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Corso di Laurea in Matematica
Analisi Numerica (2 moduli, 12 crediti, 96 ore, a.a. 2014-2015)
Docente: Marco Gaviano
(e-mail:gaviano@unica.it)
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Analisi Numerica 1° mod, a.a. 2014-2015, Lezione, n.1
Scopo dell’Analisi Numerica?
‘trovare gli algoritmi che risolvono un
problema matematico’
nel minor tempo possibile
e
la massima accuratezza
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Analisi Numerica 1° mod, a.a. 2014-2015, Lezione, n.1
definizione
del
problema reale
costruzione
del
modello
verifica che la
soluzione trovata
risolve il problema reale
analisi
della
soluzione trovata
formulazione
del
problema matematico
risoluzione
del
problema matematico
Analisi numerica
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Quanto impiego
per raggiungere in auto
Sassari da Cagliari?
Ipotesi:
Distanza: S=km 220
velocità media: vm=km 80 h
verifica che la
soluzione trovata
risolve il problema reale
T=2,75 h
T=2 ore, 45 minuti
Spazio=velocità*tempo
s=vm*t
L’incognita è il tempo T
T=S/vm
Analisi numerica
Analisi Numerica 1° mod, a.a. 2014-2015, Lezione, n.1
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Obiettivo del corso
Dati i problemi:
•risolvere un sistema di equazioni lineari
•approssimare una funzione reale
•calcolo di un integrale definito
•risoluzione di sistemi di equazioni non lineari
•calcolo di autovalori ed auto vettori
•risoluzione di equazioni differenziali
Analisi Numerica 1° mod, a.a. 2014-2015, Lezione, n.1
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Obiettivo del corso
Lo studente dovrà essere in grado di
•conoscere i risultati teorici
•conoscere i metodi per la loro soluzione.
•scrivere ed implementare gli algoritmi conseguenti
• trovare le soluzioni numeriche
•valutare l’affidabilità delle soluzioni
Analisi Numerica 1° mod, a.a. 2014-2015, Lezione, n.1
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Il modo di operare
•Presentazione dei risultati teorici (esistenza e
unicità della soluzione)
•Studio dei metodi che possono risolvere i
problemi (spesso iterativi).
Analisi Numerica 1° mod, a.a. 2014-2015, Lezione, n.1
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•Traduzione dei metodi in algoritmi ovvero in una
successione finita di passi o istruzioni (in cui ogni
operazione è eseguibile e definita in modo non
ambiguo).
•Studio della convergenza nel caso in cui tutti i
calcoli vengono eseguiti esattamente.
Analisi Numerica 1° mod, a.a. 2014-2015, Lezione, n.1
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•Analisi del comportamento degli algoritmi in presenza di
errori di arrotondamento (Ciò accade usualmente allorché
un algoritmo è implementato su di un calcolatore).
•Presentazione del software commerciale più diffuso per
la risoluzione di problemi numerici.
•Apprendimento di un linguaggio di programmazione
Analisi Numerica 1° mod, a.a. 2014-2015, Lezione, n.1
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Il corso consiste in
• 48 ore di lezioni teoriche
• 48 ore di attività di laboratorio (in cui allo
studente sono assegnati dei problemi da
risolvere o con programmi già disponibili
o con codici da mettere a punto.
Analisi Numerica 1° mod, a.a. 2014-2015, Lezione, n.1
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Programma del corso 1° modulo
•Richiami e nozioni preliminari.
Spazi metrici e normati.
Norme in Rn e norme di matrici.
Spazi a dimensione infinita.
Trasformazioni e operatori.
Analisi Numerica 1° mod, a.a. 2014-2015, Lezione, n.1
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•Classificazione problemi computazionali.
•Analisi degli errori.
Sorgenti di errore.
Rappresentazione dei numeri sul calcolatore.
Propagazione degli errori.
•Complessità computazionale.
Analisi Numerica 1° mod, a.a. 2014-2015, Lezione, n.1
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•Sistemi lineari
Metodi diretti
Metodi iterativi
•Approssimazione di funzioni
Interpolazione
Migliore approssimazione
Analisi Numerica 1° mod, a.a. 2014-2015, Lezione, n.1
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Principale testo di riferimento
V.Comincioli, Analisi Numerica, metodi
modelli applicazioni, McGraw-Hill
Libri Italia, srl, Milano 1998.
Analisi Numerica 1° mod, a.a. 2014-2015, Lezione, n.1
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Altri testi di riferimento
F.Fontanella, A. Pasquali, Calcolo Numerico,
Metodi ed Algoritmi, Ed. Pitagora, Bologna.
J.Stoer, R. Burlisch, Introduzione all'Analisi
Numerica, Ed. Zanichelli.
E.Isaacson, H.B.Keller, Analysis of Numerical
Methods, John Wiley, New York.
G. Rodriguez, Algoritmi Numerici, Pitagora Ed.
Bologna.
Analisi Numerica 1° mod, a.a. 2014-2015, Lezione, n.1
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Testi di riferimento per il laboratorio
W.J Palm III, Matlab 6, Mc Graw-Hill.
W.H. Press et alii., Numerical Recipes, The art of
Scientific Computing, Cambridge Press.
Analisi Numerica 1° mod, a.a. 2014-2015, Lezione, n.1
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Modalità dell’esame del 1° modulo
prove scritte
1 prova
prova orale
1 prova finale per la verifica dell’attività di
laboratorio e della parte teorica.
Analisi Numerica 1° mod, a.a. 2014-2015, Lezione, n.1
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Informazioni utili
Gli schemi delle lezioni e i problemi
assegnati nel laboratorio saranno disponibili
nel sito del Corso di Laurea.
Analisi Numerica 1° mod, a.a. 2014-2015, Lezione, n.1
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Corso di Laurea in Matematica
Analisi Numerica (1° mod., 6 crediti, 48 ore, a.a. 2014-2015, lez.2)
Docente: Marco Gaviano
(e-mail:gaviano@unica.it)
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Spazio lineare (definizione)
Per gli insiemi
X={x,y,… } e K={a,b,... },
X insieme di elementi di natura qualsiasi, K un
campo di scalari siano definite le operazioni
somma: x+y, x, yX
prodotto: a*x, aK
Analisi Numerica 1° mod. a.a. 2014-2015, Lezione n.2
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(proprietà)
1) xX, yX x+y X
2) xX, aK axX
3) x+y=y+x
4) (x+y)+z=x+(y+z)
5) esiste un elemento 0X, tale che
x+0=x xX
Analisi Numerica 1° mod. a.a. 2014-2015, Lezione n.2
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6) xX esiste l’opposto –x tale che x+(-x)=0
7) a(bx)=(ab)x
8) a(x+y)=ax+ay
9) (a+b)x=ax+bx
10) 1x=x
Allora X è detto uno spazio lineare su K
Analisi Numerica 1° mod. a.a. 2014-2015, Lezione n.2
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In Analisi Numerica usualmente K è
l’insieme dei numeri reali e X è detto
Spazio Lineare Reale
Analisi Numerica 1° mod. a.a. 2014-2015, Lezione n.2
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Perché questa definizione?
I matematici costruiscono teorie il più
generale possibile che siano valide per il
maggior numero di situazioni
(teorie astratte o generali)
Analisi Numerica 1° mod. a.a. 2014-2015, Lezione n.2
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Esempio 1
insieme di tutte le coppie di numeri reali
R2={ (x1,x2) | x1,x2 R}
insieme di tutte le terne di numeri reali
R3={ (x1,x2, x3) | x1,x2, x3 R}
insieme di tutte le n-ple di numeri reali
Rn={ (x1,…, xn) | x1,…, xn R}
Analisi Numerica 1° mod. a.a. 2014-2015, Lezione n.2
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Esempio 2
Insieme di tutte le matrici 22, M22
Insieme di tutte le matrici nn, Mn n
2,21,2
2,11,1
aa
aaM
nnn
n
aa
aa
M
,1,
,11,1
...
.........
...
Analisi Numerica 1° mod. a.a. 2014-2015, Lezione n.2
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Esempio 3
Insieme di tutti i polinomi di grado 2
P2(x) = a0+a1x+a2x2
Insieme di tutti i polinomi di grado n
Pn(x) = a0+a1x+…+anxn
Analisi Numerica 1° mod. a.a. 2014-2015, Lezione n.2
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Esempio 4
Insieme di tutte le funzioni continue nell’intervallo [a,b]
C[a,b]
Insieme di tutte le funzioni con derivata 1a continua
nell’intervallo [a,b]
C(1) [a,b]
Insieme di tutte le funzioni con derivate continue fino ad
m nell’intervallo [a,b]
C(m)[a,b]
Analisi Numerica 1° mod. a.a. 2014-2015, Lezione n.2
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Esempio 5
Insieme L1(a,b) di tutte le funzioni reali
per cui esiste l’integrale
b
a
dxxf |)(|
Analisi Numerica 1° mod. a.a. 2014-2015, Lezione n.2
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Esempio 6
Insieme Lp(a,b) di tutte le funzioni reali
per cui esiste l’integrale
b
a
pp dxxf /1)|)(|(
Analisi Numerica 1° mod. a.a. 2014-2015, Lezione n.2
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(definizione)
Dati gli elementi x1, x2,…,xn dello spazio lineare X
la somma a1x1+ a2 x2,…,+ anxn
con a1,a2,…, anR si chiama
combinazione lineare di x1, x2,…,xn
Analisi Numerica 1° mod. a.a. 2014-2015, Lezione n.2
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(definizione)
Dati gli elementi x1, x2,…,xn dello spazio lineare) se
a1,a2,…, anR vale l’implicazione
a1x1+ a2 x2,…,+ anxn =0
implica
a1a2=…, =an0
allora x1, x2,…,xn sono detti
linearmente indipendenti
Analisi Numerica 1° mod. a.a. 2014-2015, Lezione n.2
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(definizione)
Dati gli elementi x1, x2,…,xn dello spazio lineare) se
non sono linearmente indipendenti essi sono detti
linearmente dipendenti
Analisi Numerica 1° mod. a.a. 2014-2015, Lezione n.2
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(definizione)
Se in uno spazio lineare esistono n elementi
linearmente indipendenti e ogni insieme di n+1
elementi è linearmente dipendente, si dice che
X ha dimensione n
Analisi Numerica 1° mod. a.a. 2014-2015, Lezione n.2
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(definizione)
Se in uno spazio lineare esistono n elementi
x1, x2,…,xn linearmente indipendenti tali che
ogni elemento y di X può essere espresso come
loro combinazione, cioè
ya1x1+ a2 x2,…,+ anxn
con opportuni a1, a2,…, anR, allora si dice che
gli elementi x1, x2,…,xn costituiscono una
base di X
Analisi Numerica 1° mod. a.a. 2014-2015, Lezione n.2
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Esempio 1
I vettori x1= (1,0) e x2=(0,1) costituiscono una
base per R2. Infatti, ogni copia (a1,a2) può
essere espressa come
(a1,a2)= a1* (1,0) + a2*(0,1)
Analisi Numerica 1° mod. a.a. 2014-2015, Lezione n.2
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Esempio 2
I vettori x1= (1,0,0) e x2=(0,1,0) e x3=(0,0,1)
costituiscono una base per R3. Infatti, ogni tripletta
(a1,a2, a3) può essere espressa come
(a1,a2 ,a3)= a1(1,0,0) + a2(0,1,0) +a3(0,0,1)
Analisi Numerica 1° mod. a.a. 2014-2015, Lezione n.2
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Esempio 3
I vettori x1= (1,0,…,0), x2= (0,1,…,0), …, xn=(0,…,1)
costituiscono una base per Rn. Infatti, ogni elemento
(a1,a2, …,an) può essere espressa come
(a1,a2 ,…,an)= a1(1,0,…0) + a2(0,1,…,0),…, an(0,0,…,1)
Analisi Numerica 1° mod. a.a. 2014-2015, Lezione n.2
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Esempio 4
sono una base per qualsiasi matrice dello
spazio M22
00
102M
01
003M
10
004M
00
011M
2,21,2
2,11,1
aa
aaM
Analisi Numerica 1° mod. a.a. 2014-2015, Lezione n.2
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Esempio 5
I polinomi p0(x)=1 e p1(x)= x
sono una base per tutti i polinomi del tipo
P(x)=a0+a1x
Analisi Numerica 1° mod. a.a. 2014-2015, Lezione n.2
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Esempio 6
I polinomi
p0(x)=1, p1(x)= x e p2(x)=x2
sono una base per tutti i polinomi del tipo
P(x)=a0+a1x+ a2x2
Analisi Numerica 1° mod. a.a. 2014-2015, Lezione n.2
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Esempio 7
I polinomi
p0(x)=1, p1(x)= x, …,pn(x)=xn
sono una base per tutti i polinomi del tipo
P(x)=a0+a1x+ a2x2+… anxn
Analisi Numerica 1° mod. a.a. 2014-2015, Lezione n.2
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Esempio 8
L’insieme di tutte le funzioni continue
nell’intervallo [a,b] indicato da
C[a,b]
è uno spazio di dimensione infinita.
(Non esiste un insieme finito di funzioni la cui
combinazione lineare produce una qualsiasi
funzione)
Analisi Numerica 1° mod. a.a. 2014-2015, Lezione n.2
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