∑
n=1
(−1)n n + 1
n2 + 2é
divergente. Vejamos, usando o critério de Leibniz, que a série
+∞∑
n=1
(−1)n n + 1
n2 + 2é
convergente. Como
limn→+∞
n + 1
n2 + 2= lim
n→+∞
n(1 + 1/n)
n2(1 + 2/n2)= lim
n→+∞
1 + 1/n
n(1 + 2/n2)=
1 + 0
+∞(1 + 0)= 0
en + 2
(n + 1)2 + 2−
n + 1
n2 + 2= · · · = −
n2 + 3n − 1
((n + 1)2 + 2)(n2 + 1)6 0
para qualquer n ∈ N, pelo critério de Leibniz a série
+∞∑
n=1
(−1)n n + 1
n2 + 2
é convergente. Assim, esta série é simplesmente convergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 562 / 590
§6.2.3 Séries de termos sem sinal fixo
Para séries de termos sem sinal fixo também temos um critério ded’Alembert e um de Cauchy.
Critério de D’Alembert (para séries de termos sem sinal fixo)
Seja∑
an uma série de termos não nulos tal que
lim|an+1||an| = λ.
a) Se λ < 1, então∑
an é absolutamente convergente.
b) Se λ > 1, então∑
an é divergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 563 / 590
§6.2.3 Séries de termos sem sinal fixo
Critério de Cauchy (para séries de termos sem sinal fixo)
Seja∑
an uma série tal que
lim n
√
|an| = λ.
a) Se λ < 1, então∑
an é absolutamente convergente.
b) Se λ > 1, então∑
an é divergente.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 564 / 590
Índice
1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos
2 Funções reais de variável real: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em R
4 Primitivas
5 Cálculo integral em R
6 Sucessões e sériesSucessões de números reaisSéries de números reaisSéries de potências
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 565 / 590
§6.3 Séries de potências
Sejam a0, a1, . . . , an, . . . os termos de uma sucessão e a um número real.A série
+∞∑
n=0
an(x − a)n
= a0 + a1(x − a) + a2(x − a)2 + · · · + an(x − a)n + · · ·
designa-se por série de potências de x − a. Dizemos que a série estácentrada em a e que os números an são os coeficientes da série.
As séries
+∞∑
n=0
xn
n!,
+∞∑
n=0
n
n2 + 1(x − 2)n e
+∞∑
n=0
n(x − π)n
são séries de potências centradas, respectivamente, em 0, 2 e π.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 566 / 590
§6.3 Séries de potências
Observações
a) Há séries de potências que não começam em zero. Por exemplo, a série+∞∑
n=1
1n
xn =+∞∑
n=1
xn
n
tem de começar em um. Obviamente, tudo o que vamos estudar nestasecção contínua válido para estas séries.
b) Uma série de potências pode convergir para determinados valores de x edivergir para outros.
c) Quando x = a e n = 0 obtemos (x − a)n = 00 que, apesar de não estardefinido, no contexto das séries convencionamos ser igual a 1.
d) Para x = a, tendo em conta a observação c), a série é sempre convergente.Aliás, se x = a temos
+∞∑
n=0
an(x − a)n = a0.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 567 / 590
§6.3 Séries de potências
Exemplos de séries de potências
a) Estudemos a série de potências+∞∑
n=0
xn
n + 1. Aplicando o critério de
D’Alembert à série dos módulos
+∞∑
n=0
∣
∣
∣
∣
xn
n + 1
∣
∣
∣
∣
=+∞∑
n=0
|x|nn + 1
(quando x 6= 0) temos
limn→+∞
|x|n+1
n + 2|x|n
n + 1
= limn→+∞
n + 1n + 2
|x| = limn→+∞
1 +1n
1 +2n
|x| = 1 . |x| = |x|
e, portanto, a série+∞∑
n=0
xn
n + 1é absolutamente convergente para |x| < 1 e
é divergente se |x| > 1.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 568 / 590
§6.3 Séries de potências
Exemplos de séries de potências (continuação)
a) (continuação) Falta ver o que acontece quando |x| = 1. Se x = 1, entãoobtemos a série
+∞∑
n=0
1n + 1
=+∞∑
n=1
1n
,
isto é, obtemos a série harmónica que já vimos ser divergente. Parax = −1, temos a série alternada
∞∑
n=0
(−1)n
n + 1=
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
que é convergente (ver os exemplos do critério de Leibniz). Assim, estasérie é convergente para x ∈ [−1, 1[ e é divergente parax ∈ ] − ∞, −1[ ∪ [1, +∞[.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 569 / 590
§6.3 Séries de potências
Exemplos de séries de potências (continuação)
b) Consideremos a série de potências+∞∑
n=0
xn
n!. Aplicando o critério de
D’Alembert à série dos módulos
+∞∑
n=0
∣
∣
∣
∣
xn
n!
∣
∣
∣
∣
=+∞∑
n=0
|x|nn!
(para x 6= 0) tem-se
limn→+∞
|x|n+1
(n + 1)!|x|nn!
= limn→+∞
n!(n + 1)!
|x| = limn→+∞
1n + 1
|x| = 0 · |x| = 0,
o que permite concluir que a série+∞∑
n=0
xn
n!é absolutamente convergente
para todo o x ∈ R.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 570 / 590
§6.3 Séries de potências
Exemplos de séries de potências (continuação)
c) Estudemos a natureza da série+∞∑
n=0
nxn. Aplicando o critério de Cauchy à
série dos módulos+∞∑
n=0
|nxn| =+∞∑
n=0
n |x|n
temoslim
n→+∞
n
√
n |x|n = limn→+∞
n√
n |x| = 1 . |x| = |x| .
Assim, a série é absolutamente convergente para |x| < 1. Para |x| > 1 asérie é divergente. Para |x| = 1 a série também é divergente. Portanto, asérie
+∞∑
n=0
nxn
converge se x ∈ ] − 1, 1[ e diverge se x ∈ ] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 571 / 590
§6.3 Séries de potências
Sejam a0, a1, . . . , an, . . . os termos de uma sucessão e a um númeroreal. Então
a) existe um número real r > 0 tal que a série de potências
+∞∑
n=0
an(x − a)n
converge absolutamente quando |x − a| < r e diverge quando|x − a| > r; ou
b) a série de potências+∞∑
n=0
an(x − a)n
converge absolutamente para qualquer x ∈ R.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 572 / 590
§6.3 Séries de potências
O número r do resultado anterior designa-se por raio de
convergência da série de potências+∞∑
n=0
an(x − a)n.
Se estivermos no caso da alínea b) costuma-se fazer r = +∞.
O conjunto dos x para os quais a série é convergente designa-se por
intervalo de convergência da série de potências+∞∑
n=0
an(x − a)n.
Note-se que o intervalo de convergência de uma série de potências é umdos quatro intervalos seguintes:
]a − r, a + r[ , [a − r, a + r[ , ]a − r, a + r] ou [a − r, a + r] .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 573 / 590
§6.3 Séries de potências
Observações
a) Do critério de D’Alembert resulta que se limn→+∞
|an+1||an| = λ, então r =
1λ
.
De facto, supondo x 6= a e an 6= 0 para qualquer n ∈ N, como
limn→+∞
∣
∣an+1(x − a)n+1∣
∣
|an(x − a)n| = limn→+∞
|an+1||an| |x − a| = λ |x − a| ,
pelo critério de D’Alembert, a série é absolutamente convergente se
λ |x − a| < 1 ⇔ |x − a| <1λ
.
Além disso, se
λ |x − a| > 1 ⇔ |x − a| >1λ
,
a série é divergente. Logo
r =1λ
= limn→+∞
|an||an+1| .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 574 / 590
§6.3 Séries de potências
Observações (continuação)
b) De forma análoga prova-se, usando o critério de Cauchy, que se
limn→+∞
n
√
|an| = λ,
entãor =
1λ
= limn→+∞
1n√
|an| .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 575 / 590
§6.3 Séries de potências
Exemplos
a) Já estudamos a natureza da série de potências+∞∑
n=0
xn
n + 1e
provámos que o raio de convergência desta série é r = 1 e que o seuintervalo de convergência é [−1, 1[.
b) Num exemplo anterior vimos o raio de convergência da série de
potências+∞∑
n=0
xn
n!é r = +∞ e, consequentemente, o seu intervalo de
convergência é ] − ∞, +∞[= R.
c) Também já vimos que a série+∞∑
n=0
nxn tem como raio de
convergência r = 1 e o seu intervalo de convergência é ] − 1, 1[.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 576 / 590
§6.3 Séries de potências
Exemplos (continuação)
d) Estudemos a série de potências+∞∑
n=1
(x − 1)n
n2 2n. Consideremos a série
dos módulos+∞∑
n=1
∣
∣
∣
∣
(x − 1)n
n2 2n
∣
∣
∣
∣
=+∞∑
n=1
|x − 1|nn2 2n
e apliquemos-lhe (para x 6= 1) o critério de D’Alembert
limn→+∞
|x − 1|n+1
(n + 1)2 2n+1
|x − 1|nn2 2n
= limn→+∞
n2
(n + 1)2
2n
2n+1
|x − 1|n+1
|x − 1|n
= limn→+∞
1(1 + 1/n)2
|x − 1|2
=|x − 1|
2.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 577 / 590
§6.3 Séries de potências
Exemplos (continuação)
d) (continuação) Assim, a série+∞∑
n=1
(x − 1)n
n2 2né absolutamente
convergente quando
|x − 1|2
< 1 ⇔ |x − 1| < 2 ⇔ x − 1 < 2 ∧ x − 1 > −2
⇔ x < 3 ∧ x > −1 ⇔ x ∈ ] − 1, 3[
e é divergente quando
|x − 1|2
> 1 ⇔ x ∈ ] − ∞, −1[ ∪ ]3, +∞[.
Falta ver o que acontece quando x = −1 e x = 3.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 578 / 590
§6.3 Séries de potências
Exemplos (continuação)
d) (continuação) Quando x = 3 temos+∞∑
n=1
(3 − 1)n
n22n=
+∞∑
n=1
2n
n22n=
+∞∑
n=1
1n2
que é uma série de Dirichlet convergente. Quando x = −1 vem+∞∑
n=1
(−1 − 1)n
n22n=
+∞∑
n=1
(−2)n
n22n=
+∞∑
n=1
(−1)n 2n
n22n=
+∞∑
n=1
(−1)n
n2,
e esta série é convergente. Para vermos isso podemos usar o critério deLeibniz ou então ver que a sua série dos módulos
+∞∑
n=1
∣
∣
∣
∣
(−1)n
n2
∣
∣
∣
∣
=+∞∑
n=1
|(−1)n|n2
=+∞∑
n=1
1n2
é convergente. Assim, o raio de convergência da série+∞∑
n=1
(x − 1)n
n2 2né r = 2
e o seu intervalo de convergência é [−1, 3].
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 579 / 590
§6.3 Séries de potências
Exemplos (continuação)
e) Consideremos a série de potências
+∞∑
n=1
n
n2 + 1(x − 2)n.
Para cada x ∈ R obtemos uma série numérica cuja série dos módulos
associada é+∞∑
n=1
n
n2 + 1|x − 2|n, uma série de termos positivos. Como
lim
n + 1(n + 1)2 + 1
|x − 2|n+1
n
n2 + 1|x − 2|n
= limn3 + n2 + n + 1n3 + 2n2 + 2n
|x − 2| = |x − 2|
concluímos pelo critério de d’Alembert que se |x − 2| < 1, isto é, sex ∈ ]1, 3[, a série converge absolutamente. Se |x − 2| > 1 a série diverge.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 580 / 590
§6.3 Séries de potências
Exemplos (continuação)
e) (continuação) Se x = 3, obtemos a série
+∞∑
n=1
n
n2 + 1(3 − 2)n =
+∞∑
n=1
n
n2 + 1,
que por ser uma série de termos positivos, estudaremos a sua naturezarecorrendo ao critério do limite, fazendo a comparação com a sérieharmónica. Como
limn/(n2 + 1)
1/n= lim
n2
n2 + 1= 1
concluímos que para x = 3 a série tem a mesma natureza da sérieharmónica e, portanto, diverge.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 581 / 590
§6.3 Séries de potências
Exemplos (continuação)
e) (continuação) Além disso, se x = 1 obtemos a série+∞∑
n=1
(−1)n n
n2 + 1. A
sucessão de termo geral an =n
n2 + 1é decrescente visto que
n + 1(n + 1)2 + 1
− n
n2 + 1=
−n2 − n + 1(n2 + 2n + 2)(n2 + 1)
< 0 para todo o n ∈ N.
Por outro lado, uma vez que temos
limn→+∞
n
n2 + 1= lim
n→+∞
n
n2(1 + 1/n2)= lim
n→+∞
1n(1 + 1/n2)
=1
+∞ = 0
podemos concluir pelo critério de Leibniz que, para x = 1, a sérieconverge. Assim, a série converge para x ∈ [1, 3[ e diverge parax ∈ ] − ∞, 1[ ∪ [3 + ∞[.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 582 / 590
§6.3 Séries de potências
No intervalo de convergência I de uma série de potências
+∞∑
n=0
an(x − a)n
fica bem definida a função f : I → R dada por
f(x) =+∞∑
n=0
an(x − a)n
= a0 + a1(x − a) + a2(x − a)2 + · · · + an(x − a)n + · · · .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 583 / 590
§6.3 Séries de potências
Propriedades da função f(x) =∑+∞
n=0 an(x − a)n
Seja+∞∑
n=0
an(x − a)n
uma série de potências com raio de convergência r e com intervalo deconvergência I. Consideremos a função f : I → R definida por
f(x) =+∞∑
n=0
an(x − a)n.
Então
a) a função f é contínua em I;
b) a função f é de classe C∞ em ]a − r, a + r[;
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 584 / 590
§6.3 Séries de potências
Propriedades da função f(x) =∑+∞
n=0 an(x − a)n (continuação)
c) para cada x ∈ ]a − r, a + r[ tem-se
f ′(x) =+∞∑
n=0
[an(x − a)n]′ ,
ou seja,
f ′(x) =+∞∑
n=1
nan(x − a)n−1
=+∞∑
n=0
(n + 1)an+1(x − a)n
= a1 + 2a2(x − a) + 3a3(x − a)2 + · · · + nan(x − a)n−1 + · · ·
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 585 / 590
§6.3 Séries de potências
Propriedades da função f(x) =∑+∞
n=0 an(x − a)n (continuação)
d) para cada x ∈ ]a − r, a + r[ tem-se
∫
f(x) dx =
[
+∞∑
n=0
an(x − a)n+1
n + 1
]
+ C
= C + a0(x − a) +a1
2(x − a)2 +
a2
3(x − a)3 + · · · +
+an
n + 1(x − a)n+1 + · · ·
ou seja, a função g dada por
g(x) =+∞∑
n=0
an(x − a)n+1
n + 1
é uma primitiva de f .
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 586 / 590
§6.3 Séries de potências
Exemplos
a) Seja f : R \ {1} → R a função dada por
f(x) =1
1 − x.
Quando estudámos a série geométrica vimos que para cadax ∈ ] − 1, 1[ temos
+∞∑
n=0
xn =1
1 − x= f(x).
Verificamos então que f admite um desenvolvimento em série depotências de x no intervalo ] − 1, 1[.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 587 / 590
§6.3 Séries de potências
Exemplos (continuação)
b) Como
(
11 − x
)′=
1′(1 − x) − 1(1 − x)′
(1 − x)2=
0(1 − x) − 1(−1)(1 − x)2
=1
(1 − x)2,
usando o exemplo anterior e uma das propriedades anteriores,temos, para x ∈] − 1, 1[,
1(1 − x)2
=(
11 − x
)′=
+∞∑
n=0
(xn)′
=+∞∑
n=1
nxn−1 =+∞∑
n=0
(n + 1)xn
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 588 / 590
§6.3 Séries de potências
Exemplos (continuação)
c) O estudo que fizemos da série geométrica permite-nos concluir,para cada x ∈ ] − 1, 1[, que
11 + x
=1
1 − (−x)=
+∞∑
n=0
(−x)n =+∞∑
n=0
(−1)nxn.
Como ln(1 + x) é uma primitiva de1
1 + xtem-se
ln(1 + x) = C ++∞∑
n=0
(−1)n xn+1
n + 1
para algum C ∈ R. Como ln(1 + 0) = 0, tem-se C = 0 e, porconseguinte,
ln(1 + x) =+∞∑
n=0
(−1)n xn+1
n + 1para qualquer x ∈ ] − 1, 1[.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 589 / 590
§6.3 Séries de potências
Exemplos (continuação)
d) Usando novamente a série geométrica, para x ∈ ] − 1, 1[, temos
11 + x2
=1
1 − (−x2)=
+∞∑
n=0
(−x2)n =+∞∑
n=0
(−1)nx2n
e, pelas propriedades estudadas, tem-se para x ∈ ] − 1, 1[
arc tg x = C ++∞∑
n=0
(−1)n x2n+1
2n + 1
para algum C ∈ R. Como arc tg 0 = 0, concluímos que C = 0 e,portanto,
arc tg x =+∞∑
n=0
(−1)n x2n+1
2n + 1para x ∈ ] − 1, 1[.
António Bento (UBI) Cálculo I 2010/2011 590 / 590
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