View
8
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Řešení testu 1
Mechanika a molekulová fyzikaNOFY021
čtvrtek 28. listopadu 2019
Příklad 1Zadání: Lovec vrhl oštěp z výšky H = 1.5 m nad zemí směrem ke kopci vzdálenému(a) L = 30 m (počítala 1. skupina od 8:10), (b) L = 10 m (počítala 2. skupina od 9:50)rychlostí v0 = 12 m s−1 pod úhlem α = 55◦. Úhel stoupání kopce je β = 45◦.Vypočítejte, do jaké vzdálenosti D od paty kopce se zabodl oštěp.
Pozn.: Kvůli chybě v zadání počítala 1. skupina s příliš velkou vzdáleností L a tím pádemoštěp ke kopci nedoletěl.
Řešení: Na oštěp po vyhození působí tíhová síla, která mu uděluje zrychlení −g ve svislémsměru. Pohybové rovnice pro oštěp, který reprezentujeme hmotným bodem, můžeme tedynapsat jako:
x = 0
y = −g
s počátečními podmínkami
x(t = 0) = −Ly(t = 0) = H
vx(t = 0) = v0 cosα
vy(t = 0) = v0 sinα
Jejich vyřešením dostáváme trajektorii letu oštěpu:
x = v0t cosα− L, (1)
y = H + v0t sinα− 1
2gt2. (2)
(a) V prvním případě je vzdálenost L příliš velká, a tudíž se oštěp zabodne do zeměještě před kopcem v bodě A se souřadnicemi [xa, ya] = [−D, 0]. Rovnice (2) má potom tvarkvadratické rovnice
0 = H + v0ta sinα− 1
2gt2a
1
s kořeny
ta,12 =1
g
(v0 sinα±
√v20 sin2 α + 2Hg
)ta,12 =
v0 sinα
g
(1±
√1 +
2Hg
v20 sin2 α
), (3)
kde zápornému času ta odpovídá okamžik před vyhozením oštěpu, zatímco kladná hodnotata je dobou letu. Dosadíme-li tuto hodnotu do rovnice (1), dostaneme rovnou vzdálenost Dod paty kopce.
−D = v0ta cosα− L
D = L− v20 sinα cosα
g
(1 +
√1 +
2Hg
v20 sin2 α
)(4)
D = 15.2 m
Oštěp se tedy zabodne před kopcem ve vzdálenosti 15.2 m.
(b) V druhém případě je vzdálenost L dostatečně malá, aby oštěp doletěl ke kopci a zabodlse do něj v bodě B se souřadnicemi [xb, yb], pro které platí:
xb = D cos β =
√2
2D, (5)
yb = D sin β =
√2
2D. (6)
V bodě B jsou velikosti x-ové a y-ové souřadnice stejné, můžeme v něm tedy rovnice (1) a (2)položit do rovnosti.
xb = yb
v0tb cosα− L = H + v0tb sinα− 1
2gt2b
Řešením poslední kvadratické rovnice jsou časy tb,12:
tb,12 =1
g
(v0 sinα− v0 cosα±
√v20(sinα− cosα)2 + 2(H + L)g
)tb,12 =
v0 sinα
g
(1− cotgα±
√(1− cotgα)2 +
2(H + L)g
v20 sin2 α
), (7)
kde opět zápornému času tb odpovídá okamžik před vyhozením oštěpu a kladná hodnota tb jedobou letu. Dosadíme-li tuto hodnotu do rovnice (1), dostaneme x-ovou souřadnici bodu B.
xb = v0tb cosα− L
xb =v20 sinα cosα
g
(1− cotgα +
√(1− cotgα)2 +
2(H + L)g
v20 sin2 α
)− L (8)
xb = 2.81 m
2
Pro kontrolu stejný výsledek obdržíme pro y-ovou souřadnici bodu B dosazením času tb dorovnice (2).
tb =v0g
(sinα− cosα +
√1− 2 sinα cosα +
2(H + L)g
v20
)
yb = H + v0tb sinα− 1
2gt2b
yb = H +v20 sinα
g
(sinα− cosα +
√1− 2 sinα cosα +
2(H + L)g
v20
)
− v202g
(sin2 α− 2 sinα cosα + cos2 α + 1− 2 sinα cosα +
2(H + L)g
v20
)− v20
g
((sinα− cosα)
√1− sin 2α +
2(H + L)g
v20
)
yb = H +v20g
(sin2 α− sinα cosα− 1 + 2 sinα cosα
)+v20g
(cosα
√1− 2 sinα cosα +
2(H + L)g
v20
)−H − L
yb =v20 cosα
g
(sinα− cosα +
√1− 2 sinα cosα +
2(H + L)g
v20 sin2 α
)− L (9)
yb = 2.81 m
Z rovnic (5) a (6) si můžeme vzdálenost D vyjádřit jako D =√
2xb =√
2yb, neboli:
D =√
2
[v20 sinα cosα
g
(1− cotgα +
√(1− cotgα)2 +
2(H + L)g
v20 sin2 α
)− L
](10)
D ≈ 4 m.
Oštěp se tedy zabodne ve vzdálenosti 4 m od paty kopce.
3
Příklad 2Zadání: Posilovací náčiní (viz obrázek) se skládá ze tří stejných pružin o stejné tuhosti ka délce L = 40 cm. Působíme-li na každou pružinu zvlášť silou F = 100 N, prodlouží seo délku ∆L = 10 cm.Jakou práci vykonáme při natažení posilovacího náčiní na dvojnásobnou délku?
Řešení: V nenapjatém stavu má pružina délku L a napneme ji na dvojnásobnou délku2L. Práce, kterou při napínání pružiny vykonáme, je rovna rozdílu potenciálních energiív napjatém a v nenapjatém stavu.
W = Ep1 − Ep0
Potenciální energie pružnosti je dána výrazem
Ep =1
2Ky2,
kde K je tuhost celého náčiní a y je výchylka z rovnovážné polohy. Potenciální energie nena-pjaté pružiny je tedy nulová a práce W je rovna potenciální energii Ep1.
W =1
2K(2L− L)2
W =1
2KL2 (1)
Tuhost k každé pružiny určíme ze známého prodloužení ∆L a rovnováhy síly F se siloupružnosti pružiny.
F = k∆L
k =F
∆L(2)
4
Tuhost K tří pružin spojených vedle sebe je rovna součtu tuhostí jednotlivých pružin k.Pokud bychom chtěli napnout všechny tři pružiny o délku ∆L, museli bychom na ně působittrojnásobnou silou. Dáme-li dohromady rovnice (1) a (2) a položíme K = 3k, dostaneme propráci W :
W =3FL2
2∆L(3)
W = 240 J.
5
Příklad 3Zadání: Uvažujme pohyb planety X kolem Slunce po eliptické trajektorii. V periheliu trajek-torie je vzdálenost planety X od Slunce rovna rp = 2 AU a její rychlost vp je rovna 4
5oběžné
rychlosti vZ Země kolem Slunce. Hmotnost planety X je rovna 12hmotnosti Země MZ .
Vyjádřete obecně:(a) celkovou mechanickou energii planety X,(b) vzdálenost a rychlost planety X v afeliu.
Pozn.: Předpokládejte, že Země se pohybuje kolem Slunce po kružnici konstantní rychlostí vevzdálenosti R = 1 AU. Rotaci planety X kolem vlastní osy a vliv gravitace ostatních planetzanedbáváme.Řešení: (a) Celková mechanická energie planety X je rovna součtu její kinetické a potenciálníenergie Ek a Ep:
Ek =1
2MXv
2, (1)
Ep =−κMXMS
r, (2)
kde MS je hmotnost Slunce a κ je gravitační konstanta. Vzhledem k tomu, že se celkovámechanická energie zachovává v každém bodě trajektorie, můžeme ji vypočítat ze známýchhodnot vzdálenosti a rychlosti v periheliu. Vzdálenost planety X v periheliu je rovna dvojná-sobku střední vzdálenosti Země od Slunce, rp = 2R; rychlost planety X v periheliu je zadánapomocí oběžné (kruhové) rychlosti Země vZ .
vZ =
√κMS
R
vp =4
5
√κMS
R
Celková mechanická energie je tedy rovna:
E = Ek + Ep
E =1
2MXv
2p −
κMXMS
2R
E =16
50
κMXMS
R− κMXMS
2R
E = − 9
50
κMXMS
R
E = − 9
100
κMZMX
R(3)
Uvážíme-li, že celková mechanická energie Země EZ je
EZ = −κMZMS
2R,
můžeme rovnici (3) přepsat jako:
E =9
50EZ . (4)
6
Energie Země i planety X jsou záporné, celková mechanická energie planety X je tedy vyššía planeta se pohybuje po elipse s ohniskem ve Slunci.
(b) Rychlost va a vzdálenost ra planety X v afeliu určíme nejsnadněji použitím zákonazachování mechanické energie, kterou jsme spočítali v předchozím bodě.
− 9
100
κMZMS
R=
1
4MZv
2a −
κMZMS
2ra(5)
Zaveďme si pro jednoduchost bezrozměrné jednotky pro vzdálenost a rychlost.
% =raR
ν =vavZ
=va√κMS
R
Rovnice (6) potom přejde do tvaru:
− 9
100=
1
4ν2 − 1
2%. (6)
Jako druhou rovnici pro neznámé ra a va, resp. % a ν použijeme druhý Kepplerův zákonzapsaný pro perihelium a afelium.
rava = rpvp
%ν =8
5(7)
Z poslední rovnice si můžeme vyjádřit např. parametr % = 85ν
a dosadit do rovnice (6).
− 9
100=
1
4ν2 − 5
16ν
0 =1
2ν2 − 5
8ν +
9
50
Řešením poslední kvadratické rovnice jsou kořeny:
νa,p =5
8±√
25
64− 18
50
νp =4
5
νa =9
20(8)
První kořen odpovídá (přirozeně) periheliu, druhý kořen afeliu. Pro vzdálenost v afeliu platí:
%a =8
5νa=
32
9. (9)
Rychlost a vzdálenost planety X v afeliu jsou tedy:
ra =32
9R (10)
va =9
20
√κMS
R(11)
7
Příklad 4Zadání: Sáňkař sjíždí z kopce z výšky h0 = 10 m podle obrázku.Vypočítejte, do jaké výšky h1 vyjede na protějším kopci, je-li koeficient smykového tření mezisáněmi a sněhem f = 0.1, délka rovinky l = 20 m a sklon kopců α = 30◦ a β = 20◦.
Řešení: Rozdělme si pohyb sáňkaře na tři části: jízda z kopce, jízda po rovince a jízda dokopce.
Při jízdě z kopce působí ve směru pohybu sáňkaře tečná složka tíhové síly Ft1 a protisměru jeho pohybu třecí síla Fs1.
Ft1 = FG sinα = mg sinα
Fs1 = fFn1 = fFG cosα = fmg cosα
Z druhého Newtonova zákona můžeme vypočítat zrychlení sáňkaře a1.
F1 = ma1
F1 = Ft1 − Fs1a1 = g(sinα− f cosα) (1)
Sáňkař koná rovnoměrně zrychlený pohyb, jehož dráhu a rychlost popisují následujícívztahy.
s1 =1
2a1t
21
v1 = a1t1 ⇒ t1 =v1a1
s1 =v212a1
Dráhu s1 můžeme vyjádřit ze známe výšky h0 a spočítat rychlost v1 sáňkaře na konci prvníhokopce.
v1 =√
2a1s1
v1 =
√2h0g
sinα(sinα− f cosα) (2)
v1 = 12.74 m s−1
8
Při jízdě po rovince působí proti směru pohybu sáňkaře třecí síla Fs2.
Fs2 = fFn2 = fmg
Z druhého Newtonova zákona vypočítáme zrychlení sáňkaře a2.
F2 = ma2
F2 = Fs2
a2 = fg (3)
Sáňkař koná rovnoměrně zpomalený pohyb, jehož dráhu a rychlost popisují následujícívztahy.
s2 = v1t2 −1
2a2t
22
v2 = v1 − a2t2První rovnice má dva kořeny:
t2 =1
a2
(v1 ∓
√v21 − 2a2s2
),
kde první kořen odpovídá dosažení konce rovinky s rychlostí v2, zatímco druhý kořen odpovídáteoretické situaci, kdy sáně zastaví až za koncem rovinky a vrátí se opačným směřem dovzdálenosti s2. Rychlost sání na konci rovinky je tedy:
v2 =√v21 − 2a2s2
v2 =
√2h0g
sinα(sinα− f cosα)− 2fgl (4)
v2 = 11.09 m s−1
Při jízdě do kopce působí proti směru pohybu sáňkaře tečná složka tíhové síly Ft3 a třecísíla Fs3.
Ft3 = FG sin β = mg sin β
Fs3 = fFn3 = fFG cos β = fmg cos β
Z druhého Newtonova zákona můžeme vypočítat zrychlení sáňkaře a3.
F3 = ma3
F3 = Ft3 + Fs3
a3 = g(sin β + f cos β) (5)
Sáňkař koná rovnoměrně zpomalený pohyb, jehož dráhu a rychlost popisují následujícívztahy.
s3 = v2t3 −1
2a3t
23
v3 = v2 − a3t3 ⇒ t3 =v2 − v3a3
∣∣∣∣v3=0
=v2a3
s3 =v222a3
9
Dráhu s3 můžeme opět vyjádřit pomocí konečné výšky h a dosadit z rovnice (4) rychlost v2.
h
sin β=
v222a3
h = sin β2h0g(1− fcotgα− 2fgl)
2g(sin β + f cos β)
h = h0(1− fcotgα)− fl/h0
1 + fcotgβ(6)
h = 4.9 m
Sáňkař tedy vyjede druhý kopec do výšky 4.9 m.
10
Recommended