Funciones Circulares

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL520142

Primer Semestre

FUNCIONES CIRCULARES

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas

Universidad de Concepción

1

Funciones circulares

Definición: Círculo Trigonométrico

Sea C = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} la circunferencia unitaria ,

se define P : R → C por P (0) = (1, 0) y para t > 0 (resp.t < 0) P (t) es el punto al que se llega luego de desplazarse ensentido antihorario (resp. horario) sobre C, en t unidades desdeP (0).

Definición: sen y cos

Se definen las funciones sen : R → [−1, 1] y cos : R → [−1, 1]

a través de la ecuación:

P (t) = ( cos (t), sen (t) )

2

Funciones Circulares

Círculo Trigonométrico

|sen (t)| = |OS|

|cos (t)| = |OC|

|tan (t)| = |AT |

|cot (t)| = |BR|

|sec (t)| = |OT |

|csc (t)| = |OR|

+

R

Y

Xeje de coseno

eje cotangencias

eje de seno

eje tangencias

A’

B

B’

O

S

CA

P(t) T

t

lA,P(t)

t = (OX,OP(t)) = lA,P(t)3

Funciones Circulares

Teorema de Pitágoras

a2 + b2 = c2

a

bc

sen 2(t) + cos 2(t) = 1

tan 2(t) + 1 = sec2(t)

cot 2(t) + 1 = csc2(t)

Teorema de Thales

a′

a=

b′

b=

c′

c

b’

a’

c’

c b

a

tan (t) =sen (t)

cos (t)cot (t) =

cos (t)

sen (t)

sec (t) =1

cos (t)csc (t) =

1

sen (t)4

Funciones Circulares

Definición: Función Periódica

Una función f : R → B se dice periódica de periodo p, si p esel menor número positivo que satisface la propiedad:

∀t ∈ R : f(t) = f(t + p).

Propiedad

Si f : R → B es periódica de periodo p, se cumple que:

∀t ∈ R, ∀k ∈ Z : f(t) = f(t + kp).

Observación

P : R → C es periódica de periodo 2π:

(∀t ∈ R) (∀ k ∈ Z) P (t + 2kπ) = P (t)5

Funciones Circulares

Definición: Función Seno

sen : R −→ [−1, 1] ∀ k ∈ Z : sen (t + 2kπ) = sen (t)

t 7−→ y = sen (t) ∀ t ∈ R : sen (−t) = −sen (t)

π2 2

3π23π π

2

−1

1

π 2π2π π t

sen(t)

GRAFICO DE LA FUNCION SENO

∀ k ∈ Z : sen (kπ) = 0 ∧ sen ( (2k+1)π2 ) = (−1)k

6

Funciones Circulares

Definición: Función Coseno

cos : R −→ [−1, 1] ∀ k ∈ Z : cos (t + 2kπ) = cos (t)

t 7−→ y = cos (t) ∀ t ∈ R : cos (−t) = cos (t)

2π π2

π 3π 22

ππ π2

2π

cos(t)

t3π 2

GRAFICO DE LA FUNCION COSENO

−1

1

∀ k ∈ Z : cos ( (2k+1)π2 ) = 0 ∧ cos (kπ) = (−1)k

7

Funciones Circulares

Definición: Función Tangente D = R −{

π2 + kπ : k ∈ Z

}

tan : D ⊂ R −→ R ∀ k ∈ Z : tan (t + kπ) = tan(t)

t 7−→ y = tan (t) = sen (t)cos (t) ∀ t ∈ D : tan (−t) = −tan (t)

2 2π2

3π2

−3π π−π

GRAFICO DE LA FUNCION TANGENTE

tan(t)

t−π 0

8

Funciones Circulares

Definición: Función Secante

sec : R −{

π2 + kπ : k ∈ Z

}

−→ R− ] − 1, 1[ - Es 2π-periódica

t 7−→ sec (t) = 1cos (t) - Es par

π2

π2

π2

0 ππ2π3 3

1

−1

t

sec(t)

GRAFICO DE LA FUNCION SECANTE

9

Funciones Circulares

Definición: Función Cosecante

csc : R −{

kπ : k ∈ Z}

−→ R− ] − 1, 1[ - Es 2π-periódica

t 7−→ csc (t) = 1sen (t) - Es impar

π2

π2

π2

0 ππ2π3 3

1

−1

t

GRAFICO DE LA FUNCION COSECANTE

csc(t)

10

Funciones Circulares

Identidades Trigonométricas

Una identidad trigonométrica es una expresión matemática (unaigualdad), cuya característica es la de ser verdadera para todo númeroreal para el cual cada una de las funciones circulares que intervienen enla expresión estén definidas.Por ejemplo, la identidad fundamental sen 2(t) + cos 2(t) = 1 es válidapara todo número real t.

Observación

Utilizando las identidades anteriores, la definición de las funcionescirculares y las propiedades algebraicas de los números reales se puedendemostrar muchas otras identidades.

11

Funciones Circulares

Identidades con sumas y diferencias

Para obtener este tipo de identidades utilizaremos el siguiente resultado.

Proposición

La longitud de una cuerda generada por un arco de circunferencia delongitud t es:

l(t) =√

2 − 2cos (t).

O (1,0)

P(t)=(cos t,sen t)

l(t)

t

X

Y

12

Funciones Circulares

Identidades con sumas y diferencias

Proposición

Para x, y ∈ R : cos (x − y) = cos (x)cos (y) + sen (x)sen (y)

Y

XO

P(x)=(cos x , sen x)

P(y)=(cos y , sen y)

13

Funciones Circulares

Identidades con sumas y diferencias Dados x, y ∈ R, se cumple que:

cos (π2 − y) = sen (y); sen (π

2 − x) = cos (x)

cos (x + y) = cos (x)cos (y) − sen (x)sen (y)

sen (x + y) = sen (x)cos (y) + sen (y)cos (x)

sen (x − y) = sen (x)cos (y) − sen (y)cos (x)

tan (x ± y) =tan (x) + tan (y)

1 ∓ tan (x)tan (y)

cos (2x) = cos2(x) − sen 2(x)

sen (2x) = 2sen (x)cos (x)

tan(x

2

)

=sen (x)

(1 + cos (x))

sen (x) · cos (y) = 12 (sen (x + y) + sen (x − y))

14

Funciones Circulares

Ejemplo Demuestre quesen (x + y)

sen(x − y)=

tan (x) + tan (y)

tan (x) − tan (y)

Demostración

sen (x + y)

sen(x − y)=

sen (x)cos (y) + sen (y)cos (x)

sen (x)cos (y) − sen (y)cos (x)

=

sen (x)

cos (x)+

sen (y)

cos (y)

sen (x)

cos (x)− sen (y)

cos (y)

=tan (x) + tan (y)

tan (x) − tan (y)

15

Funciones Circulares

Inversa de las funciones circulares

La función sen : R −→ [−1, 1], no es inyectiva. En consecuencia, surelación inversa, denotada por arcsen y llamada arcoseno ,

x arcsen y ⇐⇒ x = sen(y)

no es una función.La restricción de seno al intervalo [−π

2 , π2 ] es inyectiva:

Sen :[

− π

2,π

2

]

−→ [−1, 1], x 7→ y = sen (x).

Luego tiene inversa. Su inversa es la función Arcoseno (parte principal)denotada por Arcsen .

Arcsen : [−1, 1] −→[

− π

2,π

2

]

, y 7→ x = Arcsen (y)

16

Funciones Circulares

Definición: Función Arcoseno

Arcsen : [−1, 1] −→ [−π

2,π

2]

x 7−→ y = Arcsen (x)

con: y = Arcsen (x) ⇐⇒ x = sen (y), −1 ≤ x ≤ 1, −π2 ≤ y ≤ π

2 .

–1

1

–1 –0.5 0.5 1x

GRAFICO DE LA FUNCION ARCOSENO

17

Funciones Circulares

Definición: Función Arcocoseno

Arccos : [−1, 1] −→ [0, π]

x 7−→ y = Arccos (x)

con: y = Arccos (x) ⇐⇒ x = cos (y), −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π.

1

2

3

–1 –0.5 0.5 1x

GRAFICO DE LA FUNCION ARCOCOSENO

18

Funciones Circulares

Definición: Función Arcotangente

Arctg : R −→] − π

2,π

2[

x 7−→ y = Arctg (x)

con: y = Arctg (x) ⇐⇒ x = tg (y), x ∈ R, −π2 < y < π

2 .

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

–4 –2 2 4x

GRAFICO DE LA FUNCION ARCOTANGENTE

19

Funciones Circulares

Definición: Función Arcocotangente

Arccot : R −→]0, π[

x 7−→ y = Arccot (x)

con: y = Arccot (x) ⇐⇒ x = cot (y), x ∈ R, 0 < y < π.

0

1

2

3

4

5

–4 –2 2 4x

GRAFICO DE LA FUNCION ARCOCOTANGENTE

20

Funciones Circulares

Definición: Función Arcosecante

Arcsec : R−] − 1, 1[−→ [0, π] −{π

2

}

x 7−→ y = Arcsec (x)

con: y = Arcsec (x) ⇐⇒ x = sec (y), |x| ≥ 1, y ∈ [0, π] − {π2 }.

–1

0

1

2

3

4

–4 –2 2 4x

GRAFICO DE LA FUNCION ARCOSECANTE

21

Funciones Circulares

Definición: Función Arcocosecante

Arccsc : R−] − 1, 1[−→ [−π

2,π

2] − {0}

x 7−→ y = Arccsc (x)

con: y = Arccsc (x) ⇐⇒ x = csc (y), |x| ≥ 1, y ∈ [−π2 , π

2 ] − {0}.

–1

0

1

2

3

4

–4 –2 2 4x

GRAFICO DE LA FUNCION ARCOCOSECANTE

22

Funciones Circulares

Uso de las funciones inversas

Si cos (x) = a, con |a| ≤ 1, entonces existe k ∈ Z tal que:

Si x está en I o II, x = Arccos (a) + 2kπ.

Si x está en III o IV, x = −Arccos (a) + 2kπ.

Si sen (x) = b, con |b| ≤ 1, entonces existe k ∈ Z tal que:

Si x está en I o IV, x = Arcsen (b) + 2kπ.

Si x está en II o III, x = π − Arcsen (b) + 2kπ.

23

Funciones Circulares

Definición: Angulo Un ángulo ∠AOB consiste en la semirecta que

parte en O y pasa por A, llamada lado inicial y la semirecta que parteen O y pasa por B, llamada lado terminal .

Si OA está sobre el semieje OX, entonces se dice que el ángulo está enposición normal o standar .

O A

B

A

O

B

24

Funciones Circulares

Medida de ángulos

A cada ángulo ∠AOB se asocia un número real m(∠AOB) llamadomedida del ángulo , denotada por α, β, γ o θ.

Sistema Sexagesimal (en grados) y Sistema Circular o Radial ( enradianes), para medir ángulos.

Un Grado es la medida de un ángulo que subtiende a un arco delongitud igual a 1

360 del perímetro de una circunferencia. Así, lacircuferencia corresponde a un ángulo de 360o.

Un Radian es la medida de un ángulo que subtiende a un arco delongitud igual al radio de la circunferencia. Así, la circunferenciacorresponde a un ángulo de 2π radianes.

25

Funciones Circulares

Sistema Radial

La medida de un ángulo R(∠AOB) en Radianes es igual a la longitud delarco de circunferencia subtendido por el ángulo en la circunferencia deradio 1 y centro O, recorriéndolo en sentido antihorario y partiendo dellado inicial.

Sistema Sexagesimal

De la relación:

360 Grados Sexagesimales = 2π Radianes

se deduce que la medida de un ángulo S(∠AOB) en GradosSexagesimales está dada por:

S(∠AOB) =180

πR(∠AOB).

26

Funciones Circulares

Funciones Circulares sobre un ángulo

Dado un ángulo en posición normal de medida α en radianes, y un punto(x, y) sobre su lado final, se cumple que el punto P (α) = (cos (α), sen (α))

está también sobre su lado final y si r = d((0, 0), (x, y)), por el teoremade Thales se obtiene:

y

sen (α)=

r

1,

x

cos (α)=

r

1,

de donde:

sen (α) = yr

cos (α) = xr

tan (α) = yx

cot (α) = xy

sec (α) = rx

csc (α) = ry.

α1

x cos( )

r

(x,y)y

sen( )

Y

X

P( )α

α

α

27

Funciones Circulares

Teorema de los senos

Los lados a, b y c de un triángulo son proporcionales a los senos de susángulos opuestos α, β y γ. Es decir:

asen (α) = b

sen (β) = csen (γ) .

ab

cβ

γ

α

28

Funciones Circulares

Teorema de los cosenos

En un triángulo de lados a, b y c y ángulos opuestos α, β y γ, el cuadradode un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos eldoble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman.Esto es:

a2 = b2 + c2 − 2bc · cos (α)

b2 = a2 + c2 − 2ac · cos (β)

c2 = a2 + b2 − 2ab · cos (γ)

29

Funciones Circulares

Función Sinusoidal

Sean A, w > 0 y φ ∈ R. A la función f : R → R definida por:

f(x) = A sen (wx + φ), ∀x ∈ R,

se le llama Función Sinusoidal , y su gráfica se llama Curva Sinusoidalo Sinusoide .

Es periódica y su Periodo es p =2π

w.

Se llama Amplitud de la función al valor A.

Se llama Desplazamiento de Fase de la función al valor d =−φ

w

Se llama Frecuencia Angular de la función al valor w.

Se llama Fase de la función al valor −φ.

30

Funciones Circulares

La siguiente figura muestra la gráfica de la función definida por:

f(x) = 3sen(π

2x +

3π

4

)

.

f(x)

x

3

2

1

−1

−3

−2

0 1 2 43−5 −3 −2 −1−4 5 6

p

A

d

31

Funciones Circulares

Teorema. Sean p, q, b ∈ R. Entonces existen A, φ ∈ R tales que:

p sen (bx) + q cos (bx) = A sen (bx + φ)

Observaciónes.

La función g(x) = Acos (wx + φ) también es una funciónsinusoidal.

Si b < 0 o C < 0, la función h(x) = Csen (bx + φ) también es unafunción sinusoidal.

32

Funciones Circulares

Ejemplo 1 Encuentre el conjunto solución de:

sen (x) >√

3 cos (x), x ∈[

π

2,3π

2

]

Solución La inecuación es equivalente a

1

2sen (x) −

√3

2cos (x) > 0

Como

sen(

x − π

3

)

= sen (x)cos(π

3

)

− sen(π

3

)

cos (x) =1

2sen (x) −

√3

2cos (x)

la inecuación queda:

sen(

x − π

3

)

> 0

33

Funciones Circulares

Además,

π

2≤ x ≤ 3π

2⇐⇒ π

6≤ x − π

3≤ 7π

6.

Luego, sen(

x − π

3

)

> 0 ⇐⇒ π

6≤ x − π

3< π ⇐⇒ π

2≤ x <

4π

3.

Ejemplo 2 Determine la o las soluciones de la siguiente ecuación

Arcsen(x + 1) + Arcsen(x) =π

2

Solución Sean α = Arcsen(x + 1); β = Arcsen(x) entonces

α, β ∈[

−π2 , π

2

]

. Además

sen(α) = x + 1

sen(β) = x⇒

cos(α) =√

1 − (x + 1)2

cos(β) =√

1 − x234

Funciones Circulares

Como α + β ∈ [−π, π]; de α + β = π2 podemos obtener

cos(α + β) = cos(π

2

)

= 0 = cos(α)cos(β) − sen(α)sen(β)

√

1 − (x + 1)2√

1 − x2 − (x + 1)x = 0

⇒√

1 − (x + 1)2√

1 − x2 − (x + 1)x = 0

⇒√

[1 − (x + 1)2](1 − x2) = x(x + 1)

⇒ [1 − (x + 1)2][1 − x2] = [x(x + 1)]2

⇒ −2x(x + 1) = 0

⇒ x = 0; x = −1

Volviendo a la ecuación original vemos que la única solución es x = 0.

35

Funciones Circulares

Ejemplo 3 Un puente de ferrocarril mide l metros de largo. Desde uno

de sus extremos el ángulo de depresión de una roca situada directamenteabajo del puente es α y desde el otro extremo el ángulo de depresión dela roca es β. Muestre que la altura del puente sobre la roca es:

h =lsen (α)sen (β)

sen (α + β)

Solución

l

x

y h

α β A B

C

P

36

Funciones Circulares

Aplicando teorema de los senos al triángulo ACB tenemos:

l

sen (π − α − β)=

x

sen (α)=⇒ x =

l sen (α)

sen (π − α − β)

Por definición de seno en el triángulo CBP y reemplazando obtenemos:

h =lsen (α)sen (β)

sen (π − α − β).

Como sen (π − α − β) = sen (α + β) tenemos lo pedido.

37