EQUAZIONI E SISTEMI D’EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI

EQUAZIONI E SISTEMI

D’EQUAZIONIDIFFERENZIALI

LINEARI ACOEFFICIENTI

COSTANTI

Argomenti della lezioneArgomenti della lezione

Termini noti di tipo Termini noti di tipo particolare particolare

Accenno ai sistemi Accenno ai sistemi con coefficienti costanti con coefficienti costanti

Oscillazioni forzate Oscillazioni forzate

TERMINI NOTITERMINI NOTIDI TIPODI TIPO

PARTICOLAREPARTICOLARE

Se l’equazione ha coefficienti Se l’equazione ha coefficienti costanti e il termine noto è dei costanti e il termine noto è dei seguenti tipiseguenti tipi

a) a) b(x) = P(x), grado P(x) = pb(x) = P(x), grado P(x) = p

Allora una soluzione è del tipoAllora una soluzione è del tipopolinomio polinomio xxk k Q(x)Q(x), con , con gradogrado Q(x)Q(x)= p= p, se , se aann =…= a =…= an-k+1n-k+1 = 0 = 0

EsempioEsempio

––2y’” + 2y” = x+12y’” + 2y” = x+1

Soluzione particolareSoluzione particolare

xx2 2 (a x + b) = a x(a x + b) = a x33 + b x + b x22

Si trovaSi trova

a = 1/12, b =1/2a = 1/12, b =1/2

b)b) b(x) = eb(x) = exx P(x), grado P(x) = p P(x), grado P(x) = pee numero reale, radice dell’numero reale, radice dell’equazione caratteristicaequazione caratteristica di di molteplicitàmolteplicità r r ((r=0 r=0 se se non è non è radice).radice).

AlloraAllora y(x) = e y(x) = exx x xrr Q(x) Q(x), con, congrado Q(x) = p = grado P(x) grado Q(x) = p = grado P(x)

EsempioEsempio

y”–2y’ + y = ey”–2y’ + y = exx(x+1)(x+1)

z = 1 z = 1 è radice doppia è radice doppia dell’equazione caratteristica; dell’equazione caratteristica; eexx e e xexexx sono le soluzioni l.i. sono le soluzioni l.i.dell’omogenea. Una soluzione dell’omogenea. Una soluzione particolare ha la forma particolare ha la forma

u(x) = xu(x) = x22eex x (ax+b)(ax+b)

aa e e b b R R da determinare da determinare

Si trovaSi trova

a = 1/6, b = 1/2.a = 1/6, b = 1/2.

Una soluzione particolare della Una soluzione particolare della completa ècompleta è

u(x) = xu(x) = x22eex x (x/6+1/2)(x/6+1/2)

c)c) b(x) = eb(x) = eaxax [P [P11(x) cos(bx) + (x) cos(bx) + PP22(x) sen(bx)](x) sen(bx)]

È il caso più generale del quale È il caso più generale del quale ci occuperemo. Ha come casi ci occuperemo. Ha come casi particolari i due casi precedenti.particolari i due casi precedenti.

Se Se p = max(grado Pp = max(grado P11(x),(x),grado Pgrado P22(x) )(x) )e e a + i ba + i b è radice è radice di molteplicità di molteplicità rr dell’equazione dell’equazionecaratteristica, una soluzionecaratteristica, una soluzioneparticolare ha la formaparticolare ha la forma

u(x) = eu(x) = eaxax x xrr [Q [Q11(x) cos(b x) +(x) cos(b x) ++ Q+ Q22(x) sen(b x)], grado Q(x) sen(b x)], grado Q11(x) =(x) =grado Qgrado Q22(x) = p(x) = p

Si noti che la combinazione Si noti che la combinazione QQ11(x) cos(b x) +(x) cos(b x) ++ Q+ Q22(x) sen(b x)(x) sen(b x) deve sempre deve sempre comparire anche se può mancarecomparire anche se può mancarein b(x).in b(x).

EsempioEsempio

y”–2y’ + y = (x+1) sen x y”–2y’ + y = (x+1) sen x

z = i z = i non è radice dell’equazionenon è radice dell’equazionecaratteristica: caratteristica: r = 0r = 0. Le soluzioni. Le soluzionisono da ricercare nella formasono da ricercare nella forma

u(x) = (a x + b) sen x + u(x) = (a x + b) sen x + (c x + d) cos x, (c x + d) cos x, concon a, b, c, d a, b, c, d dadadeterminare. Si trovadeterminare. Si trova

a = -1/3, b = -17/9, a = -1/3, b = -17/9, c = 2/3, d = 19/9.c = 2/3, d = 19/9.

u(x) = (- x/3 - 17/9) sen x + u(x) = (- x/3 - 17/9) sen x + (2 x/3 + 19/9) cos x(2 x/3 + 19/9) cos x

Se b(t) è somma di funzioni deiSe b(t) è somma di funzioni deitipi precedenti, si considererà la tipi precedenti, si considererà la somma delle corrispondenti somma delle corrispondenti soluzioni particolari.soluzioni particolari.

OSCILLAZIONI OSCILLAZIONI FORZATEFORZATE

Se un punto materiale è soggettoSe un punto materiale è soggettoad una forza di tipo elastico ed il ad una forza di tipo elastico ed il suo moto è frenato da una forzasuo moto è frenato da una forzad’attrito proporzionale alla velocità,d’attrito proporzionale alla velocità,situazione che spesso si può situazione che spesso si può ipotizzare in problemi di tipo ipotizzare in problemi di tipo meccanico, l’equazione del moto,meccanico, l’equazione del moto,supposto un solo grado di libertà, è supposto un solo grado di libertà, è

m y” = - k y - h y’ m y” = - k y - h y’

CioèCioè

y” + (h/m) y’ + (k/m) y = 0y” + (h/m) y’ + (k/m) y = 0

O ancheO anche

y” + 2 y” + 2 y’ + y’ + 22 y = 0 y = 0

QuiQui

h2m

km

ee

Se Se = 0 = 0, si ottengono oscillazioni, si ottengono oscillazionidette “libere” descritte dalla dette “libere” descritte dalla soluzione generalesoluzione generale

y(t) = cy(t) = c11cos(cos( t) + c t) + c22sen(sen( t) t)

o anche, equivalentemente,o anche, equivalentemente,

y(t) = A sen(y(t) = A sen( t+ t+))

dove dove AA è l’ è l’ampiezzaampiezza dell’ dell’oscillazione e oscillazione e la la fasefase. .

L’andamento della soluzione è diL’andamento della soluzione è ditipo oscillatorio, detto tipo oscillatorio, detto motomoto armonicoarmonico. La frequenza . La frequenza è è detta la detta la frequenza caratteristicafrequenza caratteristicadell’oscillatoredell’oscillatore

t0 1086420-20

4

2

0

-2

-4

Se Se ≠ 0 ≠ 0, l’equazione caratteristica, l’equazione caratteristicaha soluzioniha soluzioni

1 2 2

2 2 2

Se Se > > si ha un moto smorzato. si ha un moto smorzato. La soluzione è combinazione La soluzione è combinazione lineare di due esponenziali lineare di due esponenziali decrescenti a decrescenti a 00 per per t t ..

Se Se = = ,, ee la soluzione non èla soluzione non èoscillatoria; si ha oscillatoria; si ha

y(t) = (cy(t) = (c + c + c22 t) e t) e- - t t

Anche in questo caso Anche in questo caso y(t)y(t) tende a tende a 00 per per t t ..

Infine, se Infine, se < < si hasi ha

1 i

2 idove dove 2

2

La soluzione si può scrivere nellaLa soluzione si può scrivere nellaformaforma

y(t) = A ey(t) = A e- - t t sen(sen( t+ t+))

Si trovano infinite oscillazioniSi trovano infinite oscillazionidette dette “smorzate”“smorzate”, di frequenza , di frequenza e di ampiezzae di ampiezza A e A e- - t t

t0 1086420

0

4

3

2

1

0

-1

-2

Supponiamo ora che una forza Supponiamo ora che una forza esterna sia impressa al punto esterna sia impressa al punto materiale. L’equazione diviene materiale. L’equazione diviene alloraallora

y” + 2 y” + 2 y’ + y’ + 22 y = f(t) y = f(t)

Ci interessa in particolare il casoCi interessa in particolare il casoche che f(t) = B cos(f(t) = B cos( t) t)

Al moto armonico liberoAl moto armonico liberodi frequenza di frequenza si sovrappone si sovrappone un’un’oscillazioneoscillazione forzataforzata di frequenza di frequenza se se ≠ ≠ ;; se se = = si assiste al si assiste al fenomeno della fenomeno della “risonanza”“risonanza” . .L’ampiezza dell’oscillazione forzataL’ampiezza dell’oscillazione forzatacresce nel tempo come cresce nel tempo come B t/(2 B t/(2 )). . L’ampiezza tende a L’ampiezza tende a per per t t ..

Se Se = 0 = 0, la soluzione è del tipo, la soluzione è del tipo

y(t) = z(t) + u(t)y(t) = z(t) + u(t)

con con z(t) = A sen(z(t) = A sen( t+ t+), ), soluzione dell’omogenea; unasoluzione dell’omogenea; unasoluzione particolare della soluzione particolare della completa è data dacompleta è data da

u(t)

B

2 2

cos(t)

se se ≠ ≠ ..

Se invece Se invece = = , si trova, si trova

u(t)

B

2t sen(t)

t0 10864200

6

4

2

0

-2

-4

-6

Oscillazioni forzateOscillazioni forzate

y(t) = 5 sen(t+y(t) = 5 sen(t+/10)+4 cos(3 t)/10)+4 cos(3 t)

RisonanzaRisonanza

t0 10864200

150

100

50

0

-50

-100

-150

y(t) = 5 sen(t+y(t) = 5 sen(t+/10)- 16 t cos(4 t)/10)- 16 t cos(4 t)

Se Se ≠ 0 ≠ 0, una soluzione particolare, una soluzione particolaredella completa si trova con semplicidella completa si trova con semplicicalcolicalcoli

u(t)

B

( 2 2)2 4 2 2sen( t )

dove dove

sen 2

2

( 2 2 )2 4 2 2

cos 2

( 2 2 )2

4 2 2

B

( 2 2)2 4 2 2

L’ampiezza dell’oscillazione L’ampiezza dell’oscillazione forzata èforzata è

Se Se < < // l’ampiezza ha un l’ampiezza ha un massimo per massimo per = ( = (2 -2 2))1/21/2

Anche in questo caso c’è Anche in questo caso c’è risonanzarisonanza

t0 43210

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

Andamento dell’ampiezza, perAndamento dell’ampiezza, per = 2, = 2, = 1/2 = 1/2

Gli effetti della risonanzaGli effetti della risonanzapossono essere catastroficipossono essere catastrofici

Il crollo del ponte di Il crollo del ponte di TacomaTacoma(Wa - USA) 7 novembre 1940(Wa - USA) 7 novembre 1940

QuickTime™ and aCinepak decompressor

are needed to see this picture.

ACCENNO AI SISTEMIACCENNO AI SISTEMICON COEFFICIENTICON COEFFICIENTI

COSTANTICOSTANTI

Un sistema completo con Un sistema completo con coefficienti costanti si scrivecoefficienti costanti si scrive

Y’ = A Y + B(x)Y’ = A Y + B(x)

Il sistema omogeneo èIl sistema omogeneo è

Y’ = A YY’ = A Y

A A è una matrice con coefficientiè una matrice con coefficientireali (o complessi)reali (o complessi)

Ricordando che lo sviluppo in Ricordando che lo sviluppo in serie per l’esponenziale è serie per l’esponenziale è convergente per ogni x realeconvergente per ogni x reale

eexx = 1 + x + x = 1 + x + x22/2! + .. + x/2! + .. + xnn/n! +../n! +..

Si può definire Si può definire

eeAA = 1 + A + A = 1 + A + A22/2! + .. + A/2! + .. + Ann/n! +../n! +..

La matrice La matrice eeAA si può pensare si può pensare definita componente per definita componente per componente a partire dalla formulacomponente a partire dalla formulaprecedenteprecedente

Una matrice fondamentale cheUna matrice fondamentale cherisolve il sistema omogeneo èrisolve il sistema omogeneo è

U(x) =U(x) = eexAxA

Che sia fondamentale segue dalChe sia fondamentale segue dalfatto che fatto che U(0) = IU(0) = I

In generale In generale U(x)U(x) è lunga da è lunga da calcolare, ma in alcuni casi speciali calcolare, ma in alcuni casi speciali i calcoli si semplificano. i calcoli si semplificano. Tuttavia ci fermiamo qui..Tuttavia ci fermiamo qui..