funciones Introduccion

MATEMATICA I

DOCENTE:

LIC. OSCAR ANTONIO CAMPOS

•Concepto de función

•Análisis de funciones I II III IV

•Reconocimiento de funciones -En diagrama Ejemplos 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 -En tabla de valores Ejemplos 1 – 2 – 3 – 4 -En gráfico cartesiano Ejemplos 1 – 2 – 3

•Clasificación de funciones -función sobreyectiva o subyectiva -función inyectiva -función biyectiva

•Elementos característicos de una función

TEMARIO

FUNCIÓN

Una relación definida entre dos conjuntos es función si y sólo si a cada elemento del conjunto de partida le hace corresponder uno y sólo uno del conjunto de llegada.Conjunto de partida: Dominio

Conjunto de llegada: Rango

Las condiciones que debe reunir una relación para ser función, pueden

resumirse en estas dos:

El DOMINIO o conjunto de partida son los valores que toma la variable independiente (x).

El Rango son los valores que puede tomar la variable dependiente (y).

La IMAGEN es el subconjunto del Rango que se relaciona con el DOMINIO. Puede coincidir con este.

A

B

C

D

E

1

2

3

4

5

7

Dominio(x)

ImagenImagen

Dominio(x)

Dominio(x)

Rango

(y)

Dominio(x)

a.

b.

c.

•m

•n

•p

•q

ffunción

A Bf

A= Dom f

Esta relación es función porque cada elemento de A está relacionado conuno y sólo uno de B. Al correspondiente de un elemento del dominio se lo llama imagen de ese elemento.

Sean los conjuntos

A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3}

y las siguientes relaciones definidas de A en B

R1= {(x,y) Є AxB / y = x+1}

I R1 = {(0,1),(1,2),(2,3)}

A B

0.

3.•2

Para cada elemento x Є A, excepto 3,existe un solo elemento y Є B tal que el par (x,y)Є R1

Para el elemento 3ЄA, no existe imagen Є B tal que el par (3,y) Є R1

•-1

•2

•3

•0

•1

1.Por lo tanto podemos afirmar

que NO ES FUNCIÓN, ya que no cumple con la

condición de existencia.

Sean los conjuntos

A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3}

y las siguientes relaciones definidas de A en B

R2= {(x,y) Є A x B / y2 = x2}

II R2 = {(0,0)(1,1)(1,-1)(2,2)(3,3)}

BA

•0

•1

•-1

•2

•3

Para cada elemento x Є A, excepto 1,existe un solo elemento y Є B tal que el par (x,y)Є R2

Para el elemento 1 Є A, existen dos elementos 1 y -1 Є B tal (1,1) Є R2 y (1,-1) Є R2.

0.

1.

2.

3.

Por lo tanto se puede afirmar que la relación NO ES

FUNCIÓN, ya que no cumple la condición de unicidad para un

elemento del dominio.

Sean los conjuntos

A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3}

y las siguientes relaciones definidas de A en B

R3= {(x,y) Є A x B / y = x}

A

III R3 = {(0,0) (1,1) (2,2) (3,3)}

B

Para todo elemento x Є A, en este caso sin excepción, existe un solo elemento y Є B tal que el par (x,y)Є R3.

•0

•1

•2

•3

•-1

0.

1.

2.

3.

Por lo que puede asegurarse que la relación cumple con las condiciones de FUNCIÓN.

Sean los conjuntos

A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3}

y las siguientes relaciones definidas de A en B

R4= {(x,y) Є A x B / y = 3}

IV R4 = {(0,3) (1,3) (2,3) (3,30)}

A B

Para todo elemento x Є A, sin excepción también, existe un solo elemento y Є B tal que el par (x,y) Є R4.

•3

•0

•1

•-1

•2

0.

1.

2.

3.

Podemos afirmar que es FUNCION, ya que cumple con las condiciones de unicidad y

existencia.

Ejemplos de Funciones y No Funciones

a. {(2,4), (3,1), (5,2), (-1,-2)}

Es función. Dado que para cada valor de x hay un único valor de y. O sea, los valores de x NO se repiten.

0-323

42-4

b.Es función. Dado que para cada valor de x hay un único valor de y. O sea, los valores de x NO se repiten. No importa que dos elementos del dominio estén relacionados con un mismo elemento del co-dominio.

c. 2

2-33

242-4

x y

yxNO es función. Dado que en esta relación para el elemento 2 del dominio existen dos elementos en el Rango. O sea, los valores de x SI se repiten.

Ejemplos de Funciones y No Funciones

• Si una función es representada en una gráfica se hace la prueba de la recta vertical para saber si es o no función. O sea, se traza una recta vertical sobre la gráfica y si esta no corta más de una vez la gráfica es función.

• Por ejemplo:

x

x x

x

x

NO es función, la recta vertical cruza en dos ocasiones la

gráfica.

NO es función, la recta vertical cruza

en dos ocasiones la gráfica.

Es función, la recta vertical cruza

en una ocasión la gráfica.

Práctica #4

• Determina cuál de las siguientes relaciones es una función.

-323

42-4

a. b. xx y

y

1

2

3

-1

-2

-3

c.

d.{(1,2),(2,1),(3,1),(4,1)}

Contestación Práctica #4

• Determina cuál de las siguientes relaciones es una función.

-323

42-4

a. b. xx y

y

1

2

3

-1

-2

-3

c.

d.{(1,2),(2,1),(3,1),(4,1)}

Si, es función Si, es funciónNo es función

Si, es función

x

1

2

3

a

b

Reconocimiento de funciones

1A B

SI NO

Es función?

•En diagrama

ANTERIOR CONTINUAR

CORRECTO

La relación del diagrama 1 es función porque cumple con las condiciones de existencia y unicidad.

ANTERIOR

INCORRECTO

La relación del diagrama 1 es función

ANTERIOR

1

2

a

b

c

Reconocimiento de funciones

2C D

SI NO

Es función?

•En diagrama

CONTINUARANTERIOR

INCORRECTO

La relación del diagrama 2 no es función porque a un elemento de C le correspondendos elementos de D.

ANTERIOR

CORRECTO

La relación del diagrama 2 no es función porque a un elemento de C le correspondendos elementos de D.

ANTERIOR

1

2

3

a

b

Reconocimiento de funciones

3E F

SI NO

Es función?

•En diagrama

ANTERIORCONTINUAR

INCORRECTO

La relación del diagrama 3 no es función porque un elemento de E no tiene correspondiente en F.

ANTERIOR

CORRECTO

La relación del diagrama 3 no es función porque un elemento de E no tiene correspondiente en F.

ANTERIOR

1

2

3

abcd

Reconocimiento de funciones

4G H

SI NO

Es función?

•En diagrama

ANTERIORCONTINUAR

CORRECTO

La relación del diagrama 4 es función porque cumple con las condiciones de existencia y unicidad.

ANTERIOR

INCORRECTO

La relación del diagrama 4 es funciónporque cumple con las condiciones deexistencia y unicidad.

ANTERIOR

1

2

3

a

b

Reconocimiento de funciones

5I J

SI NO

Es función?

•En diagrama

ANTERIOR

CONTINUAR

CORRECTO

La relación del diagrama 5 es función porque cumple con las condiciones de existencia y unicidad.

ANTERIOR

INCORRECTO

La relación del diagrama 5 es funciónporque cumple con las condiciones deexistencia y unicidad.

ANTERIOR

1234

abcd

Reconocimiento de funciones

6K L

Es función?

SI NO

•En diagrama

ANTERIOR

CONTINUAR

CORRECTO

La relación del diagrama 6 es función porque cumple con las condiciones de existencia y unicidad.

ANTERIOR

INCORRECTO

La relación del diagrama 6 es funciónporque cumple con las condiciones deexistencia y unicidad.

ANTERIOR

•En tabla de valores

1

x y

-3

4

0

4

-6

8

0

0Es función?

SI NO

ANTERIOR

CONTINUAR

INCORRECTO

La relación 1 no es función porque 4tiene dos imágenes.

ANTERIOR

CORRECTO

La relación 1 no es función porque 4está relacionado dos veces.

ANTERIOR

•En tabla de valores

2

x y

-3

4

0

8

8

8

Es función?

SI NO

ANTERIOR

CONTINUAR

CORRECTO

La relación 2 es función.

ANTERIOR

INCORRECTO

La relación 2 es función.

ANTERIOR

•En tabla de valores

3

x y

-3

4

0

6

0

8

Es función?

SI NO

ANTERIOR

CONTINUAR

CORRECTO

La relación 3 es función.

ANTERIOR

INCORRECTO

La relación 3 es función.

ANTERIOR

•En tabla de valores

4

x y

-3

4

0

0

-6

Es función?

SI NO

ANTERIOR

CONTINUAR

INCORRECTO

La relación 4 no es función porque 0no tiene imagen.

ANTERIOR

CORRECTO

La relación 4 no es función porque 0no tiene imagen.

ANTERIOR

•En gráfico cartesiano

y

x

p

n

m

O a b c

1

Es función?

SI NOANTERIOR CONTINUAR

CORRECTO

La relación del gráfico 1 es función.

ANTERIOR

INCORRECTO

La relación del gráfico 1 es función.

ANTERIOR

•En gráfico cartesiano

y

x

p

n

m

O a b c

2

Es función?

SI NOANTERIOR

CONTINUAR

INCORRECTO

La relación del gráfico 2 no es funciónporque c no tiene imagen. (No cumple la condición de existencia.)

ANTERIOR

CORRECTO

La relación del gráfico 2 no es funciónporque c no tiene imagen.

ANTERIOR

•En gráfico cartesiano

y

x

p

n

m

O a b c

3

Es función?

SI NOANTERIOR

CONTINUAR

CORRECTO

La relación del gráfico 3 es función.

ANTERIOR

INCORRECTO

La relación del gráfico 3 es función.

ANTERIOR

54

dominio: {x|x € R}, Se lee: para toda x tal quex sea elemento de losNúmeros reales.Cualquier número real puede ser evaluado en x y obtendremos un Rango real.

2) ( ) 3f x x 1) ( ) 3 4f x x dominio: {x|x≤3} Recuerda: En los

números reales no existen raícespares para númerosnegativos. Así que,

dentrodel radical no puede

haberun número negativo

Determinar dominio de una función

• Para determinar el dominio de una función se coteja cuáles serán todos los posibles valores que pueda tener x.

dominio = {x|x ≠ 0} La división por cero no está definida, por lo

tanto, en el denominador no podemos tener 0. O sea,

no está definido.

1( )f x

x 2

2( )

4

xg x

x

dominio = {x|x >2} Dos condiciones sedeben cumplir: x-2≥0, x2-4 ≥0 x = 2 x ≠ ±2En el numerador nopodemos tener númerosnegativos dentro delradical. El denominador

no puede ser 0.

Determinar dominio de una función

0

1

Determinar dominio de una función

Dado f(x)= 5x-7 con Dominio = {1,2,3), determina el Rango.

x f(x)= 5x-7 (x,y)

1

2

3

5 . 1 – 7=-2 (1,-2)

5 . 2 – 7=3

5 . 3 – 7=8

(2,3)

(3,8)

Rango= {-2, 3, 8}

Práctica #5

3

12 x 52 xDado g(x) = con

Dominio= {0,1,2}, determina el Rango.

Dado h(x) =

determina el dominio.

Contestación Práctica #5

3

12 x 52 xDado g(x) = con

Dominio= {0,1,2}, determina el co-dominio.

Dado h(x) =

determina el dominio.

x (x,y)

3

12 x

0

1

2

3

1

30

12

2

1

31

12

132

12

3

1,0

2

1,1

1,2

Dado que dentro del radical noodemos tener un negativo losvalores de x ≥ 3 y x ≤ -3

Dominio= {x| x ≥ 3 ó x ≤ -3 }

Rango = { , , 1}3

1

2

1

Prueba de autoevaluación

Comienza la prueba

1. ¿Qué es una relación?

Es el conjunto de las primeras coordenadas en un par ordenado

Es el conjunto de pares ordenados

Es el conjunto de las segundas coordenadas en un par ordenado

2. Selecciona la aseveración correcta.

Toda función es una relación.

En ocasiones una función es una relación.

Toda relación es un función.

3. Determina el Rango del siguiente conjunto de pares ordenados: {(1,8), (-

3,8), (2,8),(-6,8)}

Dominio: {1, -3, 2, 8}

Dominio: {(8,1), (8,-3), (8,2), (8,-6)}

Dominio: {8}

4. Determina el Rango de la siguiente relación representada en

una aplicación.

Rango: {0, 1, 2, 3, 4}

Rango: {4, 5, 6}

Rango: {-4, -5, -6}

x y

01234

456

5. ¿Cuál de las siguientes representaciones es una función?

Funciones: a y b

Funciones: a y c

Funciones: b y cx y

0123

5677

{(1,4), (2,4), (3,4)}

a.

b.

c.

6. Determina cúal de las siguientes relaciones es una función?

Funciones: a, c y d

Funciones: b, c y d

Funciones: a, b y c

a. b.

c. d.

7. Dado f(x)= 3x-x2 con Dominio = {1,2,3), determina el Rango.

Rango= {1, 2, 3}

Rango={ 2, 4, 6}

Rango= {0, 2}

8. Determina el dominio de la siguiente función:

12

1 xy

Dominio = {todos los números reales)

Dominio = {todo número real excepto 0}

Dominio = {todo número real excepto 2}

9. Determina el dominio de la siguiente función:

9

12

x

yDominio = {todos los números reales)

Dominio = {todo número real excepto x=-3}

Dominio = {todo número real excepto x=3}

10. Determina el dominio de la siguiente función:

)9(

1

xxy

Dominio = {todos los números reales)

Dominio = {todo número real excepto x=0 y x=9}

Dominio = {todo número real excepto x=0 y x=-9}

11. Determina el dominio de la siguiente función:

xy 3Dominio = {x: x= 3)

Dominio = {x: x 3}

Dominio = {x: x 3}

12. Determina el dominio de la siguiente función:

)3)(2(

1

xxy

Dominio = {x|x € R}

Dominio = {x| x ≠ 2} y x ≠ -3}

Dominio = {x| x ≠ -2 y x ≠ 3}