View
1
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1
効用最大化問題 双対問題x∗
p∗
u(x∗) ≡ v(p∗, I)
minp>0
v(p, I)
s.t. p · x∗ ≤ I
maxx≥0
u(x)
s.t. p∗ · x ≤ I
p∗ · x∗ = I
双対問題のクーン・タッカー条件:
λ∗ = v�I(p∗, I):所得の限界効用
L(p,λ) = v(p, I) + λ(p · x∗ − I)双対問題のラグランジュ関数:
v�pi(p∗) + λ∗x∗
i ≥ 0
λ∗ �v�pi(p∗) + λ∗x∗
i
�= 0
x∗i = −
v�pi(p∗, I)
v�I(p∗, I)
ロワの恒等式(後出)
x∗i
x∗j
=v�pi
(p∗, I)
v�pj(p∗, I)
内点解の場合:
2
x1
x2
p2
p1
p�1/p�2p��1/p
��2
O
v(p, I) = v(p�, I)(= v(p��, I))
u(x) = u(x�)(= u(x��))
x�
x��
p�
p��
x��2/x
��1x�
2/x�1
p∗
···
·
··
p∗1/p∗2
v(p, I) = v(p∗, I)
x∗が実現する範囲
v(p∗, I) ≤ v(p�, I) = v(p��, I)
⇒
無差別曲線と(財価格間の)間接無差別曲線の幾何
3
p1
x1
x2
O
x∗u(x) = u(x∗)
x∗1
x∗2
v(p, I) = u(x∗)
I
x∗2
p2 ≡ 1
x∗1
ロワの恒等式
p�1p��1
p��1x∗1 + x∗
2
p�1x∗1 + x∗
2
v�p1(p, I)dp1 + v�I(p, I)dI = 0
→ dI
dp1= −
v�p1
v�I= x∗
1
所得・価格間の間接無差別曲線角あり・軸と交わらない無差別曲線(レオンチェフ型)の場合
4
角あり・軸と交わらない無差別曲線の場合
p1
x1
x2
O
x∗
u(x) = u(x∗)
Ix∗2
p2 ≡ 1
x∗1
x∗∗
x∗∗∗
x∗∗2x∗∗∗
2
x∗∗∗1 x∗∗
1
v(p, I) = u(x∗)
5
滑らか・軸と交わらない無差別曲線(e.g., コブ=ダグラス型)
p1
x1
x2
Ou(x) = u(x∗)
I
v(p, I) = u(x∗)
x∗1
x∗2
x∗1
p∗1
p∗1
x∗2
p2 ≡ 1
1
(∞,∞)
(各財が不可欠)
65
p1
x1
x2
Ou(x) = u(x∗)
I
v(p, I) = u(x∗)
x∗1
x∗2
x∗1
p∗1
p∗1
x∗2
p2 ≡ 1
1
x2
x2
(x2,∞)
x1
各財が不可欠でない場合 (e.g., 代替弾力性 > 1の場合のCES関数)
7
p1
x1
x2
Ou(x) = u(x∗)
I
v(p, I) = u(x∗)
x∗1
x∗2
p∗1
p∗1
p2 ≡ 1
x2
x2
x1
線形の場合(代替弾力性=∞)
8
I
pi
v
O
9
e(p, u) ≡ minx≥0
p · x
s.t.. u(x) ≥ u
§C.5. 支出最小化問題
支出関数:最適解
h(p, u)補償需要関数:
(i) u� > u ⇒ e(p, u�) > e(p, u)
(ii) p� ≥ p ⇒ e(p�, u) ≥ e(p, u)
(iii) e(tp, u) = te(p, u) ∀t > 0
(iv) pの凹関数 (連続関数)
選好:合理的・連続・局所非飽和 ⇒
定理C.10 (支出関数の性質)・・・基本的に生産費用最小化問題と同じ
:強い不等号 ⇐ 局所非飽和性
10
定理C.11 (マッケンジーの補題) ・・・消費者理論におけるシェパードの補題
hi(p, u) =∂e(p, u)
∂pi, i = 1, . . . ,m
定理C.12 (補償需要関数の性質)
(i) h(p, u) = h(tp, u) ⇒ Dph(p, u) · p = 0
(ii) Dph(p, u):対称・半負値定符号行列
∂
∂pihi(p, u) ≤ 0 ∀i
∂
∂pihj(p, u) =
∂
∂pjhi(p, u) ∀i, j (i �= j)
dp · dh = dp ·Dph(p, u)dp ≤ 0 (補償需要の法則)
11
定理C.13 (補償需要関数の凸性)
選好関係:凸(効用関数:準凹)⇒ :凸h(p, u)
選好関係:強凸(効用関数:強準凹)⇒ :単一要素h(p, u)
12
効用最大化問題 双対問題x∗
u(x∗) ≡ v(p∗, I∗)
maxp>0
e(p, u∗)
s.t. p · x∗ ≤ e∗
支出最小化問題 双対問題
u(x∗) ≡ u∗
I∗ ≡ e(p∗, u∗)p∗x∗
x(p∗, I∗)
= h(p∗, u∗)
v(p∗, I∗) ≡ u∗
I∗ ≡ e∗
x∗
p∗
e(p∗, u∗) ≡ e∗
e(p∗, u∗) ≡ minx≥0
p∗ · x
s.t. u(x) ≥ u∗
v(p∗, I∗) ≡ maxx≥0
u(x)
s.t. p∗ · x ≤ I∗
minp>0
v(p, I∗)
s.t.p · x∗ ≤ I∗p∗
13
§C.6. ロワの恒等式
定理C.15 (ロワの恒等式)
効用関数:連続+強準凹間接効用関数:微分可能
u∗ ≡ v(p, e(p, u∗))
xi(p∗, I∗) ≡ h(p∗, u∗) ≡ ∂e(p∗, u∗)
∂pi= −
∂v(p∗,I∗)∂pi
∂v(p∗,I∗)∂I
証明:
} ⇒ xi(p, I) = −v�pi
(p, I)
v�I(p, I)
マッケンジーの補題
⇒ 0 =∂v(p∗, I∗)
∂pi+
∂v(p∗, i∗)
∂I
∂e(p, u∗)
∂pi
14
v(p, I) ≡ u(x(p, I))
∂u(x)
∂xj= λ∗pj
∂v(p, I)
∂pi=
m�
j=1
∂u(x∗)
∂xj
∂xj(p, I)
∂pi
∂v(p, I)
∂I=
m�
j=1
∂u(x)
∂xj
∂xj(p, I)
∂I
∂v(p, I)
∂pi= λ∗
m�
j=1
pj∂xj(p, I)
∂pi
∂v(p, I)
∂I= λ∗
m�
j=1
pj∂xj(p, I)
∂I
15
p · x(p, I) = I
xi(p, I) +m�
j=1
pj∂xj(p, I)
∂pi= 0
∂v(p, I)
∂pi= −λ∗xi(p, I)
m�
j=1
pj∂xj(p, I)
∂I= 1
∂v(p, I)
∂I= λ∗
xi(p, I) = −v�pi
(p, I)
v�I(p, I)
16
定義C.21 (需要の所得効果)
所得 ⤴ →需要 ⤴:正常財需要 ⤵:下級財{
x2
I**p2
I*p2
I**p1
I*p1
x1
x2
I**p2
I*p2
I**p1
I*p1
x1
定義C.22 (所得消費曲線)
財1は I*~I** 間で下級財
§C.7. 所得・価格変化と需要量
17
θi ≡pixi
Im�
i=1
θiηiI = 1
m�
i=1
pixi(p, I) = I
m�
i=1
pixi
I
∂xi(p, I)
∂I
I
xi= 1
ηiI ≡ ∂xi(p, I)
∂I
I
xi(p, I)
定義C.23 (需要の所得弾力性)
定理C.16 (平均所得弾力性)
証明:
I で割る
18
定義C.24 (必需財と贅沢財)
ηiI
�> 1< 1
�⇒ pi
∂xi(p, I)
∂I
�><
�θi
ηiI > 1
ηiI < 1
:贅沢財 - luxury good
:必需財 - necessary good
19
∂hi(p, u)
∂pj=
∂xi(p, I)
∂pj+
∂xi(p, I)
∂Ixj(p, I)
∂xi(p, I)
∂pj=
∂hi(p, u)
∂pj− ∂xi(p, I)
∂Ixj(p, I)
hi(p, u) ≡ xi(p, e(p, u))
定理C.17 (スルツキー方程式)
マッケンジーの補題
S(p, I) =
s11(p, I) · · · s1m(p, I)
.... . .
...sm1(p, I) · · · smm(p, I)
sij(p, I) =∂xi(p, I)
∂pj+
∂xi(p, I)
∂Ixj(p, I)
スルツキー(代替)行列:
20
x2
x1
u(x) = u*
u(x) = u**
p1*
p2*p1**
p2*
x* x**
x***
代替効果所得効果
21
定義C.25 (ギッフェン財)
価格 ⤴ → 需要 ⤴:ギッフェン財
正常財 ⇒
∂hi(p, I)
∂pi≤ 0全ての財:
}下級財 ⇒
∂xi(p, I)
∂I< 0
∂xi(p, I)
∂I> 0
∂xi(p, I)
∂pi< 0
}
∂xi(p, I)
∂pj=
∂hi(p, u)
∂pj− ∂xi(p, I)
∂Ixj(p, I)
所得効果大:∂xi(p, I)
∂pi> 0
所得効果小: ∂xi(p, I)
∂pi< 0
財1は と の間でギッフェン財
22
x2
x1
x2
x1
Ip2
Ip1*
Ip1
Ip2
Ip1*
Ip1
定義C.26 (価格消費曲線)p1 p∗1
23
§C.8. 顕示選好理論
選好の一貫性を満たす組み合わせに注目
選好関係:観察不可能
選好関係の合理性を仮定
消費者の理論
効用関数
選好関係の連続性+
市場価格・需要: 観察可能
顕示選好理論 これまでの理論構築
乖離
�⇒⇐
24
定義C.28 (顕示選好の弱公準(WA) - Weak Axiom of Revealed Preference)
∀(p, I), (p�, I �) > 0p · x(p�, I �) ≤ Ix(p�, I �) �= x(p, I)
�⇒ p� · x(p, I) > I �
x1
x2
··
p · x = I
p� · x = I �
x(p, I)
x(p�, I �)
x1
x2
··x(p, I)
x(p�, I �)
観察された価格・所得ペアと需要行動:�
(p, I) → x(p, I)(p�, I �) → x(p�, I �)
:購入不可能
:購入可能だが選択されない
25
x1
x2
· ·p · x = I
p� · x = I �
x(p, I)x(p�, I �)
x1
x2
·
·p · x = I
p� · x = I �
x(p, I)
x(p�, I �)
x1
x2
··
p · x = I
p� · x = I �x(p, I) x(p�, I �)
WAを満たす需要行動
26
x1
x2
· ·
p · x = I
p� · x = I �x(p, I)
x1
x2
··p · x = I
p� · x = I �
x(p�, I �)
x(p�, I �) x(p, I)
WAを満たさない需要行動
多数の需要パターン → 無差別曲線の近似
27
定理C.19 (WAの必要十分条件)
予算制約が等号で成立: p · x = I
(p, I) → (p�, I �) = (p�, p� · x(p, I))
x(p, I)の購入を補償した任意の価格・所得変化:
(p� − p) · [x(p�, I �)− x(p, I)] ≤ 0
に対して補償需要の法則が成立:
WA ⟺
需要関数が0次同次: x(p, I) = x(tp, tI) ∀t > 0{
x(p�, I �) �= x(p, I)ならば強い不等号
28
(必要性) WA ⇒ 補償需要の法則:
WA:
x(p, I) �= x(p�, I �)
p� · x(p, I) ≤ I � p · x(p�, I �) > I
と仮定する。I � = p� · x(p, I)所得補償:
p� · [x(p�, I �)− x(p, I)] = 0
p · [x(p�, I �)− x(p, I)] > 0
(p� − p) · [x(p�, I �)− x(p, I)] < 0
∵所得補償
∵ WA
辺々引く
⇒
29
(十分性) 補償需要の法則 ⇒ WA:
WA が成立しないとする: p · x(p�, I �) ≤ I
p� · [x(p�, I �)− x(p, I)] = 0所得補償:
⇒ p · x(p�, I �)− p · x(p, I)� �� �=I
≤ 0
(p� − p) · [x(p�, I �)− x(p, I)] ≥ 0
:補償需要の法則に矛盾
30
定理C.20 (WAとスルツキー行列)
微分可能バージョン:
予算制約が等号で成立: p · x = I
需要関数が微分可能+0次同次: x(p, I) = x(tp, tI) ∀t > 0
WA: p� · x(p, I) ≤ I �
:半負値定符号(←支出関数の凹性)⇒ S(p, I)
dx = Dpx(p, I)dp+DIx(p, I)dI
= Dpx(p, I) +DIx(p, I)[x(p, I) · dp] [∵ dI = x(p, I) · dp]=
�Dpx(p, I) +DIx(p, I)x(p, I)
T�dp
= S(p, I)dp
dp · dx = dp · S(p, I)dp ≤ 0
所得補償
[∵定理C.19]
半負値定符号
31
定理C.21 (スルツキー行列の性質)
S(p, I) :負値定符号ではない
dp = tp (t > 0)
dI = tI
B((1 + t)p, (1 + t)I) = B(p, I)
x((1 + t)p, (1 + t)I) = x(p, I)
dx = 0
:所得補償
:予算集合の0次同次性:需要関数の0次同次性
∴ S(p, I)p = 0
�S(p, I)p = 0p · S(p, I) = 0
S(p, I)p = 0 :
証明:
32
p · x = I
m�
i=1
pi∂xi(p, I)
∂pj+ xj(p, I) = 0
p ·Dpx(p, I) + x(p, I)T = 0T
m�
i=1
pi∂xi(p, I)
∂I= 1
予算制約の等号成立:
辺々pjで微分 辺々 I で微分
p ·DIx(p, I) = 1
s(p, I) = Dpx(p, I) +DIx(p, I)x(p, I)T
p · s(p, I) = p ·Dpx(p, I)� �� �=x(p,I)T
+ p ·DIx(p, I)� �� �=1
x(p, I)T
= 0
p · S(p, I) = 0 :
33
定理C.22 (WAの必要十分条件)
予算制約が等号で成立:
需要関数が微分可能+0次同次:{∀p, I > 0
v · S(p, I)v < 0 ∀v �= tp ∀t > 0WA ⇔
34
ヒックスとスルツキーの意味での所得補償とスルツキー行列
価格変化:
∆IS = p� · x(p, I)− I
p → p�
スルツキーの所得補償(初期の需要水準を補償):
ヒックスの所得補償(初期の効用水準を保証):
∆IH = e(p�, u)− I
∆IS −∆IH = p · x(p, I)− e(p�, u) ≥ 0
∴ ∆IH ≤ ∆IH
35
dp = p� − p価格の微小変化:
Dpe(p, u) = h(p, u) = x(p, I)
e(p�, u) = Dpe(p, u) · dp+ e(p, u)
= h(p, u) · dp+ p · h(p, u)= (dp+ p) · h(p, u)= p� · x(p, I)
I ≡ e(p, u)マッケンジーの補題
ヒックスの所得補償:
:スルツキーの所得補償
∴ ∆IH = ∆IH
36
x2
x1
スルツキーの意味での補償ヒックスの意味での補償
B ( p , I )
x(p, I)u(x) = u
B(p', I )
p1 ' /p2'
!
!!
! !
!
37
p0 = (2, 2, 2)p1 = (1, 3, 2)p2 = (2, 1.5, 5)
WAは需要行動の非対称性に関する一貫性の仮定:
西村(1990, 例4.6)スルツキー行列の対称性
x0 = (4, 4, 4)x1 = (6, 2, 4)x2 = (8, 2, 3)
各需要行動ペア間の一貫性
選択肢が3つ以上の場合:非対称性 ⇏ 非循環性(i.e., 推移性)
38
p0 · x0 = p0 · x1 = 24
p1 · x0 = 24 > p1 · x1 = 20
:p0の下ではx0, x1とも購入可
p1 · x1 = p1 · x2 = 20
p2 · x1 = 35 > p2 · x2 = 34
p2 · x2 = p2 · x0 = 34
p0 · x2 = 26 > p0 · x0 = 24
:p1の下ではx0は購入不可
:p1の下ではx1, x2とも購入可:p2の下ではx1は購入不可
:p2の下ではx0, x2とも購入可:p0の下ではx2は購入不可
x0 � x1
x1 � x2
x2 � x0
}
}}
各ペア間の比較はWAと整合:
x0
x1x2
⇒ 需要関数 は顕示選好の強公準を満たすという。
任意数Nの価格・所得ペア:
39
定義C.29 (顕示選好の強公準(SA) - Strong Axiom of Revealed Preference)
x(p, I)
pi · x(pi+1, Ii+1) ≤ Ii ∀i ≤ N − 1 ⇒ pN · x(p1, I1) > IN
x(pi, Ii), i = 1, . . . , N
(pi, Ii), i = 1, . . . , N
需要:x(pi, Ii) �= x(pj , Ij) ∀i �= j{
x1 � x2 � · · · � xN �� x1※ SA::循環の排除 → スルツキー行列の対称性
定理C.23 (SAと合理的選好関係)
需要関数 がSAに従う⇒ 対応する合理的選好関係が存在x(p, I)
40
§C.9. 消費者の集計
Gorman型効用関数
vi(p, Ii) = ai(p) + b(p)Ii
ロワの恒等式
消費者 i 固有
xji (p, Ii) = αj
i (p) + βj(p)Ii
αji (p) = −
∂ai(p)∂pj
b(p)
βj(p) = −∂b(p)∂pj
b(p)
41
v�p,�N
i=1Ii�=
N�
i=1
ai(p) + b(p)N�
i=1
Ii
需要関数の集計 → 「代表的個人の」需要関数:
消費者 1, . . . , NXj(p, I1, . . . , IN� �� �) =
N�
i=1
αji (p) + βj(p)
N�
i=1
Ii
ロワの恒等式
集計してもGorman型
42
定理C.24 (ホモセティック効用関数)
v(p, I) = V (p)I
ホモセティック効用関数 ⇒ 間接効用関数はGorman型:
定理C.25 (ホモセティック効用関数と需要の法則)
個人の効用関数がホモセティック ⇒
(p� − p)�xi(p, I)− xi(p�, I)
�≤ 0 ∀p, p�, I > 0
xi(p, I) �= xi(p�, I) ⇒ “ > ”
個人の需要に関して需要法則の成立:
Mas-Colell, Whinston and Green (1995, Prop.4.C.2)
43
: 集計需要に関しても需要法則の成立
集計需要関数もホモセティック
(p� − p) [x(p, I)− x(p�, I)] ≤ 0 ∀p, p�, I > 0
個人の効用関数がホモセティック ⇒
x(p, I) ≡�
i
xi(p, I)
44
準線形効用関数 - quasi-linear utility function
U(x0, x1, . . . , xk) = x0 + u(x1, . . . , xk)
maxx0,x1
x0 + u(x1)
s.t. x0 + p1x1 = I
maxx1
u(x1) + I − p1x1
∂
∂x1u(x∗
1) = p1
∂2
∂x21
u(x∗1) ≤ 0
v(p1, I) = u(x1(p1)) + I − p1x1(p1) = V (p1) + I
k = 1
→ x1(p1)
:内点解(uは凹関数)
45
u(x1)
Ix1 *x0 ,x1
x0
I - x0*
p1 = 1
∂u(x∗1)
∂x1= 1
∂u(x)
∂x1> 1
∂u(x)
∂x1< 1
とする
>> >>
Recommended