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DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA’ (parte 2)

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Funzione di ripartizione per variabili casualidiscrete

Data una variabile casuale discreta possiamo calcolare, analoga-mente al caso continuo, la probabilità che la variabile casuale Xnon superi un certo valore x, ossia la sua funzione di ripartizione.Poichè la variabile assume valori discreti possiamo cumulare leprobabilità considerando una somma:

F(xk) = P(X ≤ xk) = ∑x≤xk

P(x)

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Funzione di ripartizione per variabili casualidiscrete

Data una variabile casuale discreta possiamo calcolare, analoga-mente al caso continuo, la probabilità che la variabile casuale Xnon superi un certo valore x, ossia la sua funzione di ripartizione.Poichè la variabile assume valori discreti possiamo cumulare leprobabilità considerando una somma:

F(xk) = P(X ≤ xk) = ∑x≤xk

P(x)

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Esempio

Si consideri il lancio consecutivo di due monete. Ricordiamo cheX = {numero di teste} la variabile casuale.

Abbiamocalcolato la distribuzione: P(0)= 0.25, P(1)= 0.50, P(2)=0.25.

Costruire la tabella della funzione di ripartizione:

X P(X ≤ xk)

0 0.251 0.25+0.50 = 0.752 0.25+0.50+0.25 = 1

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Esempio

Si consideri il lancio consecutivo di due monete. Ricordiamo cheX = {numero di teste} la variabile casuale.

Abbiamocalcolato la distribuzione: P(0)= 0.25, P(1)= 0.50, P(2)=0.25.Costruire la tabella della funzione di ripartizione:

X P(X ≤ xk)

0 0.251 0.25+0.50 = 0.752 0.25+0.50+0.25 = 1

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Esercizio

Si considerino due dadi a tre facce e sia X la variabile casuale”somma dei due dadi”.

• Descrivere la variabile casuale X.

• Costruire la sua distribuzione di probabilità.

• Calcolare E(X), σ .

• Calcolare la probabilità che 3≤ X ≤ 5, e che X ≥ 4.

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Esercizio

Si considerino due dadi a tre facce e sia X la variabile casuale”somma dei due dadi”.

• Descrivere la variabile casuale X.

• Costruire la sua distribuzione di probabilità.

• Calcolare E(X), σ .

• Calcolare la probabilità che 3≤ X ≤ 5, e che X ≥ 4.

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Esercizio

Si considerino due dadi a tre facce e sia X la variabile casuale”somma dei due dadi”.

• Descrivere la variabile casuale X.

• Costruire la sua distribuzione di probabilità.

• Calcolare E(X), σ .

• Calcolare la probabilità che 3≤ X ≤ 5, e che X ≥ 4.

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Esercizio

Si considerino due dadi a tre facce e sia X la variabile casuale”somma dei due dadi”.

• Descrivere la variabile casuale X.

• Costruire la sua distribuzione di probabilità.

• Calcolare E(X), σ .

• Calcolare la probabilità che 3≤ X ≤ 5, e che X ≥ 4.

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Esercizio

Si considerino due dadi a tre facce e sia X la variabile casuale”somma dei due dadi”.

• Descrivere la variabile casuale X.

• Costruire la sua distribuzione di probabilità.

• Calcolare E(X), σ .

• Calcolare la probabilità che 3≤ X ≤ 5, e che X ≥ 4.

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SoluzioneSi considerino due dadi a tre facce e sia X la variabile casuale”somma dei due dadi”.Lo spazio campionario dell’esperimento lancio di due dadi è

S = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}

con numerosità 9. Per ogni coppia ordinata di risultati possiamocostruire una somma e quindi la variabile casuale X assumeràvalori:

X = {2,3,4,5,6}

Possiamo costruire la distribuzione di probabilità associata adogni possibile esito a partire dallo spazio campionario dell’esperimento.

P(X = 2) =19= 0.11, P(X = 3) =

29= 0.22, P(X = 4) =

39= 0.33

P(X = 5) =29= 0.22, P(X = 6) =

19= 0.11

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Soluzione

Si considerino due dadi a tre facce e sia X la variabile casuale”somma dei due dadi”.

E(X)= µ =5

∑i=1

xiP(xi)= 2 ·0.11+3 ·0.22+4 ·0.33+5 ·0.22+6 ·0.11= 4

σ =

√√√√ 5

∑i=1

(xi−µ)2P(xi) =

=√

(2−4)2 ·0.11+(3−4)2 ·0.22+(4−4)2 ·0.33+(5−4)2 ·0.22+(6−4)2 ·0.11=√

1.33= 1.15

P(3≤X≤ 5)=P(X = 3)+P(X = 4)+P(X = 5)= 0.22+0.33+0.22= 0.77

P(X≥ 4)= 1−P(X≤ 3)=P(X = 2)+P(X = 3)= 0.11+0.22= 0.33)

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Distribuzioni di probabilità per variabilicasuali continue: misure di sintesi

Nel caso di variabili continue le misure di sintesi possono essereugualmente calcolate.

Per variabili casuali continue la probabilità è legata ad intervallie calcolata come area sottesa alla curva di distribuzione in cor-rispondenza dell’intervallo. Si ha quindi un collegamento strettocol calcolo di integrali definiti, per cui valore atteso e deviazionestandard sono calcolati come degli integrali e non come somme.

Non vedremo nello specifico come calcola queste misure pervariabili continue.

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Distribuzioni di probabilità per variabilicasuali continue: misure di sintesi

Nel caso di variabili continue le misure di sintesi possono essereugualmente calcolate.

Per variabili casuali continue la probabilità è legata ad intervallie calcolata come area sottesa alla curva di distribuzione in cor-rispondenza dell’intervallo. Si ha quindi un collegamento strettocol calcolo di integrali definiti, per cui valore atteso e deviazionestandard sono calcolati come degli integrali e non come somme.

Non vedremo nello specifico come calcola queste misure pervariabili continue.

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Distribuzioni di probabilità per variabilicasuali continue: misure di sintesi

Nel caso di variabili continue le misure di sintesi possono essereugualmente calcolate.

Per variabili casuali continue la probabilità è legata ad intervallie calcolata come area sottesa alla curva di distribuzione in cor-rispondenza dell’intervallo. Si ha quindi un collegamento strettocol calcolo di integrali definiti, per cui valore atteso e deviazionestandard sono calcolati come degli integrali e non come somme.

Non vedremo nello specifico come calcola queste misure pervariabili continue.

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Distribuzione normale o campanulare• La distribuzione normale, o campanulare o gaussiana è la

distribuzione più comune per variabili casuali continue. Moltifenomeni seguono approssimativamente quell’andamento. Inpresenza di un elevato numero di possibili esiti approssimabene anche molte distribuzioni discrete.

• E’ caratterizzata da una curva campanulare e simmetrica chedipende da due soli parametri: il valor medio µ e la varainza σ2.

• La probabilità degli intervalli µ±σ , µ±2σ e µ±3σ è la stessaper ogni distribuzione normale.

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Distribuzione normale o campanulare• La distribuzione normale, o campanulare o gaussiana è la

distribuzione più comune per variabili casuali continue. Moltifenomeni seguono approssimativamente quell’andamento. Inpresenza di un elevato numero di possibili esiti approssimabene anche molte distribuzioni discrete.

• E’ caratterizzata da una curva campanulare e simmetrica chedipende da due soli parametri: il valor medio µ e la varainza σ2.

• La probabilità degli intervalli µ±σ , µ±2σ e µ±3σ è la stessaper ogni distribuzione normale.

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Distribuzione normale o campanulare• La distribuzione normale, o campanulare o gaussiana è la

distribuzione più comune per variabili casuali continue. Moltifenomeni seguono approssimativamente quell’andamento. Inpresenza di un elevato numero di possibili esiti approssimabene anche molte distribuzioni discrete.

• E’ caratterizzata da una curva campanulare e simmetrica chedipende da due soli parametri: il valor medio µ e la varainza σ2.

• La probabilità degli intervalli µ±σ , µ±2σ e µ±3σ è la stessaper ogni distribuzione normale.

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Distribuzione normale o campanulare• La distribuzione normale, o campanulare o gaussiana è la

distribuzione più comune per variabili casuali continue. Moltifenomeni seguono approssimativamente quell’andamento. Inpresenza di un elevato numero di possibili esiti approssimabene anche molte distribuzioni discrete.

• E’ caratterizzata da una curva campanulare e simmetrica chedipende da due soli parametri: il valor medio µ e la varainza σ2.

• La probabilità degli intervalli µ±σ , µ±2σ e µ±3σ è la stessaper ogni distribuzione normale.

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Distribuzione normale o campanulare

Al variare dei parametri µ e σ otteniamo diverse distribuzioninormali.

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Distribuzione normale o campanulareData la media µ e la varianza σ2 identifichiamo la distribuzionenormale con la notazione

X ∼ N(µ,σ2)

e diremo che X ha una distribuzione normale con media µ evarianza σ2.

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Distribuzione normale o campanulareData la media µ e la varianza σ2 identifichiamo la distribuzionenormale con la notazione

X ∼ N(µ,σ2)

e diremo che X ha una distribuzione normale con media µ evarianza σ2.

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Distribuzione normale o campanularePer una variabile aleatoria normale con media µ e varianza σ2,X ∼ N(µ,σ2), la funzione di ripartizione è

F(x0) = P(X < x0)

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Distribuzione normale o campanulareLa probabilità relativa ad un intervallodi valori è misurata dall’areasottesa alla curva:

P(a < X < b) = F(b)−F(a)

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Distribuzione normale o campanulare

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Distribuzione normale o campanulare

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Distribuzione normale o campanulare

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Distribuzione normale o campanulare

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Distribuzione normale o campanulare

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Distribuzione normale o campanulare

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Distribuzione normale o campanulare

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Distribuzione normale o campanulare

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Distribuzione normale o campanulare

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Distribuzione normale o campanulare

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Distribuzione normale o campanulare

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Distribuzione normale o campanulare

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Distribuzione normale o campanulare

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Distribuzione normale o campanulare

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Distribuzione normale o campanulare

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