Frequency Response Techniques

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 1 240-371 : Frequency Response Techniques

Chapter 10

Frequency Response Techniques

1

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 2 240-371 : Frequency Response Techniques

Introduction

1 Bode diagram2 Nyquist diagram3 Relation between Closed- and Open-Loop Frequency Responses4 Stability in frequency5 Example

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 3 240-371 : Frequency Response Techniques

Sinusoidal frequencyresponse:a. system;b. transfer function;c. input and outputwaveforms

Concept of Frequency Response

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 4 240-371 : Frequency Response Techniques

System with sinusoidal input

r t =Asin t

R s =A

s22

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 5 240-371 : Frequency Response Techniques

C s =G s A

s22 G s =

∏i=1

M

sz i

∏j =1

N

s p j

G j =

∏i=1

M

z i j

∏j =1

N

p j j

=∣G j ∣e j

=arctanℑ [G j ]

ℜ [G j ]

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 6 240-371 : Frequency Response Techniques

A

s22

G s =a 1

s j

a 2

s − j ...

=−A

2jG − j

a 2=[ A

s j ]s= j

a1=[ A

s− j ]s=− j

=A

2jG j

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 7 240-371 : Frequency Response Techniques

C s =−A

2j

1s j

G − j A

2j

1s− j

G j

G j =∣G j ∣ e j

G − j =∣G − j ∣e − j =∣G j ∣e − j

c t =A

2j∣G j ∣ − e − j t e − j

e j t e j

=A ∣G j ∣ e j t −e − j t

2j

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 8 240-371 : Frequency Response Techniques

c t =A∣G j ∣sint

จากสมการจะเห็นไดวาเอาตพุตของระบบเชิงเสน(Linear system) จะมีขนาด(Gain) และ มุมเฟสที่เปลี่ยนไปจากอินพุต

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 9 240-371 : Frequency Response Techniques

Bode Diagram

G s =K

sk

∏i=1

M

sz i

∏j =1

N

sp j

Bode Diagram 1. Gain diagram – Plot between gain (dB) and frequency on semi-log diagram. 2. Phase diagram – Plot between phase (degree or radian) and frequency on semi-log diagram.

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 10 240-371 : Frequency Response Techniques

Gain diagram

dB =20 log ∣G j ∣

∣G j ∣=K ∣ j z 1∣ ... ∣ j z M ∣

∣ j k ∣ ∣ j p 1∣ ... ∣ j p N ∣

dB = 20log K 20log z 12 2 ... 20log z M

2 2

− 20log k − 20log p 12 2− ...− 20log p N

2 2

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 11 240-371 : Frequency Response Techniques

∡G j =∡ j z 1 ...∡ j z M

−∡ j p 1− ...−∡ j p N

1=∡ s z 1=arctan j

z 1

M=∡ s z M =arctan j

z M

⋮ ⋮

Phase diagram

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 12 240-371 : Frequency Response Techniques

1=∡ s p 1=arctan j

p 1

N=∡ s p 1=arctan j

p N

⋮ ⋮

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 13 240-371 : Frequency Response Techniques

∡ G j = 1 . . . M− 1− . . .−

N

การพลอตนั้นจะทําอยูในชวงความถี่() ที่จะทําการศึกษา

d B = 20log K 20log z 12 2 ... 20log z M

2 2

− 2olog k − 20log p 12 2− 20log p N

2 2

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 14 240-371 : Frequency Response Techniques

Frequency response plots for G(s) =1/(s +2): separate magnitude and phase

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 15 240-371 : Frequency Response Techniques

Bode plots of (s + a) : a. magnitude plot b. phase plot.

Asymptotic Approximation

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 16 240-371 : Frequency Response Techniques

Asymptotic and actual normalized and scaled magnitude response of (s + a)

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 17 240-371 : Frequency Response Techniques

Asymptotic and actual normalized and scaled phase response of (s +a)

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 18 240-371 : Frequency Response Techniques

Normalized and scaled Bode plots fora. G(s) = s; b. G(s) = 1/s;

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 19 240-371 : Frequency Response Techniques

Normalized and scaled Bode plots forc. G(s) = (s + a); d. G(s) = 1/(s + a)

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 20 240-371 : Frequency Response Techniques

Example (Nise) Draw the Bode plot for the system shown below

G s =K s 3

s s 1 s 2

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 21 240-371 : Frequency Response Techniques

Bode log- magnitude plot : a. components; b. composite

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 22 240-371 : Frequency Response Techniques

Bode phase plota. components; b. composite

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 23 240-371 : Frequency Response Techniques

Bode asymptotesfor normalizedand scaled G(s) =

a. magnitude;b. phase

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 24 240-371 : Frequency Response Techniques

Normalized and scaledlog-magnitude response for

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 25 240-371 : Frequency Response Techniques

Scaled phase response for

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 26 240-371 : Frequency Response Techniques

Normalized and scaled log magnitude response for

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 27 240-371 : Frequency Response Techniques

Scaled phase response for

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 28 240-371 : Frequency Response Techniques

Bode magnitudeplot for G(s) =(s + 3)/[(s + 2)(s2 + 2s + 25)]:a. components;b. composite

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 29 240-371 : Frequency Response Techniques

Polar plot

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 30 240-371 : Frequency Response Techniques

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 31 240-371 : Frequency Response Techniques

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 32 240-371 : Frequency Response Techniques

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 33 240-371 : Frequency Response Techniques

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 34 240-371 : Frequency Response Techniques

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 35 240-371 : Frequency Response Techniques

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 36 240-371 : Frequency Response Techniques

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 37 240-371 : Frequency Response Techniques

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 38 240-371 : Frequency Response Techniques

G j =K z 1 j ...

j k p 1 j ...

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 39 240-371 : Frequency Response Techniques

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 40 240-371 : Frequency Response Techniques

Introduction to the Nyquist Criterion

The NyC relates the stability of a closed-loop system toopened-loop frequency response and open loop pole locationThus knowledge of the opened-loop system's frequency res-ponse yields information about the stability of the closed-loop system.

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 41 240-371 : Frequency Response Techniques

Closed- loop control system

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 42 240-371 : Frequency Response Techniques

Mapping contour A through function F(s) to contour B

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 43 240-371 : Frequency Response Techniques

Examples of contour mappingZero outside the contour

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 44 240-371 : Frequency Response Techniques

Pole outside the contour

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 45 240-371 : Frequency Response Techniques

Zero inside the contour

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 46 240-371 : Frequency Response Techniques

Pole inside the contour

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 47 240-371 : Frequency Response Techniques

Pole and zero inside the contour

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 48 240-371 : Frequency Response Techniques

Vector representation of mapping

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 49 240-371 : Frequency Response Techniques

Contour enclosingright half-plane todetermine stability

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 50 240-371 : Frequency Response Techniques

Nyquist Stability Criterion

If a contour A that encircles the entire right half-plane ismapped through G(s)H(s), then the number of closed-loop poles, Z, in the right half-plane equals the number of open-loop poles, P, that are in the right half plane minus the number of counterclockwise revolutions, N, around -1 of the mapping;that is, Z=P-N. The mapping is called the Nyquist diagram, orNyquist plot of G(s)H(s).

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 51 240-371 : Frequency Response Techniques

Mapping examples:a. contour does notenclose closed- looppoles;b. contour doesenclose closed- looppoles

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 52 240-371 : Frequency Response Techniques

Detouring around open-loop poles:a. poles on contour;b. detour right;c. detour left

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 53 240-371 : Frequency Response Techniques

a. Contour;b. Nyquist diagram

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 54 240-371 : Frequency Response Techniques

Stability via the Nyquist Diagram

If the Nyquist path in s-plane encircles Z zeros and P polesof 1+G(s)H(s) and does not pass through any poles or zerosof 1+G(s)H(s) as a representative point s moves in the clock-wise direction along the Nyquist path, then the correspondingcontour in the G(s)H(s)-plane encircles the -1+j0 point N=Z-Ptime in clockwise direction (Negative values of N imply counter-clockwise encirclements)

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 55 240-371 : Frequency Response Techniques

1. There is no encirclement of the -1+j0 point. This impiles that the system is stable if there are no poles of G(s)H(s) in the right-half s-plane, otherwise the system is unstable.

2. There is a counterclockwise encirclement or encirclements of the -1+j0 point. In this case, the system is stable if the number of counterclockwise encirclements is the same as the nmber of polse of G(s)H(s) in the right-half s-plane, otherwise the system is unstable.

3. There is a clockwise encirclement or encirclements of the -1+j0 point. In this case, the system is unstable.

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 56 240-371 : Frequency Response Techniques

DemonstratingNyquist stability:a. system;b. contour;c. Nyquist diagram

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 57 240-371 : Frequency Response Techniques

a. Contour ;b. Nyquist diagram

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 58 240-371 : Frequency Response Techniques

a. Contour and root locus of system thatis stable for small gain and unstablefor large gain;b. Nyquist diagram

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 59 240-371 : Frequency Response Techniques

a. Contour and root locus of system that is unstable for small gain and stable for large gain;b. Nyquist diagram

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 60 240-371 : Frequency Response Techniques

a. Portion of contour to be mapped for Example 10.7b. Nyquist diagram of mapping of positive imaginary axis

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 61 240-371 : Frequency Response Techniques

Nyquist diagramshowing gain andphase margins

Gain Margin and Phase Margin

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 62 240-371 : Frequency Response Techniques

Gain and phase margins on the Bode diagrams

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 63 240-371 : Frequency Response Techniques

Relation between Closed-Loop and Open-Loop Frequency Response

Constant M cycles and Constant N cycles

T s =G s

1G s

R(s) C(s)G(s)+

-

T j =G j

1G j

Close-loop transfer function and frequency response

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 64 240-371 : Frequency Response Techniques

Let G j =P jQ

T j =P jQ

P 12Q2

M2= ∣T

2 j ∣=

P jQ

P 12Q2

P M

2

M2−1

2

Q2=

M2

M2−12

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 65 240-371 : Frequency Response Techniques

Constant M circles

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 66 240-371 : Frequency Response Techniques

=arctan Q

P −arctan Q

P 1

tan A±B =tan A±tan B

1±tan A tan B

N = tan =

Q

P −

Q

P 1

1 Q

P

Q

P 1

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 67 240-371 : Frequency Response Techniques

N =Q

P2 P Q

2

P2 P Q

2

Q

N= 0

P 12

2

Q −1

2N 2

=N

21

4N2

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 68 240-371 : Frequency Response Techniques

Constant N circles

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 69 240-371 : Frequency Response Techniques

Nyquist diagram forExample 10.11 andconstant M and Ncircles

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 70 240-371 : Frequency Response Techniques

Nichols Chart

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจริญชัย แกไข 28 ธันวาคม 2545 หนา 71 240-371 : Frequency Response Techniques

Typical unnormalizedand unscaled Bodelog-magnitude plotsshowing the value ofstatic error constants:a. Type 0;b. Type 1;c. Type 2

Steady-State Error Characteristics from Frequency Response