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8/18/2019 Formulario 2016 II
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8/18/2019 Formulario 2016 II
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3/32
ACADEMIAS
EF
squema
ormulario
Católica
ACADEMIAS
8/18/2019 Formulario 2016 II
4/324 ESQUEMA – FORMULARIO
NÚMEROSY
OPERACIONES
ACADEMIAS
4
ÍN
DICE
Números y Operaciones ................. 3 - Sistema decimal
-Razones
- Magnitudes proporcionales - Reparto proporcional - Regla de tres - Divisibilidad - Criterios de divisibilidad - Números primos - MCD y MCM I - MCD y MCM II - Fracciones I - Fracciones II - Porcentajes I - Porcentajes II
Álgebra ........................................ 10 - Exponentes - Polinomios - Productos notables - División algebraica - Factorización - Ecuaciones de primer grado - Planteamientos I - Ecuaciones cuadráticas - Planteamientos II - Función lineal, cuadrática y aplicaciones
Geometría y Medidas .................... 21 - Triángulos – Líneas notables - Triángulos notables - Razones trigonométricas de ángulos agudos - Cuadriláteros I - Cuadriláteros II - Circunferencia I - Circunferencia II - Polígonos - Relaciones métricas - Áreas triangulares - Áreas cuadrangulares - Áreas circulares - Relación de áreas
x
8/18/2019 Formulario 2016 II
5/325ESQUEMA – FORMULARIO
N Ú M E R O S Y
O P E R A C I O N E S
ACADEMIAS
Sistema decimal
Descomposición polinómica abcd = a×103 + b×102 + c×10 + d Conteo de cifras
Sea 1, 2, 3, ...
ncifras
abcd...xyz
La cantidad de cifras utilizadas =
ncifras
(abc...xyz 1)n 111...111= –
Progresión aritmética
Suma de términos =
+último primero2
.#términos; #términos = –último primerorazón
+ 1
Razones
Razón aritmética: a – b
a : antecedente
b : con secuente
Razón geométrica: ab
Razones equivalentes: 31 2 n1 2 3 n
aa a a.... k
b b b b= = = = =
• 1 2 3 n
1 2 3 n
a a a ... ak
b b b ... b
+ + + +=
+ + + +
• n1 2 3 n
1 2 3 n
a a a ... ak
b b b ... b =
× × × × × × × ×
Magnitudes proporcionales
Si: A DPB A ConstanteB
=⇒
Si: A IPB A B Constan te=
⇒ ×
Si: A DPB A CConstante
B A IPC =
×
Reparto proporcional
Si N se reparte en forma DP a los números a, b y c
1 2 3P P P N+ + =∴ y31 2 PP P Constante
a b c
= = = .
Si N se reparte en forma IP a los números a; b y c.
1 2 3P P P N+ + =∴ y P1.a = P2.b = P3.c = Constante.
8/18/2019 Formulario 2016 II
6/326 ESQUEMA – FORMULARIO
NÚMEROSY
OPERACIONES
ACADEMIAS
Regla de tres DP
=
obreros tiempoConstante
obra =
×
Divisibilidad
o o o
n n n+ = o o o
n n n – =
o o
n.k n (k )= ∈ o o
k ( n ) n (k )∈ +=
( )
o
oo
o
N A r
N B r N MCM A,B, C r
N C r
= +
= + = +
= +
⇒
o o o o o
1 2 3 x 1 2 3 x( n r ) (n r ) (n r ) ...( n r ) n r r r ... r+ + + + = +
Criterios de divisibilidad
Si:
o o
abcd 2 d 2= =→
Si:o o
8 4b 2c d 8= + + =→
Si:o o
abcd 9 a b c d 9= + + + =→
Si:o o
abcd 25 cd 25= =→
Si:
o o
4 2c d 4= + =→
Si:o o
abcd 3 a b c d 3= + + + =→
Si:o o
abcd 5 d 5= =→
Si:o o
a b c d e 11 a b c d e 11= – + – + = – – – +
→
Si:o o
7 f 3e 2d c 3b 2a 7= + + – – – =→
8/18/2019 Formulario 2016 II
7/327ESQUEMA – FORMULARIO
N Ú M E R O S Y
O P E R A C I O N E S
ACADEMIAS
Números Primos
Sea "N" descompuesto canónicamenteN = Aa × Bb × Cc
#div. N = (a + 1)(b + 1)(c + 1)
#div. comp. (N) = #div. (N) – #div. primos(N) – 1
MCD y MCM I
Si: A = 23 . 54. 32 . 11
MCD(A;B) = 23 . 53 . 32
B = 25. 53. 36. 7 MCM(A;B) = 25 . 54. 36. 7 . 11
Para el MCD
Sio
A B Bk; k y A B
MCD(A;B) B
= =
=
∈ >∴
Si A y B son PESIMCD(A;B) 1=∴
Si MCD(A; B; C) = d
; Cn) dn ;
;
MCD(An; Bn
A B C dMCD ; ;
n n n
n 0
0n
n
=
=
∴
≠
≠
Si M = MCD(A; B) y N = MCD(C; D)
MCD(A; B; C; D) = MCD(M; N)
Para el MCM
Sio
A B Bk; k y A B
MCM(A;B) A
= =
=
∈ >∴
Si A y B son PESIMCM(A;B) A x B=∴
Si MCM(A; B; C) = P
; Cn) Pn ;
MCM ;
MCM(An; Bn
A B C P; ;
n n n
n 0
n
n 0=
=
∴
≠
≠
Si R = MCM(A; B) y T = MCM(C; D)
MCM(A; B; C; D) = MCM(R; T)
Relaciones entre el MCD y MCM para dos números
8/18/2019 Formulario 2016 II
8/328 ESQUEMA – FORMULARIO
NÚMEROSY
OPERACIONES
ACADEMIAS
MCD y MCM II
Fracciones I
Fracciones II
abc
0,abc1000
=
abcd ab
a,bcd990
–=
Relación parte-todo
Reducción a la unidad
Si un caño llena un tanque en 4horas, en una hora llena la cuartaparte del tanque.
abcd aa,bcd999
–=
Fracción propia: Si aF a bb
⇒
Fracción común u ordinaria: Si naF b 10 ;n Zb
+= ⇒ ≠ ∈
Fracción decimal: Si naF b 10 ;n Zb
+= =⇒ ∈
8/18/2019 Formulario 2016 II
9/329ESQUEMA – FORMULARIO
N Ú M E R O S Y
O P E R A C I O N E S
ACADEMIAS
Porcentaje I
N=100% N
a%N ± b%N = (a ± b)%N
2 descuentos sucesivos del a% y b% equivalen a un descuento único de:
a.ba b %
100+ –
2 aumentos sucesivos del a% y b% equivalen a un aumento único de:
a.ba b %
100+ +
Porcentaje II
Pv = Pc + G Pv = Pc – P Pv = Pf – D Las ganancias o las pérdidas generalmente son porcentajes del precio de costo. Los descuentos o las rebajas siempre son porcentajes del precio fijado o de lista.
Interés simple
I = C × r × T M = C + I (r y T deben tener las mismas unidades)
8/18/2019 Formulario 2016 II
10/3210 ESQUEMA – FORMULARIO
ÁL
GEBRA
ACADEMIAS
Exponentes
Definiciones
n
n veces
x x .x .x ... x=
x0 = 1, x ≠ 0
Teoremas
xn.xm = xn+m
n
n mm
xx , x 0
x
–= ≠
n nn
n
y1 xx ;
y xx
–
–= =
(xm)n = xm.n
pn
mx
(x.y)n = xn.yn; (xa.yb)n = xan.ybn
n n
n
x x
y y=
na a.n
b b.n
x x
y y=
;
≠y 0
nm/n ma a=
mn nmx x=
n m mna a=
n n na. b a.b=
n
nn a abb
=
( )a ac.ec e bc d e f b d f x x x x
+ +=
a bx x a b; x 0,1= =⇒ ∀ ≠
a ax y x y; x 0= =⇒ ∀ ≠
x yx y x y; x 0;1= =⇒ ∀ ≠
8/18/2019 Formulario 2016 II
11/3211ESQUEMA – FORMULARIO
Á L
G E B R A
ACADEMIAS
Polinomios
∑coef = P(1)
#términos = GA + 1; para todo polinomio completo
T.I. = P(o)
GA = GR(x) + GR(y); para todo monomio de 2 variables P(x;y) = 6x 8 y5 + 3x4y6 – 8x 5 y 8 + 10xy 9
13 10 13 10
⇒ GR(x) = 8
⇒ GR(y) = 9
⇒ GA = 13
[F(x) ± G(x)]° se toma el grado mayor entreGA(F) y GA(G)
F(x)G(x)
o
se restan los GA(F) – GA(G)
[F(x).G(x)]° se suman los GA(F) + GA(G)
F(x)n
o
se multiplica el valor de n × GA[F(x)]
OPERACIONESCON GRADOS
POLINOMIOS
Polinomio ordenado: P(x) = axm + bxn + cxp + d; m > n > p > 0 decreciente
Polinomio completo: P(x) = a0xn + a1x
n–1 + a2xn–2 + .... + an
Polinomio homogéneo: P(x; y) = 3x3 + 5x2y – 8xy2 + y3 GA = 3 = 3 = 3 = 3
Polinomios idénticos: P(x) = ax2 + bx + c
P(x) ≡ Q(x) Q(x) = 2x2 + 3x + 4
Polinomio nulo: P(x) = ax2 + bx + c ⇒ a = 0; b = 0 c = 0
(P(x) ≡ 0)
⇒ a = 2; b = 3; c = 4
8/18/2019 Formulario 2016 II
12/3212 ESQUEMA – FORMULARIO
ÁL
GEBRA
ACADEMIAS
Productos notables
Binomio al cuadrado1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Identidad Legendre
2. (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
(a + b)4 – (a – b)4 = 8ab(a2 + b2)
Binomio cubo
3. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)
Diferencia de cuadrados
4. (a + b)(a – b) = a2 – b2
(am + bn)(am – bn) = a2m – b2n
Suma y diferencia de cubos
5. (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3
Multiplicación de 2 binomios con 1 término en común
6. (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + a.b
Multiplicación de 3 binomios con 1 término en común
7. (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + a.b.c.
Trinomio al cuadrado
8. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
8/18/2019 Formulario 2016 II
13/3213ESQUEMA – FORMULARIO
Á L
G E B R A
ACADEMIAS
Trinomio al cubo
9. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a + c)(b + c)
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + ac + bc) – 3abc
Igualdades condicionales
Si: a + b + c = 0
Se verifican:
• a2 + b2 + c2 = –2(ab + ac + bc)
• a3 + b3 + c3 = 3abc → importante• (a2 + b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4)
División algebraica
Identidad fundamental
D(x) = d(x) . Q(x) + R(x)
Grados
Grados[Q(x)] = Grado[D(x)] – Grado[d(x)]
Máx Grado[R(x)] = Grado[d(x)] – 1.
Clasificación División Exacta: R(x) = 0
División Inexacta: R(x) ≠ 0
Teoma del resto
Si P(x) es dividido por x – b, entonces el resto de la división es P(b).
Es decir R(x) = P(b)
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14/3214 ESQUEMA – FORMULARIO
ÁL
GEBRA
ACADEMIAS
Factorización
I. Factor común P(a; b) = ab + ac
P(a; b) = a(b + c)
2 factores primos
II. Por agrupación
P(x; y; z) = x2 + xy + xz + yz + x + y
= x(x + y) + z(x + y) + (x + y) = (x + y) (x + z + 1)
III. Identidades a2 – b2 = (a + b) (a – b)
a2m – b2n = (am + bn) (am – bn)
a3 ± b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
a3m ± b3n = (am ± bn)(a2m – ambn + b2n) a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
IV. Criterio de las aspas
P(x) = Ax2n + Bxnym + Cy2m
a1xn c1y
m
a2xn c2y
m
Luego: P(x) = (a1x
n + c1ym)(a2x
n + c2ym)
Ejemplo:
Factoriza
P(x): x2 – 2x – 35 = 0
x –7
x +5 P(x) = (x – 7)(x + 5)
2 factores primos
8/18/2019 Formulario 2016 II
15/3215ESQUEMA – FORMULARIO
Á L
G E B R A
ACADEMIAS
Ecuaciones de primer grado
Ecuaciones de primer grado:
ax + b = 0; a ≠ 0
Es una igualdad condicional que se verifica para valores particulares asignados a sus
incógnitas, llamadas soluciones o raíces.
Clasificación de las ecuaciones según sus soluciones
I. Ecuación compatible
Es aquella que tiene al menos un elemento en su conjunto solución, es decir admite
solución; esta a su vez podrá ser:
1. Ecuación compatible determinada
Es aquella que tiene un número limitado de soluciones. (a ≠ 0)
2. Ecuación compatible indeterminada
Es aquella que tiene un número ilimitado de soluciones; también se dice que lasolución x ∈ . a = 0 ∧ b = 0
II. Ecuación incompatible
Es aquella que no admite solución; también se dice que la solución x ∈ ∅;
frecuentemente se le da el nombre de ecuación absurda o ecuación inconsistente.
a = 0 ∧ b ≠ 0
Ecuación compatible determinada: {r} Ecuación compatible indeterminada: C.S. =
Ecuación incompatible: C.S. = { } [C.S = ∅]
En general:
Si: P(x) = axa(x – a)b(x – b)g
→ # factores primos = 3 = x; (x – a); (x – b)→ # factores totales = (a + 1)(b + 1)(g + 1)
→ # factores algebraicos = (a + 1) (b + 1) (g + 1) – 1
8/18/2019 Formulario 2016 II
16/3216 ESQUEMA – FORMULARIO
ÁL
GEBRA
ACADEMIAS
Planteamientos I
DefiniciónEl planteamiento de una ecuación consiste en traducir un problema dado en forma deenunciado, a un lenguaje simbólico; es decir, al interpretar correctamente el enunciadodado se podrá transformar este en una ecuación de una o más incógnitas.
lenguaje escrito lenguaje matemático
"x" excede a "y" en 10 x – y = 10
El exceso de "p" sobre "q" es 20 p – q = 20
"x" es a "y" como 5 es a 8 xy58=
"x" es dos veces "y" x = 2y
"x" es dos veces más que "y" x = y + 2y ⇒ x = 3y
El cubo de un número aumentado en 17 . x3 + 17
La suma al cubo de un número aumentado en 6. (x + 6)3
Un número disminuido en sus tres octavos. x – 38
x
El triple de un número aumentado en 42. 3x + 45
Problemas sobre ecuacionesSi bien no existe una regla general para resolver este tipo de problemas, te vamos aproporcionar algunos pasos que te van a ayudar a su solución: Lee detenidamente el problema, hasta familiarizarte con él. Haz un esquema, si es necesario, para aclarar la situación. Haz una lista de datos conocidos y otra de los que se quiere hallar. Representa el término desconocido por medio de una variable, generalmente "x". Expresa la situación descrita en el problema en lenguaje matemático. Resuelve la ecuación.
8/18/2019 Formulario 2016 II
17/3217ESQUEMA – FORMULARIO
Á L
G E B R A
ACADEMIAS
Ecuaciones cuadráticas
1. Sea la forma general:ax2 + bx + c = 0 ∧ a ≠ 0.
Suma de raíces: –ba
Producto de raíces: ca
Suma de las inversas: –bc
Raíces simétricas: b = 0
Raíces recíprocas: a = c
Raíz nula: c = 0
Reconstrucción de ecuación de 2do. grado donde x1∧ x2 son raíces.
x2 – (x1
+ x2
)x + x1
x2
= 0.
También:x2 – Sx + P = 0
Donde: S = suma de raíces
P = producto de raíces
2. Naturaleza de las raíces:
La naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática depende del valor de su
discriminante, así:
Sí ∆ > 0: Las raíces son reales y diferentes.
Sí ∆ = 0: Las raíces son reales e iguales. (Solución única)
Sí ∆ < 0: Las raíces son complejas y conjugadas. Donde ∆ = b2 – 4ac es el discriminante.
8/18/2019 Formulario 2016 II
18/3218 ESQUEMA – FORMULARIO
ÁL
GEBRA
ACADEMIAS
Planteamientos II
Problema Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, perocuando tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será de 63 años. Calculala suma de las edades actuales.
Solución: "Yo tengo el doble de la edad que tú tenías"
"Cuando yo tenía la edad que tú tienes
Aplicando el criterio de las sumas en aspa:
2y = 3x ⇒ xy
= 23
⇒ x = 2k y = 3k
Reemplazamos en el cuadro:
"Cuando tengas la edad que tengo la suma de nuestras edades será 63 años"
suma = 63 Del cuadro:
5k + 4k = 63 ⇒ k = 7
Luego las edades actuales son: Yo: 4(7) = 28 años Tú: 3(7) = 21 años Rpta: la suma de las edades actuales es: 28 + 21 = 49 años
8/18/2019 Formulario 2016 II
19/3219ESQUEMA – FORMULARIO
Á L
G E B R A
ACADEMIAS
Función lineal, cuadrática y aplicaciones
Función linealEs la función determinada por la siguiente regla de correspondencia y cuya gráfica esuna línea recta.
y = f(x) = mx + b
Dominio: Rango: m: pendiente de la recta (tangente del ángulo de inclinación)b: intercepto con el eje Y (ordenada en el origen)
Si m > 0, la recta sube hacia la derecha (creciente)
Si m < 0, la recta baja hacia la derecha (decreciente)
Para hallar el intercepto con el eje X debemos hacer: f(x) = 0
Función constante Si: m = 0 → f(x) = b
Su gráfica es una recta paralela al eje X que pasa por el punto (0; b)
8/18/2019 Formulario 2016 II
20/3220 ESQUEMA – FORMULARIO
ÁL
GEBRA
ACADEMIAS
Función de identidad Si: m = 1, b = 0 → f(x) = x. Su gráfica es una recta que biseca, al I y III cuadrante
Función cuadráticaEs la función determinada por la siguiente regla de correspondencia y cuya gráfica es una parábola.
f(x) = ax2 + bx + c; a ≠ 0
Dominio: El vértice de la parábola es el punto: V = (h, k). Donde:
h = – b2a
k = 4ac – b2
4a k = f(h)
Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba.
Dom: R Ran = [k, +∞[
Mínimo valor de la función: k
Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo.
Dom: R Ran = ] –∞, k] Máximo valor de la función: k
8/18/2019 Formulario 2016 II
21/3221ESQUEMA – FORMULARIO
G E O M E T R
Í A Y M E D I D A S
ACADEMIAS
Triángulos – Líneas notables
Propiedades
Propiedades adicionales
8/18/2019 Formulario 2016 II
22/3222 ESQUEMA – FORMULARIO
GEOMETR
ÍAYMEDIDAS
ACADEMIAS
Propiedades asociadas a las líneas
notables
1. Ángulo formado por una bisectrizinterior y otra exterior.
x = β
2
2. Ángulo formado por las bisectricesinteriores.
x = 90 + β
2
3. Ángulo formado por las bisectrices
exteriores.
x = 90 – β
2
4. Ángulo formado por una bisectriz y una altura que parten en unmismo vértice.
α – β2x =
Triángulos notables Triángulos rectángulos notables
8/18/2019 Formulario 2016 II
23/3223ESQUEMA – FORMULARIO
G E O M E T R
Í A Y M E D I D A S
ACADEMIAS
Triángulos rectángulos notables
Triángulos rectángulos aproximados
Razones trigonométricas de ángulos agudos
CO aSenH c
α = =
CA bCot
CO aα = =
C.A b
CosH c
α = =
CO aTan
CA bα = =
H cSec
CA bα = =
H cCscCO a
α = =
De aqui se deduce: SenTanCos
ααα
= ; CosCotSen
ααα
=
Propiedad
Razones trigonométricas recípocras Senα.Cscα = 1 Cosα.Secα = 1 Tanα.Cotα = 1
Razones trigonométricas complementarias Senα = Cosβ → a + b = 90° Tanα = Cotβ → a + b = 90° Secα = Cscβ → a + b = 90°
No olvides que:α < 90° y β < 90°
8/18/2019 Formulario 2016 II
24/3224 ESQUEMA – FORMULARIO
GEOMETR
ÍAYMEDIDAS
ACADEMIAS
Cuadriláteros I
Cuadriláteros IITrapecio escaleno
Trapecio rectángulo
Trapecio isósceles
Propiedades: Trapecios
a bM2
+=
180180
α β °θ γ °
+ =
+ =
Trapezoide
α + β + θ + γ = °360
8/18/2019 Formulario 2016 II
25/3225ESQUEMA – FORMULARIO
G E O M E T R
Í A Y M E D I D A S
ACADEMIAS
Circunferencia I
Circunferencia II
Ángulos en la circunferencia
8/18/2019 Formulario 2016 II
26/3226 ESQUEMA – FORMULARIO
GEOMETR
ÍAYMEDIDAS
ACADEMIAS
Ángulos en la circunferencia
Se cumple: L = θr θ: Radianes 0 < θ < 2π
Polígonos
Relaciones métricas
Convexos
Equiángulos
#D = n(n – 3)2
Se = 360°
#DM = n(n – 1)2
si = 180°(n – 2)
e = 360°n
i = 180°(n – 2)n
c = 360°n
Regulares
No convexos Equiláteros
a y b : Catetosc : Hipotenusah : Alturam, n : Proyecciones de los catetos
1. c2 = a2 + b2 4. a2 = mc, b2 = nc2. h2 = m.n
5. 1a2
+ 1b2
= 1h23. ch = ab
8/18/2019 Formulario 2016 II
27/3227ESQUEMA – FORMULARIO
G E O M E T R
Í A Y M E D I D A S
ACADEMIAS
Áreas triangulares
Relación de áreas triangulares
Para triángulos semejantes:
2 2
2 2
A a bB x y
= =
8/18/2019 Formulario 2016 II
28/3228 ESQUEMA – FORMULARIO
GEOMETR
ÍAYMEDIDAS
ACADEMIAS
Áreas cuadrangulares
Relación de áreas cuadrangulares
Para todo cuadrilátero:
TOT AX2
=
A C B D× ×=
Para trapecios:
2 A BC=
T Ax2
=
8/18/2019 Formulario 2016 II
29/3229ESQUEMA – FORMULARIO
G E O M E T R
Í A Y M E D I D A S
ACADEMIAS
Para paralelogramos:
x y z= +
TOT Ax2
=
Observación:
Áreas circulares
2 A R π
= 2
SC(PQ) R A A POQ360π θ ∆°= –
8/18/2019 Formulario 2016 II
30/3230 ESQUEMA – FORMULARIO
GEOMETR
ÍAYMEDIDAS
ACADEMIAS
Áreas circulares
2R A
360π θ
=
2 2 2 A (R r ) ó A (PQ)
4
ππ= – =
Relación de áreas circulares:
Propiedades
A.
A B=
B.
C.
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