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Abstract The search of more robust solutions for multiple-input multiple-output (MIMO) process control has motivated the
development of complex modeling and control techniques for
such systems. In this work the performance of a distributed
controller (Distributed Model Predictive Control DMPC) versus
a centralized solution (Model Predictive Control, MPC) are
compared when faults in sensors and actuators occur.
Preliminary results show that for faults in actuators the
distributed solution has a better response but it requires more
calculation time.
Keywords Fault Tolerance, Model Predictive Control,
Distributed MPC, Continuous Stirred Tank Reactor.
I. INTRODUCCION
istemas a gran escala, espacialmente distribuidos o
sistemas en red, pueden ser difciles de controlar debido a
la complejidad de la comunicacin, la necesidad de cmputo
requerida, o la prdida de robustez cuando se confa en un solo
controlador centralizado. Motivado por estas dificultades se
han desarrollado diferentes alternativas de control que dividen
el sistema en subsistemas controlados por agentes [1] ya sea
de manera independiente (estrategia descentralizada) o
comunicados entre s (estrategia distribuida). Por su parte el
Control Predictivo basado en Modelos (conocido en ingls
como Model Predictive Control, MPC) ha demostrado su
eficacia y versatilidad frente al control PID para la industria de
procesos, debido a su capacidad para manejar mltiples
variables, restricciones y requerimientos de optimizacin que
lo convierten en un buen candidato para implementar
estrategias no centralizada [2]. El objetivo de este trabajo es
evaluar la conveniencia de aplicar una estrategia DMPC
(Distributed Model Predictive Control) analizando su robustez
ante fallas en los sensores y/o actuadores del sistema. Como
caso de estudio consideramos un sistema comnmente
empleado en la investigacin de MPC y sus variantes, el
Reactor tipo Estanque Agitado (Continuous Stirred Tank
Reactor, CSTR) [3][6]. En la seccin 2 de este artculo se presentan de manera
resumida los fundamentos de Control Predictivo. A
continuacin, en la seccin 3, se resumen los conceptos de
Control Distribuido. En la seccin 4 se presenta la
metodologa usada para evaluar la robustez ante fallas Luego,
en la seccin 5 se presenta el caso de estudio DMPC, aplicado
Este estudio fue financiado por el Proyecto Fondecyt N1120047,
Distributed Hybrid Model Predictive Control for Mineral Processing. B. Lagos, Pontificia Universidad Catlica de Chile, Santiago, Chile,
balagos@uc.cl A. Cipriano, Pontificia Universidad Catlica de Chile, Santiago, Chile,
aciprian@ing.puc.cl
a un reactor qumico tipo estanque agitado. La seccin 6
incluye las conclusiones del trabajo realizado.
II. FUNDAMENTOS DE CONTROL PREDICTIVO
BASADO EN MODELOS (MPC)
El MPC corresponde a un conjunto de tcnicas de control
que tienen en comn el uso del modelo dinmico de un
sistema, informacin sobre acciones previas de control y la
optimizacin, considerando restricciones, de una funcin de
costos sobre un horizonte de prediccin [7], [8].
Una manera de implementarlo es resolviendo un problema
de optimizacin cuadrtica (en ingls Quadratic Program, QP)
en cada instante de control usando una funcin objetivo que
minimiza el error entre las salidas y una referencia deseada y
que adems minimiza las variaciones en las acciones de
control, esto es:
1
2 2
: 10
min 1 1 N
ref RQk k Ni
k i y k k i
u
y u
1)
s.a.
1k i A k i B k i x x u
( )k i C k i y x
1 ( 1 )k i k i k i u u u {0,..., 1}i N
1min maxk i y y y
min maxk i u u u En cada iteracin se requiere tener como informacin las
acciones de control aplicadas con anterioridad y el estado en el
instante anterior. Consideraremos que las variables de estado x
pueden estimarse por medio de un Filtro de Kalman a partir de
mediciones de las salidas y y las entradas u.
III. FUNDAMENTOS MPC DISTRIBUIDO (DMPC)
Cuando se desea controlar un sistema de Mltiples Entradas y
Mltiples Salidas (MIMO) una opcin es dividir el trabajo
entre diferentes agentes que controlen secciones del sistema
general. Controlar cada subsistema de manera
independiente considerando las interacciones con otros
subsistemas como perturbaciones se denomina solucin
descentralizada; en cambio si se consideran acoplamientos
entre subsistemas y comunicacin entre agentes, la
estrategia se denomina solucin distribuida, ver Fig. 1.
B. Lagos and A. Cipriano, Senior Member, IEEE
Performance Evaluation of a Distributed MPC Strategy Applied to the Continuous Stirred Tank
Reactor
S
Figura 1. Diferentes arquitecturas de control. Fuente [7].
En los ltimos aos se han propuesto diferentes alternativas de
control predictivo distribuido (DMPC) [1], [7][10]. La Tabla I muestra una clasificacin propuesta en [9].
Para este trabajo se escogi la metodologa descrita en [11],
que corresponde a una metodologa DMPC Iterativo
Cooperativo. El problema de control ptimo considera
comunicacin entre ellos y la funcin objetivo es global, por
lo que la solucin tiende al ptimo de Pareto.
Suponiendo que el sistema tiene al menos 2 entradas y 2
salidas, ste se puede dividir en M subsistemas, cada uno
asociado a cierta cantidad de entradas y salidas, de manera que
no se repitan en cada subsistema:
1 1( ) ( )
( ) ( )
k k
k k
k k
M M
y u
y u
y u
2)
La estrategia de solucin utilizada consiste en que en cada
iteracin k , cada agente resuelve el problema de optimizacin con toda la informacin disponible (estado actual y secuencia
de control dada por los dems agentes), minimizando una
funcin objetivo global, y obteniendo la secuencia de control
para el subsistema al que est asociado. Las soluciones son
comunicadas, ponderadas entre s y sometidas a una nueva
iteracin, hasta alcanzar una condicin de trmino o mximo
nmero de iteraciones. Este esquema tiende a la solucin
centralizada mientras ms iteraciones se realicen.
En cada ( 1)p -sima iteracin cada subsistema i resuelve el
problema de optimizacin descrito en la seccin 1.1, pero
aadiendo la siguiente restriccin de igualdad, donde [p]ju
corresponde a valores factibles para las entradas de los
subsistemas j i :
[ ]: 1 1, ,pj jk k N j i M u u 3) La solucin a estos problemas de optimizacin en paralelo se
denota como * : 1i k k N u .
Dada una iteracin factible : 1pi k k N u la siguiente
iteracin queda definida por una actualizacin convexa, la
cual se explica grficamente en la Fig. 2. 1 : 1 : 1 (1 ) : 1p pi i i i ik k N k k N k k N
*u u u
1
1 , 0 1, ,M
i i
i
i M
4)
Figura 2: Paso convexo desde p p1 2u ,u hacia p 1 p 11 2u ,u . Fuente [12].
Las iteraciones p continan hasta alcanzar cierto acuerdo
entre agentes, ya sea por haberse alcanzado un nmero
mximo de iteraciones maxp o bien por el cumplimiento de un
criterio de convergencia iterativo para la funcin de costos del
tipo , , 1V k p V k p .
Si bien la estrategia converge a la solucin centralizada, esta
no llega a ser exactamente igual por lo que su solucin es
Centralizada
Descentralizada
Distribuida
Controlador 2
SubsistemaS1
SubsistemaS2
Sistema
Referencias
Referencias
Controlador 1
SubsistemaS1
SubsistemaS2
Sistema
Controlador
Referencias
Referencias
Controlador 2
SubsistemaS1
SubsistemaS2
Sistema
Referencias
Referencias
Controlador 1
Solucin del agente 2
Iteracin Actual Solucin del agente 1
Siguiente Iteracin
TABLA I CLASIFICACIN DE ALGORITMOS DMPC
TOPOLOGA DE LA
RED DE
TRANSMISIN
Parcial: La informacin es transmitida slo entre los agentes cuya dinmica est acoplada entre s
Completa: La informacin es transmitida desde
un agente a todo el resto
INTERCAMBIO DE
INFORMACIN
Iterativo: La informacin es transmitida ms de una vez para cada instante de muestreo (en orden
de converger a una decisin)
No-Iterativo: La informacin es transmitida una
sola vez por cada instante de muestreo
RACIONALIDAD DEL ALGORITMO
Solucin en equilibrio de Nash: Juego no-
cooperativo donde las funciones objetivo de cada
jugador es diferente de las otras y busca optimizar costos locales.
Solucin en equilibrio de Pareto: Juego
cooperativo donde la funcin objetivo es la
misma para todos los jugadores. Tiende al ptimo centralizado.
subptima. Los detalles para la implementacin se presentan
en [13].
IV. ANLISIS DE ROBUSTEZ
Para comparar la robustez de los controladores diseados se
analiz el efecto que producen fallas en los sensores y fallas
en los actuadores.
Las fallas en los sensores ( )sif k fueron incluidas al momento
de estimar el estado y corresponden a una medicin 0. Las
fallas en los actuadores ( )ajf k , incluidas al momento de
aplicar las acciones de control a la planta, representan el caso
en que el actuador no respondi a la seal y se mantuvo en el
valor anterior 1k k u u . En el espacio de estados, las
fallas dan origen a las expresiones:
1 1 1 11 1
1
1 1
a a
a a
m m m m
f k u k f k u k
k A k
f k u k f k u k
x x B
real k C ky x
1 1
s
real
medida
s
p real p
f k y k
k
f k y k
y
5)
Tanto ( )ajf k como s
if k pueden tomar valores 1 o 0 segn
cierta probabilidad de ocurrencia.
La Tabla II resume los casos de fallas estudiados para ambos
ejemplos.
Como ndice de desempeo se utiliz el error RMS (Root
Mean Square) dado por:
2
1( )
N
refk
RMS
y k y k
N
6)
V. APLICACIN AL REACTOR CONTINUO DE TIPO
ESTANQUE AGITADO (CSTR)
El objetivo de este estudio es comparar el desempeo de los
controladores MPC y DMPC, basados en un modelo dinmico
lineal. Tambin se presenta una comparacin con la solucin
descentralizada.
A. Descripcin del proceso
Figura 3: Esquema del proceso con entradas (1 2,u u ) y salidas ( 1 2,y y ).
El sistema estudiado corresponde a un reactor exotrmico del
tipo CSTR (ver Fig. 3), en el cual se produce una reaccin del
tipo A B . Las ecuaciones que modelan el proceso son [14][16]:
, 1expiA A i AFdC E
C C a ydt V RT
exp
i hi A c
p p
F UAdT a ET T C T T
dt V C RT C V
, ( )
c c hc i c c
c p c
dT F UAT T T T
dt V C V
7)
Las variables controladas corresponden a la concentracin del
reactante a la salida del reactor AC y la temperatura al interior
del reactor T , y las variables manipuladas son el flujo de
entrada iF y el flujo de refrigerante cF .
Si se iguala el calor extrado por el refrigerante cQ con el
calor al interior del reactor rQ en estado estacionario es
posible encontrar 3 puntos de operacin de los cuales 2 son
estables y uno es inestable [14], [16]. Este fenmeno es
ilustrado en la Fig. 4 considerando los parmetros del reactor
analizado en [15]:
, ( )
h c i p chc
p h p c
A U T T C FUAQ T T
C V A U C F
,( ) expexp
i A iir i
pi
FCF a EQ T T T
EV C RTa V F
RT
8)
Flujo delRefrigerante
Concentracin de reactante a la salida
Flujo de Alimentacin
Temperatura del reactor
TABLA II FALLAS EN SENSORES Y ACTUADORES
CASO N FALLA SENSOR
(% DE OCURRENCIA)
FALLA ACTUADOR
(% DE OCURRENCIA)
1 0 0 2 40 0
3 80 0
4 0 25 5 40 25
6 80 25
7 0 50
8 40 50 9 80 50
10 0 75
11 40 75 12 80 75
Figura 4: Puntos de operacin presentes en el reactor exotrmico CSTR. Los puntos A y C son estables, el punto B inestable.
Linealizando (7) en torno a un punto de operacin estable es
posible encontrar una funcin de transferencia como la usada
en [17] y que ser usada para este estudio.
11
22
1 5
( ) 1 0.1 1
( ) 1 2
1 0.5 1 0.4
U sY s s s
U sY s
s s
9)
Las variables 1 2 e Y Y , 1 2 y U U son desviaciones con respecto
al punto de operacin en torno al cual se linealiz. La
discretizacin se realiz empelando retencin de orden cero
con un periodo de muestreo de 0.01[min]sT .
La formulacin del sistema en espacio de estados se llev a
cabo empleando la forma cannica modal [18], la cual asocia
un estado a cada polo de la funcin de transferencia. De este
modo, el modelo lineal discreto determinado es:
1 ( )k A k B k x x u
( )k C ky x
0.9048 0 0 0
0 0.9802 0 0
0 0 0.9900 0
0 0 0 0.9753
A
0.25 0
0.125 0
0 0.25
0 0.25
B
0.3807 0 0.199 0
0 0.1584 0 0.1975C
10)
B. Resultados de Simulacin
Los parmetros utilizados para el diseo de los controladores
se resumen en la Tabla III. El horizonte de prediccin, la
penalizacin del error y el nmero de iteraciones se
definieron mediante prueba y error.
Fig. 5, Fig. 6 y Fig. 7 muestran algunos de los casos
estudiados. En los grficos, los asteriscos representan los
instantes en que se introdujo una falla de sensores (grficos de
salidas) y/o de actuadores (grficos de entradas).
En el primer caso se incluye en la comparacin una solucin
descentralizada. Los controladores descentralizados usan los
mismos parmetros y estructura que el centralizado pero
considerando las entradas del otro subsistema como una
perturbacin medida.
Figura 5: Caso 1, sin fallas.
Figura 6: Caso 8, 40% ocurrencia de falla en Sensores y 50% en Actuadores.
300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
Temperatura del reactor en estado estacionario [R]
Calo
r [b
tu]
Calor al interior del reactor Qr
Calor Extrado por el refrigerante Qc
A
C
B
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.35
0.4
0.45
0.5
0.55
Tiempo [minutos]
Outp
uts
y1 MPC
y1 DMPC
y1 MPCDesc
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.25
0.3
0.35
0.4
Outp
uts
Tiempo [minutos]
y2 MPC
y2 DMPC
y2 MPCDesc
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Inputs
Tiempo [minutos]
u1 MPC
u1 DMPC
u1 MPCDesc
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Inputs
Tiempo [minutos]
u2 MPC
u2 DMPC
u2 MPCDesc
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
Tiempo [minutos]
Outp
uts
y1 MPC
y1 DMPC
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Outp
uts
Tiempo [minutos]
y2 MPC
y2 DMPC
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
Inputs
Tiempo [minutos]
u1 MPC
u1 DMPC
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Inputs
Tiempo [minutos]
u2 MPC
u2 DMPC
TABLA III PARMETROS PARA LOS CONTROLADORES
MPC DMPC
Horizonte de Prediccin/ Control 3 3
Penalizacin del error y1 y2Q ,Q
[13,15] [13,15]
Penalizacin de las variaciones en la
accin de control u1 u2R ,R [1,1] [1,1]
N Iteraciones No aplica 10
Periodo de Muestreo para el Control 0.01 [min] 0.01 [min]
Figura 7: Caso 12, 80% ocurrencia de falla en Sensores y 75% en Actuadores.
Los valores del error RMS para cada caso se presentan en la
Fig. 8.
Figura 8: Error RMS para cada caso.
El tiempo de clculo promedio por muestreo fue de 0.55 [s]
por agente para DMPC y 0.055 [s] para MPC, calculados en
un computador con procesador Intel i7-4700HQ 2.4Ghz.
C .Evaluacin del Desempeo
Para el caso sin fallas se observa que la solucin
descentralizada para la salida 1 (Fig. 5, MPCDesc) se
aproxima a la centralizada (Fig. 5, MPC), pero pierde
efectividad cuando se considera la salida 2. Otro punto en
contra de la solucin descentralizada es que exige valores
elevados para la variable manipulada 1.
Por otra parte se observa que la solucin distribuida (DMPC)
tiende a comportarse como la centralizada, que es lo esperado.
Para los otros casos se aprecia que un aumento en las fallas de
los sensores empeora progresivamente el desempeo del
DMPC, mientras la solucin MPC no se ve tan afectada, tanto
para los casos sin falla en los actuadores (casos 1, 2 y 3) como
con falla (acasos restantes). En cambio, si comparamos el
desempeo slo ante fallas de actuadores por separado (casos
4, 7 y 10) vemos que en todos los casos DMPC logra el mejor
desempeo.
En los casos intermedios el desempeo de los controladores
depender de cmo se combinan los aportes ante cada falla,
siendo en general las ms crticas las fallas de actuador ya que
producen los mayores aumentos en el error, sobre todo pasado
el 50% de probabilidad (caso 7 en adelante). En estos casos el
DMPC presenta un mejor desempeo que el MPC.
Cabe destacar que cada agente DMPC resuelve un problema
QP con 1 variable de optimizacin, ya que la segunda variable
est sujeta a una restriccin de igualdad), mientras el
controlador MPC resuelve un problema QP con 2 variables de
optimizacin. Esta situacin no se refleja en el tiempo de
clculo por muestreo del DMPC, que es cerca de 10 veces el
tiempo usado en la solucin MPC, debido a las iteraciones de
la metodologa distribuida usada.
VI. CONCLUSIONES
En el presente trabajo se estudi el desempeo de una
estrategia DMPC ante fallas en sensores y actuadores de un
reactor qumico. Los resultados obtenidos muestran que para
fallas en sensores, sin la presencia de fallas en actuadores, la
solucin centralizada presenta un mejor desempeo, pero
cuando existen fallas en los actuadores la solucin distribuida
alcanza un mejor comportamiento. Sin embargo, un aspecto a
considerar es que los factores de penalizacin influyen en los
indicadores, pues pueden implicar un uso ms o menos
intensivo de los actuadores. Por otra parte, en los casos
estudiados DMPC no reduce el tiempo de clculo,
posiblemente debido la caracterstica iterativa de la
metodologa. A futuro se espera profundizarla evaluacin,
considerando sistemas de mayor complejidad y metodologas
ms eficientes para la solucin distribuida.
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[8] A. Bemporad, Decentralized and Hybrid Model Predictive Control, in 3rd WIDE PhD School on Networked Control Systems, 2009.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
Tiempo [minutos]
Outp
uts
y1 MPC
y1 DMPC
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Outp
uts
Tiempo [minutos]
y2 MPC
y2 DMPC
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
Inputs
Tiempo [minutos]
u1 MPC
u1 DMPC
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Inputs
Tiempo [minutos]
u2 MPC
u2 DMPC
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y MPC y DMPC y MPC y DMPC
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Benjamn Lagos is currently a graduate student in the
Master of Science program at the Mechanical
Engineering Department, Pontificia Universidad Catlica de Chile (PUC). His thesis consists in the
design of a vibration energy harvester prototype to feed
wireless sensor networks optimized for heavy duty vehicles. In parallel, Benjamn worked in a research
project related to applying distributed hybrid control
strategies in mineral processing. Since 2014 he is member of the research team of the renewable energy company
Orbital Wave Energy. His research interests cover model predictive
control (MPC) and design, simulation and control of mechatronic systems.
Aldo Cipriano (M74SM95) received the M.Sc. degree in electrical engineering from Universidad de Chile in
1974 and the Ph.D. degree from the Technical University of Munich in 1981. Since 1974 he has been with the
Pontificia Universidad Catlica de Chile, where he has
been Deann (1998-2004), and Vice Dean (2010-2014) of the Faculty of Engineering, and and Director for Research, Innovation and Graduate Studies
of the College of Engineering (2014-2015), among other duties. He received
the AIE-IEEE Award Ingeniero Sobresaliente 2012, For outstanding contributions in Electrical Engineering and Automation and in Engineering
Education and Accreditation, the Conicyt Award by obtaining 10 research projects, Fondecyt Regular Competitions 1982-2012, and the IEEE Latinamerica Award, Ingeniero Eminente 2006. He is a Senior Member of the IEEE and a member of the Chilean Academy of Engineering. For many
years he has been involved in the design and implementation of a variety of advanced control systems for mineral processing plants. His current research
interests include theory and application of hybrid model predictive control.
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